UNIVERSIDADE DE CAXIAS DO SUL – UCS
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA – CCET ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO
VINICIUS BINOTTI
ESTABILIDADE E ESTABILIZAÇÃO DE SISTEMAS DE TEMPO DISCRETO SUJEITOS A SATURAÇÃO E ATRASO
Caxias do Sul 2015
ESTABILIDADE E ESTABILIZAÇÃO DE SISTEMAS DE TEMPO DISCRETO SUJEITOS A SATURAÇÃO E ATRASO
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como parte dos requisitos para a obtenção do título de Engenheiro de Controle e Automação da Universidade de Caxias do Sul.
Orientador:
Prof. Dr. Fernando Augusto Bender
Caxias do Sul 2015
Vinicius Binotti
ESTABILIDADE E ESTABILIZAÇÃO DE SISTEMAS DE TEMPO DISCRETO SUJEITOS A SATURAÇÃO E ATRASO
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como parte dos requisitos para a obtenção do título de Engenheiro de Controle e Automação da Universidade de Caxias do Sul.
Orientador:
Prof. Dr. Fernando Augusto Bender
Aprovado em ____/____/______
Banca Examinadora
__________________________________ Prof. Dr. Fernando Augusto Bender Universidade de Caxias do Sul - UCS __________________________________ Prof. Dr. Mauricio Zardo Oliveira
Universidade de Caxias do Sul - UCS __________________________________ Prof. Dr. Julio Cesar Ceballos Aya
“The known is finite, the unknown infinite; intellectually we stand on an islet in the midst of an illimitable ocean of inexplicability. Our business in every generation is to reclaim a little more land”. Thomas Henry Huxley - 1882
Este trabalho de conclusão de curso aborda a síntese de controladores baseados na realimen-tação de estados para sistemas lineares de tempo discreto, sujeitos a restrições no atuador e atraso variante nos estados. O desenvolvimento dessa metodologia tem por objetivo ser aplicado ao problema da Direção Eletrônica em um veículo automotor, conhecido como Steer-by-Wire (SbW). Inicialmente, apresenta-se uma revisão dos principais trabalhos para a análise da esta-bilidade de sistemas de tempo discreto sujeitos ao atraso. Duas abordagens são consideradas com condições na forma de Desigualdades Matriciais Lineares, do inglês Linear Matrix Ine-qualities(LMIs). Além disso, esse trabalho também apresenta uma revisão bibliográfica para a análise de sistemas saturantes de tempo discreto. Em seguida, apresenta-se dois métodos para a obtenção de um controlador baseado na realimentação de estados que garanta a estabilidade do sistema em malha fechada. O modelo politópico é utilizado para a representação da saturação no primeiro caso e a condição de setor generalizada no segundo.
ABSTRACT
This bachelor thesis addresses the state feedback controller synthesis for discrete-time linear systems, subject to actuator constraints and varying delay in the states. The development of this methodology is aimed to be applied to the problem of Steer-by-wire (SbW) systems for automobiles. Firstly, it is presented a review of the main works on stability analysis of discrete-time systems subject to delay. Two approaches are considered presenting conditions in the form of Linear Matrix Inequalities (LMI). In addition, this work also presents a literature review on stability analysis of saturating discrete-time systems. In the sequel, it is presented two methods to obtain a state feedback controller that ensures the closed-loop stability of the system. The polytopic model is used to represent the saturation in the first method and the generalized sector condition in the second.
Figura 1 – A função saturação. . . 17
Figura 2 – Conjunto convexo e não convexo. . . 17
Figura 3 – Invólucro convexo de um conjunto. . . 18
Figura 4 – Condição de Setor. . . 19
Figura 5 – Elipsóide. . . 19
Figura 6 – Diagrama de blocos de um sistema sujeito a saturação. . . 26
Figura 7 – Região de linearidade RL. . . 27
LISTA DE SIGLAS LMI Linear Matrix Inequality
BMI Bilinear Matrix Inequality CAN Controlled Area Network
? bloco simétrico ∀ para todo ∈ pertence a ⊂ subconjunto de : tal que 7→ mapeia para → tende para ⇒ implica que ⇔ equivalente a ∃ existe ˙x derivada temporal de x kxk norma Euclideana do vetor x
I matrix identidade de ordem apropriada In matrix identidade de ordem n
AT matrix transposta da matriz real A
Co{·} invólucro convexo sat{·} função saturação rank{·} posto de (·)
< conjunto dos números reais
<n conjunto dos vetores reais de dimensão n
<n×n conjunto das matrizes reais de dimensão n × n
Z conjunto dos números inteiros
designação para o fim de teorema, corolário e lema designação para o fim de prova
SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO . . . 11 1.1 Justificativa do Trabalho . . . 12 1.2 Objetivos . . . 13 1.2.1 Objetivo Geral . . . 13 1.2.2 Objetivos Específicos . . . 13 1.3 Limites do Trabalho . . . 13 2 CONCEITOS PRELIMINARES . . . 14
2.1 Estabilidade no Sentido de Lyapunov . . . 14
2.1.1 Estabilidade por Lyapunov para Sistemas Discretos no Tempo . . . 15
2.2 Ferramentas Matemáticas . . . 16
2.3 Sistemas com Atraso . . . 20
2.3.1 Estabilidade de Sistemas Discretos com Atraso . . . 21
2.3.2 Estabilidade de Sistemas Discretos com Atraso via Finsler . . . 24
2.3.3 Exemplos Numéricos . . . 25
2.4 Sistemas Sujeitos a Saturação . . . 26
2.4.1 Modelagem da Saturação via Representação Politópica . . . 28
2.4.2 Modelagem da Saturação via Não Linearidade de Setor . . . 29
3 ESTABILIZAÇÃO POR REALIMENTAÇÃO DE ESTADOS . . . 31
3.1 Modelagem politópica . . . 31
3.1.1 Problema de Otimização . . . 33
3.2 Modelagem via não linearidade de setor . . . 33
3.2.1 Problema de Otimização . . . 35
4 CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS . . . 36
REFERÊNCIAS . . . 37
1 INTRODUÇÃO
De acordo com Tewari (2002), a palavra controle refere-se ao ato de produzir um resultado desejado. Similarmente, em problemas na engenharia de controle deseja-se que um determi-nado sistema, seja ele mecânico, elétrico ou térmico se comporte de maneira esperada e que atenda certos requisitos de desempenho, definidos a priori. Para tanto, a realimentação jun-tamente com leis de controle são aplicadas para alterar o comporjun-tamente do sistema quando operando em malha fechada. Com isso, surge a necessidade de obter um modelo matemático que descreva o sistema. Diversos modelos podem representar um mesmo sistema dinâmico em que cada modelo apresentará diferentes graus de fidelidade. Na natureza, todo sistema fí-sico possue diversos modos e não linearidades associadas ao seu comportamento. Em muitos problemas, desconsiderar dinâmicas de ordem superiores bem como as não linearidades pode produzir resultados satisfatórios atendendo aos requistos. Em contrapartida, em problemas em que é preciso maior precisão e acuracidade no controle, essas aproximações podem não ser suficientes e, portanto, devemos ser capazes de lidar com peculiaridades do sistema. Para Mah-moud (2010), a escolha de um modelo que descreva o sistema com maior fidelidade possível é refletido diretamente na qualidade dos resultados. Em vista disso, propõem-se o estudo da estabilidade e estabilização de sistemas sujeitos ao atraso e a saturação.
Este trabalho pretende dar continuidade ao trabalho desenvolvido por (ROCHA, 2015) apli-cado ao problema da Direção Eletrônica, em inglês conhecido como Steer-by-wire (SbW). Con-siste especificamente na substituição da barra de direção, elemento mecânico que faz a conexão e a transmissão de movimento entre o volante e as rodas do veículo, por atuadores e sensores elétricos que comunicam entre si por meio de um barramento de comunicação Controlled Area Network(CAN). Nesse sistema, a saturação aparece devido aos limites impostos pelo atuador bem como o atraso que se manifesta pelo tempo entre o envio e o recebimento de um dado no barramento CAN. No trabado de (ROCHA, 2015), é projetado um controlador com a fina-lidade de garantir a estabifina-lidade de um sistema Steer-by-wire. Entretanto, o desenvolvimento é conduzido no domínio do tempo contínuo e assim os resultados alcançados não podem ser implementados em um controlador digital, uma vez que as garantias obtidas não são válidas quando o sistema é discretizado e quantizado. Desta maneira, esta trabalho considera sistemas de tempo discreto com a finalidade de avançar os desenvolvimentos em direção a uma metodo-logia possível de implementação em um sistema real.
Com o avanço do cálculo numérico, tornou-se possível a resolução numérica de diversos problemas complexos que anteriormente eram impossíveis de serem resolvidos. Por consequên-cia, na década de 90 foi verificado um aumento significativo em pesquisas para formular pro-blemas de controle por meio de Desigualdades Matriciais Lineares, do inglês LMIs (Linear Matrix Inequality). Uma das metodologias mais difundidas no meio acadêmico para síntese e análise de sistemas dinâmicos é através da utilização da Teoria de Lyapunov. Em geral, tenta-se formular o problema por um conjunto de LMIs, onde no caso de análitenta-se tenta-tenta-se garantir a
12 estabilidade do sistema para um dado conjunto de valores numéricos e para a síntese além da garantia de estabilidade busca-se a obtenção das variáveis do controlador. Uma das principais vantagens dessa abordagem é que pode-se aplicar a uma ampla gama de sistemas, tais como sistemas não lineares.
Este trabalho apresenta-se na seguinte estrutura:
O Capítulo 2 aborta conceitos preliminares, tais como, a estabilidade de sistemas dinâmicos no sentido de Lyapunov, estabilidade de sistemas com atraso, sistemas saturantes e ferramentas matemáticas para o desenvolvimento deste trabalho.
O Capítulo 3 apresenta duas metodologias para estabilização de sistemas saturantes com atraso, onde a representação politópica da saturação é utilizada no primeiro caso e a modelagem pela não linearidade de setor no segundo.
1.1 Justificativa do Trabalho
Devido ao rápido crescimento na tecnologia da indústria semicondutora, a produção de componentes eletrônicos, em especial processadores e microcontroladores, têm aumentado sig-nificativamente nos últimos anos. Isso tem impactado diretamente na diminuição dos custos de aquisição destes dispositivos e ao mesmo tempo em que ocorre um aumento na velocidade de processamento e memória disponível. Além disso, segundo Åström e Wittenmark (1996), diversas deficiências encontradas na implementação de controladores analógicos, tais como a acuracidade dos elementos e a garantia da repetibilidade de desempenho, são superadas com a utilização de controladores digitais. Como consequência, o uso de controladores digitais tem apresentado um grande crescimento, despertando assim o interesse de pesquisas acadêmicas nesta área.
Sistemas dinâmicos, em que a saturação bem como a presença de atraso no tempo podem ser observados, são amplamente encontrados em diferentes áreas do conhecimento. Com a fi-nalidade de aplicar técnicas de controle a tais sistemas, surge a necessidade de obter-se um modelo matemático que leve em consideração particularidades do sistema de interesse. Por-tanto, o atraso no tempo bem como não linearidades como a saturação devem estar presentes no modelo do sistema. Do ponto de vista da implementação, é necessário um desenvolvimento de tempo discreto, uma vez que a implementação é feita com o uso de dispositivos digitais.
Este trabalho busca obter métodos para a síntese de controladores para essa classe de siste-mas, que posteriormente poderão ser implementados em hardware por meio de um controlador digital.
1.2 Objetivos
1.2.1 Objetivo Geral
O objetivo geral deste trabalho é obter técnicas de síntese de realimentação estabilizante para sistemas lineares discretos no tempo sujeitos a saturação e com a presença de atraso variante nos estados.
1.2.2 Objetivos Específicos
• Revisão bibliográfica da literatura para análise de sistemas lineares discretos com atraso. • Revisão bibliográfica da literatura para análise de sistemas lineares discretos sujeitos a
saturação.
• Projeto de controlador com realimentação de estados para sistemas discretos com atraso e saturação por meio da modelagem politópica.
• Projeto de controlador com realimentação de estados para sistemas discretos com atraso e saturação por meio da condição de setor.
1.3 Limites do Trabalho
Este trabalho considera que a planta de interesse a ser controlada é linear, invariante no tempo e discreta, não sendo abordado problemas relacionados com a linearização e discretiza-ção de sistemas com atraso. Também está fora do escopo deste trabalho levar em consideradiscretiza-ção os efeitos da quantização no sinal de amplitude, uma vez que os sistemas considerados são somente discretos no tempo. Os exemplos numéricos utilizados ao longo deste trabalho fo-ram obtidos de publicações relacionadas a este tema e são utilizados na integra não possuindo nenhuma relação a exemplos numéricos do problema da Direção Eletrônica.
14
2 CONCEITOS PRELIMINARES
Neste capítulo é apresentado o tipo de sistema estudado e as principais definições, lemas e teorias aplicadas ao longo deste trabalho.
2.1 Estabilidade no Sentido de Lyapunov
Em 1892 na sua tese de doutorado o matemático russo Aleksandr M. Lyapunov apresen-tou dois métodos para analisar a estabilidade de soluções de equações diferenciais ordinárias (LYAPUNOV, 1992). Esses métodos fornecem condições suficientes na forma de LMI para determinação da estabilidade de sistemas dinâmicos. A teoria de Lyapunov, de acordo com Boyd et al. (1994), só foi de fato utilizada em problemas práticos na década de quarenta, es-pecificamente em problemas de controle para tratar não linearidades no atuador. Além disso, é hoje a base para uma ampla gama de trabalhos acadêmicos na área da engenharia de controle, não somente para problemas de análise, mas principalmente para sintese de leis de controle. A estabilidade no sentido de Lyapunov, também conhecida como estabilidade interna, é investi-gada por meio da análise do ponto de equilíbrio do sistema (KHALIL, 2002). Desta maneira, o ponto de equilíbrio é considerado estável se as trajetórias do sistema iniciadas na vizinhança desse ponto permanecerem nesta região. Se as trajetórias do sistema não somente ficarem nos arredores desse ponto, como ainda convergirem ao ponto de equilíbrio, portanto, esse ponto é assintoticamente estável. Considerando o seguinte sistema autônomo de tempo contínuo
˙x = f (x), x(t0) = x0 (2.1)
onde x ∈ <ne supondo que ¯x ∈ <né um ponto de equilíbrido de (2.1), i.e., f (¯x) = 0.
Assume-se que o ponto de equilíbrido do sistema é Assume-sempre a origem, i.e. ¯x = 0, o que segundo Khalil (2002) pode ser afirmado sem nenhuma perda de generalidade uma vez que qualquer ponto de equilíbrio pode ser deslocado para a origem via troca de variáveis. Deste modo, a seguinte definição é apresentada (KHALIL, 2002):
Definição 2.1. (Caracterização do Ponto de Equilíbrio) O ponto de equilíbrio ¯x = 0 de (2.1) é • estável se, para cada > 0 existir δ = δ() > 0 de tal maneira que
kx(t0)k < δ ⇒ kx(t)k < , ∀t ≥ 0;
• instável, se não for estável;
• assintoticamente estável, se for estável eδ possa ser escolhindo de tal maneira que kx(t0)k < δ ⇒ lim
O segundo método proposto por Lyapunov, também conhecido como método direto de Lya-punov, pode ser facilmente entendido com base na noção de energia de um sistema. Pode-se argumentar que um sistema físico, contendo uma determinada quantidade de energia e que com o passar do tempo parte de sua energia é constantemente dissipada, tende ao repouso. Em ou-tras palavras, pode-se dizer que se a variação da energia do sistema for negativa para todos os instantes seguintes ao instante inicial, esse sistema é estável. É possível de fato utilizar a função que descreve a energia do sistema para investigar sua estabilidade. No entanto, nem sempre essa é uma abordagem viável. Segundo Åström e Murray (2012), a generalização dessa técnica para um sistema dinâmico arbitrário é baseado no uso de uma função de Lyapunov ao invés da função de energia e essa função deve atender certos critérios. Formalmente, tem-se a seguinte definição:
Definição 2.2. (Função de Lyapunov) Uma função V (x) : <n 7→ < é: • positiva definida seV (x) > 0, ∀x 6= 0 e V (0) = 0;
• negativa definida seV (x) < 0, ∀x 6= 0 e V (0) = 0; • positiva semidefinidaV (x) ≥ 0, ∀x 6= 0.
Assim o seguinte teorema pode ser enunciado vide (ÅSTRÖM; MURRAY, 2012):
Teorema 2.1. (Estabilidade por Lyapunov) Seja V (x) uma função não negativa e ˙V (x) a deri-vada temporal deV (x) ao longo das trajetórias do sistema (2.1), i.e.
˙ V (x) = ∂V (x) ∂x dx dt = ∂V (x) ∂x f (x) SejaBr = Br(0) uma bola de raio r em torno da origem tal que
Br = {x ∈ <n : kxk ≤ r}
Se existir umr > 0 de tal maneira que V (x) é positiva definida e ˙V (x) é semidefinida negativa ∀x ∈ Br, logox = 0 é localmente estável no sentido de Lyapunov. Se V (x) é positiva definida
e ˙V (x) é negativa definida em Br, logox = 0 é localmente assintoticamente estável.
2.1.1 Estabilidade por Lyapunov para Sistemas Discretos no Tempo
Considerando o seguinte sistema discreto no tempo
x[k + 1] = Ax[k], k ∈ Z (2.2)
onde x ∈ <n e a matriz A possui dimensões apropriadas. Supondo-se que x = 0 é o ponto de equilíbrio, o Teorema 2.1 pode ser aplicado para se analisar a estabilidade do sistema (2.2).
16 Entretanto, por se tratar de um sistema discreto no tempo, busca-se uma função V (x) que seja positiva definida tal que sua variação
∆V = V x[k + 1] − V x[k]
seja negativa. Uma função comumente utilizada como função de Lyapunov é a função quadrá-tica, por ser positiva definida. Em vista disso, considera-se a função candidata de Lyapunov a seguinte função quadrática
V (x) = x[k]TP x[k] (2.3)
onde P é uma matrix positiva definida, e o seguinte teorema pode ser enunciado vide (OGATA, 1994):
Teorema 2.2. Se existir uma matriz simétrica positiva definida P , i.e. P = PT > 0 de tal
maneira que
ATP A − P < 0
então o ponto de equilíbriox = 0 do sistema (2.2) é assintoticamente estável. Conforme Ogata (1994), a LMI apresentada no Teorema 2.2 é uma condição necessária e suficiente para a estabilidade assintótica do sistema (2.2).
2.2 Ferramentas Matemáticas
Durante o desenvolvimento algébrico blocos simétricos aparecem com frequência. Com a finalidade de simplificar sua representação, a seguinte notação é utilizada.
sym{·} : <n×n 7→ <n×n, sym{A} = A + AT
A função saturação, sat(·), é uma das principais funções consideradas neste trabalho e será extensivamente utilizada, portanto é definida como:
sat(u) : <m 7→ <m, sat(u) = umax, se u ≥ umax u, se umin < u < umax umin, se u ≤ umin (2.4)
A função saturação é representada na figura 1.
Além da função saturação, a seguinte função zona morta também será necessária para re-presentar a saturação por uma não linearidade de setor, então define-se como:
ψ(·) : <m 7→ <m, ψ(·) = (·) − sat(·)
Figura 1 – A função saturação.
Fonte: (TARBOURIECH et al., 2011).
Figura 2 – Conjunto convexo e não convexo.
Fonte: (HAI-HUA; GUANGREN, 2013).
incluir-se a saturação no equacionamento do sistema. Para isso, é necessário o conhecimento de alguns conceitos matemáticos, sendo apresentado as seguintes definições de acordo com (HAI-HUA; GUANGREN, 2013) e (HINDI, 2004):
Definição 2.3. (Conjunto Convexo) Um conjunto F é convexo se o segmento de reta entre quaisquer dois pontos emF está contido em F , i.e., para quaisquer x1, x2 ∈ F e 0 ≤ θ ≤ 1,
verifica-se que
θx1+ (1 − θ)x2 ∈ F
Na figura 2, é possível verificar geometricamente um conjunto convexo e um não convexo.
Definição 2.4. (Combinação Convexa) Sejam pontos xi ∈ <neθi ∈ <, assim x1θ1+ · · · + xkθk
é dito uma combinação convexa se P
iθi = 1, θi ≥ 0. A combinação convexa pode ser
considerada a média aritmética ponderada dos pontosxi.
Definição 2.5. (Invólucro Convexo) Seja F ⊂ <n, a interseção de todos os conjuntos convexos nos<n contendo F é chamado de invólucro convexo e representado por Co(F ). Em outras
18
Figura 3 – Invólucro convexo de um conjunto.
Fonte: Autor 2015.
palavras, o invólucro convexo é o menor conjunto convexo que contém o conjuntoF , conforme figura 3.
Lema 2.1. Seja u,u1,· · · ,uI ∈ <m e v,v1,· · · ,vJ ∈ <m. Se u ∈ Co{ui : i ∈ [1, I]} e
v ∈ Co{vi : i ∈ [1, J ]}, tem-se que " u v # ∈ Co (" ui vj # : i ∈ [1, I], j ∈ [1, J ] ) A prova do Lema 2.1 pode ser encontrada em (HU; LIN, 2001) e (HU; LIN; CHEN, 2002).
Neste trabalho é utilizado dois modelos para representar a saturação, assim a seguinte defi-nição é enunciada (TARBOURIECH et al., 2011):
Definição 2.6. (Condição de Setor) Uma não linearidade ψ : <m 7→ <mé dito satisfazer uma
condição de setor se
ψ(t, y) − Ωminy
T
ψ(t, y) − Ωmaxy ≤ 0, ∀t ≥ 0, ∀y ∈ S ⊂ <m
para matrizes reais Ωmax e Ωmin, onde Ω = Ωmax − Ωmin é simétrico positivo definido e a
origem está contida emS.
Quando a condição acima é satisfeita é dito que ψ(t, y) pertence a condição de setor (Ωmin, Ωmax),
conforme ilustrado na figura 4. De acordo com Hindi (2004), além de ser conveniente compu-tacionalmente, um elipsóide é bastante usado para aproximar outros conjuntos convexos, desta maneira tem-se a seguinte definição:
Definição 2.7. Um elipsóide pode ser definido por: E = {x ∈ <n: (x − x
c)TA−1(x − xc) ≤ 1}
ondeA = AT > 0 e o centro x
Figura 4 – Condição de Setor.
Fonte: (TARBOURIECH et al., 2011).
Figura 5 – Elipsóide.
Fonte: (HINDI, 2004).
Considerando que λisão os autovalores de A um elipsóide é ilustrado na figura 5.
Lema 2.2. (Complemento de Schur) Supondo que as matrizes Q e R são simétricas, as seguin-tes condições são equivalenseguin-tes:
R > 0, Q − STR−1S > 0 ⇔ " Q ST S R # > 0 A prova do Lema 2.2 pode ser encontrada em (BOYD et al., 1994) e (HAI-HUA; GUAN-GREN, 2013). Conforme Paim (2003), o Complemento de Schur serve para transformar algu-mas desigualdades não lineares em LMIs.
Lema 2.3. (Lema de Finsler) Considere-se um vetor v ∈ <n, uma matriz simétricaP ∈ <n×n,
uma matrizB ∈ <m×n, tal querank(B) < n e B
0 é uma base para o espaço nulo deB. As
seguintes condições são equivalentes
1. vTPv < 0, ∀v ∈ <n : Bv = 0, v 6= 0;
2. BT
0PB0 < 0;
20 4. ∃F ∈ <n×m : P + sym{FB}.
A prova do Lema 2.3 pode ser encontrada em (OLIVEIRA; SKELTON, 2001). O Lema de Finsler pode ser utilizado para eliminação de variáveis segundo (BOYD et al., 1994), e recentemente tem sido bastante utilizado para reescrever condições com graus de liberdade adicionais via o uso de multiplicadores (PAIM, 2003).
2.3 Sistemas com Atraso
Equações diferenciais são geralmente empregadas para a modelagem de sistemas dinâmicos. Considerando a representação em espaço de estados de um sistema, (2.1), pode-se verificar que a taxa de variação dos estados depende única e exclusivamente dos estados naquele instante específico. Em alguns sistemas essa dependência não está somente relacionada ao estado atual, mas também aos estados passados. Esse efeito é conhecido na literatura como atraso e tem sido o foco de diversas pesquisas acadêmicas nos últimos anos. Conforme Mahmoud (2010), existem três principais fontes para a ocorrência do atraso:
1. Natureza do processo: muito comum em processos químicos, em que o atraso ocorre pelo próprio funcionamento interno do sistema, tais como, em reatores químicos e motores diesel;
2. Atraso de transporte: pode-se citar um sistema de aquecimento baseado na transferência de calor por convecção em que existe um determinado atraso devido ao deslocamento do ar quente;
3. Atraso de comunicação: dois tipos de atrasos são encontrados em sistemas de comuni-cação, um deles devido ao tempo de propagação, i.e. o tempo que o sinal leva para se propagar no meio de um ponto a outro. O outro acontece quando existem limitações no acesso ao barramento de comunicação, especialmente quando diversos dispositivos compartilham o mesmo barramento.
Com base no acima exposto, é possível identificar a existência do atraso em diversos exemplos práticos, como pode ser visto em (FRIDMAN, 2014), (GU; KHARITONOV; CHEN, 2003), onde exemplos nas áreas de biologia, química, física, mecânica e economica são expostos.
Com a finalidade de aplicar leis de controle a sistemas com atraso, duas principais abor-dagens têm sido utilizadas pela literatura científica. Uma delas, chamada de independente do atraso, não leva em consideração o tamanho do atraso. Logo, apesar de ser mais fácil alge-bricamente a obtenção de condições para análise e síntese, os resultados via estas abordagens tendem a ser mais conservativos. A razão para isso, se deve ao fato de que os resultados obtidos por uma abordagem independente do atraso tem que ser verificada para qualquer atraso e isso restringe muito as possíveis soluções. Segundo Mahmoud (2010), existem diversas razões para que os resultados sejam conservadores:
• a premissa de que a magnitude do atraso é pequena nem sempre é verdadeira e, portanto, para esses casos as condições não serão satisfeitas;
• em muitos casos, o atraso é fixo, assim a verificação de estabilidade via abordagem inde-pendente do atraso, impõe muitas condições desnecessárias para este sistema em particu-lar;
• não se aplica a sistemas instáveis em malha aberta.
A outra abordagem largamente utilizada, conhecida como dependente do atraso, leva em consideração o tamanho do atraso e é empregada em dois tipos de problemas (MAHMOUD, 2010): para um dado sistema em que o atraso é conhecido, verificar a estabilidade do mesmo; para um dado sistema, verificar qual é o máximo atraso o qual a estabilidade pode ser garantida.
2.3.1 Estabilidade de Sistemas Discretos com Atraso
Condições suficientes de estabilidade, tanto para o caso indedependente quanto para o de-pendente ao atraso, podem ser obtidas via funções de Lyapunov-Razumikhin ou funcionais de Lyapunov-Krasovskii, podendo ser encontrado em (RICHARD, 2003), (GU; KHARITONOV; CHEN, 2003), (MICHIELS; NICULESCU, 2007).
No entanto, antes do trabalho de Hetel, Daafouz e Iung (2008) soluções para as seguintes questões não estavam claramente respondidas na literatura:
• Qual é o funcional de Lyapunov-Krasovskii que apresenta o menor conservadorismo pos-sível?
• É possível obter condições suficientes e necessárias na forma de LMI para a existência de um funcional de Lyapunov-Krasovskii?
• É possível obter condições na forma de LMI sem limitar seus termos?
O trabalho de Hetel, Daafouz e Iung (2008) propõem uma extensão do funcional de Lyapunov-krasovskii clássico, solucionando assim as questões expostas acima. Esses resultados são apre-sentados na sequência e são a base para o desenvolvimento principal deste trabalho. Uma vez que esse trabalho considera sistemas de tempo discreto, pode-se começar apresentando o se-guinte sistema discreto no tempo com atraso
x[k + 1] = Ax[k] + Adxk − τ [k], k ∈ Z (2.5)
onde x[k] ∈ <né o vetor dos estados. As matrizes A, Ad são reais constantes e de dimensões
apropriadas. O atraso variante no tempo τ [k] é um número inteiro e positivo dentro do seguinte intervalo τ ≤ τ [k] ≤ ¯τ , onde τ e ¯τ são valores inteiros positivos e conhecidos. As condições
22 iniciais deste sistema podem ser descritas como
x[k] = φ[k], ∀k ∈ [−¯τ , 0]
Significando que mesmo para o valor de atraso máximo, antes do instante inicial os estados do sistema são conhecidos e limitados em amplitude. Essa suposição é razoável especialemente porque sistemas digitais são geralmente implementados em um espaço de memória. Além disso, é aceitável supor que o atraso é um multiplo inteiro do periodo de amostragem, uma vez que a informação está apenas disponível em instante específicos, e não de maneira contínua. Então, qualquer evento que acontece entre duas amostras consecutivas irá se manifestar nas amostras seguintes. Assim, para o sistema (2.5), o valor dos estados na próxima amostra (i.e. x[k + 1]), será uma função da amostra atual (i.e. Ax[k]) e, como estamos levando em consideração o atraso neste sistema, de algum estado anterior (i.e. Adx [k − τ [k]]), que vai depender do valor
do atraso naquele instante. Assumindo que a variação do atraso no tempo significa quantos estados anteriores podem afetar o próximo. A seguinte matriz, que representa a dinâmica do sistema de um instante (k − ¯τ ) até o presente (k), pode ser definida (HETEL; DAAFOUZ; IUNG, 2008): Λτ [k] = A Σ1 Σ2 · · · Στ¯ I 0 · · · 0 0 0 I 0 · · · 0 .. . ... . .. ... ... 0 0 · · · I 0 , Σl = ( Ad, τ [k] = l 0, caso contrario , l ∈ 1, · · · , ¯τ
Pode-se aumentar o vetor dos estados para que contenha não somente o estado atual (i.e. x[k]) ou o atrasado (i.e. xk − τ [k]), mas todos os estados passados que afetam o próximo, uma vez que ¯τ é conhecido a priori.
z[k] =h x[k]T x[k − 1]T · · · x[k − ¯τ ]T iT
onde z[k] ∈ <v, v = (¯τ + 1) × n.
Comentário 1. De acordo com Fridman (2014), esta abordagem sofre com a dimensionalidade quando o atraso é consideravelmente grande, tendo em vista que a dimensão do vetorz[k] é diretamente relacionada ao atraso máximoτ .¯
Desta maneira é possível reescrever o sistema com atraso (2.5) no seguinte sistema chaveado
z[k + 1] = Λτ [k]z[k] (2.6)
que possui uma matriz Λτ [k] diferente para cada atraso τ [k]. Agora, enuncia-se o seguinte
Teorema 2.3. O sistema (2.5) é assintoticamente estável se existirem matrizes simétricas e positivas definidasΠτ [k] ∈ <v×v,τ [k] ∈ {τ , · · · , ¯τ }, de tal maneira que
" −Πτ [k] ? Πτ [k+1]Λτ [k] −Πτ [k+1] # < 0 (2.7)
Prova. O seguinte funcional de Lyapunov-Krasovskii dependente do atraso é apresentado em (HETEL; DAAFOUZ; IUNG, 2008) como sendo a forma mais genérica que pode ser obtida usando a soma de todas as combinações possíveis de temos em formas quadráticas.
V [k] = ¯ τ X i=0 ¯ τ X j=0 x[k − i]TPτ [k](i,j)x[k − j] (2.8)
Pode-se perceber que no funcional cada termo quadrático x[k − i]TP(i,j)
τ [k] x[k − j] possui uma
matriz de Lyapunov Pτ [k](i,j)diferente que varia de acordo com o atraso τ [k].
Considerando o funcional (2.8) para o sistema (2.6) chega-se a seguinte função candidata de Lyapunov V [k] = z[k]TΠτ [k]z[k] > 0 Πτ [k]= Pτ [k](0,0) Pτ [k](0,1) · · · Pτ [k](0,¯τ ) Pτ [k](1,0) Pτ [k](1,1) · · · Pτ [k](1,¯τ ) .. . . .. . .. ... Pτ [k](¯τ ,0) Pτ [k](1,¯τ ) · · · Pτ [k](¯τ ,¯τ ) > 0, ∀ τ [k] ∈ {1, · · · , ¯τ } Pτ [k](i,j) = Pτ [k](j,i)T
É importante salientar que não é necessário que todas as matrices Pτ [k](i,j)sejam positivas defini-das, apenas o bloco Πτ [k]deve ser positivo definido.
Conforme apresentado na seção (2.1.1), para garantir estabilidade assintótica de um sistema de tempo discreto, deseja-se encontrar um funcional positivo definido tal que sua variação seja negativa, portanto tem-se
∆V = V [k + 1] − V [k] < 0 = z[k + 1]TΠ τ [k+1]z[k + 1] − z[k]TΠτ [k]z[k] < 0 = z[k]TΛTτ [k]Πτ [k+1]Λτ [k]z[k] − z[k]TΠτ [k]z[k] < 0 = z[k]T ΛT τ [k]Πτ [k+1]Λτ [k]− Πτ [k]z[k] < 0
Desta maneira, pode-se escrever a seguinte desigualdade
24 Por intermédio do Complemento de Schur, Lema 2.2, (2.9) é equivalente a:
"
−Πτ [k] ?
Λτ [k] −Π−1τ [k+1]
#
< 0 (2.10)
Inequação (2.10) não é uma LMI devido ao termo Π−1τ [k+1]. De modo a contornar esta não linearidade, aplicamos uma transformação linear, pré e pós multiplicando (2.10) pelo bloco diagonal blockdiag = {Iv, Πτ [k+1]} e sua transposta respectivamente. Obtendo assim a LMI
(2.7) do Teorema 2.3.
Comentário 2. O Teorema 2.3 possui condições necessárias e suficientes para estabilidade do sistema (2.5). Isso significa que quando não é possível encontrar uma solução para a desi-gualdade (2.7), não existe um funcional na literatura que encontre, uma vez que o funcional proposto, conforme Hetel, Daafouz e Iung (2008) é o mais genérico dentre todos os que invol-vem o somatório de termos quadráticos.
Comentário 3. Conforme mencionado anteriormente, obter solução numérica para o funcional levando em consideração o maior atraso possível é uma das principais causas do conservado-rismo dos outros funcionais propostos na literatura. Além disso, através do Teorema 2.3 não é necessário considerar todos os atrasos possíveis entre o mínimo e o máximo, i.e. τ ≤ τ [k] ≤
¯
τ [k], pode-se por exemplo analisar a estabilidade do sistema (2.5) para τ [k] ∈ {1, 6, 11, 14}, aspecto bastante útil quando se trata de sistemas de comunicação de dados.
2.3.2 Estabilidade de Sistemas Discretos com Atraso via Finsler
Nesta seção é apresentado uma extensão do Teorema 2.3, proposto por Sun e Chen (2012), que faz uso do Lema 2.3 e é exposto em detalhes na sequência.
Corolário 2.4. O sistemas (2.5) é assintoticamente estável se existirem matrizes simétricas e positivas definidasΠτ [k] ∈ <v×v e matrizesGτ [k] ∈ <v×v,Fτ [k] ∈ <v×v,τ [k] ∈ {τ , · · · , ¯τ } de
tal maneira que " −Πτ [k]+ sym{Fτ [k]Λτ [k]} ? Gτ [k]Λτ [k]− Fτ [k] Πτ [k+1]− sym{Gτ [k]} # < 0 (2.11)
Prova. Partindo da prova do Teorema 2.3, tem-se ∆V = V [k + 1] − V [k] < 0
= z[k + 1]TΠ
Por meio do vetor η[k] e da matrix M η[k] = h z[k]T z[k + 1]T iT , M = " −Πτ [k] 0 0 Πτ [k+1] #
a variação ∆V pode ser reescrita em forma matricial
η[k]TM η[k] = h z[k]T z[k + 1]T iT " −Πτ [k] 0 0 Πτ [k+1] # " z[k] z[k + 1] #
Deseja-se aplicar o Lema 2.3, o que não guarante M < 0 para qualquer η[k], mas somente para as trajetórias do sistema em malha fechada (2.6). Condições resultantes dessa metodologia são potencialmente menos conservativas. Deta forma, definindo a matrix B e aplicando o Lema 2.3
B =h Λτ [k] −I i , F = " Fτ [k] Gτ [k] # , FB = " Fτ [k]Λτ [k] −Fτ [k] Gτ [k]Λτ [k] −Gτ [k] #
obtemos a LMI do Corolário 2.4.
2.3.3 Exemplos Numéricos
Nessa seção, por meio de um dado sistema discreto sujeito ao atraso, deseja-se verificar para qual o maior intervalo do valor do atraso o sistema apresenta estabilidade assintótica.
Exemplo 2.1. Considere o sistema (2.5) dado pelas seguintes matrizes vide (SUN; CHEN, 2012): A = " 0.4 −0.8 0.5 1.0 # , Ad= " 0.1 0.2 0.2 0.4 #
Aplicando o Teorema 2.3, pode-se concluir que e sistema é assintoticamente estável para atra-sos dentro do intervalo1 ≤ τ [k] ≤ 4. Para o Corolário 2.4 igualmente 1 ≤ τ [k] ≤ 4. Para obtenção desses resultados utilizou-se o software Matlab juntamente com o parser YALMIP (LÖFBERG, 2004) e o solver SDPT3 (TUTUNCU; TOH; TODD, 1999). O script criado e executado para este exemplo numérico pode ser visto no Apêndice A.
5 Exemplo 2.2. Considere o sistema (2.5) dado pelas seguintes matrizes vide (HETEL; DAA-FOUZ; IUNG, 2008): A = " 0.8 0 0 0.97 # , Ad = " −0.1 0 −0.1 −0.1 #
Por intermédio do Teorema 2.3 e do Corolário 2.4, o sistema é assintoticamente estável para atrasos dentro do intervalo,1 ≤ τ [k] ≤ 14 e 1 ≤ τ [k] ≤ 10, respectivamente. Para obtenção
26
Figura 6 – Diagrama de blocos de um sistema sujeito a saturação.
Fonte: Autor 2015.
desses resultados o script do exemplo anterior foi modificado, porém é omitido deste trabalho, por ser muito semelhante ao anterior.
5
Comentário 4. O resultado obtido neste exemplo numérico difere-se do apresentado em He-tel, Daafouz e Iung (2008), em que foi obtido solução para atrasos dentro do intervalo3 ≤ τ [k] ≤ 13. Atribui-se essa discrepância aos pacotes computacionais utilizados para resolução numérica.
2.4 Sistemas Sujeitos a Saturação
Em todo sistema físico existem limitações relacionadas com as quantidades máximas e mi-nimas de energia que é possível aplicar a esse sistema. Esses limites podem ser restrições físicas do atuador ou limitações impostas por questões de segurança. Esse fenômeno é conhecido na literatura como saturação e tem sido um tema de relevância acadêmicas nas últimas décadas. Conforme Tarbouriech et al. (2011) e Hu e Lin (2001), a saturação é uma das principais fontes de degradação de desempenho de um sistema em malha fechada, causando, por exemplo, um aumento no sobre-sinal bem como no tempo de acomodação do sistema. Além disso, pode até levar um sistema, que é estável em malha aberta, a instabilidade quando em malha fechada. A saturação pode ser vista no diagrama de blocos da figura 6.
Considere o seguinte sistema discreto no tempo
x[k + 1] = Ax[k] + Adxk − τ [k] + Bu[k], k ∈ Z (2.12)
onde o vetor x[k] ∈ <n e u[k] ∈ <m são respectivamente o vetor de estados e entradas. As matrizes A, Ad e B são reais constantes e de dimensões apropriadas. O atraso variante no
tempo τ [k] ∈ {τ , · · · , ¯τ }, onde τ e ¯τ são valores inteiros positivos e conhecidos. As condições iniciais deste sistema podem ser descritas como
Figura 7 – Região de linearidade RL.
Fonte: (TARBOURIECH et al., 2011).
A entrada deste sistema é limitada tal que
−uo(i) ≤ u(i)≤ uo(i), uo(i) > 0, i = 1, . . . , m (2.13)
A seguinte definição é apresentada vide (TARBOURIECH et al., 2011):
Definição 2.8. (Região de Linearidade) A região de linearidade do sistema (2.12), denota-se RL, é definida como o conjunto de todos os estados x[k] ∈ <n tal que sat(Kτ [k]x[k]) =
Kτ [k]x[k].
O seguinte conjunto poliédrico define a região de linearidade: RL= {x[k] ∈ <n: |Kτ [k]x[k]| ≤ uo}
esse conjunto é limitado quando rank(Kτ [k]) = n e aberto quando rank(Kτ [k]) < n,
con-forme pode ser visto na figura 7. É possível verificar que o espaço de estados é dividido em duas regiões. Uma delas é a RL, em que a saturação pode ser desconsiderada e, portanto, o
sistema se comporta de acordo com seu modelo linear. A outra é onde a saturação ocorre e segundo Tarbouriech et al. (2011) o sistema apresenta comportamento não linear. Desta ma-neira, a convergência das trajetórias do sistema para a origem dependem das condições iniciais. Formalmente, tem-se a seguinte definição (TARBOURIECH et al., 2011):
Definição 2.9. (Região de Atração) A região de atração da origem para o sistema (2.12), denota-seRA, é definida como o conjunto de todos os pontos x[k] ∈ <n do espaço de
esta-dos no qual sendo condições iniciais as trajetórias convergem assintoticamente para origem. A saturação claramente não é uma função linear, como pôde ser visto na figura 1. Portanto, esta não linearidade deve ser modelada de tal maneira que possa-se incluir na formulação do problema. Na literatura existem diferentes maneiras de modelar a saturação como pode ser visto em (TARBOURIECH et al., 2011). Neste trabalho a representação da saturação se dará pela modelagem politópica bem como pela não linearidade do tipo zona morta, que são apresentadas na sequência.
28 2.4.1 Modelagem da Saturação via Representação Politópica
Segundo Tarbouriech et al. (2011), a ideia básica da modelagem politópica consiste em usar um vetor como variável auxiliar para obter a saída da função saturação como uma combinação convexa entre o sinal de controle e a variável auxiliar. Considere um conjunto D com matrizes diagonais nos quais os elementos são 0 ou 1. Por exemplo, para m = 2:
D = (" 0 0 0 0 # , " 0 0 0 1 # , " 1 0 0 0 # , " 1 0 0 1 #)
É possível observar que o conjunto D possui 2m elementos, portanto, defini-se as matrizes do conjunto D como Γ+j , j ∈ [1, 2m], logo:
D =Γ+
j : j ∈ [1, 2 m]
Sendo que Γ−j = Im− Γ+j também é um elemento do conjunto D. Assim, o seguinte Lema pode
ser enunciado vide (HU; LIN, 2001) e (HU; LIN; CHEN, 2002): Lema 2.4. Seja dois vetores v ∈ <mandh ∈ <m. Se−u
o(i) ≤ h(i) ≤ uo(i), parai = 1, · · · , m,
logo
sat(v) ∈ Co{Γ+j v + Γ−j h, j = 1, · · · , 2m}
Prova. Uma vez que |h(i)| ≤ uo(i)tem-se que
sat(vj) ∈ Co{uj, hj}, ∀j ∈ [1, m]
aplicando o Lema 2.1 tem-se
sat(v1) ∈ Co {v1, h1} sat " v1 v2 #! ∈ Co (" v1 v2 # , " v1 h2 # , " h1 v2 # , " h1 h2 #) .. . assim pode-se concluir que:
sat(v) ∈ Co{Γ+j v + Γ−j h, ∀j ∈ [1, 2m]}.
Figura 8 – Ilustração gráfica do Lema 2.4.
Fonte: (HU; LIN; CHEN, 2002).
2.4.2 Modelagem da Saturação via Não Linearidade de Setor
Conforme Tarbouriech et al. (2011), o sistema (2.12) pode ser tratado como um sistema linear e estável onde a realimentação possui uma não linearidade de setor. Esse caso é conhecido como problema de Lure. Por intermédio da Função Zona-morta ψ(·) o seguinte lema pode ser enunciado (SILVA JR.; TARBOURIECH, 2005):
Lema 2.5. (Condição de Setor Generalizada) Considerando a matriz G ∈ <m×n e o conjunto poliedralS(uo):
S(uo) = {x[k] ∈ <n: |(Kτ [k](i)− G(i))x[k]| ≤ uo(i), i = 1, · · · , m}
sex[k] ∈ S(uo) segue que:
ψ(Kτ [k]x[k])TT ψ(Kτ [k]x[k]) − Gx[k] ≤ 0
é definida para qualquer matriz diagonal positiva definidaT ∈ <m×m.
Prova. Considerando ψ(Kτ [k]x[k]) = Kτ [k]x[k] − sat(Kτ [k]x[k]), têm-se os três casos abaixo:
1. −uo ≤ Kτ [k]x[k] ≤ uo. Neste caso ψ(Kτ [k]x[k]) = 0, então
ψ(Kτ [k]x[k])TT ψ(Kτ [k]x[k]) − Gx[k] = 0
2. Kτ [k]x[k] > uo. Neste caso ψ(Kτ [k]x[k]) = Kτ [k]x[k] − uo, se x[k] ∈ S(uo) então:
30 Por isso, pode-se afirmar que
ψ(Kτ [k]x[k]) − Gx[k] = Kτ [k]x[k] − Gx[k] − uo ≤ 0
e como ψ(Kτ [k]x[k]) > 0, segue que:
ψ(Kτ [k]x[k])TT ψ(Kτ [k]x[k]) − Gx[k] ≤ 0, ∀T > 0
3. Kτ [k]x[k] < −uo. Neste caso ψ(Kτ [k]x[k]) = Kτ [k]x[k] + uose x[k] ∈ S(uo) então:
Kτ [k]x[k] − Gx[k] ≥ −uo
Por isso, pode-se afirmar que
ψ(Kτ [k]x[k]) − Gx[k] = Kτ [k]x[k]) − Gx[k] + uo ≤ 0
e como ψ(Kτ [k]x[k]) > 0, segue que:
3 ESTABILIZAÇÃO POR REALIMENTAÇÃO DE ESTADOS
Neste capítulo são propostos duas abordagens para estabilização de sistemas discretos com atuadores saturantes e atrasos variáveis. As duas utilizam realimentação de estados estática, i.e. a obteção das matrizes de ganho Kτ [k], no entanto diferem no tratamento da saturação.
Inicial-mente o problema é exposto, após os teoremas obtidos juntaInicial-mente com exemplos numéricos da utilização dos mesmos são apresentados.
Com a finalidade de controlar o sistema (2.12), é proposto a seguinte realimentação de estados
u[k] = sat(Kτ [k]x[k]) (3.1)
A obtenção das matrizes de ganho Kτ [k] não é uma tarefa trivial uma vez que o sistema em
questão é sujeito a saturação e atraso variante no tempo, portanto as próximas duas seções tratam desse problema.
3.1 Modelagem politópica
Teorema 3.1. Se existem matrizes simétricas positivas definidas Πτ [k]∈ <v×v, matrizesFτ [k], Gτ [k]∈
<v×v, K
τ [k], H ∈ <m×ne o escalarµ ∈ <, onde v = (¯τ + 1) × n e τ [k] ∈ {τ , · · · , ¯τ }, de tal
maneira que " −Πτ [k]+ sym{Fτ [k]Λˆτ [k]+ Fτ [k]BΓˆ g+Kτ [k]+ Fτ [k]BΓˆ −gH ˆE} ? Gτ [k]Λˆτ [k]+ Gτ [k]BΓˆ +gKτ [k]E + Gˆ τ [k]BΓˆ −gH ˆE − Fτ [k] Πτ [k+1]− sym{Gτ [k]} # < 0 (3.2) " Pτ [k](0,0) ? H(i) µu2o(i) # > 0, i = 1, · · · , m (3.3)
o sistema (2.12) é estabilizado pelas matrizes de ganhoKτ [k] eE(P (0,0)
τ [k] , µ) estima a região de
atração da origem.
Prova. Considerando o Lema 2.4, supõem-se que v[k] = Kτ [k]x[k] e defini-se o seguinte
con-junto
S(H, uo) = {x ∈ <n : −uo≤ Hx ≤ uo}
então ∀x[k] ∈ S(H, uo) é possível afirma que
sat(Kτ [k]x[k]) ∈ Co{Γ+gKτ [k]x[k] + Γ−gHx[k]; ∀g ∈ [1, 2 m]}
e o sistema (2.12) em malha fechada pode ser descrito por
32 aumentando a ordem do vetor de estados, assim como apresentado na Seção 2.3, o sistema em malha fechada (3.4) pode ser reescrito por
z[k + 1] = Λτ [k]z[k] em que Λτ [k],j = A + BΓ+jKτ [k]+ BΓ−j H τ [k+1]−1 z }| { 0 · · · 0 Ad · · · 0 I 0 · · · 0 .. . . .. 0 · · · 0 0 · · · I 0 Λτ [k],j = ˆΛτ [k]+ ˆBΓ+j Kτ [k]E + ˆˆ BΓ−j H ˆE (3.5) onde ˆB =h BT 0 · · · 0 iT , ˆE =h I 0 · · · 0 i .
Substituindo equação (3.5) na desigualdade (2.11), do Corolário 2.4, tem-se "
−Πτ [k]+ sym{Fτ [k]Λˆτ [k]+ Fτ [k]BΓˆ g+Kτ [k]+ Fτ [k]BΓˆ −gH ˆE} ?
Gτ [k]Λˆτ [k]+ Gτ [k]BΓˆ +gKτ [k]E + Gˆ τ [k]BΓˆ −gH ˆE − Fτ [k] Πτ [k+1]− sym{Gτ [k]}
# < 0
é a BMI do Teorema 3.1, desigualdade (3.2). É possível verificar que nos termos Fτ [k]BΓˆ +gKτ [k],
Fτ [k]BΓˆ −gH ˆE, Gτ [k]BΓˆ +gKτ [k]E e Gˆ τ [k]BΓˆ −gH ˆE existe um produto de variáveis Fτ [k] e Gτ [k]
com Kτ [k]e H, portanto, essa desigualdade não é linear.
Além de garantir a estabilidade do sistema em malha fechada, descrito pela equação (3.4), deseja-se estimar a região de atração do sistema. Uma vez que a função candidata de Lyapunov é uma função quadrática, a estimativa da região de atração do sistema será caracterizado por um elipsóide descrito por:
E(Pτ [k](0,0), µ) = {x[k] ∈ <n: x[k]TPτ [k](0,0)x[k] ≤ µ−1}; µ > 0
Entretanto, para que o modelo utilizado para a saturação continue válido, o elipsóide E (Pτ [k](0,0), µ) deve estar contido no conjunto S(H, uo). Assim segundo (TARBOURIECH et al., 2011) E(P
(0,0) τ [k] , µ) ⊂
S(H, uo) se e somente se
"
Pτ [k](0,0) ? H(i) µu2o(i)
#
≥ 0, i = 1, · · · , m
3.1.1 Problema de Otimização
A satisfação das desigualdades apresentadas no Teorema 3.1 garantem que as matrizes de ganhos Kτ [k] estabilizam o sistema em malha fechada (3.4). Como as condições propostas são
descritas por LMIs, problemas de otimização convexa podem ser utilizados para melhorar certos parâmetros de interesse do sistema. Neste caso, deseja-se aumentar a estimativa da região de atração do sistema, portanto, o seguinte problema de otimização é proposto.
min µ
sujeito a (3.2) e (3.3)
Observe que ao minimizar µ, estamos aumentando a área de abrangência do elipsóide que estima a região de atração do sistema.
3.2 Modelagem via não linearidade de setor
Teorema 3.2. Se existem matrizes simétricas positivas definidas Πτ [k]∈ <v×v, matrizesF1τ [k], F2τ [k],
F3τ [k] ∈ <v×v, Kτ [k], G ∈ <m×n, a matrix diagonal T ∈ <m×m e o escalar µ ∈ <, onde
v = (¯τ + 1) × n e τ [k] ∈ {τ , · · · , ¯τ }, de tal maneira que Πτ [k+1]− sym{F1τ [k]} ? ? −F2τ [k]+ ˆΛTτ [k]F1τ [k]T + ˆETK τ [k]BˆTF1τ [k]T −Πτ [k]+ sym{F2τ [k]Λˆτ [k] +F2τ [k]BKˆ τ [k]E}ˆ ? −F3τ [k]+ ˆBTF1τ [k]T F3τ [k]Λˆτ [k]+ ˆBTF2τ [k]T +T G ˆE + F3τ [k]BKˆ τ [k]Eˆ −2T + sym{F3τ [k]B}ˆ < 0 (3.6) " Pτ [k](0,0) ? Kτ [k](i)− G(i) µu2o(i)
#
> 0, i = 1, · · · , m (3.7)
o sistema (2.12) é estabilizado pelas matrizes de ganhoKτ [k] eE(P (0,0)
τ [k] , µ) estima a região de
atração da origem.
Prova. Considerando a função ψ(·), apresentada na Seção 2.2, como ψ Kτ [k]x[k] = sat Kτ [k]x[k]−
Kτ [k]x[k], pode-se representar o sistema (2.12) em malha fechada como:
x[k + 1] = Ax[k] + Adxk − τ [k] + Bsat(Kτ [k]x[k])
= Ax[k] + Adxk − τ [k] + Bψ(Kτ [k]x[k]) + BKτ [k]x[k]
= (A + BKτ [k])x[k] + Adxk − τ [k] + Bψ(Kτ [k]x[k])
por meio da técnica de aumentar o vetor de estados, assim como apresentado na Seção 2.3 o sistema em malha fechada pode ser reescrito por
z[k + 1] = Λτ [k]z[k] + ˆBψ Kτ [k]Ez[k]ˆ
34 onde Λτ [k] = A + BKτ [k] τ [k+1]−1 z }| { 0 · · · 0 Ad · · · 0 I 0 · · · 0 .. . . .. 0 · · · 0 0 · · · I 0 Λτ [k] = ˆΛτ [k]+ ˆBKτ [k]Eˆ (3.8)
assim o sistema em malha fechada pode ser representado por
z[k + 1] = ˆΛτ [k]+ ˆBKτ [k]Ez[k] + ˆˆ Bψ Kτ [k]Ez[k]ˆ
(3.9) O seguinte conjunto é definido de acordo com o Lema 2.5
S(uo) = {z[k] ∈ <v : −uo(i) ≤ (Kτ [k](i)− G(i)) ˆEz[k] ≤ uo(i), i = 1, · · · , m}
Agora, considerando o seguinte funcional, assim como apresentado na Seção 2.3 V [k] = z[k]TΠτ [k]z[k] > 0
deseja-se garatir que a sua variação seja negativa definida, para tanto tem-se ∆V = V [k + 1] − V [k] < 0
Define-se a função J [k] para incluir a desigualdade do Lemma 2.5
J [k] = V [k + 1] − V [k] − 2ψ(Kτ [k]Ez[k])ˆ TT ψ(Kτ [k]Ez[k]) + ψ(Kˆ τ [k]Ez[k])ˆ TT G ˆEz[k]
+z[k]TEˆTGTT ψ(Kτ [k]Ez[k]) < 0ˆ
J [k] = z[k + 1]TΠ
τ [k+1]z[k + 1] − z[k]TΠτ [k]z[k] − 2ψ(Kτ [k]Ez[k])ˆ TT ψ(Kτ [k]Ez[k])ˆ
+ψ(Kτ [k]Ez[k])ˆ TT G ˆEz[k] + z[k]TEˆTGTT ψ(Kτ [k]Ez[k]) < 0ˆ
através do vetor η[k]
η[k] = h z[k + 1]T z[k]T ψ(Kτ [k]Ez[k])ˆ T]T
i
pode-se reescrever J [k] matricialmente como η[k]M η[k] < 0, onde
M = Πτ [k+1] ? ? 0 −Πτ [k] ? 0 T G ˆE −2T < 0
Para aplicar o Lema de Finsler (2.3), as matrizes Fτ [k]e B são definidas como B =h −I Λτ [k] Bˆ i , Fτ [k] = F1τ [k] F2τ [k] F3τ [k] , Fτ [k]B = −F1τ [k] F1τ [k]Λτ [k] F1τ [k]Bˆ −F2τ [k] F2τ [k]Λτ [k] F2τ [k]Bˆ −F3τ [k] F3τ [k]Λτ [k] F3τ [k]Bˆ
e a BMI do Teorema 3.2, desigualdade (3.6), é obtida pela seguinte soma M + Fτ [k]B +
BTFT
τ [k] < 0. Devido a multiplicação de variáveis nos termos, F1τ [k]BKˆ τ [k]E, Fˆ 2τ [k]BKˆ τ [k]E,ˆ
F3τ [k]BKˆ τ [k]E e T G ˆˆ E, esta desigualdade não é linear.
Novamente, deseja-se estimar a região de atração do sistema, no qual a estimativa será caracterizada por um elipsóide descrito por:
E(Pτ [k](0,0), µ) = {x[k] ∈ <n: x[k]TPτ [k](0,0)x[k] ≤ µ−1}; µ > 0
Entretanto, para que o modelo utilizado para a saturação continue válido o elipsóide E (Pτ [k](0,0), µ) deve estar contido no conjunto S(uo). Assim segundo (TARBOURIECH et al., 2011), E(P
(0,0) τ [k] , µ) ⊂
S(H, uo) se e somente se
"
Pτ [k](0,0) ? Kτ [k](i)− G(i) µu2o(i)
#
≥ 0, i = 1, · · · , m
que corresponde a LMI do Teorema 3.2, equação (3.7).
3.2.1 Problema de Otimização
A satisfação das desigualdades apresentadas no Teorema 3.2 garantem que as matrizes de ganhos Kτ [k] estabilizam o sistema em malha fechada (3.9). Neste caso, deseja-se aumentar
a estimativa da região de atração do sistema, portanto, o seguinte problema de otimização é proposto.
min µ
sujeito a (3.6) e (3.7)
Observe que ao minimizar µ, estamos aumentando a área de abrangência do elipsóide que estima a região de atração do sistema.
36
4 CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS
Este trabalho estudou a síntese de controladores baseados na realimentação de estados para sistemas lineares de tempo discreto, sujeitos a restrições no atuador e atraso nos estados. Apre-sentou contribuições aos desenvolvimentos para aplicar controle ao problema da Direção Ele-trônica, especialmente, o trabalho de (ROCHA, 2015) que foi desenvolvido no domínio de tempo contínuo. Uma revisão bibliográfica sobre sistemas discretos com atuadores saturantes e sistemas discretos com atraso foi apresentada. Duas metodologias para projeto de controla-dores baseados na realimentação de estados foram propostas. Uma utiliza-se da modelagem da saturação politópica e a outra pela não linearidade de setor. As condições desses teoremas são expressas na forma de desigualdades matriciais lineares (LMI) e biliniares (BMI). Este trabalho é parte integrante de uma linha de pesquisa para aplicar controle em sistemas SbW, entre as possibilidades de continuação destaca-se:
• Resolução numérica das BMIs dos Teoremas propostos para síntese de controladores; • Explorar outros modelos da saturação, por exemplo a representação conhecida por regiões
de saturação;
• Adicionar um compensador antiwindup estático aos Teoremas propostos;
• Desenvolver métodos para estabilização de sistemas discretos no tempo e quantizados sujeitos a saturação e ao atraso.
REFERÊNCIAS
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APÊNDICE A – SCRIPT MATLAB EXEMPLOS NUMÉRICOS
1 %**********************************************************************%
2 % This script performs stability analysis example 2.1 %
3 % % 4 % 27AUG2015 % 5 % Vinicius Binotti % 6 %**********************************************************************% 7 8 clear all 9 clc 10 11 %plant 12 A = [0.4 -0.8; 13 0.5 1]; 14 15 A_d = [0.1 0.2; 16 0.2 0.4]; 17 18 T = 4; 19 %dimensions 20 n = size(A)*[1 0]'; 21 v = (T+1)*n; 22
23 %********************** Create Lambda Matrices **************************% 24 for tau = 1:T
25 Lbd = zeros((T+1)*n); 26 Lbd(1:n, 1:n) = A;
27 Lbd(1:n, tau*n+1:tau*n+n) = A_d; 28 for u = 1:T
29 Lbd(u*n+1:u*n+n, (u-1)*n+1:(u-1)*n+n) = eye(n);
30 end 31 assignin('base',strcat('Lbd',int2str(tau)),Lbd); 32 end 33 34 vLbd = [Lbd1,Lbd2,Lbd3,Lbd4]; 35
36 %************************ Create Phi Matrices ****************************% 37 for tau = 1:T 38 assignin('base',strcat('Phi',int2str(tau)),sdpvar(v,v, 'symmetric', ... 'real')); 39 end 40 41 vPhi = [Phi1,Phi2,Phi3,Phi4];
40 42 43 %*************************** Create LMIs ********************************% 44 k = 0; 45 for i=1:T 46 for j=1:T 47 assignin('base',strcat('M',int2str(k)),[vPhi(1:v,(i-1)*v+1:i*v), ... vLbd(1:v,(i-1)*v+1:i*v)'*vPhi(1:v,(j-1)*v+1:j*v); 48 vPhi(1:v,(j-1)*v+1:j*v)* ... vLbd(1:v,(i-1)*v+1:i*v), ... vPhi(1:v,(j-1)*v+1:j*v)]>0); 49 k = k + 1; 50 end 51 end 52 53 LMIs = [M0,M1,M2,M3,M4,M5,M6,M7,M8,M9,M10,M11,M12,M13,M14,M15]; 54 LMIs = [LMIs,Phi1>0,Phi2>0,Phi3>0,Phi4>0]; 55 options = sdpsettings('solver','sdpt3','verbose',1,'radius',1e2); 56 solution = solvesdp(LMIs,[],options) 57 58 %*************************** Execution ********************************% 59 60 num. of constraints = 220
61 dim. of sdp var = 360, num. of sdp blk = 20 62 dim. of socp var = 221, num. of socp blk = 1
63 ******************************************************************* 64 SDPT3: Infeasible path-following algorithms
65 ******************************************************************* 66 version predcorr gam expon scale_data
67 HKM 1 0.000 1 0
68 it pstep dstep pinfeas dinfeas gap prim-obj dual-obj cputime 69
---70 0|0.000|0.000|1.1e+03|1.9e+00|7.0e+04| 1.486607e+03 0.000000e+00| ...
0:0:00| chol 1 1
71 1|0.816|0.855|2.0e+02|2.9e-01|1.3e+04| 4.430433e+02 0.000000e+00| ...
0:0:00| chol 1 1
72 2|0.700|0.677|5.9e+01|9.5e-02|4.6e+03| 1.857031e+02 0.000000e+00| ...
0:0:00| chol 1 1
73 3|0.643|0.650|2.1e+01|3.3e-02|1.9e+03| 1.105289e+02 0.000000e+00| ...
0:0:00| chol 1 1
74 4|0.680|0.708|6.8e+00|9.7e-03|7.5e+02| 1.046468e+02 0.000000e+00| ...
0:0:00| chol 1 1
75 5|0.941|0.455|4.0e-01|5.3e-03|2.6e+02| 1.905249e+02 0.000000e+00| ...
0:0:01| chol 1 1
76 6|1.000|1.000|2.8e-07|1.9e-07|7.8e+01| 7.801998e+01 0.000000e+00| ...
0:0:01| chol 1 1
77 7|0.989|1.000|3.1e-09|7.6e-08|8.5e-01| 8.507970e-01 0.000000e+00| ...
78 8|0.989|1.000|3.4e-11|2.5e-09|9.4e-03| 9.350794e-03 0.000000e+00| ...
0:0:01| chol 1 1
79 9|0.989|1.000|3.7e-13|1.9e-10|1.0e-04| 1.027634e-04 0.000000e+00| ...
0:0:01| chol 1 1
80 10|0.992|1.000|3.1e-15|2.0e-11|1.6e-06| 1.553718e-06 0.000000e+00| ...
0:0:01| chol 1 1
81 11|0.659|1.000|1.1e-15|1.0e-12|8.5e-07| 8.509410e-07 0.000000e+00| ...
0:0:01| chol 1 1
82 12|0.681|1.000|3.4e-16|1.0e-12|4.6e-07| 4.589767e-07 0.000000e+00| ...
0:0:01| chol 1 1
83 13|0.686|1.000|1.1e-16|1.0e-12|2.5e-07| 2.457136e-07 0.000000e+00| ...
0:0:01| chol 1 1
84 14|0.689|1.000|3.3e-17|1.0e-12|1.3e-07| 1.309683e-07 0.000000e+00| ...
0:0:01| chol 1 1
85 15|0.692|1.000|1.0e-17|1.0e-12|7.0e-08| 6.959772e-08 0.000000e+00| 0:0:01| 86 stop: max(relative gap, infeasibilities) < 1.00e-07
87 ---88 number of iterations = 15
89 primal objective value = 6.95977164e-08 90 dual objective value = 0.00000000e+00 91 gap := trace(XZ) = 6.96e-08
92 relative gap = 6.96e-08 93 actual relative gap = 6.96e-08 94 rel. primal infeas = 1.02e-17 95 rel. dual infeas = 1.00e-12
96 norm(X), norm(y), norm(Z) = 1.2e-07, 1.0e+02, 4.1e+02 97 norm(A), norm(b), norm(C) = 8.5e+01, 1.0e+00, 1.0e+02 98 Total CPU time (secs) = 1.03
99 CPU time per iteration = 0.07 100 termination code = 0
101 DIMACS: 1.0e-17 0.0e+00 1.0e-12 0.0e+00 7.0e-08 7.0e-08
102 ---103 104 solution = 105 106 yalmiptime: 0.6200 107 solvertime: 1.3270
108 info: 'Successfully solved (SDPT3-4)' 109 problem: 0
1 %**********************************************************************%
2 % This script performs stability analysis example 2.2 %
3 % %
4 % 27AUG2015 %
5 % Vinicius Binotti %
42 7 clear all 8 clc 9 10 %plant 11 A = [0.4 -0.8; 12 0.5 1]; 13 14 A_d = [0.1 0.2; 15 0.2 0.4]; 16 17 T = 4; 18 %dimensions 19 n = size(A)*[1 0]'; 20 v = (T+1)*n; 21
22 %********************** Create Lambda Matrices **************************% 23 for tau = 1:T
24 Lbd = zeros((T+1)*n); 25 Lbd(1:n, 1:n) = A;
26 Lbd(1:n, tau*n+1:tau*n+n) = A_d; 27 for u = 1:T
28 Lbd(u*n+1:u*n+n, (u-1)*n+1:(u-1)*n+n) = eye(n);
29 end 30 assignin('base',strcat('Lbd',int2str(tau)),Lbd); 31 end 32 33 vLbd = [Lbd1,Lbd2,Lbd3,Lbd4]; 34
35 %************************ Create Phi Matrices ****************************% 36 for tau = 1:T 37 assignin('base',strcat('Phi',int2str(tau)),sdpvar(v,v, 'symmetric', ... 'real')); 38 end 39 40 vPhi = [Phi1,Phi2,Phi3,Phi4]; 41 42 %************************ Create F,G Matrices ****************************% 43 for i = 1:T 44 assignin('base',strcat('F',int2str(i)),sdpvar(v,v, 'symmetric', ... 'real')); 45 assignin('base',strcat('G',int2str(i)),sdpvar(v,v, 'symmetric', ... 'real')); 46 end 47 48 vF = [F1,F2,F3,F4]; 49 vG = [G1,G2,G3,G4]; 50
51 %*************************** Create LMIs ********************************% 52 k = 0; 53 for i=1:T 54 for j=1:T 55 assignin('base',strcat('M',int2str(k)),[-vPhi(1:v,(i-1)*v+1:i*v)+ ... vF(1:v,(i-1)*v+1:i*v)*vLbd(1:v,(i-1)*v+1:i*v)+vLbd(1:v,(i-1)*v+1:i*v)' ... *vF(1:v,(i-1)*v+1:i*v)',vLbd(1:v,(i-1)*v+1:i*v)'*vG(1:v,(i-1)*v+1:i*v)' ... -vF(1:v,(i-1)*v+1:i*v); 56 vG(1:v,(i-1)*v+1:i*v)* ... vLbd(1:v,(i-1)*v+1:i*v)- ... vF(1:v,(i-1)*v+1:i*v)', ... ... vPhi(1:v,(j-1)*v+1:j*v)- ... vG(1:v,(i-1)*v+1:i*v)- ... vG(1:v,(i-1)*v+1:i*v)']<0); 57 k = k + 1; 58 end 59 end 60 61 LMIs = [M0,M1,M2,M3,M4,M5,M6,M7,M8,M9,M10,M11,M12,M13,M14,M15]; 62 LMIs = [LMIs,Phi1>0,Phi2>0,Phi3>0,Phi4>0]; 63 64 options = sdpsettings('solver','sdpt3','verbose',1,'radius',1e2); 65 solution = solvesdp(LMIs,[],options) 66 67 %*************************** Execution ********************************% 68 69 num. of constraints = 660
70 dim. of sdp var = 360, num. of sdp blk = 20 71 dim. of socp var = 661, num. of socp blk = 1
72 ******************************************************************* 73 SDPT3: Infeasible path-following algorithms
74 ******************************************************************* 75 version predcorr gam expon scale_data
76 HKM 1 0.000 1 0
77 it pstep dstep pinfeas dinfeas gap prim-obj dual-obj cputime 78
---79 0|0.000|0.000|1.4e+03|1.9e+00|7.1e+04| 2.570992e+03 0.000000e+00| ...
0:0:00| spchol 1 1
80 1|0.767|0.857|3.3e+02|2.8e-01|1.7e+04| 1.539756e+03 0.000000e+00| ...
0:0:00| chol 1 1
81 2|0.778|0.737|7.4e+01|7.6e-02|4.5e+03| 9.750733e+02 0.000000e+00| ...
0:0:00| chol 1 1
82 3|0.797|0.740|1.5e+01|2.0e-02|1.3e+03| 5.055037e+02 0.000000e+00| ...
0:0:01| chol 1 1
83 4|0.765|0.776|3.5e+00|4.5e-03|4.1e+02| 2.374307e+02 0.000000e+00| ...
44
84 5|0.845|0.974|5.5e-01|1.2e-04|9.4e+01| 7.254155e+01 0.000000e+00| ...
0:0:01| chol 1 1
85 6|0.982|1.000|9.9e-03|1.9e-07|1.8e+00| 1.407988e+00 0.000000e+00| ...
0:0:01| chol 1 1
86 7|0.989|1.000|1.1e-04|1.9e-03|2.2e-02| 1.556757e-02 0.000000e+00| ...
0:0:01| chol 1 1
87 8|0.960|1.000|4.4e-06|2.2e-05|1.6e-03| 1.444907e-03 0.000000e+00| ...
0:0:01| chol 1 1
88 9|0.988|1.000|5.1e-08|8.7e-07|1.9e-05| 1.702857e-05 0.000000e+00| ...
0:0:01| chol 1 1
89 10|0.987|1.000|6.9e-10|1.0e-08|3.3e-07| 3.017835e-07 0.000000e+00| ...
0:0:01| chol 1 1
90 11|0.526|1.000|3.3e-10|1.4e-10|1.9e-07| 1.730310e-07 0.000000e+00| ...
0:0:01| chol 1 1
91 12|0.537|1.000|1.5e-10|6.6e-11|1.0e-07| 9.833198e-08 0.000000e+00| ...
0:0:01| chol 1 1
92 13|0.546|1.000|6.9e-11|3.0e-11|5.8e-08| 5.514322e-08 0.000000e+00| 0:0:02| 93 stop: max(relative gap, infeasibilities) < 1.00e-07
94 ---95 number of iterations = 13
96 primal objective value = 5.51432219e-08 97 dual objective value = 0.00000000e+00 98 gap := trace(XZ) = 5.82e-08
99 relative gap = 5.82e-08 100 actual relative gap = 5.51e-08 101 rel. primal infeas = 6.88e-11 102 rel. dual infeas = 3.03e-11
103 norm(X), norm(y), norm(Z) = 2.3e-07, 9.9e+01, 3.0e+02 104 norm(A), norm(b), norm(C) = 1.5e+02, 1.0e+00, 1.0e+02 105 Total CPU time (secs) = 1.50
106 CPU time per iteration = 0.12 107 termination code = 0
108 DIMACS: 6.9e-11 0.0e+00 3.0e-11 0.0e+00 5.5e-08 5.8e-08
109 ---110 111 solution = 112 113 yalmiptime: 0.5933 114 solvertime: 1.8087
115 info: 'Successfully solved (SDPT3-4)' 116 problem: 0
