MODELO MATEMÁTICO DO DIRIGÍVEL 1 Introdução

Modelagem matemática e simulação computacional são utilizadas na análise e no projeto de sistemas de controle para processos não lineares complexos. O objetivo da modelagem é o de expor o funcionamento interno do processo e apresentá-lo numa forma adequada para os estudos que se façam necessários. Assim, num caso particular, ela deve levar em conta o suficiente em termos de atividade do processo de forma a obter um modelo com a precisão requerida, mantendo-o, entretanto, suficientemente simples para permitir a determinação das suas saídas, com os meios disponíveis, em tempos adequados (compromisso simplicidade x precisão).

Em se tratando de veículos aéreos em geral, e dirigíveis em particular, é necessário se dispor de modelos razoavelmente complexos cuja determinação constitui, por si só, tema de pesquisa que extrapola em muito os objetivos desta tese. Optou-se então pelo uso e adaptação ao nosso caso do modelo desenvolvido por GOMES (1990, 1998), que constitui um enfoque reconhecido pelas comunidades acadêmicas e industrial, salientando, antecipadamente, a presença de aproximações nos processos associados às necessárias mudanças de escala entre as aeronaves tratadas por Gomes e no âmbito do presente trabalho.

No modelo matemático obtido por GOMES (1990, 1998), as características aerodinâmicas do dirigível foram obtidas a partir de um extenso conjunto de ensaios em túnel de vento. Numa abordagem alternativa, representada por DELAURIER (1981) e CHELLI (2001), a obtenção dessas características é baseada no uso de técnicas de dinâmica dos fluidos computacional (CFD, do Inglês Computational Fluid Dynamics). Segundo KHOURY (1999), o modelo de Gomes constitui um dos mais completos modelos matemáticos de dirigível disponíveis na atualidade.

O capítulo está assim organizado: na Seção 3.2 são mostrados os princípios de operação dos dirigíveis; na Seção 3.3 os sistemas de coordenadas e principais atuadores do dirigível; na Seção 3.4 é apresentado um modelo matemático de dirigível, tal como deduzido por GOMES (1990) para o YEZ-2A, com seus principais termos; na Seção 3.5 é apresentada a particularização do Modelo Matemático para o dirigível AS800 —

plataforma experimental utilizada nesta tese detalhado no Anexo 1 — na Seção 3.6 são apresentados os aprimoramentos realizados neste modelo pelo grupo de pesquisa do AURORA, para a sua adequação às peculiaridades do AS800 e, por fim, na Seção 3.7, como forma de validação, apresentam-se resultados preliminares de comparação do modelo simulado com o veículo real. Finalmente, a Seção 3.8 apresenta as conclusões do capítulo

3.2 Princípio de Operação dos Dirigíveis

3.2.1 Forças Aerostáticas

Os dirigíveis utilizam como princípio para sua sustentação a denominada sustentação aerostática (MOWFORTH, 1991), isto é, uma sustentação que é independente da velocidade de movimentação, em oposição à sustentação aerodinâmica que depende desta velocidade. O princípio de Arquimedes explica a sustentação aerostática, na qual a força de empuxo F exercida num corpo é proporcional ao volume (vol) de ar deslocado por este e também proporcional à diferença de densidade entre o ar (ρar) no exterior e o gás

(ρgás) no interior do envelope do dirigível, ou F= vol [ρar-ρgás], dado que para o gás hélio

tem-se ρ=1.06 Kg/m3 _{e ρ}

AR=1,225 Kg/m3 sob condições ISA a nível do mar. Apesar de

mais caro, o gás hélio é o mais usado, visto os riscos de explosão apresentados pelo hidrogênio (MOWFORTH, 1991).

Como muitos dirigíveis são infláveis – também chamados de não-rígidos por não possuírem estrutura – há influência da pressão externa sobre a sua forma. À medida que um dirigível sobe na atmosfera a pressão externa diminui, permitindo a expansão do gás interno, aumentando a tensão no material do envelope, podendo chegar a situações que colocariam em risco a resistência do mesmo. O oposto ocorre nas descidas. Pelo uso de balonetes, que são bolsas de ar dentro do envelope principal que contém o gás de sustentação, o problema é solucionado pela expulsão/admissão de ar de/para os balonetes como mostrado na Figura 3.1. Assim é possível manter-se um diferencial de pressão aceitável com o exterior, considerando-se que a diferença entre a pressão interna e pressão externa deve ser da ordem de 0,5 a 1% (MOWFORTH, 1991).

Hélio Hélio Hélio Ar Ar Ar Ar Altitude Intermediária: Balonetes Parcialmente cheios de ar

Hélio em expansão Altitude de Pressão: Balonetes vazios Condição de decolagem: Balonetes cheios de ar Lemes Balonetes Propulsão

Figura 3.1: Operação dos balonetes num dirigível não rígido.

Caso todo o ar dos balonetes esteja esgotado, a subida será possível apenas com a expulsão do gás de sustentação (o que é oneroso), para garantir o diferencial da pressão. Esta é denominada a altitude de pressão, ou a altitude limite. Usualmente esta é a maior altitude em que o dirigível opera.

3.2.2 Forças Aerodinâmicas

As forças aerodinâmicas também atuam nos dirigíveis quando estes se movimentam, distinguindo-se as seguintes forças e momentos (KHOURY, 1999):

i) arrasto aerodinâmico; ii) sustentação aerodinâmica;

iii) a ação das superfícies de atuação aerodinâmicas (lemes ou profundores) mostradas esquematicamente na Figura 3.1 e na Figura 3.2.

propulsor de popa leme de direção (ζ) leme de profundidade (η) propulsores velocidade de rotação (ω) ângulo de vetorização (µ) dx dz CV dy + + - +

Figura 3.2: Componentes principais para a atuação num dirigível. 3.2.3 Forças Dinâmicas

Os principais componentes das forças dinâmicas no dirigível são os associados às massas e inércias virtuais. Eles aparecem de forma significativa em veículos que flutuam num fluído, como submarinos e dirigíveis. Nesses veículos, a massa do fluído por eles deslocada é da ordem de grandeza da massa próprio veículo.

É devido à energia requerida para movimentar o fluído em torno do próprio veículo, quando este se move, que aparecem os efeitos de massas e inércias virtuais. A conseqüência prática desse é que o veículo aparenta ter massa e inércia maiores que as que ele realmente possui. Em (KHOURY, 1999), encontra-se o desenvolvimento teórico do assunto e é mostrado que, para maioria dos dirigíveis, as massas e inércias virtuais são da ordem de grandeza das massas e inércias do próprio veículo quando em repouso.

3.2.4 Forças de Propulsão

Os dirigíveis de grande porte geram suas forças de propulsão através da rotação de hélices acionadas por motores de combustão. Os dirigíveis de pequeno porte também utilizam hélices acionadas por motores elétricos ou motores de combustão baseados em metanol ou gasolina.

Quando são utilizados motores elétricos, a energia provêm de baterias ou de células solares. O avião Helios (HELIOS, 2001) é um exemplo de uma aeronave conceitual para ensaiar o uso de veículo aéreo alimentado por células solares (com 62.000 células, 35KW, ocupando uma área de 137m2_{). O dirigível Lotte é um outro exemplo.}

Para facilitar a decolagem e aterrissagem muitos dirigíveis são providos de propulsão vetorizável o que, conforme mostrado na Figura 3.2, é responsável pela variação do ângulo (µ) entre a direção dos eixos de rotação das hélices e a horizontal.

3.3 Sistemas de Coordenadas e Principais Atuadores no Dirigível

Nesta seção, define-se inicialmente a notação para o sistema de coordenadas associado ao dirigível e suas variáveis de atuação.

3.3.1 Sistemas de Coordenadas

O sistema de coordenadas X, Y, Z, associado ao corpo dirigível e denominado SCD, é mostrado na Figura 3.3. O SCD para o dirigível é estabelecido segundo a convenção utilizada em aeronaves (PROUTY, 1986), mas considerando a particularidade de localizar o centro do sistema no centro de volume do dirigível (CV) em lugar de localizá-lo no seu centro de gravidade (CG), o que se justifica pela constante mudança na posição do CG dos dirigíveis devido ao esvaziamento / enchimento dos balonetes para compensar as variações de pressão e manter a forma do envelope (GOMES, 1990). As variáveis introduzidas, associadas ao SCD, são:

• X, Y, Z: os eixos do sistema de coordenadas do dirigível; • u, v, w: as velocidades lineares relativas aos eixos X, Y e Z; • p, q, r: as velocidades angulares em torno dos eixos X, Y e Z.

CV CG p X w r Z Y v q u L N A SCD SCI

Figura 3.3: Sistemas de coordenadas do dirigível e inercial e principais variáveis associadas.

Se na formulação do modelo matemático do dirigível, como em geral para veículos robóticos, o sistema de coordenadas de referência SCD é localizado no próprio corpo do veículo, por outro lado, na medida que o veículo realiza seu movimento, ele altera sua posição e atitude (orientação) ao longo do tempo, constantemente, também em relação a um segundo sistema de coordenadas, denominado SCI - sistema de coordenadas inercial. O SCI, fixado na terra, permite associar a posição e atitude do veículo a referenciais geodésicos, tais como orientações segundo os eixos Norte, Leste e "Acima" (do Inglês

North, East, Up), sendo usualmente utilizado nos sistemas de controle e navegação de

aeronaves. As transformações entre os referenciais SCD e SCI são abordadas na seqüência. 3.3.2 Atuadores no Dirigível

Os principais atuadores de um dirigível e a respectiva notação das variáveis de atuação estão ilustrados na Figura 3.2. Nesta figura, as superfícies de atuação possuem uma configuração em cruz. Os outros elementos de atuação são os propulsores que, além da variação da força de empuxo através da velocidade de rotação dos motores, podem ser vetorizáveis, isto é, ter alterados seus ângulos de orientação com o veículo. Eventualmente, propulsores de popa e / ou proa são montados perpendicularmente ao eixo longitudinal do veículo, para oferecer manobrabilidade adicional em baixas velocidades.

Ao contrário da configuração em “+” para as superfícies de atuação – deflexões ζ (do leme de direção) e η (do leme de profundidade), mostrado na Figura 3.2 – o dirigível AS800 possui as superfícies em forma de “x”, o que é ilustrado pela Figura 3.4. Os efeitos de ambas configurações sobre o dirigível são explicitados na Seção A1.2.2.

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