O Problema do Caixeiro Viajante Multiproduto [Sar03] [SL07b] [SMLM07] pode ser de- finido da seguinte forma: considere um grafo completo, dirigido e assim´etrico G = (V, A), onde V representa um conjunto de v´ertices e A um conjunto de arcos. Suponha tamb´em que exista uma origem 1 e, para cada v´ertice k ∈ V , uma demanda dk de um produto
espec´ıfico k deve ser entregue durante um circuito Hamiltoniano. A demanda da origem ´e igual a uma unidade e representa o operador log´ıstico respons´avel pelas entregas que precisa retornar ao ponto de partida. Nesse problema, existem custos fixos relacionados a atravessar um arco (i, j) ∈ A e tamb´em custos vari´aveis para cada produto diferente que est´a sendo transportado por arcos diferentes. O objetivo ´e entregar todas as demandas minimizando a soma dos custos fixos e vari´aveis.
No PCVM, o operador log´ıstico paga um custo fixo para atravessar um determinado arco (i, j). Esse custo est´a relacionado `a distˆancia e `a infra-estrutura de transporte e ´e pago quando o operador log´ıstico atravessa um arco, mesmo utilizando um ve´ıculo sem nenhuma carga. Esse custo fixo pode ser visto como o custo considerado no PCV original. Al´em do custo fixo, o PCVM tamb´em incorpora a cada produto um custo vari´avel que atravessa cada arco. Esse custo vari´avel para cada tipo de produto trafegando em cada arco ´e uma fun¸c˜ao dos tipos e das quantidades de produtos transportados por aquele arco. O papel do custo vari´avel ´e estabelecer o fato de acordo com o qual redes de transporte lidam com diferentes produtos de diferentes valores agregados que est˜ao sendo transportados em quantidades diferentes por rotas tamb´em diferentes.
Nesse problema variante do PCV, os tipos e as quantidades de produtos que devem ser entregues e que s˜ao transportados atrav´es dos arcos influenciam de forma importante o custo total. Isso significa que os consumidores que necessitam de uma demanda maior de produtos mais valiosos ou de alto risco de transporte devem ser atendidos com uma prioridade mais alta. Outra interpreta¸c˜ao cab´ıvel ´e que se as tradicionais variantes do PCV s˜ao orientadas ao custo, o PCVM ´e tamb´em orientado ao cliente. Por exemplo: materiais mais sens´ıveis podem exigir estrutura de transporte especial; produtos perec´ıveis podem pagar por refrigera¸c˜ao; clientes importantes podem ser atendidos com uma certa prioridade enquanto outros tipos de produtos e/ou clientes n˜ao requerem esse grau de aten¸c˜ao.
M com os seguintes conjuntos de vari´aveis:
xij =
(
1 se o caixeiro percorre o arco(i, j), 0 caso contr´ario.
fijk: fra¸c˜ao da demanda total do produto k transportada no arco (i, j) destinado ao
v´ertice de demanda k
e o seguintes conjuntos de parˆametros
bij: custo fixo (estrutural) de percorrer o arco (i, j).
cijk: custo unit´ario de transportar o produto k pelo arco (i, j).
dk: demanda do v´ertice k.
O modelo permite que os custos vari´aveis sejam dependentes tanto do produto como do arco.
O modelo matem´atico M ´e:
min X (i,j)∈A (bijxij + X k∈V cijkdkfijk) (4.1)
sujeito a X i∈V |i6=j xij = 1 ∀j ∈ V (4.2) X j∈V |i6=j xij = 1 ∀i ∈ V (4.3) fijk ≤ xij ∀i, j, k ∈ V, i 6= j (4.4) X j∈V |j6=1 f1j1= 1 (4.5) X j∈V |j6=1 (f1jk− fj1k) = 1 ∀k ∈ V, k 6= 1 (4.6) X i∈V |i6=1 fi11= 1 (4.7) X i∈V |i6=k (fikk− fkik) = 1 ∀k ∈ V, k 6= 1 (4.8) X i∈V |i6=j,,i6=k (fjik− fijk) = 0 ∀k, j ∈ V, j 6= k, j 6= 1 (4.9) X i,j,k∈V |i6=j fijk = n(n+1)2 (4.10) fijk ≥ 0 ∀i, j, k ∈ V, i 6= j (4.11) xij ∈ {0, 1} ∀i, j ∈ V, i 6= j (4.12) onde n =| V |.
A fun¸c˜ao objetivo (4.1) soma os custos para todos os arcos da rede. Cada arco possui dois custos. O primeiro refere-se ao custo fixo de percorrer um arco. Ele ´e independente dos produtos que est˜ao sendo transportados. O segundo refere-se ao custo associado com a transferˆencia, pelos arcos do caminho, de todos os produtos, do v´ertice origem ao espec´ıfico v´ertice de destino.
As equa¸c˜oes (4.2) e (4.3) s˜ao as restri¸c˜oes de atribui¸c˜ao introduzidas em 1954 por Dantzig, Fulkerson e Johnson [DFJ54]. Elas garantem que existe somente um arco saindo e um arco chegando a cada v´ertice. As restri¸c˜oes (4.4) acoplam as vari´aveis x com as vari´aveis f . Elas asseguram que nenhum fluxo ´e permitido em um arco (i, j) a menos que o custo fixo bij seja pago para percorrer esse arco.
As equa¸c˜oes (4.5) e (4.6) garantem que o fluxo total do produto k que ´e originado do v´ertice origem 1 ´e igual `a demanda dk do consumidor localizado no v´ertice k. A restri¸c˜ao
(4.5) ´e relativa ao caso especial em que k = 1. De outra forma, as restri¸c˜oes (4.7) e (4.8) imp˜oem que a demanda espec´ıfica dk do produto k ´e igual ao fluxo total desse produto que
chega ao v´ertice k. Da mesma forma, a restri¸c˜ao (4.7) ´e relativa ao caso especial em que k = 1. Restri¸c˜oes (4.9) garantem a conserva¸c˜ao de fluxo de qualquer produto atrav´es dos v´ertices que n˜ao sejam destinos finais para esse produto. O fato de o fluxo de qualquer produto por qualquer arco n˜ao ser negativo ´e garantido pelas equa¸c˜oes (4.11). Esse tipo de restri¸c˜oes de fluxo (4.5)-(4.9) ´e tradicional em termos de problemas de roteamento, como pode ser visto no trabalho de Laporte e Norbert [LN87]. Pelo que se sabe esse tipo de restri¸c˜ao de conserva¸c˜ao de fluxo foi originalmente proposta por Garvin et al. [GCJS57]. A equa¸c˜ao redundante (4.10) assegura que o n´umero de produtos que percorrem todos os arcos ´e expresso por n(n+1)2 , onde n =| V | (4.10). O fato que todas as vari´aveis xij s˜ao
bin´arias ´e assegurado pelas restri¸c˜oes (4.12).
Gavish e Graves [GS79], Finke, Claus e Gunn [FCG84] e Laporte e Norbert [LN87], dentre outros, tamb´em mostraram modelos para o PCV e para o Problema de Roteamento de Ve´ıculos que utilizavam vari´aveis de fluxos como vari´aveis respons´aveis pela elimina¸c˜ao de subciclos.
Em rela¸c˜ao `a tradicional formula¸c˜ao de Dantzig, Fulkerson e Johnson [DFJ54], que ´e limitada ao espa¸co das vari´aveis xij, a inclus˜ao das vari´aveis de fluxo fijkaumenta de forma
polinomial o n´umero de vari´aveis do problema. Ao inv´es de trabalhar com somente uma vari´avel bin´aria para cada arco (i, j), a formula¸c˜ao (4.1)-(4.12) tamb´em opera com | V | vari´aveis cont´ınuas para cada arco (i, j).
Como dito anteriormente, o Problema do Caixeiro Viajante Multiproduto (PCVM)(4.1)- (4.12) pode ser reduzido ao cl´assico Problema do Caixeiro Viajante, ao Problema de M´ınima Latˆencia e tamb´em ao Problema de Um Ve´ıculo de Entrega. O PCVM torna-se o PCV se todos os custos vari´aveis forem nulos, cijk = 0. O PCVM torna-se o PML quando todas as
demandas forem unit´arias, dk = 1, todos os custos fixos forem nulos, bij = 0, e os custos
vari´aveis forem os mesmos para cada produto k.
Apesar de uma pequena modifica¸c˜ao no que diz respeito `a demanda de retorno d1,
observe que o PCVM ´e redut´ıvel ao PUVE quando os custos fixos bij forem nulos e os