Modelo em painel de efeitos aleatórios

Inicia-se com o mesmo modelo de efeitos não observáveis já apresentado anteriormente:

(7)

Nesta equação é acrescentado um intercepto para que se possa fazer a suposição de que o efeito não observável tem média zero, sem perda de generalidade.

Quando se usa o modelo de efeitos fixos, o objetivo é eliminar porque se pensa que ele está correlacionado com uma ou mais variáveis explicativas . Supondo que é não correlacionado com cada uma das variáveis explicativas em qualquer período, se for feita uma transformação para eliminar (como é feita no modelo de efeitos fixos), os coeficientes estimados serão ineficientes. Assim, a equação (7) se torna um modelo de efeitos aleatórios quando se assume que o efeito não observável é não correlacionado com cada uma das variáveis explicativas.

(8)

Os pressupostos ideais do modelo de efeitos aleatórios incluem todos os pressupostos do modelo de efeitos fixos, mais especificamente, incluem as seis primeiras hipóteses apresentadas no modelo de efeitos fixos mais a exigência adicional de que é independente de todas as variáveis explicativas em todos os períodos. Entretanto, é preciso adicionar suposições sobre a maneira que o efeito não observável está relacionado com as variáveis explicativas . Para isso, a terceira hipótese do modelo de efeitos fixos é reforçada da seguinte forma:

 Hipótese 03’: Adicional à hipótese 03 do modelo de efeitos fixos, o valor esperado de , dadas todas as variáveis explicativas, é zero:

Esta hipótese exclui a correlação entre o efeito não observável e as variáveis explicativas .

Como a transformação feita no modelo de efeitos aleatórios não remove completamente a média no tempo permite-se que as variáveis explicativas sejam constantes ao longo do tempo para todo i. Assim, a quarta hipótese do modelo de efeitos fixos será agora:

 Hipótese 04’: Cada variável explicativa varia ao longo do tempo para todo e não existem relações lineares perfeitas entre as variáveis explicativas.

Também é necessário impor a homocedasticidade nos efeitos não observáveis , assim, a quinta hipótese do modelo de efeitos fixos fica:

 Hipótese 05’: Adicional à hipótese 05 do modelo de efeitos fixos, a variância de , dado que todas as variáveis explicativas são constantes, será:

Definindo um termo de erro composto na forma de:

A equação (6) pode ser reescrita como:

(9)

Como encontra-se dentro do termo de erro composto em cada período, então, os termos de erro composto são correlacionados ao longo do tempo. De fato, sob os pressupostos de efeitos aleatórios:

Essa correlação, necessariamente positiva, no termo de erro pode ser substancial: como os erros padrão do pooled OLS usual ignoram esta correlação, eles serão incorretas e as estatísticas usuais também serão.

Para resolver este problema de correlação serial, pode-se usar Generalized Least

Squares (GLS) e, para que este procedimento tenha boas propriedades, deve haver um grande

número de e um relativamente pequeno.

O cálculo da transformação GLS que elimina a correlação serial nos erros requer álgebra matricial sofisticada, mas a transformação em si é simples. Defina:

(10)

A equação transformada é:

(11)

A barra superior denota as médias no tempo. O estimador de efeitos fixos subtrai as médias no tempo das variáveis correspondentes e a transformação de efeitos aleatórios subtrai uma fração das médias no tempo, onde a fração depende de , e o número de períodos . O estimador GLS é, simplesmente, o estimador pooled OLS da equação (11). Os erros na equação (11) são não correlacionados.

A transformação na equação (11) permite variáveis explicativas que são constantes ao longo do tempo e esta é uma vantagem do modelo de efeitos aleatórios em relação ao modelo de efeitos fixos. Isso é possível porque o modelo de efeitos aleatórios assume que o efeito não observável é não correlacionado com todas as variáveis explicativas, mesmo se elas são fixos ao longo do tempo ou não.

O parâmetro nunca é conhecido na prática, mas ele sempre pode ser estimado. Existem diferentes maneiras de estimá-lo, as quais podem ser baseadas em pooled OLS ou efeitos fixos. Geralmente, tem a forma:

Onde e são estimadores consistentes de e , respectivamente. Estes estimadores podem ser baseados nos resíduos das estimações por pooled OLS ou por efeitos fixos.

Uma possibilidade é que:

Onde os são os resíduos da estimação da equação (9) por pooled OLS. Dado isto, é possível estimar usando:

Onde é o quadrado do erro padrão usual da regressão usando pooled OLS.

Muitos pacotes econométricos estimam modelos de efeitos aleatórios e automaticamente calculam alguma versão de . O estimador GLS viável, que usa em vez de é chamado de estimador de efeitos aleatórios. Com base nas hipóteses 01, 02 e 06 do modelo de efeitos fixos e nas hipóteses 03’, 04’ e 05’, as quais são as hipóteses do modelo de efeitos aleatórios, este estimador é consistente, não viesado e assintoticamente normalmente distribuído conforme aumenta e permanece fixo. Além disso, o erro padrão e as estatísticas e obtidas na estimação do modelo de efeitos aleatórios são válidos com grande.

A equação (11) permite que relacionar o estimador de efeitos aleatórios com os estimadores pooled OLS e de efeitos fixos. O estimador pooled OLS é obtido quando e o estimador de efeitos aleatórios é obtido quando . Na prática, uma estimativa nunca é zero ou um. Mas, quando o efeito não observável é relativamente sem importância uma vez que tem variância pequena em relação ao , então, é próximo de zero, neste caso, as estimações por efeitos aleatórios são próximas das estimações por pooled OLS. Por outro lado, quando é maior do que , então, é próximo da unidade, neste caso, conforme aumenta, se aproxima da unidade, o que faz com que a estimação por efeitos aleatórios sejam muito semelhantes à estimação por efeitos fixos.