MODELO PARA UMA CALL

Sabe-se que uma call terá, em seu vencimento, o seguinte pay-off: ܿሺܶሻ ൌ݉ܽݔሼͲǡ ܤሺͲǡ ܶሻ െ ܭሽ

Trazendo a expressão da call a valor presente em um mundo risk-neutral e supondo não haver oportunidade de arbitragem nem a presença de fricções:

ܿሺݐሻ ൌ ܧ ቂܿሺܶሻǤ ݁ି ׬ ௥_೟೅ ೞௗ௦ቃ -30 -15 0 15 30 8/ 25 /2 00 0 8/ 25 /2 00 1 8/ 25 /2 00 2 8/ 25 /2 00 3 8/ 25 /2 00 4 8/ 25 /2 00 5 8/ 25 /2 00 6 8/ 25 /2 00 7 8/ 25 /2 00 8 8/ 25 /2 00 9 8/ 25 /2 01 0 8/ 25 /2 01 1 8/ 25 /2 01 2 8/ 25 /2 01 3 8/ 25 /2 01 4 8/ 25 /2 01 5 8/ 25 /2 01 6

Gráfico 5: Market Price of Risk (MPR)

Ϯϴ 

Deseja-se precificar opções sobre IDI. Como este índice é uma composição da taxa de juros em tempo discreto, a expressão para a ele no instante _{ݏ será, para} ݏ ൐ ݐ:

ܫܦܫ௦ൌ ܫܦܫ௧Ǥ ሺͳ ൅ ݎ௦ሻሺ௦ି௧ሻ ଶହଶΤ

onde:

ݎ௦: Taxa DI de vértice em s expressa em termos anuais

Porém, como visto anteriormente, como estas opções são relacionadas a um

underlying que não é negociado nos mercados, há a presença da medida do preço

de mercado do risco. Logo, a expressão acima não pode ser utilizada diretamente.

A solução para isso é o uso de uma medida martingale. Um martingale é um processo estocástico com tendência nula. Em Hull (2016): “qualquer variável que

siga um martingale tem a propriedade simplificadora de que seu valor esperado em qualquer data futura é igual a seu valor hoje”. O autor ainda prossegue: “o resultado de medida de martingale equivalente mostra que se g é o preço de um título, há um mundo no qual a razão f/g é um martingale para todos os preços de título f”. Esse

assunto não será detalhado neste trabalho, no entanto, é necessário reforçar as condições para que exista uma medida equivalente à outra.

Como desenvolvido por Barbachan e Ornelas (2003), seja _{Է א ሺߗǡ ߦሻ uma}

martingale equivalente a Զ, logo Է e Զ satisfazem as hipóteses abaixo:

a) _{Զሺܣሻ ൌ Ͳ, se e somente se, Էሺܣሻ ൌ Ͳ, ׊ܣ א ߦ;}

b) O quadrado de _{Է é integrável em relação a Զ, isto é, a derivada de Radon-} Nikodym existe e pertence a _ࣦଶሺߗǡ ߦǡ Զሻ

c) _ܧԷ_{ሺܣሺݐሻȁߦ௨ሻ ൌ ܣ௜ሺݑሻ, ׊݅ ൌ Ͳ ǥ ݊ െ ͳ e Ͳ ൑ ݑ ൑ ݐ ൑ ܶ}

Logo, reescrevendo o preço de uma call e assumindo que o preço de um título é _{ܤሺͲǡ ݐሻ ൌ ݁}ሺ׬ ௥_బ೟ ೞௗ௦ሻ, temos:

ܿሺݐሻ ൌ ܧԷ_{ቀܿሺܶሻǤ ݁}ି ׬ ௥_೟೅ ೞௗ௦ቚߦ_௨ቁ

Ϯϵ 

ܿሺݐሻ ൌ ܧԷ_{ቀ݉ܽݔሼͲǡ ܤሺͲǡ ܶሻ െ ܭሽ Ǥ ݁}ି ׬ ௥_೟೅ ೞௗ௦ቚߦ_௨ቁ

Para chegar à equação válida para o cenário com risco, Barbachan e Ornelas (2003)

usaram o Teorema de Girsanov. Nesse caso, o processo de Wiener em _{Է pode ser}

escrito como:

ܼ݀௧Է ൌെܯܴܲሺݎǡ ݐሻ݀ݐ ൅ ܼ݀௧

Portanto, o processo para a taxa de juros de curto prazo pode ser reescrito para o mundo real:

݀ݎ ൌ ݑሺݎǡ ݐሻ݀ݐ ൅ ݓሺݎǡ ݐሻ൫ܼ݀௧Է൅ ܯܴܲሺݎǡ ݐሻ݀ݐ൯

Rearranjando os termos, temos

݀ݎ ൌ ൫ݑሺݎǡ ݐሻ൅ ܯܴܲሺݎǡݐሻǤ ݓሺݎǡ ݐሻ൯݀ݐ ൅ ݓሺݎǡ ݐሻܼ݀ݐԷ

Agora, reescrevendo os parâmetros para seguir a forma dos modelos neutros ao risco, tem-se:

݀ݎ ൌ ሺݑሺݎǡ ݐሻכ_{ሻ݀ݐ ൅ ݓሺݎǡ ݐሻܼ݀}

ݐ Է

Tal que _ݑכ_{ሺݎǡ ݐሻ ൌ ݑሺݎǡ ݐሻ൅ ܯܴܲሺݎǡ ݐሻǤ ݓሺݎǡ ݐሻ.}

Barbachan e Ornelas (2003), em referência ao trabalho de CIR (1985), afirmam que _{ݎሺݏሻ condicionada a ݎሺݐሻ, com ݏ ൐ ݐ segue uma distribuição chi-} quadrada não central em _{Է da seguinte forma:}

ݎሺݏሻȁߦ_ݐ̱Է_߯ଶ_{ሺܿǤ ݎሺݏሻǢ ݊ǡ ݌ሻ ܿΤ}

Lembrando que, pelo CIR (1985), em um mundo neutro ao risco, temos a equação 4 reescrita abaixo:

݀ݎ ൌ ߙǤ ሺݎҧ െ ݎሻ݀ݐ ൅ ݒǤ ݎଵȀଶ_{ܼ݀ (11)}

Como a expressão geral para o processo de taxas de juros é dada da seguinte forma:

ϯϬ 

Temos que _{ߙ ൌ ݑሺݎǡ ݐሻ ሺݎҧ െ ݎሻΤ} e _{ݓሺݎǡ ݐሻ ൌ ݒǤ ݎ}ଵ ଶΤ _{. Ambos possíveis de se encontrar}

com os dados.

Trazendo a medida de risco _{ܯܴܲሺݎǡ ݐሻ para o modelo, temos:} ݀ݎ ൌ ൫ߙǤ ሺݎҧ െ ݎሻ ൅ ܯܴܲሺݎǡ ݐሻǤ ݒǤ ݎଵ ଶΤ _{൯݀ݐ ൅ ݒǤ ݎ}ଵȀଶ_ܼ݀

௧Է

Multiplicando a parcela _{ܯܴܲሺݎǡ ݐሻǤ ݒǤ ݎ}ଵ ଶΤ _{por ݎ ݎΤ temos:} ݀ݎ ൌ ቀߙǤ ݎҧ െ ߙǤ ݎ ൅ ܯܴܲሺݎǡ ݐሻǤ ݒǤ ݎଵ ଶΤ _Ǥݎ

ݎቁ ݀ݐ ൅ ݒǤ ݎଵȀଶܼ݀௧Է

Colocando _{െݎ em evidência:}

݀ݎ ൌ ቆߙǤ ݎҧ െ ቆߙ െܯܴܲሺݎǡ ݐሻǤ ݒǤ ݎ_ݎ ଵ ଶΤ ቇ Ǥ ݎቇ ݀ݐ ൅ ݒǤ ݎଵȀଶ_ܼ݀ ௧Է

Agora, com a finalidade de se alcançar uma expressão no mesmo formato da equação 4, assume-se ܯܴܲሺݎǡ ݐሻǤ ݒǤ ݎଵ ଶΤ ൗ ൌܯܴܲ_ݎ כሺݎǡ ݐሻ, e coloca-se em evidência o fator _{ቆߙ െ ܯܴܲሺݎǡ ݐሻǤ ݒǤ ݎ}ଵ ଶΤ ൗ ቇ, assim: _ݎ

݀ݎ ൌ ൫ߙ െ ܯܴܲכ_{ሺݎǡ ݐሻ൯Ǥ ቆ} ߙǤ ݎҧ

൫ߙ െ ܯܴܲכ_{ሺݎǡ ݐሻ൯}െ ݎቇ ݀ݐ ൅ ݒǤ ݎଵȀଶܼ݀௧Է ₍₁₂₄₎

Agora, fazendo um paralelo com a equação 4, fica possível identificar cada variável para o modelo: _ܯܴܲכሺݎǡ ݐሻ e ߙ com os dados da pesquisa. Isto é, nota-se que como ܯܴܲሺݎǡ ݐሻ, ݒ, ݑሺݎǡ ݐሻ foram encontrados para cada instante seguindo o modelo de Ahmad e Wilmott (2007), as variáveis _ܯܴܲכሺݎǡ ݐሻ e ߙ podem também serem encontradas, pois _ܯܴܲכሺݎǡ ݐሻ é função de ܯܴܲሺݎǡ ݐሻ e ߙ função de ݑሺݎǡ ݐሻ. Agora, reescrevendo os parâmetros do processo:

ߙכ_{ൌ ൫ߙ െ ܯܴܲ}כ_{ሺݎǡ ݐሻ൯}

ݎҧכ_{ൌ ݎҧǤ ߙ ൫ߙ െ ܯܴܲΤ} כ_{ሺݎǡ ݐሻ൯}

ϯϭ 

Assim, o processo reescrito para a taxa de juros assume a forma:

݀ݎ ൌ ߙכ_{Ǥ ሺݎҧ}כ_{െ ݎሻ݀ݐ ൅ ݒǤ ݎ}ଵȀଶ_ܼ݀ ௧Է

Agora, voltando para a distribuição de _{ݎ, seus parâmetros podem ser escritos como:} ܿ ؠ ͶǤ ߙכ _ൣݒଶ_{Ǥ ൫ͳ െ ݁}ିఈכ_{Ǥሺ௦ି௧ሻ}

൯൧ Τ

݌ ؠ ܿǤ ݎሺݐሻǤ ݁ିఈכ_{Ǥሺ௦ି௧ሻ}

݊ ؠ ͶǤ ߙכ_{Ǥ ݎҧ}כ_{Τ ݒ}ଶ

Sabe-se, também que, se a distribuição de uma variável aleatória _ܴ segue uma chi-quadrada do tipo _{ݎሺݏሻȁߦݐ̱}Է_߯ଶ_{ሺܿǤ ݎሺݏሻǢ ݊ǡ ݌ሻ ܿΤ , então, quando são} independentes, a soma dessas variáveis aleatórias também segue uma chi- quadrado, mas do tipo _{ݎሺݏሻȁߦݐ̱}Է_߯ଶ_{ሺܿǤ ݎሺݏሻǢ ݊ǡ ݌ሻ ܿΤ . Logo, a variável ߮ሺݐ ൅ ߝǡ ܶሻ ൌ}

׬ ݎ_௧ାఌ் ௦݀ݏ também segue uma chi-quadrado não central do tipo

߮ሺݐ ൅ ߝǡ ܶሻȁߦ_ݐ̱Է_߱߯ଶ_ሺܿכ_{Ǥ߮Ǣ ݊}כ_{ǡ ݌}כ_{ሻ, onde:} ݌כ_{ؠ Ͷ}ݎሺݐሻ ݒଶ ቈ݈݊ ቆͳ െ ݁ ఈכ_{Ǥሺ௧ି்ሻ} ͳ െ ݁ିఈכ_Ǥఌ ቇ቉ ܿכ_{ؠ ݒ}ଶ_{Ǥ ݌}כ_{Τሺͳ͸Ǥ ݎሺݐሻǤ ߙ}כଶ_ሻ ݊כ_{ؠ ͶǤ ߙ}כ_{Ǥ ݎҧ}כ_{Ǥ οݐ ݒΤ} ଶ ߱ ؠ_{ͶǤ ߙ}ݒଶ_כ൅_{ͶǤ οݐ ൫݁}ݒଶ ିఈכ_{Ǥሺ்ି௧ሻ} െ ݁ିఈכ_Ǥఌ ൯

Assim, Barbachan e Ornelas (2003) concluem que o preço de uma call para um título _{ܤሺݐሻ, em tempo contínuo, é:}

ܿሺݐሻ ൌ_ܿ߱_כܤሺͲǡ ݐሻǤ ൬ͳ െ߯ʹ_൤݈݊൬ ܭ ܤሺͲǡ ݐ ൅ ߤሻ൰Ǥ ܿכǢ ݊כǡ ݌כ൨൰ െ ߱Ǥ ܭǤ ܿ כ൬௡כ_{ଶ ൰}ିଶ _{Ǥ ݁}ି௣_௖ככ ሺʹ ൅ ܿכ_{ሻǤ ܤሺݐǡ ݐ ൅ ߝሻ Ǥ ൬ͳ െ}߯ʹ൤݈݊൬_{ܤሺͲǡ ݐ ൅ ߝሻ൰}ܭ Ǥሺʹ ൅ ܿכሻǢ ݊כǡ ݌ככ൨൰ onde _݌ככ_{ൌ ݌}כ_{Ǥ ܿ}כ_{Τሺʹ ൅ ܿ}כ_ሻ.

ϯϮ 

Para tempo discreto, Barbachan e Ornelas (2003) chegam ao preço de uma

call: ܿሺݐሻ ൌ ܿכ_{Ǥ ܫܦܫ} ௧Ǥ ൬ͳ െ߯ʹ൤݈݊൬_ܫܦܫܭ ௧ାଵ൰Ǣ ݊ כ_{ǡ ݌}כ_൨൰ െܭǤ ܿכǤ ͵ ൬ି௡_{ଶ ൰}כ _{Ǥ ݁ି௣}ככ ሺͳ ൅ ݎ௦ሻ ൮ͳ െ߯ ʹ_൦݈݊ቀ ܭ ܫܦܫ௧ାଵቁ ͵ Ǣ ݊כǡ ݌ככ൪൲ onde _ݎ௦ é a taxa do CDI e os parâmetros são:

݌כ_{ؠ Ͷ}ݎሺݐሻ ݒଶ ቈ݈݊ ቆͳ െ ݁ ఈכ_{Ǥሺ௧ି்ሻ} ͳ െ ݁ିఈכ ቇ቉ ݊כ_{ؠ ͶǤ ߙ}כ_{Ǥ ݎҧ}כ_{Ǥ οݐ ݒΤ} ଶ ܿכ_ؠ ݒଶ ͶǤ ߙכ൅ ݒ ଶ ͶǤ οݐǤ ݁ఈכ൫݁ሺ்ି௧ሻെ ͳ൯

ϯϯ 

6. RESULTADOS

Como visto no início da seção anterior, os parâmetros não observáveis já foram estimados:

ݎҧ ൌ Ͳǡͳ͵͹͸ ݒ ൌ ͲǡͶʹ͵͹͸ ܯܴܲ ൌ ܯܴܲሺݎǡ ݐሻ

Com isso em conjunto com a base de dados de _{ݎ e as variáveis d, é} necessário encontrar os novos parâmetros para a fórmula fechada proposta por Barbachan e Ornelas (2003). Isto é: _ߙכ_{, ݎҧ}כ_{, ܯܴܲ}כ_{, ݌}כ_{, ݊}כ _{e ܿ}כ_.

Além de todo histórico que compõe a base de dados, ela, também, é composta por duas opções de compra de vencimento em 03 de Abril de 2017: a primeira, de strike 232.500,00 (JK8B); e a segunda, de strike 232.200 (JK87). O período analisado foi de 02 de Janeiro até 31 de Janeiro de 2017 que foi escolhido por estar dentro da base de dados, além de estar próximo ao vencimento das opções. O motivo da escolha dessas séries de opções, JK8B e JK87, e do período de estudo é porque as opções de IDI não possuem grande liquidez no mercado para vencimentos muito longos. Além disso, a escolha desses strikes teve o objetivo de contemplar uma opção fora-do-dinheiro (JK8B) e outra dentro-do-dinheiro (JK87) durante o período analisado. Os preços de mercado dessas opções foram obtidos na base de um dos maiores administradores de fundos no Brasil. Apesar de ela não ser, a princípio, de domínio público, esses preços também podem ser colhidos do

website da CVM ao pesquisar, no período analisado, um fundo que também tenha a

mesma administração e que também possua esses ativos. A escolha dessa base é motivada pelo fato de essa instituição administrar grande parte dos fundos brasileiros, agentes que atuam ativamente no mercado de opções de taxas de juros. Este administrador utiliza a metodologia de Black (1976) após a coleta de parâmetros em um pool de corretoras, players dentro desse mercado. Logo, após o cálculo dos parâmetros, pode-se chegar aos preços para as calls e compará-los aos preços calculados por este administrador.

ϯϰ 

Após o cálculo, este trabalho encontrou dificuldades para alcançar valores condizentes com a realidade e que fizesse sentido teoricamente. Este fato pode ter sido ocasionado por conta da grande volatilidade do Preço de Mercado do Risco que, majoritariamente, durante o período sob análise, é positivo. A teoria nos indica que este valor deveria ser, majoritariamente, negativo e, somente em momentos de

greed, este parâmetro assumiria valores positivos.

Logo, fica claro que a metodologia proposta, a princípio, não se adequa para o estudo de preço de opções de IDI, ativo peculiar no mercado financeiro global. E que, por ora, é necessário maior estudo na proposta de uma nova metodologia de precificação destes ativos.

Tomando uma data do período sob análise, 06 de janeiro de 2017, chega-se ao seguinte resultado:

ĂƚĂ KƉĕĆŽ ^ƚƌŝŬĞ WƌĞĕŽDĞƌĐĂĚŽ sĞŶĐŝŵĞŶƚŽ //ăǀŝƐƚĂ //ƚнϭ WƌĞĕŽ

ϬϲͬϬϭͬϮϬϭϳ :<ϴ ϮϯϮϱϬϬ ϴ͕ϵϮϴϲϲϵ ϬϯͬĂďƌͬϭϳ ϮϮϵ͘ϯϳϵ͕ϴϭ ϮϮϵ͘ϰϵϬ͕ϭϮ ͲϭϬ͘ϳϲϭ͕ϯϰ ϬϲͬϬϭͬϮϬϭϳ :<ϴϳ ϮϯϮϮϬϬ Ϯϯϭ͕ϱϬϳϱ ϬϯͬĂďƌͬϭϳ ϮϮϵ͘ϯϳϵ͕ϴϭ ϮϮϵ͘ϰϵϬ͕ϭϮ ͲϭϬ͘ϳϰϮ͕ϰϭ

Como observado, os valores encontrados são negativos, algo inconsistente com a realidade e com o esperado pela teoria. Isso nos força a tentar compreender o motivo deste resultado, e um ponto importante se sobressai: o uso do preço de mercado do risco variável e que justamente neste período os valores assumidos pelo MPR são positivos. Estas hipóteses assumidas podem ter contribuído para que se obtenha valores estranhos para os parâmetros da fórmula e que, por consequência, o preço da call seja negativo.

Agora, assumindo um valor médio para o MPR de -1,15, como encontrado na seção 5, os valores para os preços das calls são:

ĂƚĂ KƉĕĆŽ ^ƚƌŝŬĞ WƌĞĕŽDĞƌĐĂĚŽ sĞŶĐŝŵĞŶƚŽ //ăǀŝƐƚĂ //ƚнϭ WƌĞĕŽ

ϬϲͬϬϭͬϮϬϭϳ :<ϴ ϮϯϮϱϬϬ ϴ͕ϵϮϴϲϲϵ ϬϯͬĂďƌͬϭϳ ϮϮϵ͘ϯϳϵ͕ϴϭ ϮϮϵ͘ϰϵϬ͕ϭϮ Ϯϵ͕ϰϭ ϬϲͬϬϭͬϮϬϭϳ :<ϴϳ ϮϯϮϮϬϬ Ϯϯϭ͕ϱϬϳϱ ϬϯͬĂďƌͬϭϳ ϮϮϵ͘ϯϳϵ͕ϴϭ ϮϮϵ͘ϰϵϬ͕ϭϮ ϰϯ͕ϭϱ

Logo, quando o MPR é negativo, os valores das opções ficam positivos. Isto pode justificar a estranheza dos valores anteriormente calculados. No entanto, os

ϯϱ 

valores encontrados ainda estão muito diferentes daqueles marcados pelo mercado, isso pode ser justificado pela metodologia aplicada pelo mercado e o modelo proposto por Barbachan e Ornelas (2003) para precificar este tipo de opção.

ϯϲ 

7. CONCLUSÃO

Este trabalho teve o objetivo de calcular preço de opções de IDI através da fórmula fechada de CIR como proposto por Barbachan e Ornelas (2003). No entanto, ao contrário da hipótese de preço de mercado do risco constante igual a -1, assumida por estes autores, foi usada uma metodologia para se chegar ao MPR de cada instante da base de dados como proposto no artigo de Ahmad e Wilmott (2006).

Após a estimação dos parâmetros do processo de taxas de juros de curto prazo através da análise histórica dos dados, foi necessário passar esse processo para o “mundo com risco” com a adição do preço de mercado do risco (MPR). A estimação desta medida é de extrema importância, pois, ao assumir este parâmetro como variável, poderíamos alcançar valores mais condizentes do preço do derivativo com aqueles precificados no mercado.

De acordo com os resultados deste trabalho, o MPR apresenta alta volatilidade para seus valores, e se torna positivo quando o mercado se apresenta com mais greed, e negativo com o mercado cada vez mais em fear. No entanto, no modelo proposto por Barbachan e Ornelas (2003), o fato de assumir MPR variável pode ter contribuído para resultados inconsistentes com a realidade e com a expectativa que a teoria impõe.

A pesquisa deve prosseguir, em trabalhos posteriores, para maior investigação das causas desses resultados inconsistentes. Uma primeira sugestão seria o uso de outros métodos para estimação dos parâmetros do processo de taxa de juros de curto prazo. Ahmad e Wilmott (2006) se utilizaram de uma metodologia simples para compreensão, porém, também se adotaram uma base de dados mais bem-comportada do que aquela utilizada neste trabalho – cabe lembrar que o trabalho destes autores é sobre a taxa de juros norte-americana. Por este caminho, também é necessário maior investigação das causas dos valores de MPR apresentarem, durante grandes períodos, valores persistentemente positivos.

ϯϳ