4 An´ alise dos Resultados
4.1 Modelagens com as s´ eries originais
As modelagens computacionais propostas no resumo da metodologia foram realizadas com dados de volume de ´agua faturada e volume de esgoto faturado (em m3) de uma empresa de Saneamento B´asico no Estado do Rio de Janeiro. As s´eries originais possuem 180 observa¸c˜oes mensais coletadas de janeiro de 2002 `a dezembro de 2016. As figuras 4 e 5 apresentam os comportamentos das s´eries de ´agua e esgoto, respectivamente.
Figura 4: S´erie Original de Volume Mensal Faturado de ´Agua (m3)
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Figura 5: S´erie Original de Volume Mensal Faturado de Esgoto (m3)
Em ambos os gr´aficos, ´e interessante observar que a tendˆencia das s´eries ´e crescente.
Isso se d´a devido ao amadurecimento da empresa ao longo dos anos nos ˆambitos tec-nol´ogicos de medi¸c˜ao e expans˜oes de redes de ´agua e esgoto, promovendo um elevado acr´escimo de clientes na primeira d´ecada. Al´em disso, foi poss´ıvel visualizar uma queda relevante nas s´eries a partir do in´ıcio da crise econˆomica em 2014 onde, por mais que seus comportamentos temporais tenham sido mantidos (tamb´em devido ao crescimento vegetativo do munic´ıpio), o volume faturado tanto de ´agua quanto esgoto sofreram um decr´escimo.
As s´eries originais foram modeladas via modelos de Amortecimento Exponencial de Holt-Winters e modelos de Box & Jenkins da classe ARIM A pelo FPW. Al´em dos re-sultados obtidos a partir das escolhas do programa especialista, foram realizadas diversas modelagens afim de obter o modelo com as melhores estat´ısticas de aderˆencia e compor-tamento gr´afico, para ambas as s´eries.
De todos os modelos testados nas duas classes de modelos, os trˆes que obtiveram melhor desempenho quanto `as estat´ısticas de aderˆencia foram selecionados. A Tabela 2 apresenta os trˆes modelos com melhor desempenho na classe de modelos de amortecimento exponencial de Holt-Winters para a modelagem do volume faturado de ´agua.
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Tabela 2: Modelos de Holt-Winters (Volume Faturado de ´Agua)
Modelo BIC MAPE RMSE R2 R2 Ajust.
HW1 64270 0.01250 62450 0.9178 0.9174 HW2 64420 0.01250 61690 0.9198 0.9189 HW3 65010 0.01240 61370 0.9206 0.9193
onde, HW1 = Modelo de Exponencial Smoothing de Holt-Winters sem tendˆencia e sa-zonalidade multiplicativa, HW2 = Modelo Multiplicative Winters de Holt-Winters com tendˆencia linear e sazonalidade multiplicativa e HW3 = Modelo deExponencial Smoothing de Holt-Winters com tendˆencia amortecida e sazonalidade multiplicativa.
De acordo com os resultados apresentados na Tabela 2, o modelo que obteve o me-lhor desempenho em rela¸c˜ao as estat´ısticas de aderˆencia foi o modelo de amortecimento exponencial de Holt-Winters com sazonalidade multiplicativa e tendˆencia amortecida.
Para modelagem via Box & Jenkins, foram realizados os testes de normalidade, es-tacionariedade e homocedasticidade na s´erie original de volume faturado de ´agua, e as suposi¸c˜oes foram satisfeitas pela s´erie. A Tabela 3 apresenta os trˆes modelos com me-lhor desempenho na classe dos modelos ARIMA de Box & Jenkins para a modelagem do volume faturado de ´agua.
Tabela 3: Modelos de Box & Jenkins (Volume Faturado de ´Agua)
Modelo Transf. Logar´ıtmica BIC MAPE RMSE R2 R2 Ajust.
BJ1 N˜ao 64000 0.01244 61290 0.9208 0.9200
BJ2 N˜ao 59860 0.01103 58150 0.9287 0.9283
BJ3 Sim 58920 0.01099 58170 0.9316 0.9312
onde, BJ1 = Modelos de Box & Jenkins SARIM A(0,1,1)×(1,0,1), BJ2 = Modelos de Box & Jenkins SARIM A(0,1,1) × (0,0,1) e BJ3 = Modelos de Box & Jenkins SARIM A(0,1,1)×(0,1,1).
De acordo com os resultados apresentados na Tabela 3, o modeloSARIM A(0,1,1)× (0,1,1) com transforma¸c˜ao logar´ıtmica obteve o melhor desempenho, pois mostrou-se mais eficiente nas estat´ısticas de aderˆencia MAPE, R2 e R2 Ajustado. E importante´ ressaltar que a compara¸c˜ao mais precisa entre as estat´ısticas de aderˆencia das modelagens com e sem transforma¸c˜ao logar´ıtmica, seria aplicar a fun¸c˜ao exponencial na s´erie original e depois realizar a modelagem. O programa FPW n˜ao permite a aplica¸c˜ao do m´etodo citado, logo, foi considerada a compara¸c˜ao sem a aplica¸c˜ao da fun¸c˜ao exponencial.
Nas figuras 6 e 7 ´e poss´ıvel visualizar os gr´aficos dos modelos citados acima para
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a previs˜ao de volume faturado de ´agua. Os gr´aficos apresentam a compara¸c˜ao entre os dados da s´erie original (linha preta) e os dados da curva modelada (linha vermelha), assim como as 12 previs˜oes para o ano de 2017.
Figura 6: S´erie Original modelada por Holt-Winters (Volume Faturado de ´Agua (m3))
Figura 7: S´erie Original modelada por Box & Jenkins (Volume Faturado de ´Agua (m3))
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Os modelos de Holt-Winters e Box & Jenkins que resultaram as melhores estat´ısticas de aderˆencia para a s´erie original de volume faturado ´agua est˜ao na Tabela 4.
Tabela 4: Melhores modelos de Holt-Winters e Box & Jenkins (S´erie Original Volume Faturado de ´Agua)
Modelo Transf. Logar´ıtmica BIC MAPE RMSE R2 R2 Ajust.
HW3 N˜ao 65010 0.01240 61370 0.9206 0.9193
BJ3 Sim 58920 0.01099 58170 0.9316 0.9312
onde, HW3 = Modelo deExponencial Smoothing de Holt-Winters com tendˆencia amorte-cida e sazonalidade multiplicativa e BJ3 = Modelos de Box & JenkinsSARIM A(0,1,1)×
(0,1,1) com transforma¸c˜ao logar´ıtmica.
De acordo com os resultados da Tabela 4, o modelo de Box & Jenkins apresentou melhores resultados nas estat´ısticas de aderˆencias e com isso, pode-se confirmar que ´e o melhor modelo para a previs˜ao do volume faturado de ´agua utilizando a s´erie original. A equa¸c˜ao do modelo ´e apresentada em (4.1).
Zt =Zt−1+Zt−12−Zt−13+t−0.6121t−1−0.9134t−12+ 0.5591t−13 (4.1) Ondeθ1 = 0.6121 e Θ1 = 0.9134.
A an´alise realizada para s´erie de volume faturado de ´agua foi replicada para a s´erie de volume faturado de esgoto. A Tabela 5 apresenta os 3 melhores resultados entre as modelagens de Holt-Winters da s´erie original de volume faturado de esgoto.
Tabela 5: Modelos de Holt-Winters (Volume Faturado de Esgoto)
Modelo BIC MAPE RMSE R2 R2 Ajust.
HW1 55280 0.01445 52180 0.9528 0.9520 HW2 54810 0.01466 52490 0.9522 0.9525 HW3 55490 0.01445 52380 0.9517 0.9525
onde, HW1 = Modelo deExponencial Smoothing de Holt-Winters com tendˆencia amorte-cida e sazonalidade aditiva, HW2 = ModeloMultiplicative Winters de Holt-Winters com tendˆencia linear e sazonalidade aditiva e HW3 = Modelo de Exponencial Smoothing de Holt-Winters com tendˆencia amortecida e sazonalidade multiplicativa.
Em an´alise das estat´ısticas aderˆencia apuradas na Tabela 5, os modelos resultaram valores parecidos. Contudo, o modelo HW1 apresentou resultados levemente superiores nas estat´ısticas de aderˆencia MAPE, RMSE e R2.
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Para modelagem via Box & Jenkins, foram realizados os testes de normalidade, es-tacionariedade e homocedasticidade na s´erie original de volume faturado de esgoto, e as suposi¸c˜oes foram satisfeitas pela s´erie. A Tabela 6 apresenta os 3 melhores resultados entre as modelagens de Box & Jenkins da s´erie original de volume faturado de esgoto.
Tabela 6: Modelos de Box & Jenkins (Volume Faturado de Esgoto) Modelo Transf. Logar´ıtmica BIC MAPE RMSE R2 R2 Ajust.
BJ1 N˜ao 54090 0.01392 50320 0.9561 0.9551
BJ2 N˜ao 51210 0.01277 49750 0.9571 0.9569
BJ3 Sim 54460 0.01404 50880 0.9582 0.9572
onde, BJ1 = Modelos de Box & Jenkins SARIM A(0,1,1)×(2,0,2), BJ2 = Modelos de Box & Jenkins SARIM A(0,1,1) × (0,1,1) e BJ3 = Modelos de Box & Jenkins SARIM A(0,1,1)×(2,0,2) com transforma¸c˜ao logar´ıtmica.
De acordo com os resultados apresentados na Tabela 6, a funcionalidade da escolha do especialista sugeriu como melhor modelo o BJ1. Contudo, o modelo BJ2 apresenta os melhores resultados para as estat´ısticas BIC, MAPE e RMSE. Os melhores R2 e R2 ajustado, foram obtidos a partir de uma transforma¸c˜ao logar´ıtmica no modelo sugerido BJ1.
As figuras 8 e 9 apresentam os gr´aficos do modelo aditivo de amortecimento exponen-cial de Holt-Winters com tendˆencia amortecida e Box & Jenkins ARIMA(0,1,1)*(2,0,2) com transforma¸c˜ao logar´ıtmica, respectivamente. Assim como nos gr´aficos apresentados da s´erie modelada de volume faturado ´agua, os gr´aficos abaixo comparam os dados da s´erie original (linha preta) e os dados da curva modelada (linha vermelha) e, mostram as 12 previs˜oes da s´erie de volume faturado de esgoto para o ano de 2017.
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Figura 8: S´erie Original modelada por Holt-Winters (Volume Faturado de Esgoto (m3))
Figura 9: S´erie Original modelada por Box & Jenkins (Volume Faturado de Esgoto (m3)) Os modelos de Holt-Winters e Box & Jenkins que resultaram as melhores estat´ısticas de aderˆencia para a s´erie original de volume faturado esgoto est˜ao na Tabela 7.
Tabela 7: Melhores modelos de Holt-Winters e Box & Jenkins (S´erie Original Volume Faturado de Esgoto)
Modelo Transf. Logar´ıtmica BIC MAPE RMSE R2 R2 Ajust.
HW1 N˜ao 55280 0.01445 52180 0.9528 0.9520
BJ2 N˜ao 51210 0.01277 49750 0.9571 0.9569
onde, HW1 = Modelo deExponencial Smoothing de Holt-Winters com tendˆencia amorte-cida e sazonalidade aditiva e BJ2 = Modelos de Box & JenkinsSARIM A(0,1,1)×(0,1,1).
4.2 Filtragem SSA para s´erie de Volume Faturado de ´Agua 38
De acordo com os resultados da Tabela 7, o modelo de Box & Jenkins apresentou melhores resultados nas estat´ısticas de aderˆencias e com isso, pode-se confirmar que ´e o melhor modelo para a previs˜ao do volume faturado de esgoto utilizando a s´erie original.
A equa¸c˜ao do modelo ´e apresentada em (4.2).
Zt =Zt−1+Zt−12−Zt−13+t−0.6395t−1−0.9169t−12+ 0.5864t−13 (4.2) Ondeθ1 = 0.6395 e Θ1 = 0.9169.