Teorema 3.2. Se existem matrizes simétricas positivas definidas Πτ [k]∈ <v×v, matrizesF1τ [k], F2τ [k],
F3τ [k] ∈ <v×v, Kτ [k], G ∈ <m×n, a matrix diagonal T ∈ <m×m e o escalar µ ∈ <, onde
v = (¯τ + 1) × n e τ [k] ∈ {τ , · · · , ¯τ }, de tal maneira que Πτ [k+1]− sym{F1τ [k]} ? ? −F2τ [k]+ ˆΛTτ [k]F1τ [k]T + ˆETK τ [k]BˆTF1τ [k]T −Πτ [k]+ sym{F2τ [k]Λˆτ [k] +F2τ [k]BKˆ τ [k]E}ˆ ? −F3τ [k]+ ˆBTF1τ [k]T F3τ [k]Λˆτ [k]+ ˆBTF2τ [k]T +T G ˆE + F3τ [k]BKˆ τ [k]Eˆ −2T + sym{F3τ [k]B}ˆ < 0 (3.6) " Pτ [k](0,0) ? Kτ [k](i)− G(i) µu2o(i)
#
> 0, i = 1, · · · , m (3.7)
o sistema (2.12) é estabilizado pelas matrizes de ganhoKτ [k] eE(P (0,0)
τ [k] , µ) estima a região de
atração da origem.
Prova. Considerando a função ψ(·), apresentada na Seção 2.2, como ψ Kτ [k]x[k] = sat Kτ [k]x[k]−
Kτ [k]x[k], pode-se representar o sistema (2.12) em malha fechada como:
x[k + 1] = Ax[k] + Adxk − τ [k] + Bsat(Kτ [k]x[k])
= Ax[k] + Adxk − τ [k] + Bψ(Kτ [k]x[k]) + BKτ [k]x[k]
= (A + BKτ [k])x[k] + Adxk − τ [k] + Bψ(Kτ [k]x[k])
por meio da técnica de aumentar o vetor de estados, assim como apresentado na Seção 2.3 o sistema em malha fechada pode ser reescrito por
z[k + 1] = Λτ [k]z[k] + ˆBψ Kτ [k]Ez[k]ˆ
34 onde Λτ [k] = A + BKτ [k] τ [k+1]−1 z }| { 0 · · · 0 Ad · · · 0 I 0 · · · 0 .. . . .. 0 · · · 0 0 · · · I 0 Λτ [k] = ˆΛτ [k]+ ˆBKτ [k]Eˆ (3.8)
assim o sistema em malha fechada pode ser representado por
z[k + 1] = ˆΛτ [k]+ ˆBKτ [k]Ez[k] + ˆˆ Bψ Kτ [k]Ez[k]ˆ
(3.9) O seguinte conjunto é definido de acordo com o Lema 2.5
S(uo) = {z[k] ∈ <v : −uo(i) ≤ (Kτ [k](i)− G(i)) ˆEz[k] ≤ uo(i), i = 1, · · · , m}
Agora, considerando o seguinte funcional, assim como apresentado na Seção 2.3 V [k] = z[k]TΠτ [k]z[k] > 0
deseja-se garatir que a sua variação seja negativa definida, para tanto tem-se ∆V = V [k + 1] − V [k] < 0
Define-se a função J [k] para incluir a desigualdade do Lemma 2.5
J [k] = V [k + 1] − V [k] − 2ψ(Kτ [k]Ez[k])ˆ TT ψ(Kτ [k]Ez[k]) + ψ(Kˆ τ [k]Ez[k])ˆ TT G ˆEz[k]
+z[k]TEˆTGTT ψ(Kτ [k]Ez[k]) < 0ˆ
J [k] = z[k + 1]TΠ
τ [k+1]z[k + 1] − z[k]TΠτ [k]z[k] − 2ψ(Kτ [k]Ez[k])ˆ TT ψ(Kτ [k]Ez[k])ˆ
+ψ(Kτ [k]Ez[k])ˆ TT G ˆEz[k] + z[k]TEˆTGTT ψ(Kτ [k]Ez[k]) < 0ˆ
através do vetor η[k]
η[k] = h z[k + 1]T z[k]T ψ(Kτ [k]Ez[k])ˆ T]T
i
pode-se reescrever J [k] matricialmente como η[k]M η[k] < 0, onde
M = Πτ [k+1] ? ? 0 −Πτ [k] ? 0 T G ˆE −2T < 0
Para aplicar o Lema de Finsler (2.3), as matrizes Fτ [k]e B são definidas como B =h −I Λτ [k] Bˆ i , Fτ [k] = F1τ [k] F2τ [k] F3τ [k] , Fτ [k]B = −F1τ [k] F1τ [k]Λτ [k] F1τ [k]Bˆ −F2τ [k] F2τ [k]Λτ [k] F2τ [k]Bˆ −F3τ [k] F3τ [k]Λτ [k] F3τ [k]Bˆ
e a BMI do Teorema 3.2, desigualdade (3.6), é obtida pela seguinte soma M + Fτ [k]B +
BTFT
τ [k] < 0. Devido a multiplicação de variáveis nos termos, F1τ [k]BKˆ τ [k]E, Fˆ 2τ [k]BKˆ τ [k]E,ˆ
F3τ [k]BKˆ τ [k]E e T G ˆˆ E, esta desigualdade não é linear.
Novamente, deseja-se estimar a região de atração do sistema, no qual a estimativa será caracterizada por um elipsóide descrito por:
E(Pτ [k](0,0), µ) = {x[k] ∈ <n: x[k]TPτ [k](0,0)x[k] ≤ µ−1}; µ > 0
Entretanto, para que o modelo utilizado para a saturação continue válido o elipsóide E (Pτ [k](0,0), µ) deve estar contido no conjunto S(uo). Assim segundo (TARBOURIECH et al., 2011), E(P
(0,0) τ [k] , µ) ⊂
S(H, uo) se e somente se
"
Pτ [k](0,0) ? Kτ [k](i)− G(i) µu2o(i)
#
≥ 0, i = 1, · · · , m
que corresponde a LMI do Teorema 3.2, equação (3.7).
3.2.1 Problema de Otimização
A satisfação das desigualdades apresentadas no Teorema 3.2 garantem que as matrizes de ganhos Kτ [k] estabilizam o sistema em malha fechada (3.9). Neste caso, deseja-se aumentar
a estimativa da região de atração do sistema, portanto, o seguinte problema de otimização é proposto.
min µ
sujeito a (3.6) e (3.7)
Observe que ao minimizar µ, estamos aumentando a área de abrangência do elipsóide que estima a região de atração do sistema.
36
4 CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS
Este trabalho estudou a síntese de controladores baseados na realimentação de estados para sistemas lineares de tempo discreto, sujeitos a restrições no atuador e atraso nos estados. Apre- sentou contribuições aos desenvolvimentos para aplicar controle ao problema da Direção Ele- trônica, especialmente, o trabalho de (ROCHA, 2015) que foi desenvolvido no domínio de tempo contínuo. Uma revisão bibliográfica sobre sistemas discretos com atuadores saturantes e sistemas discretos com atraso foi apresentada. Duas metodologias para projeto de controla- dores baseados na realimentação de estados foram propostas. Uma utiliza-se da modelagem da saturação politópica e a outra pela não linearidade de setor. As condições desses teoremas são expressas na forma de desigualdades matriciais lineares (LMI) e biliniares (BMI). Este trabalho é parte integrante de uma linha de pesquisa para aplicar controle em sistemas SbW, entre as possibilidades de continuação destaca-se:
• Resolução numérica das BMIs dos Teoremas propostos para síntese de controladores; • Explorar outros modelos da saturação, por exemplo a representação conhecida por regiões
de saturação;
• Adicionar um compensador antiwindup estático aos Teoremas propostos;
• Desenvolver métodos para estabilização de sistemas discretos no tempo e quantizados sujeitos a saturação e ao atraso.
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APÊNDICE A – SCRIPT MATLAB EXEMPLOS NUMÉRICOS
1 %**********************************************************************%
2 % This script performs stability analysis example 2.1 %
3 % % 4 % 27AUG2015 % 5 % Vinicius Binotti % 6 %**********************************************************************% 7 8 clear all 9 clc 10 11 %plant 12 A = [0.4 -0.8; 13 0.5 1]; 14 15 A_d = [0.1 0.2; 16 0.2 0.4]; 17 18 T = 4; 19 %dimensions 20 n = size(A)*[1 0]'; 21 v = (T+1)*n; 22
23 %********************** Create Lambda Matrices **************************% 24 for tau = 1:T
25 Lbd = zeros((T+1)*n); 26 Lbd(1:n, 1:n) = A;
27 Lbd(1:n, tau*n+1:tau*n+n) = A_d; 28 for u = 1:T
29 Lbd(u*n+1:u*n+n, (u-1)*n+1:(u-1)*n+n) = eye(n);
30 end 31 assignin('base',strcat('Lbd',int2str(tau)),Lbd); 32 end 33 34 vLbd = [Lbd1,Lbd2,Lbd3,Lbd4]; 35
36 %************************ Create Phi Matrices ****************************% 37 for tau = 1:T 38 assignin('base',strcat('Phi',int2str(tau)),sdpvar(v,v, 'symmetric', ... 'real')); 39 end 40 41 vPhi = [Phi1,Phi2,Phi3,Phi4];
40 42 43 %*************************** Create LMIs ********************************% 44 k = 0; 45 for i=1:T 46 for j=1:T 47 assignin('base',strcat('M',int2str(k)),[vPhi(1:v,(i-1)*v+1:i*v), ... vLbd(1:v,(i-1)*v+1:i*v)'*vPhi(1:v,(j-1)*v+1:j*v); 48 vPhi(1:v,(j-1)*v+1:j*v)* ... vLbd(1:v,(i-1)*v+1:i*v), ... vPhi(1:v,(j-1)*v+1:j*v)]>0); 49 k = k + 1; 50 end 51 end 52 53 LMIs = [M0,M1,M2,M3,M4,M5,M6,M7,M8,M9,M10,M11,M12,M13,M14,M15]; 54 LMIs = [LMIs,Phi1>0,Phi2>0,Phi3>0,Phi4>0]; 55 options = sdpsettings('solver','sdpt3','verbose',1,'radius',1e2); 56 solution = solvesdp(LMIs,[],options) 57 58 %*************************** Execution ********************************% 59 60 num. of constraints = 220
61 dim. of sdp var = 360, num. of sdp blk = 20 62 dim. of socp var = 221, num. of socp blk = 1
63 ******************************************************************* 64 SDPT3: Infeasible path-following algorithms
65 ******************************************************************* 66 version predcorr gam expon scale_data
67 HKM 1 0.000 1 0
68 it pstep dstep pinfeas dinfeas gap prim-obj dual-obj cputime 69 ---
70 0|0.000|0.000|1.1e+03|1.9e+00|7.0e+04| 1.486607e+03 0.000000e+00| ...
0:0:00| chol 1 1
71 1|0.816|0.855|2.0e+02|2.9e-01|1.3e+04| 4.430433e+02 0.000000e+00| ...
0:0:00| chol 1 1
72 2|0.700|0.677|5.9e+01|9.5e-02|4.6e+03| 1.857031e+02 0.000000e+00| ...
0:0:00| chol 1 1
73 3|0.643|0.650|2.1e+01|3.3e-02|1.9e+03| 1.105289e+02 0.000000e+00| ...
0:0:00| chol 1 1
74 4|0.680|0.708|6.8e+00|9.7e-03|7.5e+02| 1.046468e+02 0.000000e+00| ...
0:0:00| chol 1 1
75 5|0.941|0.455|4.0e-01|5.3e-03|2.6e+02| 1.905249e+02 0.000000e+00| ...
0:0:01| chol 1 1
76 6|1.000|1.000|2.8e-07|1.9e-07|7.8e+01| 7.801998e+01 0.000000e+00| ...
0:0:01| chol 1 1
77 7|0.989|1.000|3.1e-09|7.6e-08|8.5e-01| 8.507970e-01 0.000000e+00| ...
78 8|0.989|1.000|3.4e-11|2.5e-09|9.4e-03| 9.350794e-03 0.000000e+00| ...
0:0:01| chol 1 1
79 9|0.989|1.000|3.7e-13|1.9e-10|1.0e-04| 1.027634e-04 0.000000e+00| ...
0:0:01| chol 1 1
80 10|0.992|1.000|3.1e-15|2.0e-11|1.6e-06| 1.553718e-06 0.000000e+00| ...
0:0:01| chol 1 1
81 11|0.659|1.000|1.1e-15|1.0e-12|8.5e-07| 8.509410e-07 0.000000e+00| ...
0:0:01| chol 1 1
82 12|0.681|1.000|3.4e-16|1.0e-12|4.6e-07| 4.589767e-07 0.000000e+00| ...
0:0:01| chol 1 1
83 13|0.686|1.000|1.1e-16|1.0e-12|2.5e-07| 2.457136e-07 0.000000e+00| ...
0:0:01| chol 1 1
84 14|0.689|1.000|3.3e-17|1.0e-12|1.3e-07| 1.309683e-07 0.000000e+00| ...
0:0:01| chol 1 1
85 15|0.692|1.000|1.0e-17|1.0e-12|7.0e-08| 6.959772e-08 0.000000e+00| 0:0:01| 86 stop: max(relative gap, infeasibilities) < 1.00e-07
87 --- 88 number of iterations = 15
89 primal objective value = 6.95977164e-08 90 dual objective value = 0.00000000e+00 91 gap := trace(XZ) = 6.96e-08
92 relative gap = 6.96e-08 93 actual relative gap = 6.96e-08 94 rel. primal infeas = 1.02e-17 95 rel. dual infeas = 1.00e-12
96 norm(X), norm(y), norm(Z) = 1.2e-07, 1.0e+02, 4.1e+02 97 norm(A), norm(b), norm(C) = 8.5e+01, 1.0e+00, 1.0e+02 98 Total CPU time (secs) = 1.03
99 CPU time per iteration = 0.07 100 termination code = 0
101 DIMACS: 1.0e-17 0.0e+00 1.0e-12 0.0e+00 7.0e-08 7.0e-08
102 --- 103 104 solution = 105 106 yalmiptime: 0.6200 107 solvertime: 1.3270
108 info: 'Successfully solved (SDPT3-4)' 109 problem: 0
1 %**********************************************************************%
2 % This script performs stability analysis example 2.2 %
3 % %
4 % 27AUG2015 %
5 % Vinicius Binotti %
42 7 clear all 8 clc 9 10 %plant 11 A = [0.4 -0.8; 12 0.5 1]; 13 14 A_d = [0.1 0.2; 15 0.2 0.4]; 16 17 T = 4; 18 %dimensions 19 n = size(A)*[1 0]'; 20 v = (T+1)*n; 21
22 %********************** Create Lambda Matrices **************************% 23 for tau = 1:T
24 Lbd = zeros((T+1)*n); 25 Lbd(1:n, 1:n) = A;
26 Lbd(1:n, tau*n+1:tau*n+n) = A_d; 27 for u = 1:T
28 Lbd(u*n+1:u*n+n, (u-1)*n+1:(u-1)*n+n) = eye(n);
29 end 30 assignin('base',strcat('Lbd',int2str(tau)),Lbd); 31 end 32 33 vLbd = [Lbd1,Lbd2,Lbd3,Lbd4]; 34
35 %************************ Create Phi Matrices ****************************% 36 for tau = 1:T 37 assignin('base',strcat('Phi',int2str(tau)),sdpvar(v,v, 'symmetric', ... 'real')); 38 end 39 40 vPhi = [Phi1,Phi2,Phi3,Phi4]; 41 42 %************************ Create F,G Matrices ****************************% 43 for i = 1:T 44 assignin('base',strcat('F',int2str(i)),sdpvar(v,v, 'symmetric', ... 'real')); 45 assignin('base',strcat('G',int2str(i)),sdpvar(v,v, 'symmetric', ... 'real')); 46 end 47 48 vF = [F1,F2,F3,F4]; 49 vG = [G1,G2,G3,G4]; 50
51 %*************************** Create LMIs ********************************% 52 k = 0; 53 for i=1:T 54 for j=1:T 55 assignin('base',strcat('M',int2str(k)),[-vPhi(1:v,(i-1)*v+1:i*v)+ ... vF(1:v,(i-1)*v+1:i*v)*vLbd(1:v,(i-1)*v+1:i*v)+vLbd(1:v,(i-1)*v+1:i*v)' ... *vF(1:v,(i-1)*v+1:i*v)',vLbd(1:v,(i-1)*v+1:i*v)'*vG(1:v,(i-1)*v+1:i*v)' ... -vF(1:v,(i-1)*v+1:i*v); 56 vG(1:v,(i-1)*v+1:i*v)* ... vLbd(1:v,(i-1)*v+1:i*v)- ... vF(1:v,(i-1)*v+1:i*v)', ... ... vPhi(1:v,(j-1)*v+1:j*v)- ... vG(1:v,(i-1)*v+1:i*v)- ... vG(1:v,(i-1)*v+1:i*v)']<0); 57 k = k + 1; 58 end 59 end 60 61 LMIs = [M0,M1,M2,M3,M4,M5,M6,M7,M8,M9,M10,M11,M12,M13,M14,M15]; 62 LMIs = [LMIs,Phi1>0,Phi2>0,Phi3>0,Phi4>0]; 63 64 options = sdpsettings('solver','sdpt3','verbose',1,'radius',1e2); 65 solution = solvesdp(LMIs,[],options) 66 67 %*************************** Execution ********************************% 68 69 num. of constraints = 660
70 dim. of sdp var = 360, num. of sdp blk = 20 71 dim. of socp var = 661, num. of socp blk = 1
72 ******************************************************************* 73 SDPT3: Infeasible path-following algorithms
74 ******************************************************************* 75 version predcorr gam expon scale_data
76 HKM 1 0.000 1 0
77 it pstep dstep pinfeas dinfeas gap prim-obj dual-obj cputime 78 ---
79 0|0.000|0.000|1.4e+03|1.9e+00|7.1e+04| 2.570992e+03 0.000000e+00| ...
0:0:00| spchol 1 1
80 1|0.767|0.857|3.3e+02|2.8e-01|1.7e+04| 1.539756e+03 0.000000e+00| ...
0:0:00| chol 1 1
81 2|0.778|0.737|7.4e+01|7.6e-02|4.5e+03| 9.750733e+02 0.000000e+00| ...
0:0:00| chol 1 1
82 3|0.797|0.740|1.5e+01|2.0e-02|1.3e+03| 5.055037e+02 0.000000e+00| ...
0:0:01| chol 1 1
83 4|0.765|0.776|3.5e+00|4.5e-03|4.1e+02| 2.374307e+02 0.000000e+00| ...
44
84 5|0.845|0.974|5.5e-01|1.2e-04|9.4e+01| 7.254155e+01 0.000000e+00| ...
0:0:01| chol 1 1
85 6|0.982|1.000|9.9e-03|1.9e-07|1.8e+00| 1.407988e+00 0.000000e+00| ...
0:0:01| chol 1 1
86 7|0.989|1.000|1.1e-04|1.9e-03|2.2e-02| 1.556757e-02 0.000000e+00| ...
0:0:01| chol 1 1
87 8|0.960|1.000|4.4e-06|2.2e-05|1.6e-03| 1.444907e-03 0.000000e+00| ...
0:0:01| chol 1 1
88 9|0.988|1.000|5.1e-08|8.7e-07|1.9e-05| 1.702857e-05 0.000000e+00| ...
0:0:01| chol 1 1
89 10|0.987|1.000|6.9e-10|1.0e-08|3.3e-07| 3.017835e-07 0.000000e+00| ...
0:0:01| chol 1 1
90 11|0.526|1.000|3.3e-10|1.4e-10|1.9e-07| 1.730310e-07 0.000000e+00| ...
0:0:01| chol 1 1
91 12|0.537|1.000|1.5e-10|6.6e-11|1.0e-07| 9.833198e-08 0.000000e+00| ...
0:0:01| chol 1 1
92 13|0.546|1.000|6.9e-11|3.0e-11|5.8e-08| 5.514322e-08 0.000000e+00| 0:0:02| 93 stop: max(relative gap, infeasibilities) < 1.00e-07
94 --- 95 number of iterations = 13
96 primal objective value = 5.51432219e-08 97 dual objective value = 0.00000000e+00 98 gap := trace(XZ) = 5.82e-08
99 relative gap = 5.82e-08 100 actual relative gap = 5.51e-08 101 rel. primal infeas = 6.88e-11 102 rel. dual infeas = 3.03e-11
103 norm(X), norm(y), norm(Z) = 2.3e-07, 9.9e+01, 3.0e+02 104 norm(A), norm(b), norm(C) = 1.5e+02, 1.0e+00, 1.0e+02 105 Total CPU time (secs) = 1.50
106 CPU time per iteration = 0.12 107 termination code = 0
108 DIMACS: 6.9e-11 0.0e+00 3.0e-11 0.0e+00 5.5e-08 5.8e-08
109 --- 110 111 solution = 112 113 yalmiptime: 0.5933 114 solvertime: 1.8087
115 info: 'Successfully solved (SDPT3-4)' 116 problem: 0