MODELO DE PRECIFICAÇÃO DE MERTON (1974)

Partindo da premissa de que o valor da emissão de uma dívida corporativa específica depende essencialmente da taxa de retorno da dívida sem risco, das diversas disposições e restrições contidas na escritura da emissão e da probabilidade de que a empresa não seja capaz de satisfazer alguns ou todos os requisitos contratuais e, partindo também, do fato de não haver na época nenhum estudo publicado que tenha algum desenvolvimento sistemático de uma teoria para precificar títulos quando há uma probabilidade significativa de inadimplência, Merton (1974) desenvolveu uma metodologia para obter a probabilidade de inadimplência das empresas usando o modelo de Black & Scholes (1973), que é um modelo para avaliação de opções de compra e venda do tipo européia particularmente atraente, uma vez que a fórmula final é uma função de variáveis “observáveis”.

O desenvolvimento inicial do modelo de precificação tipo Black &Scholes e as pressuposições necessárias para obtenção do modelo seguem apresentadas no Anexo C.

De acordo com as derivações inicias de Merton (1974) e supondo que exista um título cujo valor de mercado, Y, em qualquer ponto no tempo possa ser escrito como uma função (F) do valor da empresa e do tempo, isto é, ( ),a equação diferencial parcial parabólica para F, apresentada pela Equação 71, deve ser satisfeita por qualquer título, onde é a variância instantânea do retorno sobre a empresa por unidade de tempo, é a taxa de juros, C é o total de pagamentos em valor monetário por parte da empresa por unidade de

tempo para qualquer um de seus acionistas ou titulares de passivos, se positivo, e são os recursos líquidos recebidos pela empresa a partir de um novo financiamento, se negativo, e os subscritos indicam derivadas parciais.

Equação 71:

( )

Em seguida, Merton (1974) faz uma observação sobre quais variáveis e parâmetros apareceriam na Equação 71, ou seja, que afetam o valor do título; além do valor da empresa e tempo, F depende da taxa de juros, da volatilidade do valor da empresa e da política de pagamento de dividendos prometido aos detentores de título. Segundo o autor, F não depende da taxa de retorno esperada sobre a empresa, das preferências de risco dos investidores e nem das características de outros ativos disponíveis para os investidores. Merton (1974) salienta, também, que todos os parâmetros e variáveis, exceto a variância da empresa, são diretamente observáveis e que a variância pode ser razoavelmente estimada a partir de dados de séries temporais.

Aplicando a formulação anterior para o caso mais simples de precificação de dívida corporativa, o autor supõe que a empresa tenha duas classes de crédito, uma classe única, homogênea, de dívida e o crédito residual, que é o capital próprio; supõem ainda que a emissão de títulos contenha as seguintes disposições e restrições: a empresa se compromete a pagar um total monetário B para os detentores de títulos na data especificada T; no caso do não cumprimento do pagamento, os detentores de títulos assumem imediatamente a empresa (e os acionistas não recebem nada); a empresa não pode emitir qualquer nova posição mais elevada de crédito sobre a empresa (ou de categoria equivalente), e não pode pagar dividendo ou recomprar ações antes do vencimento da dívida.

Assumindo F como o valor da emissão da dívida, Merton (1974) apresenta a Equação 71 como a Equação 72, onde , pois não há pagamento de cupons, a partir da terceira restrição, é o comprimento de tempo até o vencimento, de modo que

Equação 72:

Para resolver esta última equação para o valor da dívida, Merton (1974) sugere que devem ser especificadas duas condições de contorno e uma condição inicial, onde estas condições de contorno são derivadas das disposições da escritura de emissão e responsabilidade limitada dos créditos; por definição, ( ) ( ), onde é o valor do capital próprio e, porque ambos F e só podem assumir valores não negativos, tem-se que ( ) ( ) e, além disso, ( ) , que implica na condição de regularidade ( ) ⁄ , que substitui a outra condição de contorno em um problema de fronteira semi-infinito, onde .

Como explicita o autor, se ( ) , então a empresa não vai fazer o pagamento e a empresa será inadimplente diante aos detentores de títulos, porque, caso contrário, os detentores de capital próprio teriam que pagar em adicional e o valor do capital próprio antes de tais pagamentos seria ( ( ) ) ; assim, a condição inicial para o débito em T seria dada pela Equação 73.

Equação 73:

( ) , -

Para determinar o valor do capital próprio, ( ), Merton (1974) observa que ( ) ( ) é substituto de F na Equação 72 e nas condições anteriormente dadas, para se deduzir a equação diferencial parcial para ; dessa forma, tem-se a Equação 74, sujeito à Equação 75 e condições de contorno anteriormente apresentadas, ( ) ( ) e ( ) ⁄ .

Equação 74:

Equação 75:

Passando pelos trabalhos de Black &Scholes (1973) e Merton (1973), Merton (1974) observa que as Equações 89 e 90 são idênticas às equações para uma opção de compra européia sobre uma ação ordinária sem pagamento de dividendos, onde o valor da empresa nas Equações 74 e 75 corresponde ao preço das ações e B corresponde ao preço de exercício. Além dessa relação permitir escrever a solução para as duas novas equações, o autor chama a atenção para o fato dessa relação permitir que sejam aplicadas, imediatamente, as estáticas comparativas resultantes nestes artigos para o caso do capital próprio e, portanto, para a dívida; a partir da equação de Black &Scholes, quando é uma constante, tem-se, segundo Merton (1974), a Equação 76, onde ( )

√ ∫ 0 1 e 2 , ⁄ -

. / 3 √ e √ .

Equação 76:

( ) ( ) _{( )}

Da equação acima e da relação , o valor da dívida emitida pode ser escrita como na Equação 77, onde , ( ) 0 ( )1 √ e

( ) 0 ( )1 √ .

Equação 77:

, - _{{ , ( )- , ( )-}}

Na derivação da Equação 71, equação fundamental para o preço da dívida corporativa, Merton (1974) assumiu que o teorema de Modigliani-Miller era válido, ou seja, que o valor da empresa poderia ser tratado como exógeno para a análise; entretanto, havendo existência de custo de falência ou impostos, sabe-se que o teorema de MM não se sustentaria e o valor da empresa dependeria da proporção dívida-capital próprio, onde a análise do artigo não seria válida. Entretanto, salienta o autor, a propriedade linear da Equação 71 seria perdida e, em vez disso, uma solução simultânea não linear, , ( ) -, seria necessária.

Felizmente, continua Merton (1974), na ausência destas imperfeições, a análise formal restrita utilizada para deduzir tal equação fundamental, permanece como uma prova do

teorema de MM, mesmo na presença de falência. Para mostrar isso, o autor supõe que existam duas empresas idênticas no que diz respeito às suas decisões de investimento, mas que uma empresa emite dívida e a outra não. Então, continuando Merton (1974), o investidor poderia “criar” um título com uma estrutura de retorno idêntico à dívida arriscada, seguindo uma estratégia de portfólio misturado com o capital próprio da empresa desalavancada com participações de dívida sem risco.

A estratégia de portfólio correto seria manter ( ) de capital próprio e ( ) em títulos sem risco, onde V é o valor da empresa desalavancada e F e são determinados pela Equação 71 e, uma vez que o valor da dívida arriscada “fabricada” é sempre F, a dívida emitida pela outra empresa nunca pode ser vendida por mais do que F (MERTON, 1974).

Ainda em seu trabalho, Merton (1974) faz as derivações de seu modelo pensando na precificação de títulos em termos de rendimento, ao invés de preços; faz uma análise estática comparativa da estrutura de risco; e examina uma emissão de dívida para uma única empresa, a fim de medir o risco da dívida em elação ao risco da empresa. Tal derivação e análises seguem apresentadas no Anexo D.