6.3 Modelando um BCM com Redes de Petri Estoc´asticas
6.3.1 Modelo conceitual
O modelo conceitual apresenta graficamente a funcionalidade do modelo de restri¸c˜ao de banda (BCM).
CAP´ITULO 6. MODELO DE DESEMPENHO PARA BCMS 126
Suponha que uma rede DS-TE define trˆes CTs e que novas requisi¸c˜oes de LSPs de cada CTi chegam a uma taxa exponencial λi. Dependendo do BCM implementado,
BCs podem proteger a interferˆencia do tr´afego entre CTs.
A Figura 6.3 especifica a SPN de um BCM geral, com limites constantes (BCs) para cada CT. Na Tabela 6.1 s˜ao descritas as interpreta¸c˜oes dos lugares, transi¸c˜oes e parˆametros do modelo. A SPN representa o compartilhamento de um link com ca- pacidade C entre trˆes CTs. A SPN apresenta simetrias com rela¸c˜ao `as caracter´ısticas das classes, permitindo a parametriza¸c˜ao do modelo. Os lugares e transi¸c˜oes que representam as classes est˜ao destacados com retˆangulos para ressaltar o fato de que as trˆes classes compartilham um recurso representado pelo lugar P0.
Na SPN da Figura 6.3 ´e adotada a seguinte conven¸c˜ao: transi¸c˜oes imediatas s˜ao representadas como barras finas; retˆangulos brancos representam o tempo de disparo das transi¸c˜oes com distribui¸c˜ao exponencial; a informa¸c˜ao de atributos que n˜ao ado- tam valores default s˜ao complementadas por meio de tabelas. No gr´afico da Figura 6.3, os valores default para os atributos At s˜ao especificados como:
W m = 1 (6.3.1)
Md = Constante (6.3.2)
P p = P RD (6.3.3)
Con = SS (6.3.4)
isto significa que todas as transi¸c˜oes que n˜ao possuem anota¸c˜oes, adotam estes valores default.
Os lugares Pi1, Pi2, Pi4 com transi¸c˜oes ti1, ti2, ti3, ti4, modelam um processo de
chegadas em uma rede com perdas. Uma marca em Pi1 habilita a transi¸c˜ao ti1 que
dispara ap´os um per´ıodo de tempo 1/λi. Depois dessa a¸c˜ao, uma marca em Pi2 pode
habilitar ti2 ou ti3. Se houver recursos dispon´ıveis, ti2 ´e habilitada. Para n˜ao ocorrer
CAP´ITULO 6. MODELO DE DESEMPENHO PARA BCMS 127
Figura 6.3: SPN de um BCM para trˆes CTs
Portanto, quando ti2est´a habilitada ent˜ao ti3n˜ao ´e disparada. Por outro lado, quando
n˜ao h´a recursos suficientes para o CTi, desabilitando ti2, ent˜ao ti3 ´e disparada.
Considerando apenas o processo de chegadas, se ti2 for disparada, uma nova marca
em Pi1garante a pr´oxima chegada. Se ti3 for disparada, a nega¸c˜ao do LSP ´e modelada,
mas mesmo assim o ac´umulo de uma marca em Pi3 habilita ti4, garantido a pr´oxima
chegada do processo.
CAP´ITULO 6. MODELO DE DESEMPENHO PARA BCMS 128
Tabela 6.1: Lugares e transi¸c˜oes para SPN com (i = 1, 2, 3) Lugar Descri¸c˜ao
Pi1 Novas requisi¸c˜oes de LSPs do CTi
Pi2 Um novo LSP espera pelo atendimento
Pi3 Novas requisi¸c˜oes que sucedem LSPs bloqueados, isto ´e,
este lugar identifica LSPs que n˜ao foram aceitos
Pi0 Armazena LSP que foram aceitos e est˜ao em atendimento
P0 Identifica o n´umero de servidores dispon´ıveis
P01, P02 Lugares que representam o compartilhamento de recursos
P03, P04 Lugares que representam a reserva de recursos
GET Representa a requisi¸c˜ao de recursos de qualquer classe P UT Representa a devolu¸c˜ao de recursos de qualquer classe Transi¸c˜ao Descri¸c˜ao
ti1 Nova requisi¸c˜ao da classe i, ´e disparada ap´os 1/λi,
representa o tempo entre chegadas
ti2 Recurso ´e cedido se a fun¸c˜ao de habilita¸c˜ao G(ti2) ´e avaliada
como Verdade
ti0 Tempo de servi¸co exponencial, ´e disparada ap´os o tempo de servi¸co µi
ti3 Nega¸c˜ao de LSP, dispara se a fun¸c˜ao de habilita¸c˜ao G(ti2) ´e avaliada
como Falsa
ti4 Pr´oxima requisi¸c˜ao ap´os nega¸c˜ao de LSP, dispara ap´os 1/λi
Parˆametro Descri¸c˜ao
BCi Restri¸c˜ao de banda de cada CTi
C Capacidade em Erlangs, com C = R + L R Bloco de capacidade reserva
L Bloco de capacidade que pode ser compartilhada
6.2 representava, mas no caso do modelo da Figura 6.3, a especifica¸c˜ao estende as caracter´ısticas para incluir o controle de recursos. Os lugares GET , P UT , P01, P02,
P03e P04com transi¸c˜oes t1 a t4 representam os poss´ıveis modos de aloca¸c˜ao ou reserva
de recursos. Estes lugares particionam a capacidade C, relacionada ao lugar P0, em
valores R e L. Os parˆametros R e L s˜ao controlados de maneira a caracterizar BCMs diferentes. As peculiaridades destes BCMs ser˜ao descritas nas pr´oximas se¸c˜oes.
De uma maneira geral em um BCM, quando uma nova requisi¸c˜ao de LSP da classe i dispara a transi¸c˜ao ti1, a chegada de uma nova requisi¸c˜ao de LSP ´e representada
CAP´ITULO 6. MODELO DE DESEMPENHO PARA BCMS 129
Tabela 6.2: Parˆametros para as transi¸c˜oes temporizadas Transi¸c˜ao Atraso Concorrˆencia
t10 1 IS t11 1/λ1 SS t14 1/λ1 SS t20 1 IS t21 1/λ2 SS t24 1/λ2 IS t30 1 IS t31 1/λ3 SS t34 1/λ3 SS
ent˜ao a transi¸c˜ao ti2 ´e disparada passando a marca imediatamente para Pi0. Caso
contr´ario, a transi¸c˜ao ti3 ´e disparada passando o token imediatamente para o lugar
Pi3, habilitando ti4.
O ac´umulo de marcas no lugar Pi0 representa LSPs ativos que seguram recursos
durante uma chamada com tempo exponencial, representado pela transi¸c˜ao ti0. As
marcas representam servidores que atendem com pol´ıtica de servidor infinito.
O conjunto de lugares e transi¸c˜oes associados `as a¸c˜oes de servi¸co e controle de recurso correspondem a um sistema de fila M/M/k/F CF S. Balsamo (2007) repre- sentou a fila M/M/k/F CF S, uma fila multiclasse com k classes por uma SPN com pol´ıtica IS. Seguindo o modelo de Balsamo, neste trabalho uma fila M/M/k/F CF S ´e utilizada para representar um n´o da rede com capacidade limitada, com pol´ıtica de admiss˜ao com Compartilhamento Total (CS – Complete Sharing).
O lugar P0 acumula servidores m´ultiplos at´e que essas marcas sejam direcionadas
para Pi0 quando ocorre o disparo de ti2. Marcas em Pi0 habilitam ti0. Isso significa
que LSPs permanecem em servi¸co durante um tempo µi associado `a transi¸c˜ao ti0. A
pol´ıtica de atendimento de ti0 ´e IS, dessa forma, ap´os o disparo de ti2, os LSPs s˜ao
CAP´ITULO 6. MODELO DE DESEMPENHO PARA BCMS 130
Tabela 6.3: Parˆametros de reserva para BCMs
BCM L R
CS C 0
MAM 0 C
RDM 0 C
MAR k1 k2
A SPN proposta neste trabalho pode ser estendida para incluir um n´umero maior de classes. Al´em disso, regras de aloca¸c˜ao diferentes podem ser modeladas combi- nando os parˆametros C, L e R. O parˆametro L representa o total de recursos que pode ser compartilhado e R representa a reserva de recurso que pode ser alocada com restri¸c˜oes durante per´ıodos de carga alta. Quando R = 0, n˜ao h´a reserva de recursos, portanto todos os recursos L = C podem ser compartilhados.
A Figura 6.3 apresenta um modelo conceitual geral para BCMs, mas peculiari- dades do modelo devem ser informadas em tabelas extras para n˜ao sobrecarregar o gr´afico com anota¸c˜oes de especificidades de cada BCM. Os parˆametros R e L por exemplo, determinam como os recursos acumulados em P0 podem ser controlados
de acordo com o BCM. A Tabela 6.3 apresenta a forma como os parˆametros L e R podem ser definidos de acordo com o BCM. Para o BCM CS n˜ao h´a reserva de recursos, portanto R = 0. Para MAM e RDM todos os recursos s˜ao divididos entre os CTs, com BCs calculados de acordo com suas regras de aloca¸c˜ao. Na SPN isso ´e representado com R = C. No MAR, tanto a reserva de recursos ´e implementada como o compartilhamento, portanto L e R s˜ao especificadas a partir de constantes inteiras k1 e k2, tal que k1+ k2 = C.
Cada BCM corresponde a um conjunto de regras de aloca¸c˜ao que s˜ao traduzidas na SPN por prioridades (Π) e fun¸c˜oes de guarda (G). As regras de aloca¸c˜ao determinam os BCs e parˆametros de cada BCM.
Partindo de uma pol´ıtica de admiss˜ao CS como base, limites representados pelos BCs s˜ao utilizados para caracterizar as regras de aloca¸c˜ao dos BCMs. Os valores BCi
CAP´ITULO 6. MODELO DE DESEMPENHO PARA BCMS 131
Os valores dos BCs s˜ao arbitr´arios na pr´atica, mas em (LAI, 2005) o autor sugere o
uso da f´ormula Erlang-B para calcular a quantidade m´axima de LSPs que podem ser atendidos para cada classe, de acordo com determinada probabilidade de bloqueio, como se essa classe estivesse utilizando a banda sozinha. O autor adotou esse m´etodo de defini¸c˜ao de BCs para analisar os modelos MAM e RDM. Os resultados da an´alise de desempenho de Lai foram utilizados como referˆencia para a valida¸c˜ao da SPN apresentada na Figura 6.3. Os resultados da valida¸c˜ao s˜ao apresentados no Cap´ıtulo 7.
Nas pr´oximas subse¸c˜oes s˜ao apresentados os parˆametros que devem ser especifi- cados para modelar os BCMs em geral e os BCMs propostos neste trabalho: o MAR com Valor de Shapley (MARS – MAR with Shapley value) e o Valor de Shapley com Modelo de Reserva de recursos (SHARM – SHApley value with Reservation Model ). Parˆametros espec´ıficos para BCM com pol´ıtica CS
A SPN da Figura 6.3 juntamente com a especifica¸c˜ao dos parˆametros das tabelas 6.4, 6.2 e 6.3 representam um BCM com pol´ıtica de compartilhamento CS. Os lugares e transi¸c˜oes dessa figura tˆem o mesmo significado apresentados na Tabela 6.1, mas n˜ao existem restri¸c˜oes de fun¸c˜ao de habilita¸c˜ao ou diferen¸cas de prioridades para cada ti2.
Isso acontece porque para a pol´ıtica de compartilhamento CS n˜ao h´a limites para os BCs. A ausˆencia de limites ´e caracterizado na SPN como cada um dos BC com limite igual `a capacidade total.
Na SPN para CS, todos os recursos s˜ao compartilhados por todos os CTs, n˜ao h´a diferencia¸c˜ao de servi¸co. O ´unico limite ´e a quantidade de recursos total dispon´ıvel em P0. Toda requisi¸c˜ao de LSP que chegar ´e atendida se houver disponibilidade,
independentemente da taxa de chegadas.
Na Tabela 6.4, a diferen¸ca dos valores de prioridade evita a ocorrˆencia de conflitos entre as transi¸c˜oes imediatas. Por exemplo, quando h´a recurso dispon´ıvel no lugar P0,
CAP´ITULO 6. MODELO DE DESEMPENHO PARA BCMS 132
Tabela 6.4: Parˆametros para as transi¸c˜oes imediatas para CS, MAM, MAR, MARS e SHARM Transi¸c˜ao Π t1 10 t2 11 t3 10 t4 11 t12 9 t13 1 t22 9 t23 1 t32 9 t33 1
Pi2. O valor de prioridade Π(ti2) = 9 para essas transi¸c˜oes determina que enquanto
houver recurso dispon´ıvel n˜ao h´a conflito com as transi¸c˜oes que representam bloqueio (ti3). J´a a diferen¸ca de prioridades das transi¸c˜oes t1 a t4 n˜ao s˜ao exploradas nos
modelos de CS, pois o parˆametro R = 0, como definido na Tabela 6.3, desabilita uma das escolhas associadas aos lugares GET e P UT .
Parˆametros espec´ıficos para o MAM
O BCM MAM tamb´em ´e especificado com a SPN da Figura 6.3, assim como a defini¸c˜ao dos parˆametros das tabelas 6.2, 6.3 e 6.4. A diferen¸ca para o CS est´a na defini¸c˜ao de BCs que s˜ao caracterizados como restri¸c˜oes fortes para cada CT.
No MAM, os valores dos BCs determinam que os LSPs sejam atendidos com uma pol´ıtica de compartilhamento parcial, porque a banda ´e compartilhada por todos os CTs apenas quando em situa¸c˜oes de carga baixa, enquanto a quantidade de LSPs no CT n˜ao alcance o limite determinado por seu BC. A partir de ent˜ao existe um particionamento da banda, pois o CT que atingiu o limite n˜ao pode utilizar a banda dispon´ıvel (se houver alguma) para outras classes.
CAP´ITULO 6. MODELO DE DESEMPENHO PARA BCMS 133
Tabela 6.5: Parˆametros para as transi¸c˜oes imediatas do RDM Transi¸c˜ao Π G t1 10 t2 11 t3 10 t4 11 t12 9 ((#P10 < BC1) ∧ ((#P10+ #P20) < BC2)); t13 1 t22 8 (((#P10+ #P20) < BC2) ∧ ((#P30+ #P20+ #P10) < BC3)); t23 1 t32 7 ((#P30+ #P20+ #P10) < BC3); t33 1
Parˆametros espec´ıficos para o RDM
A funcionalidade do RDM tamb´em ´e modelada pela SPN da Figura 6.3. Os lugares e transi¸c˜oes tˆem o mesmo significado apresentado na Tabela 6.1. No entanto, a principal caracter´ıstica deste BCM est´a na forma em que o RDM compartilha recursos. Todo o recurso representado por P0 pode ser compartilhado entre as trˆes classes, mas o P10
tem prioridade sobre o P20, que por sua vez tem prioridade sobre o P30. O n´ıvel de
prioridade ´e configurada no modelo nas transi¸c˜oes ti2.
A especifica¸c˜ao da SPN para o RDM ´e composta pela Figura 6.3 e tabelas 6.2, 6.3 e 6.5.
Express˜oes de guarda s˜ao utilizadas na SPN para o RDM para que os limites de compartilhamento sejam controlados. Guardas s˜ao express˜oes l´ogicas que determi- nam quando as transi¸c˜oes devem ser habilitadas. Na Tabela 6.5 s˜ao especificadas as express˜oes de guarda associadas ao RDM.
Na nota¸c˜ao de SPN, #P representa o n´umero de marcas acumuladas no lugar P . Neste trabalho, os s´ımbolos ∧ e ∨ s˜ao utilizados para denotar respectivamente os operadores l´ogicos E e OU.
CAP´ITULO 6. MODELO DE DESEMPENHO PARA BCMS 134
per´ıodos de baixa carga para os demais CTs. O lugar P10 na Figura 6.3, compar-
tilha marcas entre P10 e P20 at´e o limite BC2. Este conceito est´a de acordo com o
aninhamento de limites presentes no RDM, como apresentado na Se¸c˜ao 2.6. Parˆametros espec´ıficos para o MAR
A especifica¸c˜ao de SPN para o MAR, assim como suas extens˜oes MARS e SHARM s˜ao especificadas a partir da Figura 6.3 e tabelas 6.2, 6.3 e 6.4.
Para modelar o BCM MAR devem ser consideradas as situa¸c˜oes de carga alta, com limites para cada CT. Os limites s˜ao introduzidos na SPN da Figura 6.3 como condi¸c˜oes de n˜ao atendimento nas transi¸c˜oes ti2. No MAR, um CT admite novos
LSPs, se a carga estiver abaixo de um limiar ou se houver recursos dispon´ıveis e o n´umero de LSPs ativos for menor do que um limite (ASH, 2005). Essa condi¸c˜ao ´e
inclu´ıda nas transi¸c˜oes ti2 como fun¸c˜oes de guarda.
No MAR o mecanismo de aloca¸c˜ao de recursos ´e explicitamente definido como regras de aloca¸c˜ao proporcional. Os limites de BCs s˜ao calculados proporcionais `as informa¸c˜oes de medi¸c˜oes ou previs˜ao de tr´afego para os CTs. Como crit´erios de justi¸ca de aloca¸c˜ao do MAR, al´em da regra proporcional, este BCM utiliza pesos para diferenciar classes de servi¸co, dando pesos maiores para classes mais priorit´arias. Estes pesos s˜ao multiplicados pelos limites calculados de acordo com a regra de aloca¸c˜ao do MAR, como descrito na Se¸c˜ao 5.4. Na SPN os pesos tamb´em fazem parte da defini¸c˜ao dos BCs de cada CTi, fazendo parte da condi¸c˜ao de guarda na transi¸c˜ao ti2.
Da mesma forma, as regras de aloca¸c˜ao MARS e SHARM podem ser avaliadas a partir da SPN do MAR, substituindo os valores dos BCs de acordo com o modelo estudado.