Modelação ARFIMA

A utilização de modelos autorregressivos (AR), na caracterização do tacograma, apre- senta fortes limitações, como se pode vericar pela análise da função de autocorrelação (acf ). Com efeito, no caso destes modelos a função de autocorrelação decai exponenci- almente para zero, estes modelos designam-se por processos de memória curta, [Stoer and Shumway, 2011]. No entanto, a função de autocorrelação das séries de variabilidade cardiovascular costumam apresentar um decaímento muito lento, como se ilustra na Fi- gura 2.3 (b), para um indivíduo com ABI e os processos com este tipo de comportamento denominam-se processos de memória longa [Stoer and Shumway, 2011]. O mesmo tipo de comportamento é tipicamente observado no caso dos indivíduos saudáveis.

Figura 2.3: (a) Tacograma de um indivíduo com ABI, com d 0.52, (b) sacf (acf amostral) e acf do modelo AR estimado, ARˆ15 com a ordem estimada pelo critério AIC.

Nesta dissertação, vamos considerar os modelos ARFIMAˆp, d, 0, que são adequados para descrever a elevada persistência observada nas séries.

O modelo ARFIMAˆp, d, 0, com p > N0 e d > R dene-se como

AˆLˆ1  LdXn En (2.1) ˆ1  Ld _Qª k 0 GkLk , Gk Èk  d ÈdΓˆk  1, (2.2)

onde, L é o operador de atraso, Li_X

n Xni, AL 1 p P i 1

AiLié o polinómio autorregressivo (AR) de ordem p, tal que AˆL x 0 se SLS B 1, En é ruído branco gaussiano e ˆ1  Ld é o operador das diferenças fracionárias [Beran et al., 2012], e È  é a função gamma.

Na Equação 2.1, o parâmetro d caracteriza a memória longa do processo e os coecientes do polinómio AˆL, Ai, i 1, . . . , p, permitem a modelação da memória curta. O modelo é estacionário para 0.5 @ d @ 0.5 e não estacionário com média revertível1_{para 0.5 B d @ 1} [Baillie, 1996]. Para d 0, o modelo ARF IMAˆp, 0, 0 reduz-se ao modelo de memória curta ARˆp.

A função de densidade espetral de um processo estacionário ARF IMAˆp, d, 0 é dada por, Leite et al. [2013]

fω fω‡S1  eiωS2d, π B ω B π (2.3)

FCUP 19 Análise da Variabilidade Cardiovascular em Alteração Postural

onde,

f_ω‡ Σ

2 E

2πSAˆeiωS2 (2.4)

é a densidade espetral de ARˆp, isto é, do modelo ARF IMAˆp, 0, 0. Se 0.5 B d @ 1, a Equação 2.3 corresponde a uma pseudo-densidade espetral, [Almeida et al., 2017; Hurvich and Ray, 1995; Velasco, 1999].

Os processos de memória longa apresentam um valor de potência muito elevado nas muito baixas frequências, dicultando assim a avaliação das componentes espetrais tra- dicionais.

Estimação do modelo ARFIMAˆp, d, 0

Dada uma série temporal, X1, . . . , Xn, os parâmetros do modelo ARFIMAˆp, d, 0 são estimados conforme se segue, e detalhadamente descrito em Leite et al. [2013]

(i) estimar o parâmetro d, 0.5 B d @ 1, usando o estimador local semi-paramétrico de Whittle, [Beran et al., 2012]

O estimador local semi-paramétrico de Whitle para memória longa é um estimador no domínio de Fourier. É reconhecido na literatura pelas suas propriedades estatís- ticas, normalidade assimptótica, eciência e facilidade de implementação [Almeida et al., 2017].

O estimador local de Whittle do parâmetro d, ˆd, minimiza a função objetivo logš1 m m Q j 1 ω2d_j IωjŸ  2d m m Q j 1 logˆωj (2.5) onde Iωj 1 nU n Q t 1 XneitωjU 2 (2.6) com ωj 2πj_n para j 1, .., m. O estimador é consistente e assintoticamente normal para 0.5 @ ˆd@ 0.75

m1~2ˆ ˆd d0 Ð NŠ0, 1

4 (2.7)

onde d0 é o valor real de d. Este estimador depende da escolha da largura de banda, m, que é geralmente escolhido no intervalo n0.5B m B n0.5, onde n é o tamanho das amostras. Nesta dissertação considera-se-á m n0.5 uma vez que é menos sensível à existência de componentes de memória curta.

(ii) denir os dados ltrados Xnˆf ˆ1  LdXn

(iii) estimar os parâmetros AR(p) para Xnˆf.A ordem p do modelo AR foi escolhida tendo em conta o critério AIC, [Akaike, 1974].

A aplicação deste procedimento permite capturar e remover a memória longa dos dados (passos i e ii), como se ilustra na Figura 2.4, dado que a acf dos resíduos tem as caracte- rísticas de ruído branco. O passo (iii) por seu lado vai permitir a modelação simultânea das características de memória curta.

A vantagem da utilização de modelação ARFIMA, em relação à modelação tradicional AR, é evidente quando se consideram as funções de densidade espectral, conforme se ilustra na Figura 2.5. Com efeito os processos de memória longa apresentam um valor de potência muito elevado nas muito baixas frequências, dicultando assim a avaliação das componentes espetrais tradicionais a partir de modelação AR (Figura 2.5 (a)) para p estimado pelo critério AIC. Com a modelação ARFIMA consegue-se o mesmo tipo de descrição global, com a vantagem de os modelos serem mais parcimoniosos (ordem mais baixa) em relação a modelação AR (Figura 2.5 (b)). Para além disso, a componente, f_ω‡ na Equação 2.4, correspondente aos termos de memória curta, permite evidenciar as componentes espectrais tradicionais permitindo-nos assim uma melhor descrição das bandas LF e HF da HRV (Figura 2.5 (c)).

Na Figura 2.3, apresenta-se um exemplo de um tacograma, com memória longa (d 0.52), totalmente descrito através da abordagem ARFIMA (com efeito, como se ilustra no painel (b) da Figura 2.4 é possível vericar que En corresponde a ruído branco).

Figura 2.4: (a) Resíduos (En) da modelação ARFIMAˆp 9, d 0.52, 0 e (b) acf amostral dos resíduos.

Mesma série considerada na Figura 2.3.

A modelação ARFIMA tem particular interesse dada a sua capacidade de capturar e remover a memória longa, Equação 2.3 permitindo-nos assim uma melhor descrição das bandas LF e HF nos espetros f‡

FCUP 21 Análise da Variabilidade Cardiovascular em Alteração Postural

Figura 2.5: (a) Modelação ARˆp 15 e (b) Modelação ARFIMAˆp 9, d 0.52, 0 (c) correspondente espetro f‡

ω. Mesma série considerada na Figura 2.3

.

De uma forma geral, a medição das componentes de potência V LF , LF e HF é feita em valores absolutos de potência. Contudo, estas medidas podem ser normalizadas pela potência na banda acima dos 0.04Hz,

LFn

LF

T P V LF  100 HFn

HF

T P  V LF  100 (2.8)

onde TP corresponde à potência total que se dene como a área abaixo da curva da densidade de potência espetral.

Esta normalização enfatiza o equilíbrio entre os dois ramos do sistema nervoso auto- nómo, com a banda LF sendo associada à atividade simpática e a banda de HF sendo associada à atividade parassimpática [Task Force of ESC & NASPE, 1996].

A metodologia paramétrica apresenta a vantagem de permitir que as componentes es- petrais sejam calculadas automaticamente, através da identicação da frequência central de cada componente. Nesta dissertação, as medidas paramétricas foram obtidas usando a decomposição espetral AR em cada modelo estimado, como descrito em Almeida et al. [2006] e referências aí incluídas. Esta decomposição é feita através da atribuição a cada pólo da respetiva contribuição à banda espetral, na qual o pólo estava localizado, de acordo com as bandas de frequência habituais (VLF, LF e HF).