Representação e Modelagem
4.10. MODELAGEM FRACTAL
No decurso da história humana, a nossa crescente percepção do mundo natural foi atribuída a um universo com um número cada vez maior de dimensões (seção 1.2.1). Há dois mil anos, os Gregos mostraram que o universo tinha três dimensões, com
FIGURA 4.37. À medida que o Nautilus cresce, uma nova câmara é construída em rela- ção a anterior, na proporção do número de ouro.
3º Mês 2º Mês
4º Mês 5º Mês
base nos sentidos e nos princípios básicos da geometria Euclidiana, formalizada por Euclides a partir de axiomas, onde todos os objetos são dotados de comprimento, lar- gura e altura.
Na geometria Euclidiana uma linha (como um fio de lã) tem principalmente comprimento, portanto, é um objeto unidimensional. Um plano (como a folha de papel), que possui dois comprimentos é um objeto bidimensional, e um sólido (como um cubo ou livro), tem comprimento, largura e altura sendo definido como tridimensional (Figura 4.38).
Desse modo, os matemáticos do tempo de Euclides concordavam com a noção do senso comum de que o universo possui três dimensões. A geometria Cartesiana, de René Descartes auxiliou a Euclidiana nessa definição passando a definir a dimensio- nalidade de um objeto pelo número de coordenadas necessárias para a sua descrição.
No ano de 1854, um jovem matemático alemão, Bernhard Riemann (1826-1866), aluno de Gauss, anunciou uma nova extensão da geometria de Euclides e da Geo- metria Analítica de Descartes. Ele defendia que as retas paralelas se encontram em um ponto: o pólo. Ao criar essa nova definição de dimensão, Riemann conseguiu descrever melhor as coisas relacionadas à latitude e à longitude que ocorrem nas coordenadas geográficas de nosso planeta [Struik, 1967].
Benoit Mandelbrot (1924-...), em 1975, consolidou e interpretou os trabalhos dispersos de muitos matemáticos que o antecederam no estudo das dimensões não-inteiras. Mandelbrot mostra que é possível definir uma dimensão fracionária, tal como dimensão 1/3 ou dimensão 3/4, por exemplo.
Mandelbrot também afirmou que as dimensões fracionárias típicas da paisagem terrestre diferem das de Marte. Esse estudo foi feito com base em fotos do planeta vermelho obtidas através da NASA. Daqui conclui-se que a Terra ronda a dimensão
2D 1D
3D
2,1, enquanto Marte atinge cerca de 2,4, o que significa que a paisagem de Marte é muito mais “dentada” do que a da Terra [Voss, 1988].
As indústrias cinematográficas utilizaram essas informações e o auxílio dos com- putadores para conseguirem criar paisagens com qualquer dimensão fracionária particular, o que facilitou a criação de paisagens com aspectos estranhos, tão utili- zadas em filmes de ficção científica, como em Star Treck [Mondelbrot, 1988].
Os trabalhos de Mandelbrot tiveram como ponto de partida a definição de “di- mensão” apresentada em 1919 por Felix Hausdorff, (cerca de sessenta anos após ter sido apresentada a definição de Riemann) [Falconar, 1990].
A geometria dos fractais (palavra derivada do Latim, “fractus” ou do adjetivo “fran- gere”, que significa “quebrar”) apresenta estruturas geométricas de grande complexi- dade e beleza, ligadas às formas da natureza, ao desenvolvimento da vida, à própria compreensão do universo ou às simples expressões matemáticas. São imagens de obje- tos abstratos que possuem o caráter de onipresença por terem as características do todo infinitamente multiplicadas dentro de cada parte [Peitgen e Richter, 1986].
Os fractais podem apresentar uma infinidade de formas diferentes, contudo, existem duas características muito freqüentes nesta geometria: auto-semelhança e complexidade em qualquer escala de observação [Mondelbrot, 1977].
Essa geometria, nada convencional, tem raízes remontando ao século XIX e al- gumas indicações nesse sentido vêm de muito antes, na Índia, China e Grécia, quando Pitágoras fracionou aritmeticamente uma corda para produzir as notas e suas variações musicais (Capítulo 1).
Porém somente há poucos anos essa geometria vem se consolidando com o desenvolvimento dos computadores e o auxílio de novas teorias nas áreas da física, biologia, astronomia, matemática e outras ciências.
Os fractais constituíram certamente uma surpresa e até mesmo um abalo para muitos. De repente, viram-se confrontados com técnicas e imagens que, se por um lado eram altamente sugestivas, por outro, não conseguiam ser justificadas nem en- globadas em situações anteriormente conhecidas. Assim, ao mesmo tempo em que uns, com a ajuda do computador, tentavam encontrar sentido nos resultados que obtinham, outros esforçavam-se por produzir definições e demonstrações em ter- mos matemáticos tradicionais.
Distante do rigor e do formalismo matemático, é possível definir Fractais, como nos ensinam alguns estudiosos da área: “Objetos que apresentam auto-semelhança e complexidade infinita, ou seja, têm sempre cópias aproximadas de si; mesmo em seu interior.” (Figura 4.39)
A propriedade de auto-similaridade é o ponto central da geometria fractal e está associada ao conceito de dimensão. Na Figura 4.39, a curva de flocos de neve de Kock, é construida a partir de uma reta dividida em 3 partes iguais cuja parte cen- tra é substituido por 2 outros pedaços de mesmo comprimento, em um procedi- mento repetido infinitamente.
A Geometria Fractal pode ser utilizada para descrever diversos fenômenos da na- tureza, onde não podem ser utilizadas as geometrias tradicionais. “Nuvens não são esferas, montanhas não são cones, continentes não são círculos, um latido não é contínuo e nem o raio viaja em linha reta.” [Mandelbrot, 1977]. Outros exemplos são: gelo, neve, cinzas, flores, plantas, tecidos ou frutas [Pruxinkiwicz, 1990]. A Fi- gura 4.40 ilustra o uso de fractais na concepção de água e nuvens.
O processo de gerar montanhas fractais é semelhante ao processo de geração da curva de Kock [Figura 4.39] com um fator adicional randômico que realiza as irre- gularidades da superfície. Nesse caso, as superfícies com uma dimensão D maior aparentam ser mais rugosas [Saupe, 1988].
FIGURA 4.40. Água e nuvens criadas com fractais.
O fenômeno de auto-similaridade pode ser observado na natureza onde pedras parecem com cascalhos, galhos com troncos e assim por diante.
4.10.1. O Conjunto de Mandelbrot
Considerados como um dos objetos mais complexos da matemática, o conjunto de Mandelbrot possue a particularidade de combinar os aspectos de auto-similaridade em qualquer escala do resultado do processo iterativo (Figura 4.41). Esse conjunto é gerado pelo estudo das iterações xK+1® x2K+ c, onde x e c são números comple- xos. Um número complexo é um número que tem duas partes, uma real e outra imaginária, ou seja, tem a forma x = xr+ xi* i, onde i = -1; são exemplos de núme- ros complexos: c = 2 + 3i ou d = – 4 + 1. Através da variação dos números complexos c, podemos gerar os diversos conjuntos de Julia. Assim os conjuntos de Julia depen- dem do valor de c [Peigen, 1988].
Podemos encontrar a aplicação dos fractais na música, no reconhecimento de padrões, na medicina, na engenharia, na meteorologia, na geociência e muito mais.
A aplicação dos fractais é cada vez maior, principalmente pela sua associação com os sistemas dinâmicos e caóticos, constituindo uma ferramenta científica de enor- me alcance que ainda está em seus primeiros passos. No entanto, muito contribui para a sua divulgação suas imagens que, no mínimo, podem ser consideradas intri- gantes e bizarras [Peitgen e Richter, 1986].