Modelo Linear

Para o experimento em questão, considera-se o modelo linear:

Y. _"k

=

µ + ..,.. +

�-

+ 0_{k + 6.r .. +}

�\jk ( 1)

. .

t-J t- J t- t-J

sendo

Ó=

o

se o tratamento i, for não comum i,

6=

1 se o tratamento i, for comum

i,

onde:

Y . . k é a observação do i-ésimo tratamento no j-ésimo t- J

µ

T. t-

/1. _J

0_k

conjunto na k-ésima repet içã.o; é uma constante inerente a todas é o efeito do i-ésimo tratamento é o efeito do j-ésimo conjunto

é _{o efeito da k-ésirna repetição}

as observações; ( i.

=

1,2, .. . ,v);

( j

=

1,2, ... ,b); (k

=

1,2, ... ,d);

r . .

_1.J é o efeito da interação tratamento comum x conjunto

eij k é o erro amostral ou erro dentro de parcelas e

supõe-se e_ _{.k _} N(O,o) e independentes . z

t- J

y = X/1 + e onde: é o vetor das rbd};i aleatórias realizações de variáveis

X é uma matriz de zeros e uns relacionados

r bd <i+v+b+d+s>

com os coeficientes dos parâmetros do modelo e s é o número de parâmetros relativos às in t erações

comum x conjunto

tratamento

/1 é o vetor dos parâmetros do modelo

(i+v+b+d+s>- 1

é um vetor não observável de isto é, está

erros sendo aleatórios tal que

considerado o modelo portanto, v _ N(XB,Io2

).

linear de Gauss-Markov (GM) e,

1(. ~ e

3. 3. Resolução do Sistema de Equações Normais

Para se resolver o Sistema de Equações Normais (SEN) será usado o processo de absorção de equações, segundo SEARLE (1971). A base desse procedimento quando X'X é de ordem p e posto r é fazer p - r elementos de

ü

iguais a zero e eliminar as equações correspondentes do SEN, deixando um grupo de

completo.

r equações de posto

No experimento a ser analisado o número de equações é p =

1 +

v

+ b + d +

s, mas, no SEN, a soma das v equações de tratamentos é igual à equação relativa a µ,

d equações de repetições. A conseqüência disto é que existem três relações lineares entre as linhas de X'X. Também, nas equações relativas a r, a soma em j das

equações

r ..

_� para i fixo se iguala às equações T . . _� Isto é

válido par� todo tratamento i comum, representando outras a relações lineares entre as linhas de

x·x.

Então, o posto de

x·x

é r = 1 + v + b + d + s C3 · + a). Porém, para_ se resolver o SEN

necessário fazer

pelo processo de absorção é

p - r = 1 + v + b + d + s -C1 + v + d + s - 3 - a) = a + 3 elementos de (5° _{iguais a zero.}

Deste modo, usando-se a inversa generalizada adequada, a solução �º _{é obtida e}

posteriormente quadrados.

utilizada para calcular as somas de

A obtenção da solução@º pode ser feita através do pacote computacional GLIM, onde os elementos a serem zerados são

contenham T ₁ e (3_{1 .}

T , n _{1 ,}.,

e

e todas

1' 1 as interações que

Antes de entrar nos esquemas de análise de variância propriamente ditos,são necessárias algumas considerações importantes sobre a ocorrência de "aliasing" nos modelos.

Com o propósito de se obter uma idéia mais completa sobre o conceito de "aliasing", achou-se por bem fazer a tradução deste tópico contido no capitulo três do livro Generalized Linear Model de McCULLAGH &

NELDER

( 1989).

Cada termo em um modelo descreve um grupo de covariáveis a serem incluídas em um preditor linear. Se um grupo é denotado por

i

_1.

'

X , ... ,X , _{~2 ~p os i-s sendo}

vetores de tamanho N, com N igual ao número de unidades, então pode-se dizer que os X's definem p direções em um _~ espaço Euclideano N-dimensional. Essas direções definem um subespaço de até p dimensões com dimensão máxima atingida se não existirem relações lineares entre os i's.

Se existem k relações lineares independentes então os vetores

i

geram um subespaço de dimensão p - k. Geralmente, os termos individuais em uma fórmula irão definir subespaços de dimensão máxima, onde a perda de dimensão ocorrerá somente quando se consideram os subespaços conjuntos cobertos por mais de um termo. O exemplo mais simples de perda de dimensão em um termo aparece quando um nivel de um fator não ocorre em qualquer unidade, isto é, o grupo correspondente definido por esse nivel está vazio. O vetor "dummy" para esse grupo tem todos os elementos iguais a zero e assim não define nenhuma direção no espaço vetorial.

entre os subespaços definidos por dois termos em um modelo. Denotam-se os termos por P e Q com dimensões p e q respectivamente, assumindo p � q. Há três tipos de relações possiveis entre P e Q.

1 . Todos os p + q vetores que definem P e Q são linearmente independentes, de modo que a dimensão de P + Q é p + q.

2. Todos os vetores de Q são combinações lineares de P, de modo que a dimensão de P + Q é p.

3 . k dos g vetores de Q são combinações lineares de vetores de P, O < k < q, então, a dimensão de

P + g - k.

p + Q é

O efeito da sobreposição de subespaços nos termos de um modelo linear generalizado é produzir "aliasing", porque certas combinações de parâmetros em um modelo não podem ser distinguidas das outras. Eles têm a mesma estimativa para qualquer grupo de dados e não existe informação independente sobre os componentes.

3. 4-.1. "Aliasing" int.ri nsecos em modelos com :fatores Considere um modelo contendo um único fator A e a média geral, que pode ser escrito como: 1 + A, onde 1 é o vetor "dummy" com todos os elementos iguais a 1. Algebricamente tem-se

n . .

_{l, J} = µ + a_, onde i. é o índice1,

dos grupos definidos por A, e j é o índice das unidades

repetição, os vetores são designados por zero . Assim µ é "al iased" com l):t. , e além do mais é l, intrinsicamente

" aliased" porque a relação é válida para qualquer que seja a alocação das unidades aos grupos. Diz-se então que os

"aliasing" são intrinsecos devido ao modelo em si .

3. 4. z. "Aliasing" extrínsecos

Foi visto que os "aliasing" intrínsecos são essencialmente uma característica do modelo e não de um grupo particular de dados que dá informações sobre o modelo. Entretanto, "aliasing" pode também ocorrer porque valores particulares de covariáveis em um grupo de dados contêm dependências lineares . Suponha um modelo de classificação cruzada (três por três) onde existem dados em cinco das nove caselas possíveis, arranjados do seguinte modo: A 1 2 3 1 X X B 2 X X 3 X

Por causa dessa particular configuração dos dados, os dois espaços tridimensionais A e B têm um subespaço

unidimensional.

Os "alias:L_ng" refletem o fato de que aquelas cinco caselas ocupadas podem ser separadas em duas porções desconectadas (de tamanhos dois por dois e um por um) não tendo linha ou coluna em comum. Se porém uma das caselas for movida de modo que se tenha a configuração :

A 1 2 3 1 ·X X B 2 X X 3 X

neste caso, os "aliasing" desaparecem juntamente com a desconexão. Isto mostra como " aliasing" extrinsecos dependem dos dados, em contraste com os intrinsecos que dependem da formulação do modelo .

3. 5. Análise de Variância

�ão apresentados a seguir alguns esquemas . de análise que se julgaram importantes para os dados do experimento em questão. A solução do SEN será obtida pelo GLIM, cujos resultados serão apresentados .

O primeiro esquema de análise é aquele em que aparecem as seguintes causas de variação : repetições

tratamentos corrigidos pela média e efeito de conjuntos; interação corrigida pela média, efeito de tratamentos , efeito de conjuntos e repetições e o residuo. Estes

efeitos serão calculados através de reduções nas somas de quadrados. Portanto, tem-se: ·

Causas de variação . Graus de liberdade

0 1 µ d

-

1

� 1 µ

b 1 T I µ , � V - 1 r l µ , T , �, e (a - l)(b

-

1 ) Residuo N

-

V - d - a(b

-

1 ) ₊ 1 Total N - 1

O cálculo das somas de quadrados é feito por : SQ Residuo =

E

Y - R( µ , r , �.z e. r) R<r l µ , T , �, e) = R( µ , T , �, e . r) - R( µ , r , �,e) R( T I µ, �) = R( T , µ , �) - R(µ, �) R(� I µ)

=

R(�, µ) R(S I µ)

=

R(0, µ) R( µ ) R( µ )

Para se obterem estas reduções nas somas de quadrados são ajustados os diversos modelos usando-se o método do resíduo condicional.

Para se calcular a SQRes o ajuste é feito usando-se o modelo:

k

1, J 1, 1, J '�\jk

Seja um experimento com v

=

30 , b

=

2 ,

a = 3, d = 4 e s = 6, contendo nos conjuntos um e dois respectivamente, os seguintes tratamentos :

c₁ 1, 2, 3, . . . , 15 , 7 , 1 9, 24 cz 16 , 17 , . . . , 30 , 7 , 1 9, 24

Os tratamentos 7,19 e 24 são os tratamentos comuns aos dois conjuntos, ressaltando-se que o 7 se repete dentro do primeiro conjunto e o 19 e 24 se repetem dentro do segundo . Assim, as seis interaç5es existentes são representadas por : r_{7 , 1 ,} r_{7 , 2 ,}

e p = 1 + v + b + d + s = 43.

r

1 s> , 1 •

r

1 s> , z •

r

z 4 , 1 ,

r

z4,z

Como o número de tratamentos comuns é a=3, o número de elementos a serem zerados será a + 3 = 6 e o posto de X ' X será r

=

43 - 6 - 1

=

36 . A diminuição de uma unidade no posto de X 'X se deve à presença do "aliasing" extrínseco . O mesmo ocorrerá para o modelo sem interação, modelo (2).

Deste modo os resultados serão mostrados na Tabela 1. Para se distinguir os "aliasing" intrínsecos dos extrínsecos, basta olhar na coluna da referência da equação. Os "aliasing" intrínsecos são denotados por um zero e os extrínsecos aparecem numerados naturalmente como os outros parâmetros.

de Searle.

Referência da equação Solução do SEN Parâmetro

1 valor µ

o

0.000 ("aliased") T(l) 2 valor T( 2 ) 3 valor T ( 3 ) 30 valor T ( 30 )

o

0. 000 ("aliased") /1( 1 ) 31 valor /1( 2 )

o

0. 000 ("aliased") 0( i ) 32 valor 0(2) 33 valor 0( 3 ) 34 valor 0( 4 )

o

0. 000 ("aliased" ) T ( 7 )(,'( 1 ) 35 valor T ( 7 )/1( 2 )

o

0 . 000 ("aliased") T ( 19 )(,'( 1 ) 36 valor T ( 19 )(,'( 2 )

o

0 . 000 ("aliased") T ( 24 )(,'( 1 ) 37 0 . 000 ("aliased") T ( 24 )f3'( 2 )

Portanto, existem 6 "aliased" intrinsecos e 1 extrinseco. Para o cálculo da ajusta-se o modelo: Y . . 1. J k = µ + T . +1. redução R(r l µ, T, /3', 8) (2)

+ d= 37, o posto de X 'X é 33 e o número e equações a serem zera d as é 3 . São zerados então T _{1' '}� -' e

1 •

Portanto tem-se os resultados na Tabela 2.

Tabela 2. Resultados do ajuste do Referência da equação Solução

1 valor

o

0. 000 2 valor 3 valor 30 valor

o

_{0 . 000} 31 0. 000

o

_0.000 32 valor 33 valor 34 valor

Observa-se aqui que

modelo sem interação do SEN Parâmetro µ (" aliased" ) 1'"(1) 1'"(2) T ( 3 ) ,(30) ( " aliased" ) (3( 1) ("aliased") 13( 2) ("aliased" ) 0( 1 ) 0(2 ) 0( 3 ) 0( 4 ) existem 3 "aliased" intrinsecos, que são devidos ao modelo e um extrinseco.

Para a redução R(T j µ, (3) torna-se necessário ajustar o modelo:

+ & _i.jk (3)

Aqui o número de equações se reduz a p = 1 + v + b = 33 , o posto de X ' X é 31 e o número de equações a serem zeradas é 2 . Zeram-se então _{T 1} e �_{1 •} com os seguintes resultados

Tabela 3. Resultados do ajuste do modelo (3) Referência da equação 1

o

2 3 30

. o

3 1 Solução valor 0 , 000 valor valor valor 0 , 000 valor do SEN ("aliased") ("aliased") Parâmetro µ -r ( 1) -r(2) -r (3) -r(30) (3'( 1 ) (3'( 2 )

Tirando-se o efeito de tratamentos, o modelo fica reduzido a :

(4) Tem-se então p

=

1 + b

=

3 equações, o posto de

x·x

é 2 e zera-se, assim, uma equação.

Tab. 4. Resultados do ajuste do modelo (4) Referência da equação 1

o

2 Solução do SEN valor 0 , 000 valor ("aliased") Parâmetro µ (3'( 1 ) (3'( 2 )

efeito de conjuntos e acrescenta-se o efeito de repetições e tem-se: y i, k

=

µ + ek + E i,k Tem-se então p

=

5, o uma equação. ( 5 ) posto de X 'X

=

4 e zera-se somente

Tab.5.- Resultados do ajuste d o modelo ( 5 )

Referência da equação Solução do SEN Parâmetro

1 valor µ

o

0 , 00 0 ("aliased" ) 0(1)

2 valor 0(2)

3 valor 0( 3 )

4 valor 0( 4 )

Calculando-se outras reduções em relação ao efeito de repetições, chegou-se ao seguinte resultado: R(0 l µ, T, �. r)

=

R(0 l µ, T, B)

=

R(0 l µ, T, r)

=

R(0 l µ, T)

=

R(0 I µ, �)

=

R(0 l µ, r)

=

R(0 I µ), verificando-se portanto que há ortogonalidade entre o efeito de repetições e os demais efeitos.

O modelo utilizado para a análise sem levar em conta os tratamentos comuns foi o seguinte:

y _{i, j k}

=

µ + T . _i + � - + 6_{J k} + .... i, jk • C' com o seguinte quadro de análise de variância:

Causas de Variação Graus de liberdade 0 1 µ d

-

1 /3 1 µ b - 1 T l µ , /3 V - 2 Residuo N

-

V - d

-

b + 3 Total N

-

1

As reduções nas somas de quadrados são feitas como anteriormente.

Pode ocorrer de não haver efeito significativo de conjuntos. Neste caso o que se aconselha fazer é somar este efeito ao de tratamentos, e o modelo fica :

y i. k = µ + Ti. + 0 k + & i.k (6)

com o seguinte quadro de análise:

Causas de Variação Graus de Liberdade

0 1 µ d - 1

T I µ V - 1

Residuo (d

-

1 ) (v - 1 )

Total dv - 1

Uma outra análise de interesse foi aquela em que se usou a média dos tratamentos comuns que se repetem dentro de cada conjunto. Qua�to

utilizado é o mesmo que no esquema anterior .

3. 6. Comparações de Médi as de Tratamentos

Quando não houver efeito da interação tratamentos comuns x conjuntos, a variância estimada do contraste é dada pelas fórmulas a seguir , quando se quer fazer comparaç5es entre

1°) Dois tratamentos regulares

V(m. - m . ) = 2QMRes/d 1, J

2°_{) Um tratamento regular e um comum:}

V(m. - m . ) 1, J

=

(1 + 1/X)QMRes/d

onde X = L + b - 1, sendo L o número de repetições do tratamento comum dentro de um conj unto.

3°₎ Dois tratamentos comuns:

V(m. - m . ) 1, J

=

2QMRes/dX

Os resultados obtidos por PIMENTEL GOMES (1987) no delineamento em blocos casualizados

tratamentos comuns são os seguintes: a) Entre dois tratamentos regulares:

,.. ,.. _z

V(m. 1,

-

m j )

=

2s /r

b) Entre dois tratamentos comuns:

,.. ... _z

V(m. m j )

=

2s /gr

1,

onde g é o número de grupos e r- repetições

c) Entre um tratamento regular e um comum: V(m . - m . )= s_{1, J} 2 (1 + 1/c + 1/g - 1/cg)/r

é o número com

Nota-se que entre dois tratamentos regulares as variâncias são iguais para os dois modelos • ao passo que entre dois tratamentos comuns e entre um regular e um comum as variânciás são menores no modelo em questão. Isto deve-se à ocorrência de repetição dos tratamentos comuns dentro dos conjuntos.

Quando houver interação entre tratamentos comuns x conjuntos, temos as seguintes possibilidades:

1°_{) Comparaçôes de médias de dois tratamentos regulares no}

mesmo conjunto:

V(m. - m . ) = 2QMRes/d _{' J}

2°) Comparaçôes de médias de dois tratamentos regulares em

conjuntos diferentes: V(m. - m . ) _{' J}

=

2QMRes/d

3°_{) Comparaçôes de médias entre um tratamento regular e um}

comum no mesmo conjunto, onde o comum não se repete: V(m . - m .) _{' J}

=

2QMRes/d

4°_{) Entre um tratamento regular e um comum no mesmo}

conjunto , com o comum se repetindo: V(m. - m . ) = (1 + 1/L)QMRes/d _{' J}

5°_{) Entre dois tratamentos comuns no mesmo conjunto, onde}

ambos não se repetem: V(m . ' m.) _J

=

2QMRes/d

ambos se repetem:

V(m. - m . ) _{� J}

=

2QMRes/Ld

7°_{) Entre dois tratamentos comuns no mesmo conjunto, onde}

um se repete e o outro não: V(m. - m . ) = (1 + 1/L) QMRes/d. _{� J}

No documento Blocos causalizados com tratamentos comuns: uma aplicação em melhoramento genético de soja (páginas 30-47)