O debate relacionando à modelagem matemática no contexto da educação matemática ocorre na década de 1960 no cenário internacional e no final dos anos 1970 e início de 1980 no Brasil (BIEMBENGUT, 2009). Atualmente, a modelagem matemática possui diferentes concepções49, que se diferenciam basicamente pela ênfase dada a escolha do
problema a ser modelado (MALHEIROS, 2008).
Conforme Souza e Barbosa (2014, p. 32), “a modelagem matemática, na perspectiva da educação matemática, pode ser definida, de maneira geral, como a abordagem de problemas da realidade, utilizando conteúdos matemáticos”.
Araújo (2002, p. 39) propõe que a modelagem matemática como
uma abordagem, por meio da Matemática, de um problema não-matemático da realidade, ou de uma situação não-matemática da realidade, escolhida pelos alunos reunidos em grupos, de tal forma que as questões da educação matemática Crítica embasem o desenvolvimento do trabalho.
Meyer, Caldeira e Malheiros (2011) discutem modelagem matemática em termos de projetos, considerando primordial que se trabalhe com problemas da realidade propostos pelos alunos. Na concepção dos autores (2011), não há uma preocupação com a Matemática em sim mesma, mas em utilizá-la para discutir problemas da realidade.
Os autores destacam que, para se trabalhar com modelagem matemática, é necessário inicialmente reconhecer a existência de um problema real e, na sequência, mobilizar hipóteses de simplificação que converterão esse problema em um problema matemático. Tais hipóteses, segundo os autores, são determinadas de acordo com os objetivos estabelecidos, visando a facilitar a resolução matemática ou a adequar o problema ao nível dos estudantes envolvidos. Nesta etapa da modelagem matemática, os estudantes estão diante de um problema matemático a resolver, que requer uma análise dos dados e variáveis envolvidas e uma avaliação dos resultados obtidos (modelo), validando-os. Desta forma, os autores (2011) simplificam o processo de modelagem matemática em cinco momentos: determinar situação, simplificar hipóteses dessa situação, resolver problemas matemáticos decorrentes, validar soluções
49 Não iremos discorrer sobre as diferentes concepções de modelagem matemática na educação matemática nesta
tese, apenas apresentá-las em linhas gerais. Vecchia (2012), Souza e Barbosa (2014), Ferreira (2016), Kaviatkovski (2017) e Soares (2017), por exemplo, revisam literatura e/ou estado de arte sobre essa questão.
matemáticas de acordo com a questão real e definir tomadas de decisão com base nos resultados. Barbosa (2006) adota uma perspectiva sociocrítica de modelagem matemática em educação matemática, discutindo o papel dos modelos na sociedade. O autor considera que a modelagem matemática precisa decorrer de um problema extraído de contextos não puramente matemáticos e não de exercícios. Para o autor, “modelagem é um ambiente de aprendizagem no qual os alunos são convidados a indagar e/ou investigar, por meio da matemática, situações oriundas de outras áreas da realidade” (2001, p. 6).
Burak (1992, 2010) considera modelagem matemática como um conjunto de procedimentos que visam a explicar matematicamente fenômenos presentes no cotidiano, auxiliando-o a elaborar predições e a tomar decisões. O autor considera fundamental que o fenômeno escolhido seja de interesse do grupo. Sobre procedimentos, o autor (2010) propõe cinco etapas não rígidas: escolha de tema, pesquisa exploratória, levantamento de problemas, resolução de problemas e desenvolvimento de conteúdos no contexto do tema, e análise crítica de soluções.
Para Bassanezi (2010, p. 38), “a modelagem no ensino é apenas uma estratégia de aprendizagem, onde o mais importante não é chegar imediatamente a um modelo bem-sucedido, mas, caminhar seguindo etapas onde o conteúdo matemático vai sendo sistematizado e aplicado”. Neste contexto, adota a nomenclatura de modelação matemática (modelagem na educação), onde a etapa de validação pode não ser prioritária. Para o autor, mais importante que o modelo obtido é o processo utilizado, a análise crítica e sua inserção no contexto sociocultural.
Beimbengut e Hein (2010, p. 18) denominam de modelação matemática o método que utiliza a essência da modelagem matemática em cursos regulares norteados por um conteúdo programático a partir de um tema ou modelo matemático.
Biembengut (2014, p. 30), ao discutir modelagem na educação, também a denomina de modelação matemática.
Denomino de modelação matemática ao método que se utiliza das fases do processo de modelagem na Educação Formal, com a estrutura vigente: currículo, período, horário, espaço físico, números de horas-aula por período letivo, número de estudantes por classe, dentre outros aspectos. A modelação orienta-se pelo ensino do conteúdo curricular (e não curricular) a partir de reelaboração de modelos matemáticos aplicados em alguma área do conhecimento e, paralelamente, pela orientação dos estudantes à pesquisa. (itálico no original).
Almeida e Vertuan (2015, p. 22) compreendem “a Modelagem Matemática como uma alternativa pedagógica na qual fazemos uma abordagem, por meio da matemática, de uma situação-problema não essencialmente matemática”.
Para Almeida e Vertuan (2015, p. 21) e Almeida, Silva e Vertuan (2016, p. 12),
uma atividade de Modelagem Matemática pode ser descrita em termos de uma situação inicial (problemática), de uma situação final desejada (que representa uma solução para a situação inicial) e de um conjunto de procedimentos e conceitos necessários para passar da situação inicial para a situação final.
Nesse caso, a situação inicial consiste numa situação problema e a situação final numa representação matemática, ou seja, num modelo matemático. O termo ‘problema’ é entendido por Almeida, Silva e Vertuan (2016, p. 12, itálico no original) “como uma situação na qual o indivíduo não possuo esquemas a priori para sua solução”.
Almeida, Silva e Vertuan (2016), caracterizam as fases da modelagem matemática em inteiração, matematização, resolução, interpretação dos resultados e validação.
Figura 5 – Fases da modelagem matemática
Fonte: Almeida, Silva e Vertuan (2016, p. 15).
Na etapa de inteiração, o estudante tem um primeiro contato com a situação- problema para conhecer características e especificidades da situação50. Esta etapa conduz a formulação do problema e a definição de metas para sua resolução.
Na etapa de matematização, que ocorre paralelamente à fase de resolução, dá-se a conversão de uma representação na linguagem natural, com a qual o problema é apresentado, para uma representação específica da linguagem matemática, resultando na construção de um modelo matemático.
Na etapa de resolução, há a construção de um modelo matemático, com o objetivo de descrever a situação, analisar seus aspectos relevantes, responder às questões formuladas e, dependendo o contexto, viabilizar previsões.
Na etapa de interpretação de resultados, há uma análise do problema a partir do modelo construído. Esta análise gera a validação da representação matemática obtida. A validação deve considerar procedimentos e adequação da representação da situação.
Almeida, Silva e Vertuan (2016) também consideram que essas etapas podem ocorrer de forma não linear, pois são dinâmicas e apresentam movimentos constantes de ‘idas e vindas’. Para eles, isso evidencia alguns aspectos da modelagem matemática: “o início é uma situação-problema; os procedimentos de resolução não são predefinidos e as soluções não são previamente conhecidas; ocorre a investigação de um problema; conceitos matemáticos são introduzidos ou aplicados; ocorre a análise da solução” (2016, p. 17).
Como vimos, modelo e modelagem matemática podem assumir diferentes definições, dependendo da perspectiva considerada. Nesta pesquisa, assumiremos as definições de Almeida, Silva e Vertuan (2016), porque eles consideram, além das etapas de modelagem matemática, as ações cognitivas dos estudantes durante a atividade51.
Cabe ainda destacar que, ao se discutir modelagem matemática em sala de aula, diferentes questões podem ser levantadas, tais como:
Como utilizar/fazer modelagem em sala de aula? Por que utilizá-la?
Em que momento a inserir no contexto escolar?
Como conciliar as atividades de modelagem e o currículo escolar? Como deve ocorrer a definição do tema?
Contudo, dados os objetivos desta pesquisa, não adentraremos nessas questões. Nossos esforços se concentrarão nas inferências nas etapas de inteiração, matematização, interpretação de resultados e validação do modelo. Para isso, arbitramos analisar e discutir aspectos cognitivos envolvidos na obtenção do modelo matemático.
Definida modelagem matemática no contexto da educação matemática, procuraremos relacioná-la à teoria dos registros de representações semiótica na próxima seção.