Modelo de Fluxos Agregados

No modelo adaptado do MFA pretende-se minimizar a distˆancia total percorrida no conjunto dos m per´ıodos. Para o efeito, s˜ao utilizados dois conjuntos de vari´aveis de decis˜ao. Por um lado, temos as vari´aveis de decis˜ao xl_i,j, ∀(i, j) ∈ A, ∀l ∈ P , bin´arias, que assumem o valor 1 se o arco (i, j) ´e utilizado no per´ıodo l. Por outro lado temos as vari´aveis de fluxo y_i,jl , ∀(i, j) ∈ A, ∀l ∈ P , que representam a quantidade de fluxo que passa pelo arco (i, j) no per´ıodo l. N˜ao foi necess´ario criar um conjunto de vari´aveis para representar a posic¸˜ao dos nodos nos circuitos, uma vez que essa posic¸˜ao pode ser obtida com base nos valores assumidos pelas vari´aveis de fluxo. Por fim, vamos ainda considerar um parˆametro simplificador, Nl = Pn+1

i=1 Sil, que representa o n´umero de nodos que comp˜oe cada circuito l. Note-se

que neste n´umero tamb´em ´e contabilizado o dep´osito.

O modelo baseado no MFA pode ser formulado da seguinte maneira:

M inimizar n+1 X i=1 n+1 X j=1 m X l=1 Cijxlij (3.1) Sujeito a : n+1 X j=1 xl_ij = S_il; ∀i ∈ V ; ∀l ∈ P (3.2) n+1 X j=1 xl_ji = S_il; ∀i ∈ V ; ∀l ∈ P (3.3) n+1 X j=2 yl_1j = 1; ∀l ∈ P (3.4) n+1 X j=1 yl_ji− n X j=1 y_ijl = −S_il; ∀i ∈ V_c; ∀l ∈ P (3.5)

Cap´ıtulo 3. Modelos 13 y_ijl ≤ Nlxl_ij; ∀(i, j) ∈ A; ∀l ∈ P (3.6) n+1 X i=1 ys_ij− n+1 X i=1 y_ijt ≤ lim_j; ∀s ∈ P ; ∀t ∈ P ; ∀j ∈ RC ∩ N C_s∩ N C_t; s 6= t (3.7) xl_ij ∈ {0, 1}; ∀(i, j) ∈ A; ∀l ∈ P (3.8) y_ijl ≥ 0; ∀(i, j) ∈ A; ∀l ∈ P (3.9)

Na func¸˜ao objetivo (3.1) pretende-se minimizar o custo total associado ao conjunto dos m circuitos que vamos gerar. Este custo total resulta da soma dos produtos do custo de cada arco, j´a conhecido, pelo n´umero de vezes que esse mesmo arco ´e usado no conjunto de todos os circuitos.

As restric¸˜oes (3.2) e (3.3) designam-se por restric¸˜oes de afetac¸˜ao, e indicam que, se um determinado nodo faz parte de um dado circuito, ent˜ao nesse circuito tal nodo tem que ter um ´unico arco a entrar e um ´unico arco a sair. Da mesma forma, se determinado nodo n˜ao faz parte de um certo circuito, ent˜ao nesse mesmo circuito n˜ao pode haver qualquer arco a entrar ou a sair do dito nodo. As restric¸˜oes (3.4) fazem com que em cada circuito saia uma unidade de fluxo do dep´osito. As restric¸˜oes (3.5) implicam que, se um nodo faz parte de um circuito, a quantidade de fluxo que sai desse nodo nesse circuito ´e maior do que a quantidade de fluxo que entra nesse nodo no mesmo circuito em uma unidade. As restric¸˜oes (3.6) permitem-nos fazer a ligac¸˜ao entre os dois conjuntos de vari´aveis utilizados.

Como estamos a considerar que o fluxo num circuito ´e incrementado sempre que visitamos um nodo, a posic¸˜ao de um nodo no circuito pode ser obtida com base na quantidade de fluxo que entra no mesmo.

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E com base nesta ideia que surgem as restric¸˜oes (3.7), que limitam superiormente a diferenc¸a de posic¸˜ao de um nodo em quaisquer dois circuitos em que este esteja inserido.

As restric¸˜oes (3.8) e (3.9) definem o dom´ınio das vari´aveis de decis˜ao. Sabemos que as vari´aveis xl_ij s˜ao vari´aveis bin´arias e que as vari´aveis yl_ij s˜ao n˜ao negativas. No entanto, e apesar de n˜ao ser imposta mais nenhuma restric¸˜ao sobre os valores assumidos pelas vari´aveis y_ijl , sabemos ainda que estas apenas assumem valores inteiros. Com efeito, como em cada circuito sai uma unidade de fluxo do dep´osito em (3.4), em cada circuito cada nodo tem no m´aximo um arco a sair do mesmo em (3.2), e como em cada nodo de um circuito o fluxo ´e incrementado em exatamente uma unidade segundo (3.7), temos a garantia de que tal acontece.

Se considerarmos o MFA tal como j´a foi apresentado, podemos concluir que, em cada circuito ad- miss´ıvel, ´e enviada uma unidade de fluxo a partir do dep´osito, e sempre que o ve´ıculo visita um cli- ente ´e-lhe acrescentada uma unidade de fluxo. Dada esta realidade, podemos admitir que a quantidade

Cap´ıtulo 3. Modelos 14

m´axima de fluxo ser´a obtida quando for visitado o ´ultimo cliente de um circuito, sendo que essa quan- tidade m´axima ´e precisamente Nl(recorde-se que este parˆametro contabiliza o dep´osito, uma e uma s´o vez). Assim, sabemos `a partida que estas restric¸˜oes apenas ser˜ao satisfeitas como igualdade nos arcos de retorno ao dep´osito. Para os restantes arcos podemos tornar a restric¸˜ao mais apertada.

Podemos, ent˜ao, escrever as seguintes desigualdades v´alidas:

y_i1l ≤ Nlxl_i1; ∀i ∈ V ; ∀l ∈ P (3.10)

y_ijl ≤ (Nl− 1)xl_ij; ∀i ∈ V ; ∀j ∈ V_c; ∀l ∈ P (3.11)

O Modelo de Fluxos Agregados Forte que iremos considerar resulta da substituic¸˜ao das restric¸˜oes (3.6) do Modelo de Fluxos Agregados pelas desigualdades v´alidas (3.10) e (3.11) Tanto a func¸˜ao objetivo como as restantes restric¸˜oes permanecem inalteradas.

Lema 1: As restric¸˜oes (3.10) e (3.11) implicam as restric¸˜oes (3.6)

Demonstrac¸˜ao: No que diz respeito `as restric¸˜oes (3.10), estas s˜ao idˆenticas `as restric¸˜oes (3.6) nos valores dos ´ındices para os quais estas restric¸˜oes fazem sentido. Para os restantes valores dos ´ındices, basta apenas notar que (Nl− 1)xl

ij ≤ Nlxlij, j´a que xlij ≥ 0, tal como nos ´e dito nas restric¸˜oes (3.8)

Logo, verificando-se as restric¸˜oes (3.10) e (3.11), verificam-se tamb´em as restric¸˜oes (3.6). 2

Resultado 1:

i O valor ´otimo da relaxac¸˜ao linear do MFA Forte ´e igual ou superior ao valor ´otimo da relaxac¸˜ao linear do MFA.

ii Para algumas instˆancias o valor ´otimo da relaxac¸˜ao linear do MFA Forte ´e estritamente maior que o valor ´otimo da relaxac¸˜ao linear do MFA.

O lema 1 permitiu-nos mostrar que o conjunto formado pelas soluc¸˜oes admiss´ıveis da RL do Modelo de Fluxos Agregados Forte est´a contido no conjunto das soluc¸˜oes admiss´ıveis da RL do MFA, j´a que as restric¸˜oes (3.10) e (3.11) implicam (3.6), e as restantes restric¸˜oes s˜ao an´alogas para os dois modelos. Podemos ainda mostrar que podem existir instˆancias para as quais a soluc¸˜ao ´otima da RL do MFA Forte possui um valor maior do que o da soluc¸˜ao ´otima da RL do MFA. Basta apenas encontrar um exemplo de uma soluc¸˜ao que seja admiss´ıvel para o MFA, mas n˜ao para o MFA Forte.

Para o efeito, bem como para outros casos em que seja necess´ario fazer demonstrac¸˜oes semelhantes, ser´a considerado um pequeno exemplo com 2 per´ıodos e 4 clientes, sendo que em cada um dos per´ıodos tˆem que ser visitados 3 clientes. Dos dois clientes que tˆem que ser visitados nos dois per´ıodos, apenas um deles est´a sujeito a restric¸˜oes de consistˆencia. Em termos de informac¸˜oes deste exemplo temos que: N C1 = {2, 3, 4}, N C2 = {3, 4, 5}, RC = {3} e lim3 = 0.

Para este exemplo, considere-se, a t´ıtulo ilustrativo, a seguinte soluc¸˜ao:

Cap´ıtulo 3. Modelos 15

y₁₃2 = 1; y₁₄1 = 1; y1₂₃= 1; y1₃₄= 2; y2₃₄= 2; y1₄₁= 4; y₄₅2 = 3; y₅₁2 = 4. As restantes vari´aveis de decis˜ao tomam o valor 0.

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E poss´ıvel verificar que esta soluc¸˜ao ´e admiss´ıvel para o Modelo de Fluxos Agregados. No entanto, j´a n˜ao ´e admiss´ıvel para o MFA Forte. Basta notar que N1= 4 e que, portanto, y1

14= 1 > (N1− 1) ∗ x114= 34.

Fica ent˜ao provado que existem instˆancias para as quais o valor ´otimo da RL do MFA Forte ´e estritamente maior do que o valor ´otimo da RL do MFA.