Modelac¸ ˜ao da Via e Perturbac¸ ˜ oes

4.4.1 Geometria da Via

Como foi referido no cap´ıtulo 2.2, a geometria da via e as suas perturbac¸ ˜oes s ˜ao importantes para a din ˆamica do comboio. O modelo num ´erico tem em considerac¸ ˜ao as variac¸ ˜oes da sobre-elevac¸ ˜ao, a inclinac¸ ˜ao em perfil vertical, variac¸ ˜ao do raio de curvatura, a deflex ˜ao el ´astica dos carris e de toda a infra-estrutura subjacente e as perturbac¸ ˜oes geom ´etricas dos carris em relac¸ ˜ao `a geometria nominal.

No cap´ıtulo 2.2 foram apresentadas as express ˜oes relevantes para o c ´alculo das curvas de transic¸ ˜ao e sobre-elevac¸ ˜ao.

As curvas de transic¸ ˜ao entre troc¸os de diferente curvatura s ˜ao muito importantes para a circulac¸ ˜ao segura dos ve´ıculos ferrovi ´arios. Um dos crit ´erios mais simples de dimensionamento ´e impor variac¸ ˜oes lineares do raio de curvatura e da sobre-elevac¸ ˜ao da via:

δR

δξ = R_f−R_i Ls

(4.5) em queLs ´e o comprimento da transic¸ ˜ao,RieRfsao os raios locais de curvatura no in´ıcio e no final do troc¸o eξ ´e a localizac¸ ˜ao, ao longo da linha m ´edia da via.

O raio de curvatura emξ ser ´a ent ˜aoR = ^δR_δξ ξ. Estas express ˜oes s ˜ao dependentes da dist ˆancia ξa um ponto de refer ˆencia, por exemplo, o ”quil ´ometro zero”da linha. O raio nominal de curvatura da linhaR(ξ)pode tamb ´em ser prescrito sob a forma de uma tabela de valores. Nesse caso, a express ˜ao (4.5) pode usar-se para calcularR(ξ)entre pontos interm ´edios da tabela. No entanto, para simular a din ˆamica do comboio ao longo do tempot, ´e necess ´ario converter estas func¸ ˜oes para estarem

depen-dentes do tempo. Se o comprimentoLsfor pequeno, como corresponde `a dist ˆancia entre dois pontos de uma tabela de raios de curvatura que descreva suficientemente a linha, podemos usar `a simples relac¸ ˜aov =ξr/tr, em queξretrs ˜ao coordenadas e tempos relativos, t ˆem origem no in´ıcio do troc¸o, onde o raio de curvatura ´eRi. Teremos que o raio de curvatura, a cada instante de tempot, ser ´a:

Rh ξr(tr)i

=R_f−R_i Ls

VttR+Ri. (4.6)

No programa este c ´alculo segue a seguinte l ´ogica:

• E lido o valor de raio final´ Rf, ap ´os o troc¸o de transic¸ ˜ao.

• E lido o c ´alculo do comprimento´ Lsdeste troc¸o.

• No in´ıcio do troc¸o de transic¸ ˜ao, ´e guardado o valor do tempo absolutot_i.

• Ao longo do troc¸o, o tempo absoluto vai variart=ti+tr, em quetr varia no intervalo de tempo h

0, Ls/Vtr

i .

• O raio de curvatura paratr ´e calculado de acordo com a express ˜ao (4.6).

As mesmas express ˜oes e metodologia do c ´alculo do raio local de curvatura aplicam-se para a sobre-elevac¸ ˜ao da via.

4.4.2 Deformac¸ ˜ao da Via

Na secc¸ ˜ao 2.3.2 foram introduzidos os fundamentos te ´oricos que representam a deformac¸ ˜ao de uma viga hiperest ´atica, atrav ´es da express ˜ao diferencial 2.17. Sendo agora, necess ´ario adaptar esta ex-press ˜ao ao c ´alculo da deformac¸ ˜ao instant ˆanea do carril, no referencial m ´ovel do comboio.

Para vigas r´ıgidas, sobre fundac¸ ˜oes r´ıgidas, a deformac¸ ˜ao ´e pequena e a velocidade critica ´e muito superior `a velocidade do comboio Vtr. Nessas circunst ˆancias, no referencial da carga concentrada, figura 2.6, x^∗ = (xF −v t), a deformac¸ ˜ao pode representar-se aproximadamente como uma func¸ ˜ao espacialφ(x^∗)multiplicada por uma amplitude(δz_R(t))dependente do tempo:z(x^∗, t) =φ(x^∗)δz_R(t).

Ao mudar a coordenadaxdo referencial terrestre para a coordenadax^∗ no referencial m ´ovel com a carga, as derivadas espaciais ficam invariantes. Sendo que, a derivada temporal no referencial da carga relaciona-se com a derivada temporal no referencial terrestre:

∂z(x^∗)

∂t =∂z(x)

∂t +Vtr

∂z(x)

∂x (4.7)

Visto que se sup ˜oe queφ(x^∗) ´e uma func¸ ˜ao universal no referencial que se move com a carga F,

∂z(x^∗) Aplicando a separac¸ ˜ao de vari ´aveis na express ˜ao de deformac¸ ˜ao (2.17), obt ´em-se:

δ_zR(t) Integrando em x num intervalo grande, teoricamente]− ∞,+∞[, o integral de∂z/∂xe o integral de

∂z²/(∂x∂y) ´e quase nulo, pelo que a express ˜ao da din ˆamica da deformac¸ ˜ao do carril ´e:

K δz_R(t) +C∂δz_R(t)

Conclui-se que dentro das aproximac¸ ˜oes indicadas , a express ˜ao de movimento da viga assente sobre uma fundac¸ ˜ao uniformemente distribu´ıda se pode tratar como uma express ˜ao din ˆamica normal, utilizando par ˆametros modificados para a rigidez, o amortecimento e a massa em movimento. Admite-se que os par ˆametros propostos por [11] incorporam esta modificac¸ ˜ao.

Os termos em∂z/∂xe∂z²/(∂x∂y)s ˜ao respons ´aveis pela assimetria entre as deformadas anteriores e posteriores roda. A assimetria introduz um acr ´escimo `a resist ˆencia de rolamento, mas n ˜ao contribui para a din ˆamica do carril, pois o integral dos termos ´e nulo, ou quase nulo.

O carril ferrovi ´ario ser ´a deformado em 2 direc¸ ˜oes, y e z. Isto resulta em duas func¸ ˜oes espaciais diferentes, pois deformac¸ ˜oes na direc¸ ˜aozpodem ser modeladas como deformac¸ ˜oes de uma viga apoi-ada numa fundac¸ ˜ao el ´astica e deformac¸ ˜oes na direc¸ ˜aoypodem ser modeladas como as deformac¸ ˜oes de uma viga simplesmente apoiada. Estas definic¸ ˜oes s ˜ao v ´alidas pois assume-se que, para efeitos de simplificac¸ ˜ao, as deformac¸ ˜oeszeys ˜ao independentes entre si.

A func¸ ˜ao espacialφz(x^∗)pode tomar v ´arias formas sendo uma soluc¸ ˜ao exata ou uma aproximac¸ ˜ao do comportamento da viga. No caso de uma viga apoiada numa fundac¸ ˜ao el ´astica, podemos considerar que o seu comportamento pode ser aproximado pela express ˜ao [5]:

φz(x^∗) = 0.645e^−β∗x∗(cos (βx^∗) + sin (βx^∗)) (4.11) Sendo,β= 1/(l√

2), sendo este dependente do comprimento fundamentall.

O comprimento fundamental ´e obtido a partir das propriedades f´ısicas da viga e fundac¸ ˜ao:

l= EbIb

A viga apoiada numa fundac¸ ˜ao el ´astica ter ´a, como condic¸ ˜oes de fronteira [5]:

σ_z=σ_y=τ= 0 para y=∞ (4.13)

σ_y =−Q

2b, τ = 0 para y= 0 (4.14)

Sendo,σ_za tens ˜ao na direc¸ ˜aoz,σ_y a tens ˜ao na direc¸ ˜aoy,τa tens ˜ao de cisalhamento,Qa carga aplicada na viga e2ba largura da viga.

A func¸ ˜ao espacial φy(x^∗) tamb ´em pode tomar v ´arias formas, sendo uma soluc¸ ˜ao exata ou uma aproximac¸ ˜ao mais ou menos precisa do comportamento da viga. No caso de uma viga simplesmente apoiada, podemos considerar como primeira aproximac¸ ˜ao a func¸ ˜ao: [4]

φ_y(x^∗) = sin(π x^∗

L ) (4.15)

A func¸ ˜ao sinusoidal 4.38 ´e uma soluc¸ ˜ao exata para uma viga simplesmente apoiada para a an ´alise linear de estabilidade e para a an ´alise de vibrac¸ ˜oes livres, mas n ˜ao ´e uma soluc¸ ˜ao exata da an ´alise linear. A func¸ ˜ao espacial ou func¸ ˜ao de aproximac¸ ˜ao escolhida, tem de satisfazer todas as condic¸ ˜oes de fronteira (essenciais e naturais) da viga.

Figura 4.4: Modelo din ˆamico da via. Vista esquem ´atica em corte. Todas as coordenadas representadas nesta figura s ˜ao desvios em relac¸ ˜ao `a posic¸ ˜ao de equil´ıbrio.

Utilizando estas express ˜oes como as func¸ ˜oes espaciais para a din ˆamica dos carris, ´e poss´ıvel, substituindo-as nas express ˜oesK,CeMrda express ˜ao 4.33, encontrar valores m ´edios para os coe-ficientes dos carris. O uso dos valores m ´edios em vez dos valores instant ˆaneos deK,C eMr ´e uma simplificac¸ ˜ao, a qual permite evitar c ´alculos complexos e consequentemente o consumo de recursos computacionais. Sendo assim podemos calcular o variac¸ ˜ao da posic¸ ˜ao vertical dos carris usando o ODE solverpara resolver as seguintes express ˜oes diferenciais:

KzzR_1A+Cz

K_zz_R2A+C_zdzR_2A Para as variac¸ ˜oes lateraisy teremos uma formulac¸ ˜ao semelhante, sendo que os coeficientesK,C eMRdiferem devido `a func¸ ˜ao de forma da via para a direc¸ ˜aoyser diferente.

KyyR_1A+Cy A via pode ser tratada como um sistema de duas massas conectadas por molas e amortecedo-res sujeito a forc¸as externas, como se encontra repamortecedo-resentado na figura 4.4. ´E poss´ıvel relacionar as variac¸ ˜oes posicionais do sistema de massas da via, a partir das express ˜oes diferenciais (4.15), (4.16) e das forc¸as que atuam nas massas.

Apenas existem variac¸ ˜oes laterais na travessa pois considera-se que as variac¸ ˜oes verticais do ba-lastro est ˜ao representadas nas express ˜oes da deformac¸ ˜ao do carril.

4.4.3 Perturbac¸ ˜ oes Geom ´etricas da Via

Neste trabalho, investigaram-se perturbac¸ ˜oes geom ´etricas da via:

• harm ´onicas, com amplitude e comprimento de onda constantes, para testar o algoritmo e estudar as func¸ ˜oes de resposta em frequ ˆencia;

• irregulares, constitu´ıdas pela sobreposic¸ ˜ao de um grande n ´umero de componentes harm ´onicas, representativas da densidade espectral, conforme foi j ´a explicado no cap´ıtulo 2.2

The Manchester Benchmarks for Rail Vehicle Simulation, referido na secc¸ ˜ao 5.2, prop ˜oe um conjunto de condic¸ ˜oes standard para comparac¸ ˜ao de programas de din ˆamica de ve´ıculos ferrovi ´arios. Entre es-tas condic¸ ˜oes, temos o teste do modelo num ´erico com cinco perturbac¸ ˜oes sinusoidais [11]. A express ˜ao que representa uma perturbac¸ ˜ao sinusoidal nos carris por baixo do eixo1em func¸ ˜ao do tempo ´e:

ε1(t) =Atksin 2π Vtr

λ t

!

(4.27)

O eixo traseiro passa pelas mesmas perturbac¸ ˜oes com uma desfasagem no tempo,L/Vtr, em queL

´e a dist ˆancia entre eixos. A express ˜ao das perturbac¸ ˜oes sinusoidais no carril por baixo do eixo traseiro

´e: Estas express ˜oes aplicam-se a cada componente de comprimento de ondaλde um espectro de perturbac¸ ˜oes. As componentes espectrais da via, de acordo com o modelo (2.12), s ˜ao calculadas usando a seguinte metodologia:

• Os valores deΩ_c,Ω_reA, correspondentes `as propriedades do carril, s ˜ao conhecidos para a linha em estudo;

• O n ´umero de ondaΩde cada perturbac¸ ˜ao ´eΩ_tk= 2π/λ_tk, sendoλ_tko comprimento de onda da perturbac¸ ˜ao (´ındicek; o ´ındicet ´e a abreviatura de track).

• As perturbac¸ ˜oes espectrais da viaSy(Ω) eSz(Ω) s ˜ao calculados substituindo os valores deΩtk

na express ˜ao 2.12.

• Os valores m ´ediosSy(Ω),Sz(Ω)eΩtks ˜ao calculados.

• Utilizando-se a express ˜ao 4.27 e 4.28 como base, calculam-se os valores da amplitudeε1_λ para cadaλtkpara o instante de tempo t, express ˜oes 4.29 e 4.30.

• Finalmente, somam-se todos os valores das amplitudes obtidos para cada λtk, obtendo-se a amplitude das perturbac¸ ˜oes para o instante de tempit,ε₁(t)eε₂(t). Na figura 2.4 est ˜ao representadas as perturbac¸ ˜oes espectrais para os valores referidos no capitulo 2.2. [2]