As relações entre as variáveis e elementos de um sistema podem ser expressos através de modelos. Em consequência disso, a modelagem matemática visa estudar maneiras de desenvolver e implementar modelos matemáticos adequados a estes sistemas reais. Esta prática torna-se uma alternativa para descrever as características de um sistema. Esta forma de modelagem simula saídas para o sistema conforme os estímulos são aplicados, permitindo, desta forma, a descrição do comportamento dinâmico do sistema (Bedendo, 2012). Os modelos matemáticos devem ser capazes de reproduzir o comportamento original do sistema da melhor forma possível.
Ao longo dos anos os modelos de simulação têm se tornado uma ferramenta altamente eficiente e complementar às pesquisas experimentais convencionais (Bernardon e Calgaro, 2007). As vantagens da utilização de modelos matemáticos, segundo Pessoa et al. (1997), implicam um crescente aumento no uso, proposição e validação dos modelos, entre os quais baixo custo, velocidade, completa informação, criação e proposição de cenários ideais. A resolução do modelo de um problema começa por substituir a linguagem natural por uma linguagem matemática, e analisar se o modelo é eficiente para o caso ou não. Após tem-se a validação do problema, a qual consiste em comparar o resultado do problema pelo modelo com os dados reais do experimento, o qual pode ter resposta positiva ao modelo ou não (Bassanezi; Ferreira. 1988). Quando o modelo é aceito podem-se fazer previsões tomando decisões, pois o mesmo mostrará o resultado antecipadamente do problema ser efetivado. O aperfeiçoamento de modelos já propostos é o que credibiliza a modelagem. As formas das equações ou funções utilizadas, porém em princípio podem ser generalizadas, mas o modelo é válido somente a uma série de dados da qual foi produzido (Pessoa et al., 1997) .
Existem três grupos de técnicas usadas para a obtenção de modelos matemáticos. O primeiro grupo é denominado modelagem caixa-branca, onde os parâmetros são todos conhecidos ou previamente determinados. Assim, os dados de entrada e saída do sistema,
quando disponíveis, são usados unicamente para validar o modelo. Todo o processo de obtenção do modelo se baseia em leis e princípios físicos (Garcia, 1997). O segundo grupo é o modelagem caixa-preta, onde apenas os dados de entrada e saída do processo são usados durante a identificação, não existindo nenhuma relação óbvia entre a estrutura e seus parâmetros com os aspectos físicos do sistema sendo identificado. A terceira técnica, que pode ser colocada entre a modelagem caixa branca e caixa preta, é chamada modelagem caixa cinza. As técnicas deste grupo utilizam informação auxiliar, que não está no conjunto de dados utilizados durante a identificação (Corrêa; Aguirre, 2004).
Para Bassanesi (2002), a modelagem matemática consiste na arte de transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los, interpretando suas soluções na linguagem do mundo real. A modelagem matemática pode ser entendida como uma abordagem de um problema não matemático por meio da matemática onde as características pertinentes de um objeto são extraídas com a ajuda de hipóteses e aproximações simplificadoras e representações em termos matemáticos são determinadas.
2.5.1 Modelagem matemática na agricultura
Uma maneira de caracterizar o crescimento e o desenvolvimento de plantas é pelo uso da modelagem (Streck et al., 2008). Modelos de estimativa e simulação do rendimento de diversas culturas vêm sendo desenvolvidos com base em parâmetros fenológicos e climáticos, porém com limitações (Muniz et al., 2007). Hoogeboom (2000) afirma que a utilização de modelos, com fins de predição, pode ter aplicações, tanto previamente à semeadura, como durante o crescimento e desenvolvimento da cultura.
A aplicação de modelos matemáticos para simulação na agricultura é amplamente utilizada em diferentes setores (O’Leary, 2000). Produtividades potenciais de determinada cultura podem ser estimadas por meio da técnica de modelagem, pela qual o modelo é definido como a representação matemática de um sistema ou um processo. A simulação inclui os processos necessários para a operacionalização do modelo ou a solução do modelo visando a simular o que acontece no sistema (Wit, 1978). Quando o desempenho de um sistema é representado matematicamente por equações, temos um modelo matemático. Este vai definir quantitativamente hipóteses sobre o sistema real, permitindo deduzir suas consequências (Dourado Neto et al., 1998). Para Silva e Bergamasco (2001) os modelos têm contribuído principalmente para o conhecimento fisiológico das culturas, pois a modelagem tem evoluído
de forma cumulativa e gradual à medida que se aumentam os trabalhos de experimentação, e a partir dos modelos já existentes associados a outros modelos, obtendo-se assim resultados mais próximos da realidade.
Diversos pesquisadores desenvolveram ou testaram modelos que relacionam o rendimento de grãos com variáveis meteorológicas, com a finalidade de estabelecer funções de predição do rendimento (Jensen, 1968; Thompsom, 1969; Baier, 1973; Hanks, 1974; Nelson; Dale, 1978; Frere; Popov, 1980; Berlato, 1987; Liu et al. 1989; Camargo; Hubbard, 1993, entre outros, apud Matzenauer et al. 1995; Pereira et al., 2008; Silva et al., 2012)). Grande parte dos trabalhos apresenta modelos que utilizam como variável independente alguma expressão da disponibilidade hídrica, como precipitação pluvial, transpiração, evapotranspiração real, deficiência hídrica, relação entre precipitação e evapotranspiração de referência, relação entre evapotranspiração real e evapotranspiração máxima ou de referência. Rao et al. (1988 apud Matzenauer et al., 1995) relacionam uma série de modelos de estimativa do rendimento. Baier (1979 apud Matzenauer et al., 1995) fez uma revisão sobre os trabalhos que apresentam modelos de relação planta-clima, com o objetivo de propor uma classificação considerando escala de tempo, fonte de dados, abordagem, propósito e aplicações dos modelos. Usando estas características, foram sugeridos três grupos de modelos: (1) modelos de simulação do crescimento; (2) modelos de análise planta-clima e (3) modelos estatístico- empíricos.
Os modelos de simulação do crescimento consideram que o impacto das variáveis meteorológicas sobre um processo específico tal como fotossíntese, transpiração ou respiração, pode ser adequadamente simulado por meio de um conjunto de equações matemáticas, baseados em dados experimentais. Assim, podem ser citados os modelos Corngro (Tschenchke; Gilley, 1979), e Soygro utilizado por Siqueira e Berg (1991) (Matzenauer et al. 1995). Os modelos de análise planta-clima procuram explicar baseados em processos físicos e fisiológicos, o efeito de uma ou mais variáveis meteorológicas sobre a resposta das plantas. Esta categoria de modelos utiliza frequentemente dados de conteúdo de água no solo ou evapotranspiração e outras variáveis, e as relacionam com informações de desenvolvimento morfológico, crescimento vegetativo ou rendimento das culturas (Baier, 1979). Nesta categoria Bernandon e Calgaro (2007) comentam que podem ser citados os modelos de Jensen (1968), Baier (1973), Frere e Popov (1980). Os modelos estatístico- empíricos utilizam séries históricas de dados de rendimento e dados meteorológicos de uma determinada região. As variáveis independentes usadas são, frequentemente, temperatura do ar, precipitação ou variáveis derivadas destas, admitindo-se que os efeitos individuais dessas
variáveis sobre o rendimento das plantas podem ser separados. Como exemplo desta categoria de modelo podem ser citados os trabalhos de Thompsom (1969), Mota (1983), Liu e Liu (1987) e Cuelar et al. (1991) apud Matzenauer et al. (1995), Silva et al. (2012). Hanks e Rasmussen (1982) apud Matzenauer et al. (1995) fizeram uma revisão sobre a predição do rendimento das culturas em relação ao estresse de água na planta. Citam que a produção das culturas é, frequentemente, limitada pela insuficiência de água em algum período durante a fase de crescimento, e que, mesmo em regiões úmidas, ocorrem, normalmente, períodos de menor precipitação que conduzem ao estresse hídrico. Os autores afirmam que o rendimento das plantas pode ser estimado pela análise da razão de transpiração (relação entre transpiração (T) e rendimento (Y)), ocorrendo, no entanto, variações devido à dependência dos elementos meteorológicos.
É visível, contudo, a grande potencialidade de modelos de simulação do desenvolvimento serem utilizados para verificar o comportamento das culturas em condições diferentes das quais foram geradas e testadas (Walter et al., 2010). Neste sentido, a modelagem matemática de processos produtivos vem tomando espaço na pesquisa agropecuária, conforme comentam Lara e Pedreira (2011). Assis, et al. (2006), observam que produtividades potenciais de determinada cultura podem ser estimadas por meio da técnica de modelagem, pela qual o modelo é definido como a representação matemática de um sistema ou um processo. Thornley (2002) enfatiza que aspectos relacionados à estrutura e à arquitetura das plantas são fundamentais em modelos de crescimento de culturas agrícolas e ecossistemas. Conforme Walter et al. (2010), os fatores de tratamento como a temperatura do ar e concentração do CO2 atmosférico, os quais afetam as respostas das plantas, não são
controlados pelos delineamentos experimentais
Slafer e Rawson (1994) explicitam que um modelo ideal de desenvolvimento deve ser hábil em descrever quantitativamente como os fatores genéticos e ambientais interagem durante o ciclo de desenvolvimento da cultura. Streck e Alberto (2006) comentam que a simulação do desenvolvimento de plantas é uma importante parte de vários modelos de simulação de culturas e uma ferramenta útil para o planejamento de práticas culturais (aplicação de fertilizantes, fungicidas, etc.) e na indicação de genótipos mais adaptados. Carmona e Berlato (2002) observaram que modelos agrometeorológicos permitem estimativas de rendimento de grãos anteriores à data de colheita dos cultivos, constituindo-se, assim, uma importante ferramenta para previsão de safras agrícolas. Silva et al. (2005a), relatam que em cereais com uma população de plantas constante, o rendimento de grãos pode simplesmente ser obtido pelo produto de três componentes principais: número de espigas por unidade de
área, número de grãos por espiga e massa média do grão, e esses três componentes, até certo limite, variam independentemente um do outro. Em relação à influência de fatores agroclimáticos no rendimento de grãos, na cultura do arroz Klering et al. (2008) verificaram que a temperatura do ar e a radiação solar global estão associadas ao rendimento e podem compor um modelo consistente para estimar o rendimento dessa cultura. Entre os fatores ambientais, a temperatura do ar é o principal fator abiótico que afeta o desenvolvimento vegetal, que é influenciado pelas três temperaturas cardinais: mínima, ótima e máxima (Porter; Gawith. 1999). Assim, no processo de modelagem é fundamental a ligação dos fatores ligados à expressão dos caracteres morfofisiológicos da planta com aquelas variáveis climáticas que são decisivas no desenvolvimento e produtividade dos vegetais. Desta forma, fatores meteorológicos influenciam diretamente a produtividades das culturas, de tal forma a determinar o crescimento e desenvolvimento das plantas durante o seu ciclo fisiológico em um determinado local. A interação de fatores meteorológicos com as respostas de cultura é bastante complexo. No entanto, por meio de estudos sobre as técnicas de determinação para avaliar respostas fisiológicas das culturas a fatores ambientais em condições de campo, é possível chegar a modelos matemáticos que estimam a produção de culturas como uma função de variáveis meteorológicas com boa precisão (Pereira et al., 2008).