O Problema do Caixeiro Viajante Multiproduto Congestionado (PCVMC) pode ser defi- nido da seguinte forma: considere um grafo completo, dirigido e assim´etrico G = (V, A), onde V representa um conjunto de v´ertices e A um conjunto de arcos. Suponha tamb´em que exista uma origem 1 e, para cada v´ertice k ∈ V , uma demanda dk de um produto
espec´ıfico k deve ser entregue durante um circuito Hamiltoniano. A demanda da origem ´e igual a uma unidade e representa o operador respons´avel pelas entregas que precisa re- tornar ao ponto de partida. Cada arco ainda possui uma capacidade de transporte. Nesse problema, existem custos fixos relacionados a atravessar um arco (i, j) ∈ A e, tamb´em, cus- tos vari´aveis relacionados tanto ao custo de cada produto heterogˆeneo a ser transportado por arcos diferentes como ao atraso na entrega devido a problemas de congestionamento. Esse congestionamento, como citado anteriormente, pode ser medido tanto no transporte como na entrega dos produtos. O objetivo do PCVMC ´e entregar todas as demandas minimizando a soma dos custos fixos e vari´aveis (lineares e n˜ao-lineares). No PCVMC s˜ao exploradas caracter´ısticas de projeto de topologia, roteamento e capacidade dos arcos assim como [BF77] [Gav83] [MLS00].
No PCVMC, o operador log´ıstico paga um custo fixo para atravessar um determinado arco (i, j). Esse custo est´a relacionado `a distˆancia e `a infra-estrutura de transporte e ´e pago quando o operador log´ıstico atravessa um arco, mesmo utilizando um ve´ıculo sem nenhuma carga. Esse custo fixo ´e o mesmo custo considerado no PCV original e no PCVM. Al´em do custo fixo, o PCVMC tamb´em incorpora um custo vari´avel para cada produto que atravessa cada arco. Esse custo vari´avel est´a dividido em um custo linear e um custo n˜ao-linear. O custo vari´avel linear est´a associado a cada tipo de produto trafegando em cada arco, e ´e tanto uma fun¸c˜ao do custo fixo como tamb´em ´e uma fun¸c˜ao dos tipos e das quantidades de produtos transportados por aquele arco. O papel desse custo vari´avel ´e estabelecer o fato que redes de transporte lidam com diferentes produtos de diferentes valores agregados que s˜ao transportados em quantidades diferentes. O segundo custo vari´avel, o n˜ao-linear, est´a associado ao atraso na entrega relacionado ao peso do ve´ıculo, `a qualidade da via de transporte e `a capacidade de descarga em cada ponto de entrega desses produtos.
Nesse problema variante do PCV, os tipos e as quantidades de produtos que devem ser entregues e que s˜ao transportados atrav´es dos arcos influenciam de forma importante o custo total. Isso significa que os consumidores que necessitam de uma demanda maior de produtos mais valiosos ou de alto risco de transporte devem ser atendidos com uma prioridade mais alta. Outra interpreta¸c˜ao cab´ıvel ´e que se as tradicionais variantes do PCV s˜ao orientadas ao custo, o PCVMC ´e tamb´em orientado ao cliente, `a capacidade
da via de transporte e `a capacidade de descarga dos produtos. Por exemplo: materiais
mais sens´ıveis podem exigir estrutura de transporte especial; produtos perec´ıveis podem pagar por refrigera¸c˜ao; clientes importantes podem ser atendidos com uma certa prioridade enquanto outros tipos de produtos e/ou clientes n˜ao requerem esse grau de aten¸c˜ao; vias de transporte bem sinalizadas, bem conservadas, sem congestionamento, diminuem o atraso na entrega; empresas que possuem uma boa quantidade de operadores para a descarga dos produtos tornam esse processo mais r´apido, ajudando tanto as pr´oprias empresas que necessitam logo do produto, como influenciam na entrega desses para as localidades subseq¨uentes.
Esse problema pode ser visto como uma generaliza¸c˜ao do PCVM. Se forem retirados o custo vari´avel n˜ao-linear e a capacidade dos arcos, o PCVMC torna-se o PCVM. Como o PCVM engloba tanto o Problema de Um Ve´ıculo de Entrega como o Problema de M´ınima Latˆencia, ´e poss´ıvel dizer que o PCVMC ´e o problema mais geral desta tese, englobando todos os outros. Dessa forma, o modelo (5.2)-(5.15), apresentado para o PCVMC, pode ser usado para todos os problemas anteriormente apresentados neste trabalho.
Para esse problema pode-se definir uma formula¸c˜ao de programa¸c˜ao n˜ao-linear inteira mista com o seguinte conjunto de vari´aveis:
xij =
(
1 se o caixeiro percorre o arco(i, j), 0 caso contr´ario.
fijk: Fluxo do produto k atrav´es do arco (i, j) destinado ao v´ertice de demanda k.
gij: Fluxo total que passa atrav´es do arco (i, j).
e o seguinte conjunto de parˆametros
bij: custo fixo (estrutural) de percorrer o arco (i, j). Sup˜oe-se que bij = δϑij, onde ϑij
´e a distˆancia (em metros) entre i e j, e δ ´e o custo, por metro, para se fazer a liga¸c˜ao entre os v´ertices i e j.
cijk: custo unit´ario de transportar o produto k pelo arco (i, j).
Cij: Capacidade do arco (i, j).
dk: Demanda do v´ertice k
O modelo permite que os custos vari´aveis sejam dependentes tanto por produto como por arco. Se o custo vari´avel ´e independente por produto tem-se γk = γ ∀k ∈ V . ´E tamb´em
assumido que, para cada arco (i, j), existe uma fun¸c˜ao crescente τij(gij) do total de fluxo
que passa pelo arco. A fun¸c˜ao de congestionamento ´e assumida como sendo separ´avel com respeito aos arcos, e cada parcela τij(gij) ´e usada para avaliar a qualidade de servi¸co em
termos de custo. Qualidade de servi¸co ´e tipicamente uma fun¸c˜ao crescente que mede o congestionamento no arco onde servi¸cos s˜ao requisitados por usu´arios que competem por um determinado recurso.
Neste trabalho ´e usada a fun¸c˜ao n˜ao-linear sugerida por Kleinrock [Kle64] nos prim´ordios das redes de comunica¸c˜ao de computadores, vide Figura (5.1). Esse fun¸c˜ao aumenta expo- nencialmente `a medida que o fluxo global no arco se aproxima da capacidade do mesmo e pode ser expressa, para cada arco, pela seguinte express˜ao:
f (gij) =
gij
Cij − gij
(5.1) Obviamente, como a solu¸c˜ao do PCVMC ´e um circuito Hamiltoniano, o primeiro arco selecionado para pertencer `a solu¸c˜ao, o arco que deixa o v´ertice de origem, deve pos- suir uma capacidade maior a P
k∈V dk. `A medida que os produtos passam pelo circuito, o
custo de congestionamento vai se tornando menor. Para aumentar as caracter´ısticas combi- nat´orias do problema todas as capacidades s˜ao escolhidas aleatoriamente entre 0.7P
k∈V dk
e 1.2P
0 2 4 6 8 10 12 14 0 2 4 6 8 10 Custo (R$)
Fluxo Total(Unidades de Fluxo)
Figura 5.1: Fun¸c˜ao Kleinrock
Dessa forma, o modelo de programa¸c˜ao n˜ao-linear inteira mista proposto para o PCVMC ´e: min X (i,j)∈A [bijxij + τij(gij) + X k∈V cijkfijk] (5.2)
sujeito a X i∈V |i6=j xij = 1 ∀j ∈ V (5.3) X j∈V |i6=j xij = 1 ∀i ∈ V (5.4) xij ∈ {0, 1} ∀i, j ∈ V, i 6= j (5.5) fijk ≤ dkxij ∀i, j, k ∈ V, i 6= j (5.6) − X j∈V |j6=1 f1j1= −1 (5.7) X j∈V |j6=1 (−f1jk+ fj1k) = −dk ∀k ∈ V, k 6= 1 (5.8) X i∈V |i6=1 fi11= 1 (5.9) X i∈V |i6=k (fikk− fkik) = dk ∀k ∈ V, k 6= 1 (5.10) X i∈V |i6=j (fjik− fijk) = 0 ∀k, j ∈ V, j 6= k, j 6= 1 (5.11) fijk ≥ 0 ∀i, j, k ∈ V, i 6= j (5.12) X k∈V fijk− gij ≤ 0 ∀i, j ∈ V, i 6= j (5.13) gij ≤ Cijxij ∀i, j ∈ V, i 6= j (5.14) gij ≥ 0 ∀i, j ∈ V, i 6= j (5.15)
A fun¸c˜ao objetivo (5.2) soma os custos para todos os arcos da rede. Cada arco possui trˆes custos. O primeiro custo refere-se ao custo fixo de percorrer um arco, independente dos produtos trafegados por esse arco. O segundo custo refere-se ao custo de congestionamento n˜ao-linear associado ao fluxo total que passa pelo arco. O terceiro custo refere-se ao custo associado com a transferˆencia dos produtos pelos arcos do caminho, de todos os produtos, do v´ertice origem ao espec´ıfico v´ertice de destino. O fato de a fun¸c˜ao objetivo ser separada por arco e por produto ´e a chave para a estrat´egia de decomposi¸c˜ao que ´e usada para resolver o PCVMC.
As restri¸c˜oes (5.3) e (5.4) s˜ao aquelas de atribui¸c˜ao introduzidas em 1954 por Dantzig, Fulkerson e Johnson [DFJ54]. Essas restri¸c˜oes garantem que existe somente um arco saindo e um arco chegando a cada v´ertice. O fato que todas as vari´aveis xij s˜ao bin´arias ´e
assegurado pelas restri¸c˜oes (5.5).
As restri¸c˜oes que acoplam as vari´aveis x e f (5.6) asseguram que n˜ao existe fluxo no arco (i, j) a menos que seja pago o custo fixo bij para instalar esse arco. Essas restri¸c˜oes
s˜ao redundantes mas s˜ao usadas na estrat´egia de decomposi¸c˜ao que ser´a mostrada poste- riormente.
As equa¸c˜oes (5.7) e (5.8) garantem que o fluxo total do produto k que ´e originado do v´ertice origem 1 ´e igual `a demanda dk do consumidor localizado no v´ertice k. A restri¸c˜ao
(5.7) ´e relativa ao caso especial onde k = 1. De outra forma, as restri¸c˜oes (5.9) e (5.10) imp˜oem que a demanda espec´ıfica dk do produto k ´e igual ao fluxo total desse produto
que chega ao v´ertice k. Da mesma forma, a restri¸c˜ao (5.9) ´e relativa ao caso especial onde k = 1. Restri¸c˜oes (5.11) garantem a conserva¸c˜ao de fluxo de qualquer produto atrav´es dos v´ertices que n˜ao sejam destinos finais para esse produto. O fato de o fluxo de qualquer produto por qualquer arco n˜ao ser negativo ´e garantido pelas equa¸c˜oes (5.12).
As restri¸c˜oes (5.13) asseguram que as vari´aveis gij representam o fluxo total que passa
pelo arco (i, j). As restri¸c˜oes (5.14) asseguram que a restri¸c˜ao de capacidade de cada arco ser´a respeitada. E finalmente, as restri¸c˜oes (5.15) for¸cam a n˜ao-negatividade das vari´aveis gij.
Observe que as restri¸c˜oes (5.6)- (5.12) possuem dois objetivos. O primeiro ´e armazenar o fluxo em cada arco. Esse fluxo ´e usado para calcular o custo vari´avel linear e o custo n˜ao-linear de congestionamento. O segundo objetivo ´e evitar subciclos ilegais. Essas restri¸c˜oes eliminam a necessidade de se incluir um n´umero exponencial de restri¸c˜oes de ciclos presentes no modelo original do PCV [DFJ54].
Em rela¸c˜ao `a tradicional formula¸c˜ao de Dantzig, Fulkerson e Johnson [DFJ54], que ´e limitada ao espa¸co das vari´aveis xij, a inclus˜ao das vari´aveis de fluxo fijk e gij aumenta de
forma polinomial o n´umero de vari´aveis do problema. Ao inv´es de trabalhar com somente uma vari´avel bin´aria para cada arco (i, j), a formula¸c˜ao (5.2)- (5.15) tamb´em opera com | V + 1 | vari´aveis cont´ınuas para cada arco (i, j).