LISTA DE SÍMBOLOS Arábicos
2. TEORIA E REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
2.3. ÂNGULO DE CONTATO ESTÁTICO E DINÂMICO
2.3.1. Modelagem da curvatura da interface na linha de contato A modelagem do ângulo de contato é necessária, pois ele afeta
duas propriedades da interface na linha de contato:
A curvatura da interface, que impacta no cálculo da força devida à tensão interfacial, conforme discutido anteriormente;
O vetor normal à interface, o qual também é considerado no cálculo dessa força, mas que também é empregado na etapa de reconstrução da interface no método VOF, como será apresentado no próximo capítulo.
Na literatura sobre a modelagem desses dois parâmetros a partir do ângulo de contato em simulações utilizando o método VOF, são encontrados trabalhos que empregam desde modelos baseados na equação de Young até implementações com Funções Altura.
Em um dos métodos empregados por Renardy, Renardy e Li (2001) para considerar o efeito do ângulo de contato nas simulações, a fração volumétrica é extrapolada para os volumes fantasmas, localizados atrás da superfície sólida. Então força-se que o vetor normal à interface – obtido a partir de uma aproximação por diferenças finitas – honre a inclinação imposta pelo ângulo de contato.
Já no trabalho de Yokoi et al. (2009), a interface é extrapolada por meio de uma equação de transporte para a função level-set (uma espécie de curva de nível baseada na magnitude da fração volumétrica). Nesta equação, é considerada uma “velocidade de extensão”, cujo valor depende do ângulo de contato e do vetor normal à parede.
Como demonstrado em alguns trabalhos publicados na última década (VAN MOURIK, 2002; AFKHAMI; BUSSMANN, 2007; VELDMAN et al., 2007; AFKHAMI; BUSSMANN, 2008; AFKHAMI; ZALESLKI; BUSSMANN, 2009), o método de Funções Altura (Height
Functions – HF) pode ser estendido para estimar a curvatura e o vetor
normal à interface nos volumes próximos à fronteira sólida. Tendo em vista os resultados da avaliação dos diferentes modelos de curvatura na seção sobre o tratamento numérico deste parâmetro, optou-se por aplicar o método HF também à modelagem dos efeitos do ângulo de contato.
Neste método, o ângulo de contato é considerado na extrapolação da função altura para uma linha/coluna fantasma (Hfantasma), vizinha
imediata da superfície sólida. Como é feito para o cálculo da curvatura no restante do domínio, a direção do estêncil utilizado no cálculo da função altura é definida pela direção de maior variação da fração volumétrica. Ou seja, caso o ângulo de contato esteja entre 45° e 135°, será definido um estêncil paralelo à parede. Na situação ilustrada na Figura 10 (a), esse estêncil possui 7 x 3 volumes, sendo a sua primeira linha composta por volumes fantasmas. Por outro lado, se o ângulo for menor do que 45° ou maior do que 135°, será selecionado um estêncil perpendicular à parede (para a situação ilustrada na Figura 10 (b), o estêncil possui 3 x 5 volumes). Neste caso, para o cálculo da função altura do volume que contém a linha de contato será necessário extrapolar a interface para o volume fantasma imediatamente vizinho a ele, conforme mostrado nas Figura 10 (b) e Figura 11. Aos demais volumes fantasmas será atribuída fração volumétrica igual a 1 ou 0, dependendo da posição da interface.
Na Figura 10, Hcl é a função altura para o volume contendo a
linha de contato (denominado volumecl) e Hfantasma é a função altura para
o volume fantasma. No primeiro caso ilustrado nessa figura, a extrapolação de Hcl considerando o ângulo de contato resulta em
fantasma cl y H H tg . (2.41)
(a) 45 135: estêncil paralelo à parede.
(b) 45 ou 135: estêncil perpendicular à parede. Figura 10. Estênceis para o cálculo da função altura no volume fantasma
Já para a segunda situação,
fantasma cl
H H x tg. (2.42) É importante destacar um aspecto no cálculo dessa função altura, que poderá impactar negativamente na sua estimativa. Quando um estêncil perpendicular à parede é tomado, duas aproximações são realizadas: a primeira consiste na extrapolação da interface do volume contendo a linha de contato para o volume fantasma (Figura 11) e a segunda é a própria extrapolação de Hcl para a determinação de Hfantasma.
Ou seja, o erro resultante desta estimativa é maior do que o erro quando um estêncil paralelo à parede é empregado, uma vez que nesse caso apenas Hcl é extrapolada. Como será apresentado no quinto capítulo,
essas duas aproximações para o estêncil perpendicular serão responsáveis pela geração de correntes espúrias de maior intensidade para uma faixa de valores do ângulo de contato. Estes resultados motivaram a proposição de uma modificação no método, apresentada neste trabalho no quinto capítulo.
Após a obtenção de Hfantasma, as derivadas de primeira e segunda
ordens da função altura são calculadas aproximando-as por diferenças finitas. Para a Figura 10 (b), essas derivadas são expressas por:
1 fantasma x H H H 2 x , (2.43)
1 cl fantasma xx 2 H 2H H H x . (2.44)Essas derivadas participam, por sua vez, tanto do cálculo do vetor normal à interface quanto da curvatura da interface no volume contendo a linha de contato. Esses parâmetros, para a situação ilustrada na Figura 10 (b), são dados respectivamente por:
H , 1x
n (2.45) e xx 3 2 2 x H 1 H . (2.46)Como pode ser verificado da descrição apresentada do método, trata-se de uma abordagem bastante simples globalmente para estimar os parâmetros da interface nos volumes que contêm a linha de contato. Entretanto, tal visão é superficial e quando uma análise mais aprofundada do algoritmo é realizada, constata-se que suas dificuldades residem em detalhes do algoritmo, tais como:
Discriminação entre os volumes que contêm a linha de contato (volumescl) daqueles que contêm apenas a interface,
mas que também são vizinhos à parede (Figura 11);
Entre esses volumes que contêm a interface mas que não contêm a linha de contato, deve-se diferenciar aqueles que são imediatamente vizinhos aos volumescl (volumesadjacente) e
que são, portanto, afetados diretamente pelo ângulo de contato, daqueles que também contêm a interface mas que são apenas vizinhos à parede e não vizinhos imediatos do volumecl (volumesparede);
Extrapolação da interface do volumecl para o volume
fantasma, necessária quando o estêncil é perpendicular à parede.
Figura 11. Classificação dos volumes vizinhos à parede. A cor verde indica o campo de fração volumétrica do fluido 1 e as linhas tracejadas indicam volumes
Como mencionado anteriormente, deve-se estender a metodologia do cálculo da curvatura e do vetor normal à interface aos volumes que contêm a interface, são vizinhos à parede e vizinhos imediatos de volumecl. Tais volumes são denominados volumeadjacente.
O procedimento de cálculo das funções altura para o volumeadjacente é muito semelhante àquele para o volumecl, sendo que a
única diferença entre eles ocorre quando o estêncil é perpendicular à parede: neste caso, a função altura do volume fantasma não é necessária. O algoritmo desse procedimento é explicado mais detalhadamente no Apêndice A.
Assim como para o volumecl, o cálculo de Hcl para o
volumeadjacente também exibe maiores erros quando um estêncil
perpendicular à parede é empregado, devido à extrapolação da interface mencionada anteriormente. A proposição de uma modificação, que será apresentada adiante, do método também visa a atenuar tal problema nos cálculos para o volumeadjacente.
Por fim, há ainda um terceiro tipo de volume que contém a interface e que é vizinho à parede: o volumeparede. Este volume é
caracterizado por não possuir a linha de contato, nem ser vizinho imediato ao volumecl (Figura 11). O algoritmo para o cálculo dos
parâmetros da interface para esse volume também é apresentado no Apêndice A.
Ao contrário dos dois volumes anteriores, quando um estêncil perpendicular à parede é utilizado, os erros são menores porque não há as duas extrapolações mencionadas anteriormente. Apenas quando um estêncil paralelo à parede é tomado é que se faz necessário extrapolar a interface.