Solu¸c˜ao de jogos na forma normal

A solu¸c˜ao de um jogo consiste em saber qual a melhor forma de jogar o jogo, ou seja, qual a melhor estrat´egia para cada jogador e assim at´e o resultado final.

Um processo de decis˜ao ´e aquele que requer um ´unico ou diversos conjuntos de decis˜oes para sua composi¸c˜ao. Cada decis˜ao poss´ıvel tem um ganho ou perda a ela associado, o qual ´e determinado por circunstˆancias externas ao processo.

Os conceitos de solu¸c˜ao de jogos mais conhecidos s˜ao os seguintes (FEA/USP, 1996): • Dominˆancia;

• Maximin e

• Equil´ıbrio de Nash.

No conceito de Dominˆancia, uma estrat´egia simples P ´e dominada por uma es- trat´egia Q se, para cada estrat´egia simples do advers´ario, o componente de pagamento associado a P n˜ao for melhor que o componente de pagamento associado a Q.

Uma estrat´egia ´e chamada de dominante em rela¸c˜ao a outra quando os resultados obtidos por sua utiliza¸c˜ao s˜ao melhores em rela¸c˜ao aos resultados obtidos com outra estrat´egia, qualquer que seja a atua¸c˜ao dos demais jogadores. Essa estrat´egia ´e, assim, melhor que as outras e pressup˜oe-se que ´e aquela que dever´a ser escolhida pelo jogador.

Voltando ao jogo da Tabela 3.2, a estrat´egia α1 do jogador 1 ´e dominada pela

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trar´a resultados melhores ou pelo menos iguais ao ganho com a ado¸c˜ao da estrat´egia α1.

Para o jogador 2, β1 e β3 s˜ao dominadas por β2. Ou seja, independentemente da

escolha de α1 ou α2 pelo jogador 1, a estrat´egia β2 sempre d´a melhores resultados

para o jogador 2.

A elimina¸c˜ao iterativa das estrat´egias α1, β1 e β3 levam a um jogo com apenas

uma estrat´egia para cada jogador, caracterizando a solu¸c˜ao do jogo, ou seja a escolha simultˆanea de α2β2 com ganho 65 e 35 para os jogadores 1 e 2, respectivamente.

Como uma estrat´egia simples dominada nunca pode fazer parte de uma estrat´egia ´otima, a linha ou coluna correspondente da matriz do jogo pode ser eliminada a priori. Em alguns casos, a solu¸c˜ao encontrada n˜ao necessariamente ´e a melhor poss´ıvel para os jogadores. H´a situa¸c˜oes, por´em, em que n˜ao existem estrat´egias dominantes, inviabilizando a solu¸c˜ao do jogo.

Quando n˜ao h´a estrat´egia dominante, podemos escolher a decis˜ao que maximiza o poss´ıvel ganho m´ınimo para o jogador. Neste caso, o jogador procura maximizar o m´ınimo que ele pode assegurar para si, independentemente das estrat´egias dos outros jogadores.

A estrat´egia maxmin ´e considerada uma estrat´egia pessimista pois o jogador, quando n˜ao sabe o que fazer, decide adotar estrat´egias que d˜ao o melhor resultado dentre aqueles classificados como piores resultados.

Para encontrar a estrat´egia maximin, na Tabela 3.2, o jogador 1 ao buscar o m´ınimo para cada linha ou estrat´egia αi, determina que:

• para i = 1, temos min j (a1j) = 62 • para i = 2, temos min j (a2j) = 65

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Quando maximizamos os m´ınimos encontrados obtemos:

max i minj (aij) = maxi " 62 65 # = 65.

Por outro lado, o jogador 2 conhecendo as estrat´egias do jogador 1, procura ma- ximizar os resultados dentre os valores m´ınimos ao longo das colunas βj:

max

j mini (aij) = 35.

Os resultados com estrat´egias maximin, neste caso, apontam para a mesma solu¸c˜ao encontrada com o m´etodo de elimina¸c˜ao de estrat´egias dominadas. Em particular, uma estrat´egia minimax para o jogador 1, onde, o jogador busca o m´ınimo de cada coluna em A1 e calcula o m´aximo entre estes valores, tamb´em resulta na mesma es-

colha de estrat´egia. Como a estrat´egia minimax ´e igual `a estrat´egia maxmin para os dois jogadores, os dois jogadores escolhem o mesmo par de estrat´egias simultane- amente. Neste caso, temos um equil´ıbrio e nenhum dos jogadores tem incentivo a abandonar a estrat´egia escolhida.

Quando n˜ao h´a uma coincidˆencia de valores escolhidos por ambos os jogadores, cada jogador tenta maximizar o ganho esperado, adotando uma combina¸c˜ao aleat´oria de estrat´egias. A combina¸c˜ao de estrat´egias aleat´orias dos jogadores formam um equil´ıbrio de Nash se cada estrat´egia escolhida pelo usu´ario, maximizar sua utilidade esperada, diante da escolha dos demais jogadores.

O conceito de Equil´ıbrio de Nash (ou solu¸c˜ao de Nash) ´e tamb´em conhecido como o de n˜ao arrependimento. A combina¸c˜ao de estrat´egias escolhidas leva a um resultado no qual nenhum dos jogadores individualmente se arrepende, ou seja, este jogador n˜ao poderia melhorar sua situa¸c˜ao unilateralmente modificando a estrat´egia escolhida.

Numa situa¸c˜ao em que se utiliza o conceito de equil´ıbrio de Nash, um jogador escolhe a melhor estrat´egia dada a escolha do outro. Para Gremaud em (FEA/USP,

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s˜ao definidos como jogos n˜ao cooperativos, onde cada agente econˆomico busca maxi- mizar seu resultado (payoff ) efetivando a¸c˜oes sem se preocupar com o bem-estar do oponente ou estabelecer acordos.

N˜ao se pode concluir no entanto, que o mundo real seja n˜ao-cooperativo. Existem in´umeras situa¸c˜oes cooperativas na sociedade. Os jogos n˜ao-cooperativos, no entanto, ainda s˜ao os mais utilizados nos livros-textos e cursos, dada a facilidade com que s˜ao aplicados a in´umeras situa¸c˜oes estudadas pela Economia.

No fundamento da Teoria dos Jogos est´a a suposi¸c˜ao de que os jogadores podem avaliar, a partir de suas utilidades individuais todos os poss´ıveis resultados de um jogo. Teoria dos jogos para N-pessoas analisa situa¸c˜oes onde h´a mais do que dois conjuntos de interesses em conflito, isto ´e quando h´a conflitos nas estrat´egias de dois ou mais jogadores. O confronto de informa¸c˜oes provenientes dos jogadores resultam na combina¸c˜ao de todos os resultados poss´ıveis para cada jogador. Essa combina¸c˜ao de resultados torna o processo de otimiza¸c˜ao de resultados uma tarefa complexa quando temos mais de dois jogadores. Diferentemente dos modelos de otimiza¸c˜ao onde a escolha da melhor solu¸c˜ao independe da rea¸c˜ao de outros envolvidos, na Teo- ria dos Jogos, a intera¸c˜ao entre jogadores n˜ao ´e negligenci´avel. Os resultados para cada jogador devem ser otimizados simultaneamente, de acordo com crit´erios indivi- dualizados.