Modelos para o problema do caixeiro viajante consistente

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UNIVERSIDADE DE LISBOA FACULDADE DE CI ˆENCIAS

DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇ ÃO OPERACIONAL

Modelos para o Problema do Caixeiro Viajante Consistente

Mafalda Coutinho de Ponte

MESTRADO EM ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇ ÃO OPERACIONAL Especialização em Investigação Operacional

Dissertac¸˜ao orientada por:

Professor Doutor Lu´ıs Eduardo Neves Gouveia Professora Doutora Ana Maria Duarte Silva Alves Paias

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Agradecimentos

Em primeiro lugar gostaria de agradecer aos meus orientadores, o Professor Doutor Lu´ıs Eduardo Neves Gouveia e a Professora Doutora Ana Maria Duarte Silva Alves Paias, por toda a disponibilidade, apoio e partilha de confiança, que foram indispensáveis à elaboração da presente dissertação.

Não menos importante, devo um agradecimento à minha fam´ılia, em especial aos meus pais, pela educação que me proporcionaram, e por todo o apoio e motivação concedidos.

Esta dissertação foi financiada por fundos nacionais da FCT - Fundacão para a Ciência e a Tecnologia, ao abrigo do projecto: PTDC/MAT-NAN/2196/2014.

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Resumo

Vamos considerar um conjunto de per´ıodos, dias por exemplo, que compõem um horizonte temporal e um conjunto de clientes que têm que ser visitados em pelo menos um per´ıodo. Para cada per´ıodo deve ser gerada uma rota. Pretende-se determinar o conjunto de rotas de custo m´ınimo, todas com in´ıcio e fim num depósito, que permitem visitar todos os clientes nos per´ıodos em que estes requerem visita, e que garantem que os clientes que requerem consistência ocupam posições relativas suficientemente próximas em todas as rotas em que estão inseridos. São conhecidos os custos de deslocação entre cada para de clientes e entre cada cliente e o depósito, quais os clientes a servir em cada per´ıodo e quais os clientes que requerem consistência. Este problema resulta de uma adaptação do Consistent Travelling Salesman Problem(CTSP).

O CTSP constitui-se uma extens˜ao do TSP. Consequentemente, pertence `a classe de problemas NP-dif´ıcil.

No estudo realizado na presente dissertação foram comparados dois modelos principais. Um dos mo-delos resulta da adaptação do Modelo de Fluxos Agregados (MFA), e outro resulta da adaptação do modelo proposto por Picard e Queyranne (PQ). A utilização de desigualdades válidas para fortalecer as relaxações lineares destes dois modelos permitiu construir outros dois modelos: o Modelo de Fluxos Agregados Forte (MFA Forte) e o Modelo de Picard e Queyranne Forte (PQ Forte). Numa primeira fase foram provadas várias relações relativamente à qualidade das relaxações lineares dos quatro mo-delos. Numa segunda fase os modelos foram comparados com base nos resultados de uma experiência computacional.

Para realizar a experiência computacional foram geradas aleatoriamente 180 instâncias de teste. Estas instâncias podem considerar 20 ou 30 clientes, e 2 ou 3 per´ıodos, e diferem entre si quanto ao número de clientes que têm que ser visitados em cada per´ıodo e o número de clientes sujeito a restrições de consistência. A experiência computacional permitiu avaliar não só a qualidade da relaxação linear de cada modelo, mas também o desempenho computacional dos modelos em estudo.

Palavras-chave: Algoritmos exatos; Traveling Salesman Problem; Consistˆencia

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Abstract

We will suppose that we have a set of periods, days for instance, composing a time horizon, and a set of customers who need to be visited in at least one of those periods. For each period we need to generate a route. Our goal is to determine a minimum cost set of routes, all of those starting and finishing at a depot, such that every costumer is visited in all the periods he must be visited, ensuring that all customers requiring consistency are visited in similar relative positions in all the routes they are inserted in. All the travel costs between any pair of customers or any customer and the depot are known, as well as which customers must be visited in each period and which customers require consistency. The aforementioned problem is a variant of the Consistent Traveling Salesman Problem (CTSP).

The CTSP is an extension of the TSP. Consequently, it belongs to the class of NP-hard problems. In the study developed in this thesis two main models were compared. One of them results from adapting the Aggregated Flow Model (MFA), the second one was adapted from Picard and Queyranne Model (PQ). Using valid inequalities to strengthen the bounds provided by linear relaxations allowed us to build two other models: Strong Aggregated Flow Model (MFA Forte) and Strong Picard and Queyranne Model (PQ Forte). Firstly we were able to prove some relations concerning the quality of each model’s linear relaxation. Finally, a computational experiment was performed in order to compare the four models’ performance.

In order to carry out the computational experiment 180 instances were randomly generated. Such in-stances may consider 20 or 30 customers, as well as 2 or 3 periods. They may also differ in the number of customers to visit in each period and the number of customers subject to consistency restrictions. This experiment allowed us to evaluate not only the quality of each model’s linear relaxation, but also the four models’ computational performance.

Keywords: Exact Algorithms; Traveling Salesman Problem; Consistency

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´Indice

Lista de Figuras ix

Lista de Tabelas xi

Lista de Siglas xv

1 Introduc¸˜ao 1

2 Problema do Caixeiro Viajante Consistente 3

2.1 Descric¸˜ao do Problema . . . 3

2.2 Revis˜ao Bibliogr´afica . . . 4

2.2.1 Period Traveling Salesman Problem . . . 4

2.2.2 Time-Dependent Traveling Salesman Problem . . . 5

2.2.3 Sincronização e Consistência . . . 6

3 Modelos 9 3.1 Definic¸˜ao do problema . . . 9

3.2 Formulac¸˜oes . . . 10

3.2.1 Modelo de Fluxos Agregados . . . 12

3.2.2 Modelo de Picard e Queyranne . . . 15

4 Experiência Computacional 23 4.1 Geração das Instâncias de Teste . . . 23

4.2 Resultados Obtidos . . . 26

4.2.1 Desempenho Computacional . . . 27

4.2.2 Qualidade dos Limites . . . 35

4.3 Comparac¸˜ao dos Modelos . . . 45

4.3.1 Desempenho Computacional . . . 45

4.3.2 Qualidade dos Limites . . . 49

5 Conclus˜ao 55

Bibliografia 57

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Lista de Figuras

3.1 Solução não admiss´ıvel devido às restrições de consistência . . . 10

3.2 Soluc¸˜ao admiss´ıvel . . . 11

3.3 Solução não admiss´ıvel devido aos per´ıodos em que o serviço deve ser realizado . . . 11

3.4 Relações entre as relaxações lineares dos modelos propostos . . . 22

4.1 Esquema da distribuic¸˜ao dos nodos clientes quando m=2 . . . 23

4.2 Esquema da distribuic¸˜ao dos clientes quando m=3 . . . 25

4.3 Número de testes que obtiveram a solução ótima, por caso e por modelo (m = 2 e n = 20) 45 4.4 Número de testes que obtiveram a solução ótima, por valor de Lim e por modelo (m = 2 e n = 20) . . . 45

4.9 M´edias dos tempos de processamento (segundos) para os problemas inteiros, por caso e por modelo (m = 2 e n = 20) . . . 47

4.12 Médias dos tempos de execução (segundos) das relaxações lineares, por caso e por mo-delo (m = 2 e n = 20) . . . 49

4.16 M´edias dos valores da medida de desempenho dist, por caso e por modelo (m = 2 e n = 20) . . . 51

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4.17 M´edias dos valores da medida de desempenho dist, por caso e por modelo (m = 2 e n = 30) . . . 51 4.18 M´edias dos valores da medida de desempenho dist, por caso e por modelo (m = 3 e

n = 20) . . . 52 4.19 Médias dos valores do gap da Relaxação Linear, por caso e por modelo (m = 2 e n = 20) 52 4.20 Médias dos valores do gap da Relaxação Linear, por caso e por modelo (m = 2 e n = 30) 52 4.21 Médias dos valores do gap da Relaxação Linear, por caso e por modelo (m = 3 e n = 20) 53 4.22 Médias dos valores do gap da Relaxação Linear, por caso e por modelo (m = 3 e n = 30) 53

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Lista de Tabelas

4.1 Geração das instâncias de teste quando n = 20 e m = 2 . . . 24 4.2 Geração das instâncias de teste quando n = 20 e m = 3 . . . 25 4.3 Médias dos tempos de execução (segundos) dos problemas inteiros - Modelo de Fluxos

Agregados Forte (m = 2 e n = 20) . . . 27 4.4 Médias dos tempos de execução (segundos) dos problemas inteiros - Modelo de Fluxos

Agregados Forte (m = 2 e n = 30) . . . 28 4.5 Médias dos tempos de execução (segundos) dos problemas inteiros - Modelo de Fluxos

Agregados Forte (m = 3 e n = 20) . . . 28 4.6 Médias dos tempos de execução (segundos) dos problemas inteiros - Modelo de Picard e

Queyranne (m = 2 e n = 20) . . . 28 4.7 Médias dos tempos de execução (segundos) dos problemas inteiros - Modelo de Picard e

Queyranne Forte (m = 2 e n = 20) . . . 30 4.11 Médias dos tempos de execução (segundos) dos problemas inteiros - Modelo de Picard e

Queyranne Forte (m = 2 e n = 30) . . . 30 4.12 Médias dos tempos de execução (segundos) dos problemas inteiros - Modelo de Picard e

Queyranne Forte (m = 3 e n = 20) . . . 30 4.13 Médias dos tempos de execução (segundos) das Relaxações Lineares - Modelo de Fluxos

Agregados Forte (m = 2 e n = 20) . . . 31 4.14 Médias dos tempos de execução (segundos) das Relaxações Lineares - Modelo de Fluxos

Agregados Forte (m = 3 e n = 30) . . . 32 4.17 Médias dos tempos de execução (segundos) das Relaxações Lineares - Modelo de Picard

e Queyranne (m = 2 e n = 20) . . . 33 xi

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4.18 Médias dos tempos de execução (segundos) das Relaxações Lineares - Modelo de Picard e Queyranne (m = 2 e n = 30) . . . 33 4.19 Médias dos tempos de execução (segundos) das Relaxações Lineares - Modelo de Picard

e Queyranne (m = 3 e n = 20) . . . 33 4.20 Médias dos tempos de execução (segundos) das Relaxações Lineares - Modelo de Picard

e Queyranne (m = 3 e n = 30) . . . 34 4.21 Médias dos tempos de execução (segundos) das Relaxações Lineares - Modelo de Picard

e Queyranne Forte (m = 2 e n = 20) . . . 34 4.22 Médias dos tempos de execução (segundos) das Relaxações Lineares - Modelo de Picard

e Queyranne Forte (m = 3 e n = 30) . . . 35 4.25 M´edias das medidas de desempenho var - Modelo de Fluxos Agregados Forte (m = 2 e

n = 20) . . . 36 4.26 M´edias das medidas de desempenho var - Modelo de Fluxos Agregados Forte (m = 2 e

n = 30) . . . 36 4.27 M´edias das medidas de desempenho var - Modelo de Fluxos Agregados Forte (m = 3 e

n = 20) . . . 37 4.28 M´edias das medidas de desempenho dist - Modelo de Fluxos Agregados Forte (m = 2

e n = 20) . . . 37 4.29 M´edias das medidas de desempenho dist - Modelo de Fluxos Agregados Forte (m = 2

e n = 30) . . . 38 4.30 M´edias das medidas de desempenho dist - Modelo de Fluxos Agregados Forte (m = 3

e n = 20) . . . 38 4.31 M´edias das medidas de desempenho dist - Modelo de Picard e Queyranne (m = 2 e

n = 20) . . . 38 4.32 M´edias das medidas de desempenho dist - Modelo de Picard e Queyranne (m = 2 e

n = 30) . . . 39 4.33 M´edias das medidas de desempenho dist - Modelo de Picard e Queyranne (m = 3 e

n = 20) . . . 39 4.34 M´edias das medidas de desempenho dist - Modelo de Picard e Queyranne Forte (m = 2

e n = 20) . . . 39 4.35 M´edias das medidas de desempenho dist - Modelo de Picard e Queyranne Forte (m = 2

e n = 30) . . . 40 4.36 M´edias das medidas de desempenho dist - Modelo de Picard e Queyranne (m = 3 e

n = 20) . . . 40 4.37 Médias do gap da Relaxação Linear - Modelo de Fluxos Agregados Forte (m = 2 e

n = 20) . . . 41 xii

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4.38 Médias do gap da Relaxação Linear - Modelo de Fluxos Agregados Forte (m = 2 e n = 30) . . . 41 4.39 Médias do gap da Relaxação Linear - Modelo de Fluxos Agregados Forte (m = 3 e

n = 20) . . . 42 4.40 Médias do gap da Relaxação Linear - Modelo de Fluxos Agregados Forte (m = 3 e

n = 30) . . . 42 4.41 Médias do gap da Relaxação Linear - Modelo de Picard e Queyranne (m = 2 e n = 20) 42 4.42 Médias do gap da Relaxação Linear - Modelo de Picard e Queyranne (m = 2 e n = 30) 42 4.43 Médias do gap da Relaxação Linear - Modelo de Picard e Queyranne (m = 3 e n = 20) 43 4.44 Médias do gap da Relaxação Linear - Modelo de Picard e Queyranne (m = 3 e n = 30) 43 4.45 Médias do gap da Relaxação Linear - Modelo de Picard e Queyranne Forte (m = 2 e

n = 20) . . . 43 4.46 Médias do gap da Relaxação Linear - Modelo de Picard e Queyranne Forte (m = 2 e

n = 30) . . . 44

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Lista de Siglas

CTSP - Consistent Traveling Salesman Problem MFA - Modelo de Fluxos Agregados

PLIM - Programac¸˜ao Linear Inteira Mista PQ - Picard e Queyranne

PTSP - Period Traveling Salesman Problem RL - Relaxac¸˜ao Linear

TDTSP - Time-Dependent Traveling Salesman Problem TSP - Traveling Salesman Problem

VRP - Vehicle Routing Problem

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Cap´ıtulo 1

Introduc¸˜ao

A gestão e o planeamento de rotas assumem um papel essencial numa grande variedade de contextos. Para além dos casos mais óbvios, como a distribuição de jornais e o transporte de crianças, temos também a patrulha de segurança, e a ordenação de tarefas de maquinaria como sendo alguns dos inúmeros exem-plos de aplicação destas técnicas à tomada de decisão.

Muitas vezes, mais do que planear uma única rota, pretende-se planear todo um conjunto de rotas. Esta situação pode dever-se a dois motivos. Em primeiro lugar, podemos ter dispon´ıvel um conjunto de agentes ou ve´ıculos, cuja atividade queremos otimizar. Por outro lado, podemos ter apenas um ve´ıculo ou agente, mas pretendermos otimizar a sua atividade para um horizonte temporal composto por mais do que um per´ıodo.

Adicionalmente, podem existir questões de consistência das rotas. Desta consistência podem advir di-versos benef´ıcios. Para um condutor, por exemplo, a consistência pode traduzir-se numa maior previsi-bilidade das diferentes rotas, o que resulta numa melhor eficiência. Do ponto de vista do cliente, o facto de ser sempre servido pelo mesmo agente pode redundar num serviço mais personalizado, o que leva a uma maior satisfação do consumidor. Por fim, a consistência temporal pode ser também uma forma de aumentar a satisfação do consumidor, ou mesmo um pré-requisito do próprio serviço. A t´ıtulo ilustrativo, num hospital podem existir pacientes que têm que realizar um dado tratamento todos os dias à mesma hora.

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E neste contexto que surge o Problema do Caixeiro Viajante Consistente (Consistent Travelling Salesman Problem- CTSP). Neste problema temos um conjunto de clientes que têm que ser visitados uma ou mais vezes durante um horizonte temporal de m per´ıodos, de agora em diante designados por dias. Alguns dos clientes que são visitados em mais do que um dia possuem restrições de consistência, ou seja, nalguns ou mesmo em todos os dias em que são visitados, têm que o ser à mesma hora, ou em horas suficientemente próximas.

O presente documento tem como objetivo o estudo de uma adaptação do CTSP. A primeira diferença diz respeito às restrições de consistência. Embora a forma mais óbvia de garantir a consistência tem-poral seja a criação de restrições de consistência que tenham em conta a hora de chegada do ve´ıculo a cada cliente, iremos construir estas restrições apenas com base na consistência da ordem relativa em que cada cliente é visitado em cada um dos circuitos. Mesmo esta consistência não será sempre abso-luta, na medida em que não será obrigatório que um cliente ocupe sempre a mesma posição, mas sim

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Cap´ıtulo 1. Introduc¸˜ao 2

posições suficientemente parecidas. Por outras palavras, teremos um limite superior pré-definido para as diferenças entre posições. Não estaremos a usar uma condição suficiente para garantir a consistência temporal, mas este tipo de condição já constitui um primeiro passo na compreensão e resolução deste problema. A segunda adaptação prende-se com o facto de admitirmos que para além de conhecermos o número de visitas que têm que ser feitas a cada cliente, também conhecemos exatamente os dias em que tais visitas têm de ocorrer, pelo que não existe o esforço adicional para determinar a distribuição dos clientes pelos circuitos.

No âmbito desta dissertação pretende-se estudar uma abordagem exata na resolução do problema apre-sentado. Para o efeito serão propostos e comparados dois modelos de Programação Linear Inteira Mista (PLIM): o primeiro resulta da adaptação do Modelo de Fluxos Agregados (MFA), enquanto o segundo se baseia no Modelo de Piccard e Queyranne (PQ). Será ainda proposto um conjunto de restrições adici-onais com vista a fortalecer as relaxações lineares destes modelos. O desempenho de ambos os modelos será avaliado com base na qualidade dos limites inferiores obtidos com as respetivas relaxações lineares e no tempo de execução necessário para a resolução do problema até à otimalidade. Para o efeito foi utilizado o software FICO XPRESS.

Após a introdução desta dissertação é feita uma descrição geral do problema em estudo. A dita descrição, bem como uma breve revisão bibliográfica encontram-se no cap´ıtulo 2. São apresentadas na revisão bi-bliográfica algumas variantes do TSP bastante próximas do CTSP, tal como ele é considerado no pre-sente estudo, no entanto, não foi poss´ıvel encontrar nenhum trabalho que visasse o estudo e a resolução deste problema com todas as adaptações já enunciadas. No cap´ıtulo 3 é feita uma definição detalhada do problema que está a ser estudado, com todas as suas especificidades. São ainda apresentados os modelos que serão considerados, bem como as desigualdades válidas que permitem fortalecer as respec-tivas relaxações lineares. No fim, são também provadas algumas relações relativamente à qualidade das relaxações lineares destes modelos. Em seguida, no cap´ıtulo 4 é apresentada a experiência computacio-nal realizada com vista a avaliar e comparar o desempenho dos diferentes modelos, recorrendo para tal a todo um conjunto de instâncias de teste geradas aleatoriamente. Por fim, no cap´ıtulo 5, são apresentadas as principais conclusões do estudo realizado.

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Cap´ıtulo 2

Problema do Caixeiro Viajante

Consistente

No contexto do planeamento e gestão de rotas, a consistência de um conjunto de rotas pode ser um pré-requisito do serviço que se pretende oferecer. Mesmo que não o seja, a dita consistência pode constituir uma mais-valia, aumentando o grau de satisfação dos consumidores e a eficiência dos trabalhadores da empresa.

O problema que se propõe resolver na presente dissertação visa a obtenção de um conjunto dos m cir-cuitos ótimos, que passam por todos os clientes que devem ser visitados em cada dia e ainda respeita as restrições de consistência, ou seja, os clientes para os quais se empenham estas restrições, nos dias em que são visitados, surgem no circuito em posições suficientemente parecidas.

Neste cap´ıtulo será feita uma descrição geral do problema em estudo, bem como das hipóteses simpli-ficadoras que lhe estão subjacentes. Em seguida, é feita uma breve revisão bibliográfica sobre a área de investigação em que este se encontra inserido, alguns problemas relacionados e as respetivas propostas de resolução.

2.1 Descric¸˜ao do Problema

Vamos considerar que existem n + 1 locais. O local 1, sem perda de generalidade, é o depósito, onde se encontra um único ve´ıculo. Os restantes n locais correspondem a clientes, aos quais tem que ser prestado um serviço que envolve uma visita do ve´ıculo que está no depósito.

Vamos ainda considerar um horizonte temporal de m per´ıodos, por exemplo dias. Para cada dia conhece-mos exatamente quais os clientes que precisam do serviço, e portanto sabeconhece-mos também quantos clientes é preciso visitar, já que cada cliente não pode ser visitado mais do que uma vez por dia.

Conhecemos ainda, para cada par de locais, o custo de deslocação entre eles. Este custo pode estar medido em termos de distância ou de tempo de deslocação.

Os clientes que são visitados mais do que uma vez estão sujeitos a restrições de consistência. Tal significa que para cada um dos locais correspondentes existe um valor pré-definido que limita superiormente a diferença máxima entre as posições que esse local ocupa em circuitos de dias diferentes. Num extremo

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Cap´ıtulo 2. Problema do Caixeiro Viajante Consistente 4

esse valor é zero, o que significa que o respetivo local tem que ocupar a mesma posição em todos os circuitos em que está inserido. No outro extremo este valor é tão elevado que não constitui qualquer tipo de restrição à variação de posição de circuito para circuito.

Tem-se como objetivo a minimização dos custos totais associados ao conjunto dos m circuitos. O problema possui, então, três hipóteses subjacentes que lhe são particulares.

Em primeiro lugar, estamos a lidar com um horizonte temporal composto, à partida, por mais do que um per´ıodo. Tal significa que, ao invés de planear uma única rota, estamos a planear um conjunto de rotas ao mesmo tempo. Este facto, só por si, torna o problema mais complexo do ponto de vista computacional. Em segundo lugar, estamos a admitir que sabemos quais os clientes que têm que ser visitados em cada per´ıodo, o que é simultaneamente vantajoso e desvantajoso. Por um lado, temos a vantagem da redução do número de soluções admiss´ıveis, número esse que seria muito maior se apenas soubéssemos quantas vezes cada cliente deve ser visitado e tivéssemos liberdade para distribuir os clientes pelos diferentes circuitos. No entanto, esta hipótese traduz-se num elevado número de restrições adicionais, o que torna o problema ainda mais complexo. Adicionalmente, esta hipótese pode ser demasiado restritiva em certas aplicações práticas.

A última hipótese prende-se com as restrições de consistência, que impõem um limite superior para a variação da posição de cada local, para todos os pares de circuitos em que este está inserido.

2.2 Revis˜ao Bibliogr´afica

O objetivo do Traveling Salesman Problem (TSP) é a determinação de uma rota de custo m´ınimo, que se inicia e termina no depósito, e que permite passar por todos os clientes que é necessário servir uma só vez. Em geral, são conhecidos quais os clientes que têm que ser servidos, bem como os custos de deslocação entre quaisquer dois locais (geralmente expressos em tempo ou em distância).

No problema em estudo nesta dissertação, pretende-se determinar, não uma rota, mas sim um conjunto de m rotas, cada uma referente a um per´ıodo do horizonte temporal considerado. Conhecemos à partida todos os custos relevantes, bem como todos os clientes que têm que ser visitados em cada per´ıodo. Adi-cionalmente, os clientes podem estar sujeitos a restrições de consistência. Os clientes nestas condições devem ser visitados de forma a que a diferença máxima entre as posições que ocupem em dois circui-tos diferentes nos quais estejam inseridos não ultrapasse um certo valor limite, também ele conhecido a priori.

Não foi poss´ıvel encontrar na literatura trabalho sobre nenhum problema exatamente com estas carac-ter´ısticas. No entanto, já é poss´ıvel encontrar estudos sobre problemas fortemente relacionados com o nosso problema, que iremos analisar em seguida.

2.2.1 Period Traveling Salesman Problem

No Period Traveling Salesman Problem (PTSP), considera-se a existência de um conjunto de clientes, sendo que cada um tem que ser visitado um número pré-definido de vezes dentro do horizonte temporal considerado. O objetivo é, então, distribuir os clientes entre as m rotas, de forma a que em cada rota cada cliente seja visitado no máximo uma vez; todos os clientes sejam visitados o número desejado de

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vezes; e o custo total associado a todo o conjunto de rotas seja m´ınimo.

Consoante a abordagem utilizada, podem surgir restrições adicionais. A t´ıtulo ilustrativo, no seu trabalho Chao, Golden e Wasil [3] consideram que para além de conhecermos o número de vezes que cada cliente tem que ser visitado, também nos é dado a conhecer à partida o conjunto de combinações admiss´ıveis de dias de visita, pelo que não há plena liberdade de escolha dos dias em que os clientes são visitados. Mais exemplos de abordagem, não só na interpretação e formulação deste problema, mas também na sua resolução podem ser encontrados na revisão realizada por Campbell e Wilson [2].

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E de notar que o PTSP apresenta bastantes semelhanças com o Vehicle Routing Problem (VRP). Embora os contextos sejam bastante diferentes, considerar um mesmo ve´ıculo que tenha que percorrer várias rotas, cada uma em seu per´ıodo, ou considerar mais do que um ve´ıculo, cada um a ter que percorrer uma rota pode conduzir a formulações análogas, principalmente se no caso do VRP estivermos a considerar que o mesmo cliente tem que ser visitado por mais do que um ve´ıculo, seja ao mesmo tempo ou não; ou se no PTSP estivermos a considerar um grande número de clientes que têm que ser visitados apenas uma vez. Em particular, as restrições que indicam que dois ve´ıculos têm que estar no mesmo local ao mesmo tempo e as restrições que obrigam a que um mesmo ve´ıculo visite o mesmo local à mesma hora em per´ıodos (por exemplo dias) diferentes podem ser formuladas de uma maneira bastante semelhante.

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E esta a sugestão dada por Cordeau, Gendreau e Laporte [5], que propõem um único procedimento heur´ıstico baseado em Tabu Search, capaz de gerar soluções admiss´ıveis para o Periodic Vehicle Routing Problem(PVRP), o Periodic Traveling Salesman Problem (PTSP) e o Multi Depot Vehicle Routing Pro-blem(MDVRP). Também Paletta [17] sugeriu um procedimento heur´ıstico para obter boas soluções para o PTSP, desta vez com base em pesquisa local.

2.2.2 Time-Dependent Traveling Salesman Problem

No Time-Dependent Traveling Salesman Problem (TDTSP), em geral, encontramos a particularidade de que os custos de deslocação dependem não só do local de origem e do local de destino do mesmo, mas também da posição que a deslocação ocupa no circuito no seu todo. No entanto, esta pode não ser a única hipótese a ter em conta neste problema. A t´ıtulo ilustrativo, ao invés de considerar o tipo de dependência temporal supra-mencionado, Tas¸, Gendreau, Jabali e Laporte [19] consideram que é o tempo necessário para executar cada serviço que depende do instante temporal em que começa a dita execução. Consequentemente deixa de ser poss´ıvel representar estes custos de forma matricial, passando essa representação a ser feita através de uma função.

Uma forma de lidar com este tipo de problema é através de um procedimento heur´ıstico. Por exem-plo, Vander Wiel e Sahanidis [20] servem-se da decomposição de Benders para obter boas soluções admiss´ıveis para o problema.

Por outro lado, são vários os trabalhos sobre métodos exatos associados ao TDTSP. Os trabalhos desen-volvidos por Fox, Gavish e Graves [7], Picard e Queyranne [18], Gouveia e Voß [11], Godinho, Gouveia e Pesneau [10], Miranda-Bront, Méndez-D´ıaz e Zabala [16], e Bigras, Gamache e Savard [1], são ape-nas alguns exemplos de estudos cujo objetivo é apresentar novos modelos para o TDTSP, ou propor desigualdades válidas para fortalecer modelos já existentes. É de notar que um dos modelos propostos na presente dissertação resulta de uma adaptação do modelo de Picard e Queyranne [18], pelo que este

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modelo se reveste de particular importˆancia no estudo que ser´a realizado em seguida.

Este tipo de formulações não é útil apenas para problemas de roteamento. Com efeito, alguns dos traba-lhos supra-citados, tais como Picard e Queyranne [18] e Bigras, Gamache e Savard [1], são aplicados a problemas de escalonamento de tarefas para máquinas.

Por fim, na revisão feita por Gendreau, Ghiani e Guerriero [9] pode ser encontrada uma apresentação de vários casos especiais do Time-Dependent Traveling Salesman Problem já considerados na literatura, bem como de vários métodos de resolução já propostos.

2.2.3 Sincronização e Consistência

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E poss´ıvel encontrar na literatura várias menções a questões de sincronização e de consistência.

A sincronização surge normalmente associada a problemas como o Vehicle Routing Problem (VRP), com mais de um ve´ıculo no depósito. Devido às especificidades do serviço prestado, pode ser necessário que dois ve´ıculos estejam no mesmo local ao mesmo tempo. As respetivas rotas têm que ser planeadas de forma a garantir que tal acontece.

Já a consistência relaciona-se com os problemas em que se considera mais do que um per´ıodo, e pode manifestar-se de diversas formas. Uma das formas mais habituais prende-se com a consistência temporal, que consiste em visitar um dado cliente à mesma hora em todos os dias (per´ıodos) em que este tem que ser visitado. Também habitual é a consistência quanto ao ve´ıculo, que consiste em garantir que o mesmo cliente é sempre visitado pelo mesmo ve´ıculo. Adicionalmente podemos ter consistência posicional, que é semelhante à consistência temporal, mas em vez de considerar o tempo tem em conta a posição que o cliente ocupa em cada circuito. Todos estes tipos de consistência apresentam vantagens, nomeadamente no que diz respeito à satisfação do consumidor e à eficiência do serviço. Em particular, o primeiro tipo é visto como uma mais-valia, que permite a obtenção de uma maior confiança por parte do cliente. O segundo tipo é visto como vantajoso, na medida em que o facto de ser sempre o mesmo ve´ıculo, e em particular o mesmo trabalhador, a servir o mesmo cliente permite que o trabalhador perceba melhor as caracter´ısticas do cliente, o que propicia um atendimento mais personalizado. O terceiro tipo, embora não tão eficaz como o primeiro do ponto de vista da satisfação do consumidor, retira a sua importância do facto de tornar os circuitos mais previs´ıveis para os trabalhadores, o que pode resultar numa maior eficiência na prestação do serviço.

A elevada complexidade destes problemas leva a que seja mais comum o estudo de procedimentos heur´ısticos para a respetiva resolução, em detrimento dos métodos exatos. Temos, como exemplo, o procedimento apresentado por Luo, Qin, Che e Lim [14], baseado na resolução do VRP com janelas temporais, aplicação de um reparador e posterior aplicação de um algoritmo de Tabu Search. Este pro-cedimento foi utilizado no contexto do Vehicle Routing Problem com restrições de consistência quanto ao ve´ıculo, e permitiu retirar algumas conclusões relevantes do ponto de vista da gestão e da tomada de decisão. De entre essas conclusões destaca-se o facto de que, quando admitimos que a quantidade procurada por cada cliente pode apresentar flutuações significativas comparativamente à capacidade de transporte do ve´ıculo, pode não ser vantajoso tentar garantir a consistência quanto ao ve´ıculo. Nestes casos o aumento da satisfação do consumidor não compensa, muitas vezes, o aumento substancial dos custos de operação.

(25)

Kovacs, Golden, Hartl e Parragh [12] também propuseram um procedimento heur´ıstico para este tipo de problema, admitindo não só a necessidade de consistência ao n´ıvel do ve´ıculo, mas também de con-sistência temporal. O primeiro tipo de concon-sistência é regulado através de restrições, enquanto o segundo tipo é encorajado através da função objetivo.

Existe, de facto, uma grande diversidade de abordagens que podem ser utilizadas para resolver questões ligadas à consistência. A utilização de restrições é uma abordagem mais inflex´ıvel, que permite garantir que a consistência é efetivamente respeitada, o que, no entanto, pode causar um elevado aumento do custo total da solução ótima obtida. Por outro lado, ao invés de forçar a consistência através de restrições, é poss´ıvel apenas incentivá-la, penalizando a inconsistência na função objetivo. Esta abordagem possui a vantagem de permitir que seja alcançado um equil´ıbrio entre a consistência e os custos totais de operação. Drexl [6] realizou uma revisão das formulações e metodologias de resolução do Vehicle Routing Problem com restrições de sincronização. A revisão feita por Kovacs, Golden, Hartl e Parragh [13] incide sobre os VRP com restrições de consistência.

Embora não tenha sido abordada em profundidade na literatura, a consistência a n´ıvel posicional é menci-onada como sendo um fator relevante. Em particular, este tipo de consistência é visto como fundamental quando se procura obter consistência temporal. A consistência na posição do circuito, embora não seja suficiente para garantir a consistência temporal, assume-se como um primeiro passo na obtenção da mesma.

Por fim, Kovacs, Golden, Hartl e Parragh [13] mencionam a poss´ıvel necessidade de, ao invés de ga-rantir a consistência num conjunto de circuitos, tentar que estes sejam inconsistentes. Com efeito, a consistência pode ser importante, nomeadamente em aplicações relacionadas com serviços de saúde ou entregas a clientes que se repitam com alguma frequência, seja devido às especificidades do serviço, ou para aumentar a satisfação do cliente. Contudo, podem existir situações em que a consistência não é desejável. O transporte de mercadorias valiosas pode ver a sua segurança aumentada, e serviços de vi-gilância e controlo podem ter a sua fiabilidade melhorada se às rotas que lhes estão associadas for acres-centada alguma inconsistência, traduzida numa maior imprevisibilidade. Um exemplo relativo a este tipo de problemas é abordado por Constantino, Mourão e Pinto [4]. No problema estudado pretendia-se criar um conjunto de rotas que permitisse minimizar o tempo total necessário, garantindo também a existência de inconsistência suficiente entre as rotas, de forma a desincentivar tentativas de assalto. Para mode-lar tal inconsistência foi necessário dividir todos os dias do horizonte temporal em per´ıodos de tempo. Duas abordagens foram propostas para modelar as restrições de inconsistência. A primeira passa por garantir que uma mesma tarefa não é desempenhada no mesmo per´ıodo em dias consecutivos, possuindo como desvantagem o facto de não evitar que, por exemplo, duas rotas de dias não consecutivos sejam exatamente iguais. A segunda abordagem, aplicada numa perspetiva mais heur´ıstica, prende-se com a imposição de um limite superior para o número de repetições de tarefas no mesmo per´ıodo de tempo, em todos os pass´ıveis pares de dias do horizonte temporal. A aplicação prática deste trabalho relaciona-se com um estudo de caso referente à recolha de dinheiro dos parqu´ımetros da cidade de Lisboa.

(26)

(27)

Cap´ıtulo 3

Modelos

Neste cap´ıtulo é feita uma descrição detalhada do problema em estudo propriamente dito. Em seguida, são apresentados os modelos utilizados na presente dissertação. São ainda apresentadas as desigualdades válidas utilizadas para fortalecer as respetivas relaxações lineares.

3.1 Definic¸˜ao do problema

Vamos considerar um grafo, G = (V, A), onde V = {1, ..., n+1} é o conjunto dos nodos, e A = {(i, j) : i, j ∈ V ; i 6= j} é o conjunto dos arcos, que inclui as ligações entre quaisquer dois nodos. Admitimos que o nodo 1 é o depósito, enquanto os restantes nodos compõem o conjunto Vc = {2, ..., n + 1} dos

nodos clientes. P = {1, ..., m} ´e o conjunto de per´ıodos considerados no horizonte temporal.

Conhecemos ainda, a priori, o custo de deslocac¸˜ao associado a cada arco (i, j), Ci,j; e o limite superior

para a variação máxima das posições do nodo i em circuitos distintos, limi. O parâmetro S_ilassume o

valor 1 se o nodo i tem que ser visitado no per´ıodo l, e 0 no caso contrário. Associados a este último parâmetro surgem os conjuntos N Cl = {i ∈ V : Sil = 1} dos nodos clientes que têm que ser visitados

no per´ıodo l.

A informação já apresentada nesta secção é suficiente para definir o problema que está a ser estudado. De facto, com a informação fornecida já é poss´ıvel contemplar a possibilidade de haver clientes que, mesmo sendo visitados mais do que uma vez, não estão sujeitos a restrições de consistência. Basta, para o efeito, considerar um valor de limisuficientemente elevado. No entanto, procedendo desta forma, o resultado

pode ser um conjunto de restrições redundantes que afetam a eficiência computacional dos modelos a estudar.

Para evitar tal situação, será introduzido um novo parâmetro cujo valor é conhecido à partida, Li, que

assume o valor 1 se o cliente i está sujeito às restrições de consistência, e 0 no caso contrário. Associado a este parâmetro surge o conjunto RC = {i ∈ V : Li = 1} de clientes para os quais existem restrições

de consistˆencia.

As figuras 3.1, 3.2 e 3.3 permitem ilustrar a forma como a consistência em termos de posição é avaliada em circuitos que não partilham todos os nodos.

Vamos considerar uma rede com cinco nodos, onde o nodo 1 é o depósito e os restantes nodos são clientes. Suponhamos ainda que estamos a planear dois per´ıodos: no primeiro temos que visitar os

(28)

Cap´ıtulo 3. Modelos 10

Figura 3.1: Solução não admiss´ıvel devido às restrições de consistência

nodos 2, 3 e 4, e no segundo temos que visitar os nodos 3, 4 e 5. Temos que lim3 = 0, o que significa

que o nodo 3 tem que surgir na mesma posição em ambos os circuitos. O nodo 4 pode surgir em qualquer posição nos dois circuitos. Tal pode ser representado através de uma restrição, com lim4a assumir um

valor suficientemente elevado, ou com base no parâmetro que distingue quais os nodos que têm que obedecer às restrições de consistência. A existência de limites de variação de posição para os nodos 2 e 5 é irrelevante, uma vez que estes aparecem em apenas um circuito.

Em cada uma das figuras, os arcos a cheio pertencem ao primeiro per´ıodo, e os arcos a tracejado con-cernem ao segundo. Se um arco surge a negrito, então este é utilizado em ambas as rotas. A solução da figura 3.1 não é admiss´ıvel, uma vez que no primeiro per´ıodo o nodo 3 é o primeiro a ser visitado, e no segundo per´ıodo é o segundo, sendo visitado apenas após o nodo 5. Já na figura 3.2 o nodo 3 é o primeiro a ser visitado em ambos os circuitos, pelo que a solução é admiss´ıvel.

Note-se, ainda, que em ambas as figuras estamos a respeitar os per´ıodos de serviço de todos os nodos. Se assim não for, a solução deixa de ser admiss´ıvel, mesmo que as restrições de consistência sejam respeitadas. É o que acontece na figura 3.3, onde o nodo 3 é sempre o primeiro a ser visitado, mas o nodo 5 é visitado no primeiro circuito, e o nodo 2 é visitado no segundo, o que leva a que a solução não seja admiss´ıvel.

Pretende-se encontrar um conjunto de m circuitos de custo m´ınimo, onde todos os clientes são visitados em todos os per´ıodos nos quais requerem serviço, e as restrições de consistência em termos de posição são respeitadas.

3.2 Formulac¸˜oes

Nesta secção são apresentados os modelos utilizados para formular o problema em estudo, bem como as desigualdades válidas utilizadas na tentativa de fortalecer as suas relaxações lineares e obter melhores

(29)

Figura 3.2: Soluc¸˜ao admiss´ıvel

(30)

limites inferiores para o valor da solução ótima. Os modelos considerados na presente dissertação resul-tam de uma adaptação do Modelo de Fluxos Agregados (MFA), proposto por Gavish e Graves [8], e de uma adaptação do modelo proposto por Picard e Queyranne [18] (PQ).

As principais adaptações feitas aos modelos originais passam pelo facto de no nosso estudo estarmos a considerar m circuitos, e não apenas um, e pelo acréscimo das restrições de consistência.

Nesta secção são ainda provadas algumas relações entre os valores ótimos das relaxações lineares dos diferentes modelos.

3.2.1 Modelo de Fluxos Agregados

No modelo adaptado do MFA pretende-se minimizar a distância total percorrida no conjunto dos m per´ıodos. Para o efeito, são utilizados dois conjuntos de variáveis de decisão. Por um lado, temos as variáveis de decisão xl_i,j, ∀(i, j) ∈ A, ∀l ∈ P , binárias, que assumem o valor 1 se o arco (i, j) é utilizado no per´ıodo l. Por outro lado temos as variáveis de fluxo y_i,jl , ∀(i, j) ∈ A, ∀l ∈ P , que representam a quantidade de fluxo que passa pelo arco (i, j) no per´ıodo l. Não foi necessário criar um conjunto de variáveis para representar a posição dos nodos nos circuitos, uma vez que essa posição pode ser obtida com base nos valores assumidos pelas variáveis de fluxo. Por fim, vamos ainda considerar um parâmetro simplificador, Nl = Pn+1

i=1 Sil, que representa o n´umero de nodos que comp˜oe cada circuito l. Note-se

que neste número também é contabilizado o depósito.

O modelo baseado no MFA pode ser formulado da seguinte maneira:

M inimizar n+1 X i=1 n+1 X j=1 m X l=1 Cijxlij (3.1) Sujeito a : n+1 X j=1 xl_ij = S_il; ∀i ∈ V ; ∀l ∈ P (3.2) n+1 X j=1 xl_ji = S_il; ∀i ∈ V ; ∀l ∈ P (3.3) n+1 X j=2 yl_1j = 1; ∀l ∈ P (3.4) n+1 X j=1 yl_ji− n X j=1 y_ijl = −S_il; ∀i ∈ V_c; ∀l ∈ P (3.5)

(31)

Cap´ıtulo 3. Modelos 13 y_ijl ≤ Nlxl_ij; ∀(i, j) ∈ A; ∀l ∈ P (3.6) n+1 X i=1 ys_ij− n+1 X i=1 y_ijt ≤ lim_j; ∀s ∈ P ; ∀t ∈ P ; ∀j ∈ RC ∩ N C_s∩ N C_t; s 6= t (3.7) xl_ij ∈ {0, 1}; ∀(i, j) ∈ A; ∀l ∈ P (3.8) y_ijl ≥ 0; ∀(i, j) ∈ A; ∀l ∈ P (3.9)

Na função objetivo (3.1) pretende-se minimizar o custo total associado ao conjunto dos m circuitos que vamos gerar. Este custo total resulta da soma dos produtos do custo de cada arco, já conhecido, pelo número de vezes que esse mesmo arco é usado no conjunto de todos os circuitos.

As restrições (3.2) e (3.3) designam-se por restrições de afetação, e indicam que, se um determinado nodo faz parte de um dado circuito, então nesse circuito tal nodo tem que ter um único arco a entrar e um único arco a sair. Da mesma forma, se determinado nodo não faz parte de um certo circuito, então nesse mesmo circuito não pode haver qualquer arco a entrar ou a sair do dito nodo. As restrições (3.4) fazem com que em cada circuito saia uma unidade de fluxo do depósito. As restrições (3.5) implicam que, se um nodo faz parte de um circuito, a quantidade de fluxo que sai desse nodo nesse circuito é maior do que a quantidade de fluxo que entra nesse nodo no mesmo circuito em uma unidade. As restrições (3.6) permitem-nos fazer a ligação entre os dois conjuntos de variáveis utilizados.

Como estamos a considerar que o fluxo num circuito é incrementado sempre que visitamos um nodo, a posição de um nodo no circuito pode ser obtida com base na quantidade de fluxo que entra no mesmo.

´

E com base nesta ideia que surgem as restrições (3.7), que limitam superiormente a diferença de posição de um nodo em quaisquer dois circuitos em que este esteja inserido.

As restrições (3.8) e (3.9) definem o dom´ınio das variáveis de decisão. Sabemos que as variáveis xl_ij são variáveis binárias e que as variáveis yl_ij são não negativas. No entanto, e apesar de não ser imposta mais nenhuma restrição sobre os valores assumidos pelas variáveis y_ijl , sabemos ainda que estas apenas assumem valores inteiros. Com efeito, como em cada circuito sai uma unidade de fluxo do depósito em (3.4), em cada circuito cada nodo tem no máximo um arco a sair do mesmo em (3.2), e como em cada nodo de um circuito o fluxo é incrementado em exatamente uma unidade segundo (3.7), temos a garantia de que tal acontece.

Se considerarmos o MFA tal como já foi apresentado, podemos concluir que, em cada circuito ad-miss´ıvel, é enviada uma unidade de fluxo a partir do depósito, e sempre que o ve´ıculo visita um cli-ente é-lhe acrescentada uma unidade de fluxo. Dada esta realidade, podemos admitir que a quantidade

(32)

máxima de fluxo será obtida quando for visitado o último cliente de um circuito, sendo que essa quan-tidade máxima é precisamente Nl(recorde-se que este parâmetro contabiliza o depósito, uma e uma só vez). Assim, sabemos à partida que estas restrições apenas serão satisfeitas como igualdade nos arcos de retorno ao depósito. Para os restantes arcos podemos tornar a restrição mais apertada.

Podemos, ent˜ao, escrever as seguintes desigualdades v´alidas:

y_i1l ≤ Nlxl_i1; ∀i ∈ V ; ∀l ∈ P (3.10)

y_ijl ≤ (Nl− 1)xl_ij; ∀i ∈ V ; ∀j ∈ V_c; ∀l ∈ P (3.11)

O Modelo de Fluxos Agregados Forte que iremos considerar resulta da substituição das restrições (3.6) do Modelo de Fluxos Agregados pelas desigualdades válidas (3.10) e (3.11) Tanto a função objetivo como as restantes restrições permanecem inalteradas.

Lema 1: As restrições (3.10) e (3.11) implicam as restrições (3.6)

Demonstração: No que diz respeito às restrições (3.10), estas são idênticas às restrições (3.6) nos valores dos ´ındices para os quais estas restrições fazem sentido. Para os restantes valores dos ´ındices, basta apenas notar que (Nl− 1)xl

ij ≤ Nlxlij, já que xlij ≥ 0, tal como nos é dito nas restrições (3.8)

Logo, verificando-se as restrições (3.10) e (3.11), verificam-se também as restrições (3.6). 2

Resultado 1:

i O valor ótimo da relaxação linear do MFA Forte é igual ou superior ao valor ótimo da relaxação linear do MFA.

ii Para algumas instâncias o valor ótimo da relaxação linear do MFA Forte é estritamente maior que o valor ótimo da relaxação linear do MFA.

O lema 1 permitiu-nos mostrar que o conjunto formado pelas soluções admiss´ıveis da RL do Modelo de Fluxos Agregados Forte está contido no conjunto das soluções admiss´ıveis da RL do MFA, já que as restrições (3.10) e (3.11) implicam (3.6), e as restantes restrições são análogas para os dois modelos. Podemos ainda mostrar que podem existir instâncias para as quais a solução ótima da RL do MFA Forte possui um valor maior do que o da solução ótima da RL do MFA. Basta apenas encontrar um exemplo de uma solução que seja admiss´ıvel para o MFA, mas não para o MFA Forte.

Para o efeito, bem como para outros casos em que seja necessário fazer demonstrações semelhantes, será considerado um pequeno exemplo com 2 per´ıodos e 4 clientes, sendo que em cada um dos per´ıodos têm que ser visitados 3 clientes. Dos dois clientes que têm que ser visitados nos dois per´ıodos, apenas um deles está sujeito a restrições de consistência. Em termos de informações deste exemplo temos que: N C1 = {2, 3, 4}, N C2 = {3, 4, 5}, RC = {3} e lim3 = 0.

Para este exemplo, considere-se, a t´ıtulo ilustrativo, a seguinte soluc¸˜ao:

(33)

y₁₃2 = 1; y₁₄1 = 1; y1₂₃= 1; y1₃₄= 2; y2₃₄= 2; y1₄₁= 4; y₄₅2 = 3; y₅₁2 = 4. As restantes vari´aveis de decis˜ao tomam o valor 0.

´

E poss´ıvel verificar que esta solução é admiss´ıvel para o Modelo de Fluxos Agregados. No entanto, já não é admiss´ıvel para o MFA Forte. Basta notar que N1= 4 e que, portanto, y1

14= 1 > (N1− 1) ∗ x114= 34.

Fica então provado que existem instâncias para as quais o valor ótimo da RL do MFA Forte é estritamente maior do que o valor ótimo da RL do MFA.

3.2.2 Modelo de Picard e Queyranne

Na adaptação do modelo de Picard e Queyranne (PQ) realizada na presente dissertação são utilizados os mesmos parâmetros que no Modelo de Fluxos Agregados.Temos, então, o parâmetro S_il, que toma o valor 1 se o nodo i deve ser visitado na rota l; Nl, que define o número de nodos em cada rota l; Cij,

que designa o custo de utilização do arco (i, j); e limi, que representa o limite superior para a variação

de posição do nodo i nas diferentes rotas em que tem que ser visitado. Por outro lado, passamos a ter um único grupo de variáveis de decisão, z_ijkl, que tomam o valor 1 se o arco (i, j) está inserido na posição k da rota l.

O modelo adaptado do modelo PQ pode ser formulado da seguinte maneira:

M inimizar n+1 X i=1 n+1 X j=1 n+1 X k=1 m X l=1 Cijzijkl (3.12) Sujeito a : n+1 X i=1 n+1 X k=1 zkl_ij = S_jl; ∀j ∈ V ; ∀l ∈ P (3.13) n+1 X j=2 z_1j1l = 1; ∀l ∈ P (3.14) n+1 X i=1 z_ijkl= n+1 X i=1 z_jik+1,l; ∀j ∈ Vc; ∀l ∈ P ; ∀k = 1, ..., Nl− 1 (3.15) n+1 X i=2 z_i1Nl,l = 1; ∀l ∈ P (3.16) n+1 X k=1 k n+1 X i=1 z_ijks− n+1 X k=1 k n+1 X i=1 z_ijkt≤ lim_j; ∀s ∈ P ; ∀t ∈ P ; ∀j ∈ RC ∩ N Cs∩ N Ct; s 6= t (3.17)

(34)

z_ijkl∈ {0, 1}; ∀(i, j) ∈ A; ∀k ∈ V ; ∀l ∈ P (3.18)

Uma vez mais pretendemos, na função objetivo (3.12), minimizar o custo total do conjunto de circuitos, que agora é escrito à custa das novas variáveis de decisão.

Nas restrições (3.13) pretende-se garantir que todos os nodos clientes surgem nos circuitos associados a todos os per´ıodos em que têm que ser visitados. Para o efeito, garantimos que cada nodo, em cada circuito em que deve figurar, possui um e um só arco a entrar nele. Nas restrições (3.14) procuramos garantir que em cada rota existe sempre um arco a partir da origem, arco esse que ocupa a primeira posição. Para cada um dos per´ıodos e cada nodo cliente temos as restrições (3.15) que garantem que, se existe um arco incidente num nodo numa dada posição, nesse circuito existe um arco que parte desse mesmo nodo na posição seguinte. O último arco de cada rota é sempre aquele que regressa ao depósito, o que é obtido através das restrições (3.16)

Sabendo que o ´ındice k das variáveis de decisão indica a posição que cada arco ocupa numa dada rota, e que as variáveis de decisão são binárias, conclui-se que a posição de um nodo j num circuito l é dada por Pn+1

k=1k(

Pn+1

i=1 zklij). É com base neste conhecimento que são constru´ıdas as restrições de consistência

(3.17).

Por fim, as restrições (3.18) definem o dom´ınio de variação da variáveis de decisão, que se assumem como sendo variáveis binárias.

Foi ainda tido em conta todo um conjunto de hip´oteses, que em seguida se enunciam:

z_ijkl= 0; ∀(i, j) ∈ A; ∀k ∈ V ; ∀l ∈ P ; j /∈ N Cl (3.19)

z_jikl= 0; ∀(j, i) ∈ A; ∀k ∈ V ; ∀l ∈ P ; j /∈ N Cl (3.20)

z_1jkl= 0; ∀j ∈ V ; ∀k > 1; ∀l ∈ P (3.21)

z_ij1l= 0; ∀i ∈ Vc; ∀j ∈ V ; ∀l ∈ P (3.22)

(35)

z_ijNll= 0; ∀i ∈ V ; ∀j ∈ Vc; ∀l ∈ P (3.24)

z_ijkl= 0; ∀(i, j) ∈ A; l ∈ P ; k > Nl (3.25)

Estas hipóteses irão ser bastante relevantes para demonstrar que a relaxação linear do modelo PQ é mais forte que a relaxação linear do modelo MFA.

´

E poss´ıvel relacionar as variáveis de decisão do Modelo de Fluxos Agregados com as do Modelo de Picard e Queyranne. Em particular, podemos escrever as seguintes expressões:

xl_ij = n+1 X k=1 zkl_ij; ∀(i, j) ∈ A; ∀l ∈ P (3.26) y_ijl = n+1 X k=1 kz_ijkl; ∀(i, j) ∈ A; ∀l ∈ P (3.27) ´

E fácil notar que, de acordo com estas condições, as variáveis xl_ijcontinuam a ser binárias, e as variáveis y_ijl continuam a ser inteiras. Para além disso, se usarmos as condições (3.26), podemos constatar que as funções objetivo dos modelos MFA e PQ são equivalentes.

Lema 2: As restrições (3.13) são equivalentes às restrições (3.3).

Demonstração: Basta apenas usar as relações (3.26) e fazer as substituições nas restrições (3.13), chegando ao resultado pretendido.

2

Lema 3: As restrições (3.13), (3.14) e (3.15), juntamente com as condições (3.21), (3.22), (3.24), (3.25) e (3.26), implicam as restrições (3.2).

Demonstração: Para fazer esta demonstração iremos definir dois casos distintos. Caso 1: j = 1

Se tivermos em conta as restrições (3.14) e as condições (3.21), podemos concluir:

n+1 X i=1 n+1 X k=1 z_1ikl= 1; ∀l ∈ P (3.28)

Foi ent˜ao provado o resultado pretendido, uma vez que assumimos que

(36)

Caso 2: j ∈ Vc

Começamos por somar as restrições (3.15) para todos os valores de k para os quais estas estão definidas, o que nos permite obter:

Nl₋₁ X k=1 n+1 X i=1 z_ijkl= Nl X k=2 n+1 X i=1 z_jikl; ∀j ∈ Vc; ∀l ∈ P (3.30)

Se tivermos em conta as condic¸˜oes (3.22), (3.24) e (3.25), temos que:

n+1 X i=1 n+1 X k=1 z_ijkl= n+1 X i=1 n+1 X k=1 z_jikl; ∀j ∈ Vc; ∀l ∈ P (3.31)

Como tal, pelas restrições (3.13), podemos substituir o primeiro membro das equações anteriores, ficando com: S_jl = n+1 X i=1 n+1 X k=1 zkl_ji; ∀j ∈ Vc; ∀l ∈ P (3.32)

Se depois fizermos as substituições necessárias segundo as expressões (3.26), obtemos as restrições desejadas.

2

Lema 4: As restrições (3.14) e as condições (3.21) e (3.27) implicam as restrições (3.4). Demonstração: É fácil verificar a seguinte expressão:

n+1 X j=1 z_1jkl = n+1 X j=1 k ∗ z_1jkl; ∀l ∈ P (3.33)

se k = 1. A esta expressão podemos somar as condições (3.21), cada uma multiplicada pelo respetivo valor de k, o que nos permite obter:

n+1 X j=1 n+1 X k=1 kz_1jkl = 1; ∀l ∈ P (3.34)

Fazendo as devidas substituições com base nas relações (3.27), obtemos o resultado pretendido. 2

Lema 5: As restrições (3.13) e (3.15), sob as hipóteses (3.21), (3.24), (3.25) e (3.27), implicam as restrições (3.5).

(37)

Cap´ıtulo 3. Modelos 19 seguinte express˜ao: Nl₋₁ X k=1 k ∗ n+1 X i=1 zkl_ij = Nl X k=2 (k − 1) ∗ n+1 X i=1 z_jikl; ∀j ∈ Vc; ∀l ∈ P (3.35)

De forma equivalente temos:

Nl₋₁ X k=1 k ∗ n+1 X i=1 zkl_ij = Nl X k=2 k ∗ n+1 X i=1 z_jikl− Nl X k=2 n+1 X i=1 z_jikl; ∀j ∈ Vc; ∀l ∈ P (3.36)

Devido às condições (3.21), (3.24) e (3.25), podemos escrever:

n+1 X k=1 k ∗ n+1 X i=1 zkl_ij = n+1 X k=1 k ∗ n+1 X i=1 z_jikl− n+1 X k=1 n+1 X i=1 z_jikl; ∀j ∈ Vc; ∀l ∈ P (3.37)

Fazendo as devidas substituições com recurso às igualdades (3.13) e (3.27), chegamos ao resultado pre-tendido.

2

Lema 6: As condições (3.26) e (3.27) implicam as restrições (3.6.).

Demonstração: Em primeiro lugar, é necessário notar que todas as variáveis de decisão z_ijklassumem va-lores não negativos, e que k apenas assume vava-lores positivos. Se observarmos (3.26) e (3.27) conclu´ımos que, se yl_ij > 0, então xl_ij > 0, e vice-versa. Como adicionalmente se tem xkl_ij ≤ 1, podemos então ver que o maior valor que y_ijl pode tomar é obtido quando, nas condições (3.27.), fazemos z_ijNl,l = xl_ij. Desta forma chegamos às restrições desejadas.

2

Observação: Considere-se agora que j ∈ Vc. Se relembrarmos as condições (3.24), conclui-se que o

maior valor de y_ijl é obtido fazendo z_ijNl−1,l = xl_ij, nas condições (3.27). Procedendo desta forma são obtidas as restrições (3.11) do modelo MFA Forte.

Lema 7: As restrições (3.17) são equivalentes às restrições (3.7).

Demonstração: Para provar a equivalência, basta fazer a substituição nas restrições (3.17), segundo as igualdades (3.27), obtendo de imediato as restrições (3.7).

2

Resultado 2:

i O valor ótimo da relaxação linear do Modelo de Picard e Queyranne é igual ou superior ao valor ótimo da relaxação linear do MFA.

ii Para algumas instâncias o valor ótimo da relaxação linear do Modelo de Picard e Queyranne é estritamente maior que o valor ótimo da relaxação linear do MFA.

(38)

Os lemas 2-7 permitiram provar que todas as soluções admiss´ıveis para a RL do modelo PQ são ad-miss´ıveis para a RL do MFA. Considere-se, agora, a seguinte solução:

x1

12= 23; x213= 1; x114= 13; x123= 1; x132= 13; x134= 23; x234= 1; x141= 1; x245= 1; x251= 1.

y₁₃2 = 1; y₁₄1 = 1; y1₂₃= 1; y1₃₄= 2; y2₃₄= 2; y1₄₁= 4; y₄₅2 = 3; y₅₁2 = 4. As restantes vari´aveis de decis˜ao tomam o valor 0.

Esta solução é admiss´ıvel para o modelo de Fluxos Agregados. No entanto, não é admiss´ıvel para o modelo de Picard e Queyranne. Basta notar que x1₁₂ > 0, mas y1₁₂ = 0, o que não é poss´ıvel já que, se y_ijl > 0, então xl_ij > 0, e vice-versa. Conclui-se então que nalgumas instâncias podem existir soluções que são admiss´ıveis para o MFA, mas não para o modelo PQ, ou seja, nessas instâncias o valor ótimo do modelo PQ é maior que o valor ótimo do MFA.

Observação: Nos lemas 2-7 também ficou provado que as restrições do modelo PQ implicam todas as restrições do modelo MFA Forte. Se a essa informação adicionarmos o facto de que a solução acima mencionada também é admiss´ıvel para o MFA Forte, conclui-se que a relaxação linear do modelo PQ também é mais forte que a do MFA Forte.

Admitamos agora que todos os nodos sujeitos a restrições de consistência têm que ser visitados na mesma posição relativa em todos os circuitos em que estão inseridos. Temos, então, que limj = 0, ∀j ∈ RC.

Vamos começar por criar um conjunto de variáveis auxiliares, pk_j, variáveis binárias que assumem o valor 1 se o cliente j ocupa a posição k em todos os circuitos onde deve ser visitado, e 0 no caso contrário. Devido à forma como estas variáveis estão definidas, podemos escrever as seguintes restrições de ligação:

n+1

X

i=1

z_ijkl= pk_j; ∀l ∈ P ; ∀k ∈ V ; ∀j ∈ RC; j ∈ N C_l (3.38) Precisamos ainda de garantir que a cada nodo sujeito às restrições de consistência é atribu´ıda uma e uma só posição relativa. Tal garantia pode ser obtida através do seguinte conjunto de restrições:

n+1

X

k=1

pk_j = 1; ∀j ∈ RC (3.39)

´

E de salientar que as variáveis pk_j não são imprescind´ıveis. É suficiente escrever o seguinte conjunto de restrições: n+1 X i=1 n+1 X k=1 z_ijkl= 1; ∀l ∈ P ; ∀j ∈ RC; j ∈ N Cl (3.40)

No entanto, a utilização das restrições (3.38) e (3.39) é mais intuitiva.

O Modelo de Picard e Queyranne forte que iremos considerar resulta do modelo PQ já apresentado, retirando-lhe as restrições de consistência (3.17), e substituindo-as pelo conjunto das restrições (3.38) e (3.39) ou, alternativamente, pelas restrições (3.40). No estudo realizado para o presente trabalho optou-se

(39)

pelo conjunto das restric¸˜oes (3.38) e (3.39).

Relativamente a este novo modelo surgem duas observac¸˜oes.

Em primeiro lugar, é de salientar que embora tenha sido criado um novo conjunto de variáveis para este novo modelo, não é necessário criar um conjunto de restrições que definam o respetivo dom´ınio de variação. Por um lado, temos que a soma de variáveis binárias resulta sempre num valor inteiro não negativo. Como tal, as restrições (3.38) implicam que as novas variáveis apenas assumam valores inteiros não negativos. Esta propriedade, associada ao conjunto das restrições (3.39), leva a que todas as variáveis pk_j relevantes para o nosso problema sejam variáveis binárias, tal como desejado.

Por fim, convém relembrar que este novo modelo apenas permite resolver um caso particular do problema em estudo, visto que uma das hipóteses considerada nesta subsecção é a de que todos os clientes com restrição de consistência têm que ser visitados sempre na mesma posição relativa. No entanto, mesmo tendo um âmbito mais limitado, iremos ver nos próximos cap´ıtulos que este modelo reveste-se de grande importância, uma vez que permite resolver casos particulares que se revelam mais problemáticos para os outros modelos considerados nesta dissertação.

Lema 8: As restrições (3.38) implicam as restrições (3.17)

Demonstração: Basta somar as restrições (3.38), multiplicadas pelo respetivo valor de k, para obter as igualdades: n+1 X i=1 n+1 X k=1 k ∗ zkl_ij = k ∗ pk_j; ∀l ∈ P ; ∀j ∈ RC; j ∈ N Cl (3.41)

Como o segundo membro destas equações não depende de l, podemos escrever as condições pretendidas para cada par de per´ıodos relevante.

2

Resultado 3:

i O valor ótimo da relaxação linear do Modelo de Picard e Queyranne Forte é igual ou superior ao valor ótimo da relaxação linear do Modelo de Picard e Queyranne.

ii Para algumas instâncias o valor ótimo da relaxação linear do Modelo de Picard e Queyranne Forte é estritamente maior que o valor ótimo da relaxação linear do Modelo de Picard e Queyranne. O lema 8 permitiu-nos provar que todas as soluções admiss´ıveis para o modelo PQ Forte são também admiss´ıveis para o modelo PQ. Considere-se agora a seguinte solução:

z₁₂11= z21₂₃= z₃₄31= z41₄₁= 1

z₁₃12= z12₁₄= z₃₁42= z22₃₄= z₄₅22= z₄₅32= z₅₁42= z₅₃32= 1₂ As restantes vari´aveis de decis˜ao tomam o valor 0.

´

E fácil verificar que esta solução é admiss´ıvel para o modelo PQ. No entanto, já não o é para o modelo PQ Forte. Basta notar quePn

i=1zi311= 0, enquanto

Pn

i=1zi312= 12, o que vai contra as condic¸˜oes (3.38).

Fica então provado que podem existir instâncias para as quais o valor ótimo no modelo PQ Forte é maior que o valor ótimo do modelo PQ. Os resultados obtidos na experiência computacional mostram que existem efetivamente instâncias que verificam este resultado, bem como os dois resultados anteriores.

(40)

Figura 3.4: Relações entre as relaxações lineares dos modelos propostos

A figura 3.4 permite sintetizar as relações deduzidas entre os diferentes modelos. Cada caixa representa um modelo. Uma seta com origem num modelo e destino noutro indica que a relaxação linear do modelo de destino é mais forte que a do modelo de origem.

Podemos concluir que é de esperar que os modelos de Picard e Queyranne (simples e forte) forneçam limites inferiores para o valor ótimo de melhor qualidade que os obtidos nos modelos adaptados do MFA. Na próxima secção iremos verificar as relações propostas na figura 3.4 com base nos resultados obtidos no teste computacional.

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Cap´ıtulo 4

Experiˆencia Computacional

Neste cap´ıtulo apresenta-se a experiência computacional realizada no âmbito da presente dissertação, bem como os resultados obtidos. Na primeira secção é descrita a forma como as instâncias de teste foram geradas aleatoriamente. Em seguida, são avaliados os resultados de uma forma geral e transversal aos diferentes modelos. Por fim, é feita a análise comparativa dos quatro modelos propostos.

Para o desenvolvimento de tal experiência computacional foi utilizado o software Xpress IVE versão 1.24.18., quer ao n´ıvel da geração das instâncias de teste, quer ao n´ıvel da aplicação dos quatro modelos já mencionados, e com um computador com processador Intel CoreR TM2 Duo CPU E7400 @ 2.80GHz,

com 4GB de RAM.

Na presente dissertação não serão apresentados resultados discriminados por instâncias de teste, mas sim médias de resultados. No entanto, os resultados completos, discriminados por instância, encontram-se dispon´ıveis para consulta (http://mctsp.000webhostapp.com/).

4.1 Geração das Instâncias de Teste

Recorde-se que o parâmetro n indica o número total de clientes da rede, enquanto m designa o número de per´ıodos no horizonte temporal. Para efeitos de geração das instâncias de teste iremos considerar que n ∈ {20, 30} e que m ∈ {2, 3}.

Figura 4.1: Esquema da distribuic¸˜ao dos nodos clientes quando m=2

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Cap´ıtulo 4. Experiˆencia Computacional 24

Comecemos por admitir que m = 2 e n = 20. Sabemos que N Cl representa o conjunto dos nodos

clientes que têm que ser visitados no per´ıodo l. Vamos designar por N C1&2a intersecção dos conjuntos

de nodos clientes de cada per´ıodo, ou seja, N C1&2= N C1∩ N C2, tal como ilustrado na figura 4.1.

Note-se que estamos a assumir que o conjunto N C1&2não é um conjunto vazio, caso contrário não faria

sentido a necessidade de restrições de consistência.

Para as hipóteses consideradas foram definidos 12 casos, que diferem na composição dos conjuntos N C1,

N C2e N C1&2, quanto ao número de clientes com restrições de consistência e quanto ao tipo de matriz

de custos considerado. Estes casos encontram-se descritos na tabela 4.1. Para cada caso é apresentado o número de clientes pertencentes aos conjuntos N C1e N C2. A coluna NC1&2\#RC indica o número de

clientes pertencentes a N C1&2, e o número dos clientes deste grupo sujeitos a restrições de consistência,

por esta ordem. Por fim, é indicado se a matriz de custos em cada caso é simétrica ou assimétrica.

Tabela 4.1: Geração das instâncias de teste quando n = 20 e m = 2

Caso NC1 NC2 NC1&2\#RC Assim´etrica Sim´etrica

1 20 20 20\15 D -2 20 20 20\15 - D 3 20 20 20\10 D -4 20 20 20\10 - D 5 20 20 20\5 D -6 20 20 20\5 - D 7 15 15 10\10 D -8 15 15 10\10 - D 9 15 15 10\5 D -10 15 15 10\5 - D 11 13 13 6\6 D -12 13 13 6\6 - D

Vamos agora considerar que n = 20 e m = 3. Designaremos por N C1&2, N C1&3 e N C2&3 as

intersecções dos conjuntos de clientes em pares de per´ıodos, enquanto o conjunto N C1&2&3 é

com-posto pelos clientes que tˆem que ser visitados nos trˆes per´ıodos, tal como se encontra ilustrado na figura 4.2. Note-se que nenhum dos conjuntos N C1&2, N C1&3 e N C2&3inclui o conjunto N C1&2&3. Uma

vez mais, nenhum destes quatro conjuntos de intersecção é vazio.

Nas instâncias geradas com vinte clientes e três per´ıodos admitiu-se que cada circuito é composto por 12 clientes, sendo que todos os clientes têm que ser visitados pelo menos uma vez. Os conjuntos N C1&2,

N C1&3e N C2&3contˆem dois clientes cada um. O conjunto N C1&2&3´e composto por quatro clientes.

Com base nas hipóteses apresentadas, foram definidos seis casos distintos, que variam conforme a matriz de custos é simétrica ou assimétrica, e com base nos conjuntos aos quais são aplicadas as restrições de consistência. Estes casos encontram-se descritos na tabela 4.2, que pode ser interpretada de forma análoga à tabela 4.1.

A criação das instâncias em que n = 30 foi feita com base em casos análogos aos apresentados, após aplicação de proporcionalidade direta, procedendo-se aos arredondamentos intermédios necessários. Para cada combinação de valores de n, m com cada caso pertinente ao valor de m foram geradas cinco instâncias de teste, o que perfaz um total de 180 instâncias de teste geradas aleatoriamente. É de salientar

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Cap´ıtulo 4. Experiˆencia Computacional 25

Figura 4.2: Esquema da distribuic¸˜ao dos clientes quando m=3

Tabela 4.2: Geração das instâncias de teste quando n = 20 e m = 3

Caso NC1&2\#RC NC1&3\#RC NC2&3\#RC NC1&2&3\#RC Assim´etrica Sim´etrica

1 2\2 2\2 2\2 4\0 D -2 2\2 2\2 2\2 4\0 - D 3 2\0 2\0 2\0 4\4 D -4 2\0 2\0 2\0 4\4 - D 5 2\2 2\2 2\2 4\4 D -6 2\2 2\2 2\2 4\4 - D