PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM
ENGENHARIA MECÂNICA
MODELAGEM NUMÉRICA DE PARÂMETROS DA
INTERFACE E SUA APLICAÇÃO NA SIMULAÇÃO DO
EFEITO JAMIN
Tese submetida à
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
para a obtenção do grau de
DOUTOR EM ENGENHARIA MECÂNICA
KARIME LOUISE ZENEDIN GLITZ
MODELAGEM NUMÉRICA DE PARÂMETROS DA INTERFACE E SUA APLICAÇÃO NA SIMULAÇÃO DO
EFEITO JAMIN
Tese submetida ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica da Universidade Federal de Santa Catarina para a obtenção do grau de Doutor em Engenharia Mecânica.
Orientador: António Fábio Carvalho da Silva, Dr. Eng. Coorientador: Clovis Raimundo Maliska, Ph.D
Florianópolis 2012
MODELAGEM NUMÉRICA DE PARÂMETROS DA INTERFACE E SUA APLICAÇÃO NA SIMULAÇÃO DO
EFEITO JAMIN
Esta tese foi julgada aprovada para a obtenção do título “Doutor em Engenharia Mecânica”, e aprovada em sua forma final pelo Curso de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica
Florianópolis, 8 de outubro de 2012 _______________________________________ Prof. Júlio César Passos, Dr. - Coordenador do Curso Banca Examinadora:
_________________________________ Prof. António Fábio Carvalho da Silva, Dr. Eng.
Orientador - Presidente
_________________________________ Prof. Clovis Raimundo Maliska, Ph.D.
Coorientador
_________________________________ Prof. Aristeu da Silveira Neto, Dr. - Relator
__________________________________ Prof. João Flávio Vieira de Vasconcellos, Dr. Eng.
__________________________________ Prof. Emilio Ernesto Paladino, Dr. Eng. __________________________________
Prof. Fabiano Gilberto Wolf, Dr. Eng. __________________________________
AGRADECIMENTOS
Ao Professor António Fábio Carvalho da Silva pela orientação, pelas discussões proporcionadas, pelo tempo despendido conferindo linhas de código computacional comigo quando algum problema parecia insolúvel e, principalmente, pela paciência e dedicação acompanhando à distância a conclusão desta tese. Agradeço também ao Professor Clovis Raimundo Maliska pelas sugestões e ideias em alguns momentos cruciais desta tese.
Aos colegas e amigos do SINMEC, em especial aos engenheiros Bruno Terêncio e Arthur Soprano pelo auxílio no projeto FINEP-Magnesita, aos engenheiros Jaime Ambrus, Elisa Formentin, Fernando Hurtado, Gustavo G. Ribeiro, Umberto Sansoni Jr., Aymar Pescador Jr. e Mauricio Tada pelo apoio, convívio e discussões técnicas.
À secretária Tatiane C. M. Schveitzer e ao pesquisador visitante Axel Dihlmann, cujos trabalhos são indispensáveis para proporcionar um ambiente propício ao desenvolvimento de todas as teses e dissertações do SINMEC e também pelo apoio à distância nos últimos meses de desenvolvimento deste trabalho.
À Petrobras e aos colegas de empresa, pelos ensinamentos, incentivo e companheirismo. Agradeço em especial à minha gerente, Flávia Pacheco, por acreditar na conclusão desta tese e apoiá-la e ao engenheiro e consultor Régis Kruel Romeu pela motivação em momentos difíceis, pela leitura desta tese, sugestões e discussões, pelos ensinamentos diários e, principalmente, pela amizade.
Ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica pela oportunidade de qualificação e ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) por financiar a maior parte desta tese.
Aos meus pais e ao meu irmão pelo amor, apoio incondicional e paciência. E ao meu marido Carlos Newmar Donatti pelo amor, motivação, apoio em todos os aspectos e por me acompanhar nessa jornada.
i SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO 1 1.1. MOTIVAÇÃO 5 1.2. OBJETIVO 6 1.3. ESTRUTURA DA TESE 7
2. TEORIA E REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 9
2.1. ESCOAMENTOS MULTIFÁSICOS 9
2.2. EFEITOS INTERFACIAIS 11
2.2.1. Delta de Dirac 17
2.2.2. Vetor normal à interface 17
2.2.3. Curvatura da interface 19
2.3. ÂNGULO DE CONTATO ESTÁTICO E DINÂMICO 29
2.3.1. Modelagem da curvatura da interface na linha de
contato 37
2.4. EFEITO JAMIN 42
3. MODELO COMPUTACIONAL 51
3.1. MÉTODO DOS VOLUMES FINITOS 52
3.2. TRATAMENTO NUMÉRICO DA INTERFACE: MÉTODO VOF 62
3.3. CONDIÇÕES DE CONTORNO 71
3.3.1. Condição de parede impermeável sem
escorregamento (no-slip) 71
3.3.2. Condição de parede impermeável com
escorregamento (free-slip) 71
3.3.3. Condição de contorno periódica 72
3.3.4. Condição de abertura (opening) 72
3.4. VALIDAÇÃO DO CÓDIGO COMPUTACIONAL 73
3.4.1. Rompimento de uma barragem (broken dam) 73
3.4.2. Rompimento de uma barragem com obstáculo (broken
dam with an obstacle) 77
3.4.3. Instabilidade de Rayleigh-Taylor 81
3.5. CONCLUSÕES 85
4. TRATAMENTO NUMÉRICO DOS EFEITOS INTERFACIAIS 87
4.1. MÉTODO HF2 87
4.2. COMPONENTES DA FORÇA DEVIDA À TENSÃO INTERFACIAL 92
4.3. AVALIAÇÃO DOS MODELOS DE CURVATURA 93
ii
4.3.2. Bolha ascendente em um fluido em repouso 106
4.3.3. Onda capilar 121
4.4. CONCLUSÕES 125
5. MODELAGEM NUMÉRICA DO ÂNGULO DE CONTATO 128
5.1. GOTA ESTÁTICA 128
5.2. GOTA EM DESEQUILÍBRIO 153
5.3. CONCLUSÕES 161
6. PARALELIZAÇÃO 162
6.1. ROMPIMENTO DE UMA BARRAGEM COM OBSTÁCULO (BROKEN DAM
WITH AN OBSTACLE): 170
6.2. ROMPIMENTO DE UMA BARRAGEM SEM OBSTÁCULO (BROKEN DAM) 177
6.3. BOLHA ASCENDENTE 183
6.4. CONCLUSÕES 190
7. MODELO NUMÉRICO DO EFEITO JAMIN 192
7.1. MODELO NUMÉRICO 192
7.1.1. Dinâmica do escoamento 195
7.1.2. Força de adesão 225
7.2. SIMULAÇÕES NUMÉRICAS, RESULTADOS E VALIDAÇÃO 229
A evolução dos 231
7.2.1. Configuração padrão do modelo 232
7.2.2. Evolução das forças e dos ângulos de contato 234
7.2.3. Velocidade terminal 239
7.2.4. Diferença de pressão crítica 243
7.2.5. Gota desacelerando 256
7.2.6. Dificuldades presentes na simulação do efeito Jamin
258
7.3. CONCLUSÕES 263
8. CONCLUSÕES E CONTRIBUIÇÕES 268
8.1. CONTRIBUIÇÕES 273
8.2. SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS 274
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 276
iii LISTA DE FIGURAS
Figura 1. Gota de água sobre uma folha. ... 11 Figura 2. Comparação entre os resultados de duas simulações bidimensionais de uma bolha ascendente: (a) considerando e (b) desprezando a tensão interfacial. ... 12
Figura 3. Forças de coesão agindo sobre as moléculas de um líquido (ISENBERG, 1992). ... 13 Figura 4. Valores de alguns parâmetros da interface para um domínio com dois fluidos. ... 15 Figura 5. Componentes do vetor normal à interface. ... 18 Figura 6. Comportamento do núcleo de sexta ordem utilizado na operação de convolução. ... 22
Figura 7. Campo de fração volumétrica e estêncil utilizado para o cálculo da função altura. ... 25
Figura 8. Limites do volume (i,j). ... 27 Figura 9. Gota em equilíbrio termodinâmico. ... 30 Figura 10. Estênceis para o cálculo da função altura no volume fantasma (Hfantasma). A região verde indica o fluido 1. ... 39
Figura 11. Classificação dos volumes vizinhos à parede. A cor verde indica o campo de fração volumétrica do fluido 1 e as linhas tracejadas indicam volumes fantasmas abaixo da superfície. ... 41
Figura 12. Dois canais interligados: a diferença de pressão que causa o escoamento do fluido 2 provoca a deformação das interfaces da gota do fluido 1, que se encontra presa às paredes do canal. ... 43 Figura 13. Deformação da gota, que adquire diferentes ângulos de contato, conduzindo à geração de uma diferença de pressão capilar. Nesta situação, PW>PE. ... 44
Figura 14. Pressão em alguns pontos ao longo do canal para uma situação hipotética. Os ângulos de contato de recuo e de avanço valem 110° e 120°, respectivamente, e equivalem aos valores críticos dessa variável. ... 46
Figura 15. Componente do dispositivo gerador de gotas atuando como válvula capilar por meio do efeito Jamin (BOUKELLAL et al., 2009). O fluido escuro é água. ... 47 Figura 16. (a) Foto da gota em repouso e (b) variação da velocidade da gota com a ∆P aplicada: pontos vermelhos indicam a injeção de óleo FC3283 e os pontos azuis indicam a injeção de uma mistura desse óleo com surfactante (BOUKELLAL et al., 2009). ... 48
iv
Figura 17. Malha para as variáveis P, f , 1 f , 2 e . ... 53
Figura 18. Malhas para (a) a componente horizontal da velocidade e (b) para a componente vertical. ... 54 Figura 19. Algoritmo para a determinação de u, v e P. ... 61 Figura 20. Pontos empregados na determinação do vetor normal à interface no vértice inferior esquerdo do volume. ... 64
Figura 21. Aproximação da interface por segmentos de reta. ... 65 Figura 22. Procedimento de determinação da fração volumétrica do fluido 1 que será advectada pela fronteira leste do volume de controle. ... 66 Figura 23. Algoritmo de mapeamento da interface. ... 69 Figura 24. Fluxograma da solução do escoamento acoplado ao campo de fração volumétrica. ... 70
Figura 25. Variáveis a que são atribuídas as condições expressas em (3.29). ... 71 Figura 26. Configuração inicial do problema da broken dam. .. 74 Figura 27. Resultados para o escoamento da broken dam: (a) Posição da frente de água e (b) Altura máxima da camada de água em função do tempo. ... 76 Figura 28. Configuração inicial do problema da broken dam com obstáculo. ... 77
Figura 29. Configuração inicial dos fluidos para a simulação da instabilidade de Rayleigh-Taylor. Esta figura está fora de escala. ... 82
Figura 30. Desenvolvimento da instabilidade de Rayleigh-Taylor. A sequência superior de imagens mostra os resultados obtidos com o código próprio, enquanto que os resultados obtidos com o
software ANSYS CFX® 11.0 são apresentados na sequência inferior. 84
Figura 31. Comparação da forma e da posição da interface em 0,4 s. ... 85 Figura 32. (a) Campo de velocidades espúrias e (b) Campo de erros da curvatura para o caso da gota estática utilizando o método HF para avaliar a curvatura da interface (malha com 160x160 volumes). .. 89
Figura 33. Exemplos de volumes em que a condição para a função altura não é satisfeita. ... 90 Figura 34. Gota estática em equilíbrio. ... 94 Figura 35. Normas dos erros para o caso Invíscido 1 após um passo de tempo: (a) norma L e (b) norma L2 da velocidade, (c) Erro ∆Ptotal, (d) erro ∆Pparcial e (e) norma L da curvatura avaliada nas faces do 2
v
Figura 36. Norma L dos erros da velocidade: Casos (a) Viscoso 2
1, (b) Invíscido 2 e (c) Viscoso 2. ... 101 Figura 37. Evolução temporal de TKE para os casos (a) Invíscido 1 e (b) Viscoso 1 após 500 passos de tempo e (c) para o caso Invíscido 1 após 2000 passos de tempo. ... 103 Figura 38. Campo de f após 500 passos de tempo para o caso Invíscido 1: (a) método HF e (b) técnica da convolução (d=1,9∆x0,5). 105
Figura 39. Bolha ascendente... 106 Figura 40. Interface da bolha do caso Francois obtida com (a) método HF, (b) HF2 (Rfiltro = 0,15), (c) técnica da convolução (d=3∆x),
(d) HF-fc (d=6∆x), (e) HF-fc (d=1,9∆x0,5) e (f) HF-fc modificado (d=6∆x exp[-10t]). ... 109 Figura 41. Comparação entre os resultados obtidos com o método HF (linha contínua) e com o software ANSYS CFX® 12.0 (linha tracejada): (a), (c) e (e) malha com 40 x 60 volumes; (b), (d) e (f) malha com 80 x 120 volumes. ... 111 Figura 42. Comparação entre a forma final da interface da bolha ascendente obtida neste trabalho (linha contínua) e por Ginzburg e Wittum (linha vermelha tracejada). Cada letra corresponde a um dos casos listados na Tabela 4-3. ... 113 Figura 43. Linhas de corrente do caso Ginzburg/Unverdi. ... 116 Figura 44. Bolha do caso E em t = 0,09 s obtida com (a) método HF e (b) técnica da convolução (d=3∆x). ... 120
Figura 45. Configuração inicial do escoamento de uma onda capilar. ... 121
Figura 46. Evolução temporal do módulo da amplitude: (a) modelo HF e (b) modelo HF-fc modificado. ... 125 Figura 47. Volumes em que há a determinação da curvatura da interface junto à parede. ... 128 Figura 48. Caso-teste da gota estática adaptado para o problema do ângulo de contato. ... 129
Figura 49. Norma L2 da curvatura da interface nos volumes
vizinhos à parede. Resultados obtidos após um único passo de tempo. ... 132
Figura 50. Módulo do erro da curvatura para os volumes que contêm a interface e são vizinhos à parede após um único passo de tempo: erros para volumecl, volumeadjacente e volumeparede. ... 136
Figura 51. Situação em que Hcl não respeita os limites da malha.
vi
Figura 52. Fluxograma modificado proposto neste trabalho para o cálculo da curvatura no volumecl. ... 139
Figura 53. Fluxograma modificado proposto neste trabalho para o cálculo da curvatura no volumeadjacente. ... 140
Figura 54. Norma L da curvatura dos volumes vizinhos à parede 2
e que contêm a interface. Resultados obtidos após um único passo de tempo para o algoritmo antigo (linhas tracejadas) e para o algoritmo modificado (linhas contínuas). ... 141 Figura 55. Módulo do erro da curvatura para os volumes que contêm a interface e são vizinhos à parede após um passo de tempo: erros para volumecl, volumeadjacente e volumeparede. Comparação entre os
resultados do algoritmo antigo (linhas tracejadas) e os resultados do algoritmo modificado (linhas contínuas). ... 144
Figura 56. Módulo das velocidades espúrias após um Δt... 145 Figura 57. Comportamento da Energia Cinética Total (TKE) ao longo do tempo (∆t = 10-3
). ... 148 Figura 58. Comportamento da Energia Cinética Total (TKE) ao longo do tempo para um ângulo igual a 150° e malha com 160 x 160 volumes. ... 149 Figura 59. Norma L1 da velocidade espúria para a gota estática
ao longo de 100 mil passos de tempo para malha com ∆x = 0,0125 m. ... 151 Figura 60. Norma L1 do erro da curvatura da interface nos
volumes vizinhos utilizando o algoritmo modificado (linha preta) e o status da alteração do estêncil para a determinação das funções altura para o volumeadjacente (linha vermelha): valor unitário indica que a
inversão do estêncil foi efetuada. ... 152 Figura 61. Configuração inicial do segundo teste: a uma gota inicialmente em equilíbrio é imposto um novo ângulo de contato. ... 154 Figura 62. Forma da gota em diferentes instantes de tempo após a imposição de novos valores de . ... 155 Figura 63. Forma da gota em equilíbrio após imposição de novos ângulos de contato. ... 156 Figura 64. Norma L1 do erro no campo de fração volumétrica
após a imposição de um novo ângulo de contato. ... 157 Figura 65. Norma L1 da velocidade após a imposição de um novo
ângulo de contato. ... 159 Figura 66. Posição da linha de contato para diferentes tamanhos de malha e 60 . ... 160
vii
Figura 67. Interface da gota após 40 mil passos de tempo. Foi imposto um novo ângulo igual a 60°. ... 160 Figura 68. Particionamento de um domínio para um problema bidimensional. ... 164
Figura 69. Algoritmo do programa serial. ... 165 Figura 70. Algoritmo do programa paralelo (GLITZ; SILVA; DONATTI; MALISKA, 2010). ... 167
Figura 71. Configuração inicial do problema do rompimento da barragem com obstáculo. ... 170 Figura 72. Particionamento do domínio para o problema da
broken dam com obstáculo. ... 172
Figura 73. Campo de fração volumétrica em t = 1,25 s e linhas de referência para os gráficos das comparações entre os resultados obtidos serial e paralelamente. ... 173
Figura 74. Comparação de valores da pressão obtidos nas simulações em paralelo e em serial em t = 1,25 s. ... 174 Figura 75. Comparação de valores da componente horizontal da velocidade obtidos nas simulações em paralelo e em serial em t = 1,25 s. ... 175
Figura 76. Comparação de valores da componente vertical da velocidade obtidos nas simulações em paralelo e em serial em t = 1,25 s. ... 176 Figura 77. Configuração inicial do problema da broken dam sem obstáculo. ... 177
Figura 78. Particionamento do domínio do problema da broken
dam sem obstáculo. ... 178
Figura 79. Tempo total de computação e fator de speed-up em função do número de processadores para o problema da broken dam sem obstáculo. ... 180 Figura 80. Algoritmo serial alternativo. ... 182 Figura 81. Configuração inicial do problema da bolha ascendente. ... 184
Figura 82. Particionamento do domínio do problema da bolha ascendente. ... 186 Figura 83. Tempo total de computação e fator de speed-up em função do número de processadores para o problema da bolha ascendente. ... 188 Figura 84. Comparação entre os fatores de speed-up limitando a dez iterações no ciclo de paralelização (linha preta) e sem limitação (linha vermelha). ... 189
viii
Figura 85. Fluxogramas das estratégias adotadas na modelagem dos ângulos de contato quando: (a) a gota permanece presa e (b) a gota é liberada. ... 194 Figura 86. Esquema do efeito Jamin. ... 195 Figura 87. Perfil de pressão ao longo do canal em alguns instantes para um aumento infinitesimal de PW. ... 196
Figura 88. Regiões à montante e à jusante da gota. ... 198 Figura 89. Comportamento do perfil de pressão ao longo do tempo para a situação em que a gota é desprendida do canal quando o fluido em seu interior está acelerando ... 202 Figura 90. Distribuição da pressão à montante e à jusante da gota ao longo de y. ... 203 Figura 91. Campos das componentes da velocidade (em m/s) em diferentes instantes para ΔP=300 Pa. ... 205 Figura 92. Comportamento do perfil de pressão ao longo do tempo para a situação em que a gota é desprendida do canal quando o fluido em seu interior está desacelerando. ... 210
Figura 93. Campos das componentes da velocidade (em m/s) em diferentes instantes para ΔP=120 Pa. ... 214 Figura 94. Velocidade média do fluido na gota em função do tempo. ... 216 Figura 95. Instante de tempo em que a gota é liberada em função da ∆P aplicada ao canal. ... 217 Figura 96. Comportamento do perfil de pressão ao longo do tempo para a situação em que a gota permanece presa. ... 221
Figura 97. Comportamento da velocidade média do fluido no interior da gota até 20 mil ∆t e perfis de pressão em alguns instantes. 222 Figura 98. Comportamento das forças de adesão e devido à diferença de pressão aplicada ao canal. Também são ilustrados os comportamentos dos ângulos de contato em função do tempo. As linhas tracejadas cinzas correspondem aos ângulos de contato críticos (111° e 138°)... 223
Figura 99. Esquema de diferentes momentos em que a gota pode ser desprendida... 224
Figura 100. Forças devido à tensão interfacial atuando nas linhas de contato de uma gota deformada. A componente na horizontal da resultante dessas forças corresponde à força de adesão, que se contrapõe ao movimento da gota. ... 226 Figura 101. Esquema de uma gota simétrica em equilíbrio. As pressões à montante e à jusante da gota são iguais. ... 227
ix
Figura 102. Campos de fração volumétrica (f) e da componente horizontal da força devida à tensão interfacial (Fsv,x) calculada pelo
método CSF para cada volume de controle. A área colorida ilustra uma parte da gota, que abrange metade da primeira interface. ... 228
Figura 103. Configuração do problema do efeito Jamin. A simulação é inicializada com uma gota simétrica. ... 230
Figura 104. Evolução dos ângulos de contato ao longo do tempo para ∆P igual a 300 Pa. Quando os ângulos críticos são atingidos, as linhas de contato são liberadas. ... 231 Figura 105. Domínio e configuração inicial do problema. ... 234 Figura 106. Evolução ao longo do tempo das forças de adesão (em módulo) e devido à diferença de pressão na gota para a situação em que ela permanece presa às paredes do canal. Nesta situação, foi aplicada uma diferença de pressão no canal de 50 Pa. Nessa figura também são mostradas as formas inicial e final da gota... 235
Figura 107. Comportamento dos ângulos de contato ao longo do tempo para a mesma simulação da Figura 106. ... 236 Figura 108. Evolução ao longo do tempo das forças de adesão (em módulo) e devido à diferença de pressão na gota para a situação em que ela é deslocada pelo óleo injetado quando uma diferença de pressão de 300 Pa é aplicada no canal. ... 237 Figura 109. Volume de controle envolvendo a gota. ... 238 Figura 110. Volumes em que a pressão à montante da gota é avaliada para o cálculo da força devido à diferença de pressão. Nesta figura, “f” indica a fração volumétrica de água no volume e “P” indica a pressão em Pa. O perfil de pressão ilustrado corresponde ao perfil ao longo da linha traço-ponto no esquema da gota. ... 239 Figura 111. Comparação entre a velocidade média da gota obtida do programa desenvolvido neste trabalho (linha vermelha) e a velocidade terminal da gota calculada pela equação (7.10) (linha preta). ... 241 Figura 112. Comparação entre a forma inicial (linha vermelha) e a forma final da gota quando a velocidade terminal é atingida (linha preta) para diferentes valores da diferença de pressão aplicada ao canal. ... 242
Figura 113. Comportamento dos ângulos de contato (linhas tracejadas) e da velocidade média da gota (linhas contínuas) para o modelo de ângulo de contato dinâmico original (em vermelho) e para o modelo modificado (em preto). Esses resultados foram obtidos de
x
simulações com uma malha com 800 x 20 volumes e uma diferença de 300 Pa aplicada ao canal. ... 243 Figura 114. Velocidade terminal da gota em função da diferença de pressão no canal. A ∆P crítica vale 103 Pa. ... 245 Figura 115. Velocidade terminal da gota em função da diferença de pressão no canal para três tamanhos de malha. ... 247
Figura 116. Campos das componentes (a) horizontal e (b) vertical da velocidade e (c) de pressão. Esses resultados foram obtidos na simulação empregando uma malha com 1600 x 40 volumes e uma diferença de 300 Pa aplicada ao canal. A linha preta indica a interface da gota... 248 Figura 117. Linhas de corrente considerando um referencial se deslocando à velocidade média da gota. Esse resultado foi obtido na mesma simulação da Figura 116. A linha azul indica a interface. ... 249 Figura 118. Calotas da gota. ... 250 Figura 119. Velocidade terminal da gota em função da diferença de pressão aplicada no canal. Os resultados para as diferentes aproximações para o balanço de forças no canal são ilustrados: desprezando a dissipação viscosa nas calotas da gota (linha tracejada azul) e considerando-a (linhas preta e verde). ... 252 Figura 120. Contribuições das forças de adesão e viscosas na dissipação de energia do escoamento em regime permanente em função de diferentes valores de ∆P aplicados ao canal. ... 252 Figura 121. Contribuições na dissipação viscosa dos efeitos viscosos no óleo (linha preta), na gota (linha azul) e em suas calotas (linha vermelha). No eixo das ordenadas à direita, o subscrito i indica uma das três parcelas mencionadas. ... 253 Figura 122. Comportamento da velocidade média da gota em função do tempo para uma diferença de (a) 300 Pa e (b) 500 Pa aplicada ao canal: solução da equação (7.15) (preto) versus resultados da simulação (vermelho). ... 255 Figura 123. Evolução dos ângulos de contato ao longo do tempo para o caso em que a gota é desacelerada. ... 257
Figura 124. Comportamento da velocidade média da gota (linha vermelha) e do ângulo de avanço (linha tracejada preta) para o caso da gota sendo desacelerada. ... 258 Figura 125. Oscilação do ângulo de contato de avanço a partir de 135°. Nesta simulação foi considerado um ângulo de contato inicial de 130° e uma diferença de pressão no canal de 150 Pa. Considerou-se um
xi
canal com comprimento de 1,4184 mm (oito vezes maior que sua altura). ... 259 Figura 126. Salto não-físico na força de adesão e na força devido à diferença de pressão em 4,95x10-4 s, quando a gota já foi liberada. Este resultado corresponde à mesma simulação da Figura 125. Considerou-se que os ângulos de contato são mantidos constantes após a liberação das linhas de contato. Essa figura foi obtida empregando-se o algoritmo original, sem qualquer inversão do estêncil para corrigir as oscilações no ângulo de avanço... 260 Figura 127. Fluxograma da solução do problema serial. ... 262 Figura 128. Efeito Jamin em um canal convergente. ... 275 Figura 129. Fluxograma para a determinação da curvatura e das componentes do vetor normal à interface no volumecl. ... 287
Figura 130. Fluxograma para a determinação da curvatura e das componentes do vetor normal à interface para o volumeadjacente. ... 289
Figura 131. Estêncil perpendicular à parede para o cálculo da função altura do volumeadjacente (H1). ... 290
Figura 132. Estênceis para o cálculo das funções altura envolvendo o volumeparede. ... 290
Figura 133. Fluxograma para a determinação da curvatura e das componentes do vetor normal à interface para o volumeparede. ... 291
xiii LISTA DE SIGLAS CSF : Continuum Surface Force
HF : Height Functions (Funções Altura) HF-fc : Método HF com filtro por convolução
MMS : Method of Manufactured Solutions (Método das Soluções Manufaturadas)
PDMS : Dimetil polissiloxano
PLIC : Piecewise-linear interface calculation PRIME : Pressure Implicit Momentum Explicit TDMA : Tri-diagonal matrix algorithm VOF : Volume of fluid
xv
LISTA DE SÍMBOLOS Arábicos
a0 Amplitude inicial da perturbação m
A0 Amplitude inicial da perturbação m
A Coeficiente da matriz
b Componente da força de corpo b Forças de corpo
B Termo fonte
d Comprimento de atuação do núcleo da operação de convolução m D Diâmetro da bolha m Dh Diâmetro da gota m f Diâmetro hidráulico Fator de fricção
Fadesão Força de adesão N
FQM Taxa de variação da quantidade de movimento N
Fsv Força devido à tensão interfacial N
g Componente da aceleração da gravidade m/s²
g Aceleração da gravidade m/s²
h Função altura m
hinf Limite inferior da malha, que deve ser respeitado pela
função altura
m
hsup Limite superior da malha, que deve ser respeitado pela
função altura
M
H Função altura m
Altura do domínio m
H Altura do domínio m
H0 Altura inicial da coluna de água no problema da
broken dam
m
Posição inicial da bolha na direção vertical m
Hcl Função altura na linha/coluna que contém a linha de
contato
m
Hfantasma Função altura na linha/coluna fantasma m
H1 Função altura na linha/coluna adjacente à linha/coluna
xvi I Tensor identidade
K Núcleo da operação de convolução
L Comprimento do domínio m
L Comprimento do domínio m
L0 Comprimento inicial da coluna de água no problema
da broken dam
m
Posição inicial da bolha na direção horizontal m Lgota Comprimento da gota em contato com a parede do
canal m M Massa kg m Fluxo de massa kg/s M Massa kg M Número de Morton
N Componente do vetor normal à interface m-1
N Vetor normal à interface m-1
N Número de volumes
Nwall_int Número de volumes vizinhos à parede que contêm a
interface
ˆn Componente do vetor unitário normal à interface ˆn Vetor unitário normal à interface
P Pressão Pa
Ordem de precisão
P Pressão Pa
PE Pressão na saída do canal Pa
PW Pressão na entrada do canal Pa
Pmontante Pressão à montante da gota Pa
Pjusante Pressão à jusante da gota Pa
P Tensor tensão viscoso R Razão de refino da malha
rc Raio do canal m
R Raio da gota m
Raio da bolha m
Sn Fator de speed-up
m
S Termo fonte da equação de conservação da massa
u
S Termo fonte da equação de conservação da quantidade de movimento na direção x
v
S Termo fonte da equação de conservação da quantidade de movimento na direção y
xvii
t Tempo s
T Tempo adimensionalizado
Tn Tempo computacional consumido pela simulação em
paralelo com n processadores
S Ts Tempo computacional consumido pela simulação
serial
S
T Tensor tensão
u componente da velocidade na direção x m/s
u Vetor velocidade m/s
U Velocidade característica do escoamento m/s
Ugota Velocidade média da gota m/s
Velocidade terminal da gota m/s
U Vetor velocidade m/s
v Componente da velocidade na direção y m/s
v2D Velocidade do nariz de uma bolha bidimensional m/s
V Volume m³
w Dimensão na direção perpendicular ao plano do papel m
x Coordenada na direção horizontal
x0 Posição do centro da gota m
xLC Posição da linha de contato m
y Coordenada na direção vertical Especiais Ca Número capilar Co Número de Courant Eo Número de Eötvös Oh Número de Ohnesorge Pe Número de Peclet Re Número de Reynolds We Número de Weber
Ccalota Constante de proporcionalidade
Rfiltro Raio de atuação do filtro m
Rgota Raio da gota m
gota
U Velocidade média da gota m/s
TKE Energia cinética total J
Dimensão do volume de controle m
P
Diferença de pressão Pa
c
P
xviii
, c cr P
Diferença de pressão capilar crítica Pa
gota
P
Diferença de pressão na gota Pa
calota
P
Diferença de pressão nas calotas da gota Pa
x
Dimensão do volume de controle na direção x m
y
Dimensão do volume de controle na direção y m
t
Passo no tempo s
V
Volume do volume de controle m³
f Fração volumétrica presente na porção advectada do volume
* Operação de convolução Módulo de um vetor Gregos
Fator do esquema WUDS Fator do esquema WUDS
Gradiente de pressão imposto na condição de contorno periódica Pa/m Delta de Dirac Variável genérica Constante da reta Curvatura da interface m-1 Viscosidade dinâmica Pa s Massa específica kg/m³
Massa específica média kg/m³
Coeficiente de tensão interfacial N/m
sg
Energia da interface sólido-fluido 1
sl
Energia da interface sólido-fluido 2
Ângulo de contato °
0
Ângulo de contato inicial °
d
Ângulo de contato dinâmico °
, a d
Ângulo de contato dinâmico de avanço °
, r d
Ângulo de contato dinâmico de recuo °
e
Ângulo de contato estático °
, a lib
Ângulo de contato de avanço após a liberação da gota °
, r lib
xix
, a cr
Ângulo de contato crítico de avanço °
, r cr
Ângulo de contato crítico de recuo °
Subscritos
a Avanço
e Fronteira leste
E Variável avaliada no centro do volume a leste
i Índice que indica o fluido Índice da coluna da malha
j Índice da linha da malha
I Interface
m Mistura
n Fronteira norte
nb Vizinho
N Variável avaliada no centro do volume a norte
old Relativo à iteração anterior overlap Relativo à região de sobreposição
P Variável avaliada no centro do volume de controle de sua respectiva malha
R Recuo
s Fronteira sul
S Variável avaliada no centro do volume a sul w Fronteira oeste
W Variável avaliada no centro do volume a oeste x Coordenada na direção horizontal
Diferenciação em relação a x xx Derivada segunda em relação a x xxx Derivada terceira em relação a x y Coordenada na direção vertical
Diferenciação em relação a y yy Derivada segunda em relação a y 1 Relativo ao fluido 1
xx Sobrescritos
~ Variável resultante da operação de convolução 0 Tempo anterior
N Tempo anterior
n+1 Novo instante de tempo
P Relativo à equação de conservação da massa
U Relativo à equação da conservação da quantidade de movimento em x
V Relativo à equação da conservação da quantidade de movimento em y
xxi RESUMO
O objetivo desta tese é o estudo de modelos de parâmetros da interface que permitam uma correta consideração dos efeitos interfaciais em escoamentos bidimensionais bifásicos e sua aplicação na modelagem de um problema prático: o efeito Jamin.
Em escoamentos multifásicos, a presença da interface pode alterar significativamente a dinâmica do escoamento. Esta interferência no comportamento do escoamento é ditada pelos efeitos interfaciais, podendo ser pronunciada em situações em que o coeficiente de tensão interfacial entre os fluidos é alto ou ainda quando o escoamento ocorre em um domínio com pequenas dimensões.
Pode-se prever o comportamento de tais escoamentos por meio de sua simulação numérica. Nessas simulações, os efeitos da tensão interfacial são contabilizados por meio de uma força adicionada às equações de conservação da quantidade de movimento. Como será mostrado ao longo desta tese, essa força depende da modelagem da curvatura da interface. Além disso, para uma correta aplicação dos efeitos da tensão interfacial é necessário conhecer a forma e a posição da interface ao longo do tempo.
Neste estudo foi desenvolvido um código computacional próprio capaz de prever a posição e a forma da interface empregando os métodos Volume of fluid (VOF) e Piecewise-linear Interface
Calculation (PLIC) para a captura da interface. Foram então avaliados
três modelos publicados na literatura para descrever a curvatura da interface no seio dos fluidos: o método de Funções Altura (Height
Functions – HF), a técnica da Convolução e o método HF com filtro por
convolução (HF-fc). Constatou-se nessa avaliação que, a partir do quarto nível de refino da malha, os erros obtidos com o método HF aumentaram. Uma análise mais detalhada desses resultados permitiu identificar que esse crescimento do erro, consequente da geração de correntes espúrias, está relacionado a uma anisotropia local do campo de curvatura.
Visando à redução de tais erros, dois novos métodos são propostos neste trabalho. Seus desempenhos são avaliados em termos do comportamento do erro da curvatura e da capacidade de amortecimento de correntes espúrias.
Estudou-se também a modelagem da curvatura da interface em situações em que há o seu contato com uma superfície sólida. Nesta
xxii
etapa foi proposta uma modificação ao método HF para novamente combater o crescimento do erro com o refino da malha.
Tendo em vista os altos tempos computacionais das simulações desenvolveu-se um algoritmo de paralelização, que resolve o escoamento pelo particionamento do domínio.
Por fim, aplicou-se a metodologia aqui estudada na reprodução de um fenômeno de suma importância para a Engenharia de Reservatórios de Petróleo: o efeito Jamin.
Dentre outras conclusões extraídas da simulação do efeito Jamin, verificou-se que uma expressão elaborada a partir de um balanço de forças no canal permite a determinação do comportamento da velocidade média da gota ao longo do tempo, até que seja atingido o seu valor terminal. Essa expressão foi validada pelos resultados numéricos obtidos nesta tese.
Palavras-chaves: VOF, curvatura da interface, escoamento multifásico, Volumes Finitos, paralelização, efeito Jamin.
xxiii ABSTRACT
This thesis aims to model some of the interface parameters which affect the capillary effects in two-phase flows, and to reproduce the Jamin effect by applying these models to its simulation.
Interfacial effects play an important role in multiphase flows in micro-domains like the micro-fluidic devices or when the magnitude of the interfacial tension coefficient is high. These effects can be modelled in numerical simulations by the addition of a body force to the momentum equations. This force depends on the interface’s curvature among other parameters, and in order to faithfully predict its effects, the position and shape of the interface should be well known.
In order to carry out this study a numerical code was developed. This code can track the position of the interface by employing the
Volume of fluid (VOF) and the Piecewise-linear Interface Calculation
(PLIC) methods. The performance of three curvature models reported in the literature was deemed: the Height Functions (HF) method, the Convolution technique and the Height Functions filtered by a convolution kernel (HF-fc). These models are able to evaluate the curvature of the interface in the bulk fluid.
In this study it was found that there is an increasing tendency in the L2 error norm of the velocity and curvature for the HF method when
fine meshes are used. This behaviour is due to the generation of spurious currents, which is associated to the local anisotropy of the curvature field. In order to mitigate the generation of such currents two new models are proposed in this work.
The evaluation of the curvature of the interface in the neighbourhood of a wall as a function of the contact angle was also studied. Again it was observed that the curvature error increases with finer meshes when the HF method is employed. This observation leads to the development of a modified algorithm which deals with this increasing error.
Another contribution of this thesis is the development of a parallelized algorithm which solves the flow by dividing the domain into sub-domains.
Lastly the methodology studied in this work is applied in the simulation of a usual problem in Oil Reservoir Engineering: the Jamin effect.
It was verified in the study of the Jamin effect that an expression derived from a balance of forces acting on the channel where the flow
xxiv
occurs can predict the temporal behavior of the drop’s velocity, as well as the value of its terminal velocity. These results were validated by the results obtained by the simulations.
Keywords: VOF, curvature of the interface, multiphase flows, Finite Volumes, parallelization, Jamin effect.
1 1. INTRODUÇÃO
As forças interfaciais desempenham papel fundamental em vários problemas. Os efeitos causados pela presença de uma interface estão presentes em uma enorme diversidade de processos industriais, nos segmentos têxtil, aeroespacial, petrolífero, agrícola, siderúrgico, maquinaria, impressão gráfica e muitos outros. Esses efeitos podem ser benéficos ou prejudiciais ao processo, dependendo do caso.
Um exemplo bem conhecido de processo que tira partido de efeitos capilares é a confecção de roupas impermeáveis. Nesse caso, o princípio do método está intimamente relacionado ao ângulo de contato do fluido que molha o tecido e à rugosidade deste. Já na agricultura, pode interessar não a impermeabilização, mas, ao contrário, a rápida absorção e espalhamento de produtos pulverizados sobre as plantas, e isso também é ditado pelas forças capilares. A própria técnica de pulverização de um líquido em pequenas gotas depende da tensão interfacial, com aplicações também nos processos de revestimento e pintura. Outro exemplo, impossível mais próximo e palpável, é a impressão a jato de tinta das letras deste texto.
Por outro lado, há situações em que os efeitos capilares são indesejáveis e prejudiciais ao processo. É o caso, por exemplo — desta vez muito distante da visão e do tato, mas com especial interesse para esta tese — da recuperação secundária de petróleo em reservatórios molháveis a água. Injeta-se água para manter a pressão do reservatório e deslocar o óleo na direção dos poços produtores. Porém, como os canais que formam o meio poroso são muito estreitos, com tamanhos da ordem das dezenas de micro-metros 1 , as forças capilares tornam-se significativas, e a deformação das interfaces das gotas resulta no aprisionamento de uma parte do óleo dentro da rocha (ROSA; CARVALHO; XAVIER, 2006; LI, 2011). A água só será capaz de deslocar esse óleo residual caso a pressão de injeção supere os efeitos da tensão interfacial. Esse fenômeno de resistência capilar ao escoamento é denominado efeito Jamin. Segundo esse efeito, as interfaces de uma gota de óleo presa a um poro da rocha-reservatório se deformam devido à diferença de pressão aplicada aos extremos do poro2. Essa deformação da interface gera então uma diferença de pressão capilar que se opõe ao
1
O tamanho dos poros depende do tipo de rocha, da seleção dos grãos e de outros fatores.
2
Para o efeito Jamin ocorrer, é necessário que haja contato entre as interfaces da gota e as paredes do poro.
escoamento. Devido à histerese do ângulo de contato estático entre outros fatores, as linhas de contato da gota permanecem fixas às paredes do poro, fazendo com que a diferença de pressão na gota aumente. Isso resulta em uma nova deformação da interface e um novo aumento da diferença de pressão capilar. Essa dinâmica só será interrompida caso a diferença de pressão aplicada ao canal seja suficiente para provocar a deformação da gota até seu estado crítico, quando os ângulos de contato estáticos atingem seus valores críticos.
Uma alternativa para melhorar a eficiência de deslocamento do óleo após a recuperação secundária de petróleo é o emprego de surfactantes, que reduzem a tensão interfacial e a resistência capilar ao escoamento.
Entretanto, na própria indústria do petróleo é possível encontrar exemplos em que a ação capilar é benéfica ao processo. Uma dessas situações é o emprego de fluidos de perfuração com micro-bolhas, as quais tamponam os poros da rocha durante o processo. Neste caso, os efeitos capilares impedem que a bolha seja transportada pelo fluido de perfuração para dentro da rocha, reduzindo a invasão de fluido de perfuração e o dano à formação que a migração deste fluido causa (BJORNDALEN et al., 2009).
Outro exemplo favorável ainda nesta área é a injeção de surfactante no reservatório numa tentativa de produção do óleo residual, no que se denomina recuperação terciária de petróleo. Como mencionado anteriormente, o surfactante reduz a tensão interfacial do óleo, facilitando sua remoção. Porém, há um segundo papel que pode ser desempenhado pelo surfactante: esta substância pode se combinar com o óleo, formando gotas de óleo emulsionado. Essas gotas então tamponam os canais por onde a água escoava preferencialmente, forçando-a a passar por regiões ainda não varridas (WANG et al., 2010). Esse tamponamento é resultado da ação dominante das forças capilares.
Esses exemplos ilustram a relevância do estudo do comportamento de escoamentos bifásicos de fluidos imiscíveis com foco mais específico na dinâmica de sua interface e nos efeitos capilares originados pela ação da sua curvatura e da tensão interfacial.
Esse tipo de estudo pode ser realizado de duas formas: experimentalmente, em laboratórios; ou por meio de simulações computacionais. Em geral, os experimentos necessitam de equipamentos caros e de longo tempo de planejamento, montagem da bancada e execução. Além disso, eles são capazes de reproduzir apenas escoamentos sujeitos a condições muito específicas, para as quais a
bancada de ensaio foi projetada. Caso seja necessário avaliar outras condições, pode ser necessária a construção de uma nova bancada. Há ainda condições que podem ser muito difíceis, praticamente impossíveis, de se reproduzir em laboratório.
A simulação numérica é mais versátil. Ela é capaz de reproduzir uma variedade muito mais ampla de condições de escoamento, bastando apenas alterar a definição de suas condições de contorno, com custo bastante menor. Além disso, como outras vantagens, podem-se citar a ausência de influência do ambiente externo nos resultados e a facilidade do estudo da sensibilidade da solução em relação à variação de parâmetros.
Entretanto, é importante salientar que no estudo de escoamentos bifásicos transientes em geometrias complexas, em que é necessário identificar a posição e a forma da interface, a simulação numérica ainda apresenta muitos desafios. E, portanto, experimentos sempre devem ser realizados, pois eles são insubsitutíveis para validar os modelos matemáticos e os códigos numéricos. Além disso, nem todo problema existente na natureza pode ser modelado por equações diferenciais e, consequentemente, ser simulado numericamente. Este fato ressalta a importância da realização de experimentos.
Nesta tese usam-se métodos de simulação numérica para estudar escoamentos bifásicos imiscíveis em que os efeitos capilares são pronunciados. Quando tais efeitos são importantes, a correta modelagem dos parâmetros da interface é crucial para o sucesso da simulação numérica. Os efeitos capilares advêm da existência de uma interface deformável, sujeita a uma tensão tangencial, que age no sentido de minimizar a área superficial da interface. Isto é, as forças interfaciais dependem tanto da tensão interfacial quanto da curvatura que a interface adquire ao se deformar.
Numericamente, a força devida à tensão interfacial pode ser modelada como uma força de corpo, que é inserida nas equações de Navier-Stokes. Ela pode ser definida pelo produto:
( ,t) ( ,t) ( - )
sv
l i dF X n X x X x (1.1)
onde é o coeficiente de tensão interfacial, é a curvatura da interface, n é o vetor unitário normal a ela, i i corresponde ao delta de Dirac e X é um ponto sobre a interface . Este último fator tem como função restringir os efeitos da força à região da interface. Esse
tratamento numérico foi elaborado por Brackbill, Kothe e Zemach (1992) em seu método denominado Continuum Surface Force (CSF).
Analisando este modelo constata-se que a modelagem dos efeitos capilares depende exclusivamente de um tratamento numérico adequado para a curvatura e o vetor normal à interface. Além disso, a força devido à tensão interfacial constitui uma não-linearidade nas equações de Navier-Stokes. Isto porque os campos de velocidade e pressão dependem dela e, a curvatura e o vetor normal à interface são determinados a partir do campo de fração volumétrica, o qual, por sua vez, depende das componentes da velocidade. Portanto, uma estimativa incorreta desses parâmetros da interface influenciará diretamente no comportamento da solução do escoamento, podendo mesmo gerar resultados espúrios. Isto é o que acontece, por exemplo, no caso de uma gota estática na ausência da gravidade. Como será mostrado adiante, uma avaliação inadequada da curvatura da interface dá origem a um campo de velocidades espúrias, que podem levar a uma deformação irreal da gota.
A modelagem do escoamento fica ainda mais complexa quando há contato entre os fluidos e uma superfície sólida. Nesta situação, a força devida à tensão interfacial exerce efeitos de adesão à superfície, que se contrapõem aos efeitos inerciais, dificultando o deslocamento da interface. A força de adesão gerada por esse contato dependerá do ângulo formado entre o sólido e a reta tangente à interface, pois é este ângulo que determina a curvatura da interface e o vetor normal a ela na linha de contato3. Logo, nesse caso, devem ser corretamente modelados tanto o ângulo de contato quanto a curvatura da interface determinada a partir desse ângulo.
Este forte acoplamento entre os parâmetros da interface e a solução do escoamento em problemas onde os efeitos interfaciais são significativos gera a necessidade de uma modelagem satisfatória dos parâmetros da interface, visando à minimização de erros nas suas estimativas, de forma que a solução final do escoamento não sofra com eles. Este é o foco desta tese: o estudo de modelos de estimativa de parâmetros da interface, bem como a solução do transporte da interface para uma correta definição de cada fase.
3
Linhas de contato são definidas pela interseção da interface com a superfície sólida em contato com os fluidos.
1.1. MOTIVAÇÃO
A motivação inicial deste trabalho surgiu de um projeto de pesquisa do SINMEC (Laboratório de Simulação Numérica em Mecânica dos Fluidos e Transferência de Calor, do Departamento de Engenharia Mecânica da UFSC), financiado pela FINEP e pela Magnesita, fabricante de refratários para a indústria siderúrgica (GLITZ et al., 2009). Naquele projeto, desejava-se estudar o comportamento fluidodinâmico da interface entre o aço fundido e a escória em moldes de lingotamento contínuo, de forma a determinar parâmetros críticos do escoamento de aço que levassem ao arraste de parte da escória para o interior do banho de aço fundido. A determinação desses parâmetros possibilita a alteração de variáveis operacionais do processo de lingotamento contínuo no sentido de aumentar a produção, sem que a qualidade do produto final seja prejudicada, uma vez que a presença de escória neste produto — chapas, tarugos, lingotes — é considerada um defeito.
Ao longo do projeto foi desenvolvido um código computacional que descreve o escoamento bifásico de fluidos imiscíveis e mapeia a interface entre eles. Após o término deste projeto, foram estudados e implementados modelos que descrevem a curvatura da interface e o acoplamento da força interfacial com os campos de pressão e velocidade.
Mais tarde, com o ingresso da autora na Petrobras, a autora teve contato com problemas em que os efeitos capilares são importantes. Com o apoio desta empresa na conclusão do doutoramento e, por ser o tratamento dos efeitos interfaciais o tema desta tese, decidiu-se incluir neste trabalho a modelagem do ângulo de contato e aplicar os métodos aqui estudados na simulação de um problema fundamentalmente correlato e de bastante importância na Engenharia de Reservatórios de Petróleo: o efeito Jamin.
Além de relevante para a indústria do petróleo, o efeito Jamin e suas consequências são significativos também no escoamento em trocadores de calor (LEE; LEE, 2010), em sistemas de lubrificação e na geração de micro-gotas — que constituem micro-reatores para o controle de reações químicas (WANG; DIMITRAKOPOULOS, 2012) e que são utilizadas nas indústrias farmacêutica e alimentícia (BAROUD; GALLAIRE; DANGLA, 2010).
1.2. OBJETIVO
Este trabalho tem como objetivo o estudo e modelagem numérica de escoamentos bifásicos de fluidos imiscíveis, onde os efeitos interfaciais são relevantes. Seu principal foco é a modelagem de parâmetros da interface: transporte da interface, estimativa da curvatura, determinação da força devido à tensão interfacial e modelagem do ângulo de contato estático e dinâmico. O estudo se restringiu a escoamentos bidimensionais com baixos números de Reynolds e baixos números Capilares. Não foram abordados escoamentos turbulentos, nem a transição para esse tipo de escoamento. Além disso, não são consideradas variações no coeficiente de tensão interfacial, que originariam o efeito Marangoni.
Para a realização desse estudo, desenvolveu-se um código numérico, que foi validado analiticamente e também por meio da comparação com resultados experimentais e de outros programas. O código implementado contemplou diferentes condições de contorno e diferentes modelos de estimativa da curvatura. Além disso, propuseram-se melhorias para um despropuseram-ses modelos de curvatura e também para o modelo que descreve o ângulo de contato entre os fluidos e uma superfície sólida.
Tendo em vista os altos tempos computacionais envolvidos na solução desses escoamentos, outro objetivo desta tese foi a elaboração e avaliação de um algoritmo de paralelização da solução do problema pelo método PRIME (MALISKA, 2004).
Por fim, os métodos estudados nesta tese foram aplicados na modelagem de um problema de interesse prático da área de engenharia de reservatórios de petróleo: o efeito Jamin. Neste item, visou-se à determinação de um parâmetro crítico do problema por meio de simulações sucessivas do escoamento. A identificação desse parâmetro crítico e mesmo a simulação de tal fenômeno empregando-se algum
software comercial não é possível, dadas as peculiaridades do efeito
Jamin. Por exemplo, a tentativa de simular esse efeito utilizando-se o
software ANSYS CFX® resultou no desprendimento da gota do canal
logo no primeiro passo de tempo e o ângulo de contato permaneceu constante ao longo de toda a simulação. Ou seja, os softwares comerciais não são capazes de reproduzir esse fenômeno.
Além disso, procurou-se elaborar, com base em modelos publicados na literatura para situações análogas, um modelo simples, baseado em um balanço de forças, que descreve o escoamento após a
superação do efeito Jamin. Este modelo, validado pelos resultados das simulações numéricas, permite a previsão do comportamento da velocidade da gota com o tempo e de seu valor terminal.
1.3. ESTRUTURA DA TESE
A tese está estruturada em oito capítulos. Este primeiro capítulo tratou da importância prática do tipo de escoamento que será modelado, da motivação da tese e dos seus objetivos. Já no segundo capítulo, baseado numa revisão bibliográfica, apresenta-se a teoria da modelagem matemática de escoamentos multifásicos, da ação da tensão interfacial, dos ângulos de contato estático e dinâmico e do efeito Jamin. O terceiro capítulo aborda a modelagem computacional do escoamento bifásico, incluindo uma validação dos resultados obtidos nesta etapa. Em seguida, discute-se o tratamento numérico dos efeitos da interface, com a introdução de modelos de estimativa da curvatura da interface e a inserção da força devida à tensão interfacial nas equações de Navier-Stokes. Como antes, diversos modelos são avaliados e seus resultados são validados. Isso permitiu a seleção de um único modelo de curvatura para o prosseguimento da tese. No quinto capítulo, é apresentada a modelagem da curvatura da interface a partir dos ângulos de contato estático e dinâmico, com validação e discussão de resultados de casos-teste. Um algoritmo de paralelização da solução do escoamento é proposto no sexto capítulo, cuja formulação foi motivada pelos altos tempos computacionais envolvidos nas simulações. Os métodos estudados nos capítulos anteriores são então aplicados à modelagem do efeito Jamin, apresentado no sétimo capítulo juntamente com o modelo proposto. Por fim, o último capítulo reúne as conclusões e revisa as contribuições deste trabalho, além de propor sugestões para trabalhos futuros.
9
2. TEORIA E REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Este capítulo, estruturado em quatro seções, apresenta a teoria e uma revisão bibliográfica dos seguintes assuntos: modelagem de escoamentos multifásicos empregando-se o modelo de mistura; efeitos interfaciais; ângulo de contato estático e dinâmico; e efeito Jamin. Esse material é importante para a leitura dos capítulos posteriores.
2.1. ESCOAMENTOS MULTIFÁSICOS
Um sistema multifásico é um sistema composto por duas ou mais fases, onde o termo fase é utilizado para designar fluidos (na condição de fase contínua ou de fase dispersa) ou sólidos (na condição de fase dispersa). Mais propriamente, um sistema multifásico é um sistema contendo, no mínimo, uma fase fluida contínua e outra fase contínua ou dispersa na fase fluida. Como exemplos de sistemas multifásicos, podem-se citar:
Leitos fluidizados: nessa aplicação, a fase contínua é um fluido (geralmente gás), e a fase dispersa é um sólido; Oleodutos: onde escoam três fases (gás, água e óleo), sendo
possíveis diversas configurações de escoamento;
Atomizadores: um gás constitui a fase contínua, e as gotas de um líquido formam a fase dispersa.
Dependendo de sua morofologia, os escoamentos multifásicos podem ser descritos pelo modelo heterogêneo ou pelo modelo de mistura. Para uma discussão da morfologia de escoamentos multifásicos bem como da obtenção das equações de ambos os modelos referenciam-se os trabalhos de Paladino (2005) e Enwald, Peirano e Almstedt (1996).
Modelo de mistura
O modelo de mistura pode ser aplicado quando as fases estão completamente separadas, como é o caso do escoamento estratificado, ou quando as partículas num escoamento disperso são suficientemente pequenas, sendo arrastadas pela fase contínua à mesma velocidade desta. Assim, considera-se apenas um conjunto de equações de conservação da massa de cada fase e da quantidade de movimento da mistura na solução do escoamento. A distinção entre as fases é feita a partir das propriedades físicas dos fluidos.
Logo, considerando um campo de pressão P e um único campo de velocidade U para todas as fases, as equações para um sistema bifásico empregando o modelo de mistura adquirem a seguinte forma:
0 t i i i i f f U , (2.1)
t m m m sv U UU T b F . (2.2)O último termo desta equação é a força devida à tensão interfacial, cuja expressão é apresentada na equação (1.1).
A equação (2.2) expressa a conservação da quantidade de movimento linear para uma mistura de duas fases. Essa equação é obtida somando-se as equações de conservação da quantidade de movimento para cada fase. Nessa equação, as propriedades da mistura são expressas por médias ponderadas pelas frações volumétricas. Ou seja, a massa específica da mistura, m, que aparece na equação (2.2), é dada por
1 1 1 1 2
m f f
. (2.3)
Considerando fluidos newtonianos, o tensor tensão, representado por T na equação (2.2), é expresso por
2 P 3 T m m T I U I U U , (2.4)onde assume-se que a viscosidade da mistura é dada por
1 1 1 1 2
m f f
. (2.5)
Como pode ser constatado das equações (2.3) e (2.5), as frações volumétricas das fases estão relacionadas entre si pela equação da conservação volumétrica, segundo a qual
.f2 1 f1. (2.6)
Utilizando o modelo de mistura, o problema do escoamento de duas fases é, portanto, descrito pelas equações de conservação da massa de uma das fases, de conservação da quantidade de movimento linear da mistura e de conservação volumétrica. Considerando que as propriedades físicas das fases são constantes, as incógnitas desse problema são: campos de velocidade (U), de pressão (P) e de fração volumétrica (f e 1 f ). Logo, é necessária mais uma equação para fechar 2
equação é a de conservação da massa da mistura, obtida somando as equações de conservação da massa de cada uma das fases:
0 t m m U , (2.7)que, para fluidos incompressíveis, reduz-se a U 0.
Esta tese adotou o modelo de mistura (e não o modelo heterogêneo), pois as fases dos escoamentos simulados encontravam-se separadas, com uma interface bem definida. Em conjunto às equações deste modelo, empregou-se um método de mapeamento da interface, como será visto no próximo capítulo.
2.2. EFEITOS INTERFACIAIS
Conforme mencionado anteriormente, o último termo da equação (2.2) corresponde à força gerada pelos efeitos da tensão interfacial. A tensão interfacial4 atua entre um líquido e um segundo fluido (líquido ou gás), e age no sentido de reduzir a área de interface entre esses fluidos. A Figura 1 ilustra a atuação da tensão interfacial em uma gota, fazendo com que ela adquira a forma aproximadamente esférica, que minimiza a área superficial.
Figura 1. Gota de água sobre uma folha5.
4
O termo “tensão superficial” é comumente utilizado em problemas que envolvem superfícies livres.
5
Fonte: http://www.hyd-masti.com/2008/12/exceptionally-beautiful-photographs.html
Já a Figura 2 compara os resultados de duas simulações bidimensionais realizadas durante o desenvolvimento desta tese para uma bolha de um fluido movendo-se em um reservatório repleto de outro fluido mais denso. A tensão interfacial foi considerada na situação (a), mas desprezada na situação (b). Ambas as figuras exibem a posição e a forma da bolha no instante igual a 0,06 s. À exceção da tensão interfacial, todos os demais parâmetros das simulações são idênticos.
(a) (b)
Figura 2. Comparação entre os resultados de duas simulações bidimensionais de uma bolha ascendente: (a) considerando e (b) desprezando a tensão
interfacial.
Como pode ser observado, a ausência da tensão interfacial conduziu a uma maior deformação da bolha, resultando num aumento de sua largura e na formação de uma saia. Consequentemente, o arrasto de forma sobre a bolha da Figura 2 (b) é maior, impedindo-a de atingir a mesma altura da situação em que a tensão interfacial foi considerada. Já nesta situação, a bolha manteve um formato elipsoidal devido aos efeitos da tensão interfacial.
O motivo pelo qual a gota da Figura 1 e a bolha da Figura 2 (a) adquirem uma forma mais próxima da esférica está relacionado às interações moleculares e pode ser mais facilmente entendido analisando-se o caso de uma gota de água em contato com ar: enquanto que as moléculas no interior do líquido estão sujeitas a forças de atração de todos os lados, sendo a força resultante nula, as moléculas na superfície deste líquido sofrem a ação de uma força mais fraca das moléculas do fluido vizinho a essa superfície. Assim, a força resultante nessas moléculas superficiais agirá no sentido de “puxar” as moléculas para o interior do líquido, reduzindo sua área superficial. Essa situação é ilustrada na Figura 3.
Figura 3. Forças de coesão agindo sobre as moléculas de um líquido (ISENBERG, 1992).
Nas equações de conservação da quantidade de movimento linear, os efeitos relativos à tensão interfacial são considerados por meio de dois termos: um termo devido à variação do coeficiente de tensão interfacial ao longo da direção tangente à interface (S ) e um segundo termo, que considera a força que age na direção normal à interface ( nI i). O primeiro termo é responsável pelo efeito de Marangoni e é significativo quando há gradientes de temperatura ou de concentração, que causam a variação da tensão interfacial. Uma vez que essa tese aborda escoamentos imiscíveis e isotérmicos, tal termo é desprezado.
