MODELO M/M/M

O modelo M/M/m é utilizado quando temos uma única fila e vários outros servidores idênticos. Neste modelo, os tempos entre chegadas dos clientes e os tempos de serviços são representados pela distribuição Exponencial.

Os parâmetro necessários para a análise deste modelo são:

• λ = Taxa de chegada de clientes por unidade de tempo;

• μ = Taxa de serviço dos servidores por unidade de tempo;

• m = Quantidade de servidores disponíveis;

• n = Número de clientes.

Dessa forma, temos um resumo de todas as relações, em formato de fórmulas, do modelo M/M/m, que podemos verificar na tabela a seguir:

TÓPICO 3 | MODELOS BASEADOS EM TEORIA DAS FILAS

TABELA 21 – RESUMO DAS FÓRMULAS DO MODELO M/M/M

1 Intensidade de tráfego ρ = λ / μ

2 Condição de estabilidade ρ < 1, isto é, λ <m.μ

3 Probabilidade de zero clientes no sistema

( )

( )

( )

4 Probabilidade de n clientes no sistema

( )

Probabilidade de enfileiramento (∂ = probabilidade de m ou mais clientes no

sistema ( ) ( )

7 Variância média de clientes no sistema

( )²

11 Variância do tempo no sistema

( )

132

RESUMO DO TÓPICO 3

Neste tópico vimos que:

• Para compreendermos o estudo de teoria das filas foi necessário conhecermos as aplicações desta análise, juntamente com o embasamento teórico de tema, como a estrutura básica de uma fila e seus principais elementos.

• As características de uma fila são: Tamanho da População, Processo de Chegada, Processo de Atendimento, Número de Servidores, Disciplina de uma Fila, Tamanho Médio da Fila, Tamanho Máximo da Fila e Tempo Médio de Espera na Fila, sendo que vimos o que significa cada uma delas.

• Os principais modelos baseados em teoria das filas são MM/1 e M/M/m, conforme vimos detalhes e as fórmulas de cada modelo.

1 Esquematize uma figura contendo os principais elementos da estrutura básica de uma fila.

AUTOATIVIDADE

Mecanismo Atendimentode Clientes Fila

Sistema de Filas

Clientes Atendidos Fonte de

ENTRADAS

2 Quais são as principais diferenças entre os processos de chegada e atendimento do estudo de filas?

134

TÓPICO 4

CADEIAS DE MARKOV

UNIDADE 2

1 INTRODUÇÃO

O estudo das Cadeias de Markov são na verdade uma extensão do estudo de filas, em que podemos analisar um sistema de filas utilizando modelos matemáticos baseados em sistemas chamados “markovianos”.

Neste tópico iremos aprender quais são os processos estocásticos e os modelos e fórmulas que constituem as Cadeias de Markov bem como acompanhar exemplos de aplicação dos conceitos abordados.

2 PROCESSOS ESTOCÁSTICOS

Dentro do estudo de Cadeias de Markov e também fazendo parte ainda do escopo do estudo de filas, é importante que apresentemos algumas informações que façam relação entre as variáveis aleatórias e processos estocásticos.

Conforme podemos verificar o exemplo citado no livro de Freitas Filho (2008), do caso de uma central telefônica, considerou-se que n(t) sendo o número de chamadas presentes nesta central no tempo t. Observando-se esse mesmo número de chamadas, em função do tempo, em várias centrais idênticas à conclusão é que n(t) é uma variável aleatória.

Além disso, este autor cita que, para se entender e representar o comportamento destes processos é preciso especificar sua função de distribuição de probabilidade para cada possível valor de t.

136

UNIDADE 2 | ESTATÍSTICA BÁSICA PARA SIMULAÇÃO

Assim, seguindo o mesmo raciocínio, o tempo de espera na fila w(t) também é uma função aleatória no tempo e a modelagem analítica emprega, neste caso, não apenas inúmeras variáveis aleatórias, como também sequências ou famílias de variáveis aleatórias que são funções do tempo.

Estas funções citadas acima são denominadas de Processos Estocásticos a partir do qual podemos utilizá-las na representação de sistemas de filas. A seguir iremos verificar uma pequena explicação de cada processo estocástico, que também podemos encontrar no livro de Freitas Filho (2008):

a) Processos de Estado Contínuo ou de Estado-Discreto:

Um processo pode ser considerado contínuo ou discreto, sendo que a diferença entre os dois casos é o fato de que quando o processo é contínuo, para tal utilizamos valores finitos ou contáveis. Por exemplo, o número de caminhões pipa esperando para abastecerem seus tanques é um processo de estado discreto.

Outro exemplo de processo contínuo, é código binário, muito utilizado nas ciências da computação, em que o número 0 pode representar uma leitura de um determinado dado e o número 1 outra leitura.

O processo é de estado contínuo, quando por exemplo, conta-se o tempo que demora para um cliente ser atendido e gera-se a variável tempo do sistema, sendo que faz parte de um estado de processo contínuo ou “cadeia estocástica”.

b) Processos de Markov:

Um estado é considerado de Markov, ou processo “markoviano”, quando todos os eventos passados não são necessários para o sistema. Ou seja, o importante em um sistema markoviano é que vai se estudar do presente para o futuro.

Assim, um determinado sistema precisa ser estudado em seu estado atual, para que a partir dele se possam estudar os eventos futuros. O tempo nos processos de Markov segue a distribuição de probabilidade exponencial (fato este chamado também de “sem memória”). Além disso, todo e qualquer processo discreto de Markov pode ser chamado também de Cadeia de Markov.

c) Processos de Nascimento e Morte:

No Processo de Nascimento e Morte, que é um dos processos discretos de Markov, analisa-se somente transições de estados vizinhos. Neste sistema, os parâmetros “λ” e “μ” que representam respectivamente (taxa média de chegadas de entidades (clientes) e a taxa média de serviços realizados, são os aplicados nas situações de mudança de estado.