FUNDAÇÃO GETÚLIO VARGAS
Escola de Pós-Graduação em Economia Mestrado em Finanças e Economia EmpresarialRicardo José da Costa Silva Borges
PRECIFICAÇÃO DE OPÇÕES SOBRE IDI COM PREÇO DE
MERCADO DO RISCO VARIÁVEL
Rio de Janeiro 2017
RICARDO JOSÉ DA COSTA SILVA BORGES
PRECIFICAÇÃO DE OPÇÕES SOBRE IDI COM PREÇO DE
MERCADO DO RISCO VARIÁVEL
Dissertação para obtenção do grau de mestre apresentada à Escola de Pós-Graduação em Economia.
Área de concentração: Finanças Orientador: Dr. Marcelo Sales Pessoa
Rio de Janeiro 2017
Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Mario Henrique Simonsen/FGV
Borges, Ricardo José da Costa Silva
Precificação de opções sobre IDI com preço de mercado de risco variável / Ricardo José da Costa Silva Borges. – 2017.
40 f.
Dissertação (mestrado) - Fundação Getulio Vargas, Escola de Pós-Graduação em Economia.
Orientador: Marcelo de Sales Pessoa. Inclui bibliografia.
1. Mercado de opções – Preços. 2. Derivativos (Finanças). 3. Taxas de juros. I. Pessoa, Marcelo de Sales, 1983- . II. Fundação Getulio Vargas. Escola de Pós- Graduação em Economia. III. Título.
RESUMO
Este trabalho aplica um modelo empírico para a taxa de juros baseado no artigo de Ahmad e Wilmott (2006) ao método de precificação de opções de índices de renda fixa desenvolvido em Barbachan e Ornelas (2003). Especificamente, neste artigo, são avaliadas opções sobre o Índice de Taxa Média de Depósitos Interfinanceiros de Um Dia (IDI). De características asiáticas, usualmente, estas opções são avaliadas através do modelo de Black (1976) pelo mercado brasileiro. Entretanto, a teoria que fundamenta esse modelo não está adequada ao apreçamento de derivativos de taxas de juros, por conta, sobretudo, da não observação de normalidade dos retornos do ativo objeto. Este trabalho, além de atualizar os resultados encontrados por Barbachan e Ornelas (2003), tem, por objetivo, contrapor algumas hipóteses de parâmetros assumidas por esses autores. Nesse sentido, emprega-se a modelagem de Ahmad e Wilmott (2006) para a estimação da medida de Preço de Mercado do Risco e observa-se que há variação nesse parâmetro que não foi utilizada por Barbachan e Ornelas (2003). Para a estimação dos demais parâmetros, toma-se, por base, dados históricos. Por fim, faz-se a comparação dos resultados com os preços de mercado. Os resultados desta estratégia de precificação não condizem com o esperado para o preço dessas opções.
Palavras-chave: Opções sobre IDI, Derivativos de Taxas de Juros, Precificação de Derivativos.
ABSTRACT
This work applies an empirical interest rate model to the method of pricing fixed income index options developed in Barbachan and Ornelas (2003). This model is based on the article by Ahmad and Wilmott (2006). Specifically, in this article, options on the Average Interbank Deposit Rate (IDI) are evaluated. Usually these options are evaluated through the model of Black (1976) by the Brazilian market. However, the theory of Black (1976) is not adequate for the pricing of interest rate derivatives, mainly due to the non-observation of the normality of the returns of the target asset. This work, in addition to updating the results found by Barbachan and Ornelas (2003), has, for objective, to counter some hypotheses of parameters assumed by these authors. In this sense, the modeling of Ahmad and Wilmott (2006) is used to estimate the market price of risk and it is observed that there is variation in this parameter that was not used by Barbachan and Ornelas (2003). For the estimation of the other parameters, it was based on historical data. Finally, the results are compared with market prices. However, no conclusive results were achieved, because the values reached contradict what the theory would bring expected results for the price of these options.
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘ϱ 2. REVISÃO DA LITERATURA͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘ϳ 2.1 MODELOS DE EQUILÍBRIO GERAL͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘ϵ 2.1.1 VASICEK (1977)͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘ϵ 2.1.2 COX, INGERSSOL, ROSS – CIR (1985)͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘ϭϬ 2.2 MODELOS DE NÃO ARBITRAGEM͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘ϭϭ 2.2.1 HO-LEE (1986)͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘ϭϮ 2.2.2 HULL-WHITE (1990)͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘ϭϮ 2.2.3 OUTROS MODELOS DE NÃO ARBITRAGEM͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘ϭϮ 3. REFERENCIAL TEÓRICO͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘ϭϱ 3.1 MODELO DA TAXA DE JUROS DE CURTO PRAZO DE AHMAD & WILMOTT͘͘ϭϱ 4. DERIVATIVOS DE JUROS NO BRASIL͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘ϭϴ 4.1 CONTRATO DE DI FUTURO͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘ϭϴ 4.2 OPÇÕES SOBRE IDI͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘ϭϵ 5. METODOLOGIA͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘Ϯϯ 5.1 MODELO PARA UMA CALL͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘Ϯϳ 6. RESULTADOS͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘ϯϯ 7. CONCLUSÃO͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘ϯϲ 8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘ϯϳ 9. GLOSSÁRIO DE SIGLAS͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘ϯϵ
ϱ
1. INTRODUÇÃO
Derivativos, de uma maneira geral, são instrumentos financeiros cujos resultados estão sujeitos à dinâmica de algum ativo objeto. Neste trabalho, serão avaliados derivativos de taxas de juros, que estão ligados ao comportamento assumido por essas taxas e por movimentos de sua estrutura a termo.
O presente trabalho visa estudar um derivativo específico: opções. O detentor da opção é o agente que possui o direito de comprar ou vender o respectivo ativo objeto a um determinado preço em um determinado prazo. Neste mercado, o prêmio de um contrato de opção é o valor que o comprador desembolsa para obtê-la, portanto seu preço.
Após o artigo de Black e Scholes (1973), que desenvolveu uma fórmula para avaliar opções sobre ações, muito se avançou. Atualmente, há ampla bibliografia tratando de opções com ativos-objetos como: ações, índices, títulos de renda fixa,
swaps, e commodities. No que tange às opções sobre taxas de juros, o maior
desafio é a modelagem da taxa de juros de curto prazo, essencial para a precificação. Hull (2016) atribui uma maior complexidade para avaliação desses derivativos em relação àqueles atrelados a taxa de câmbio e/ou ações. Isso se deve a fatores como: diferentes volatilidades em cada vértice da curva; dificuldade imposta de que a própria taxa de juros servirá para descontar o derivativo, ao mesmo tempo em que define seu payoff; e necessidade de desenvolver um modelo que descreva o comportamento de toda curva de juros de zero cupom.
Assim, o ativo-objeto taxa de juros não pode ser tratado da mesma forma que ativos de renda variável (ações), moeda, ou, até mesmo, futuros sobre índice de ações ou taxa de câmbio. Essa conclusão contraria a forma que o mercado brasileiro modela e precifica as opções sobre taxas de juros. Atualmente, o modelo utilizado foi proposto por Black (1976) para commodities. Portanto, apresenta inconsistências teóricas para o ativo-objeto em questão, apesar de ser de fácil compreensão e utilização.
A inconsistência entre a dinâmica observada das taxas de juros com aquela proposta pelos modelos incentivou o avanço nos estudos sobre este tipo de
ϲ
derivativo. Hoje, em uma análise ampla, pode-se dividir esses modelos em dois tipos: modelos de equilíbrio geral e modelos de não arbitragem.
Os modelos de equilíbrio geral consistem em, basicamente, obter o processo de taxas de juros a partir de hipóteses econômicas. Ou seja, seu output é a própria Estrutura a Termo. Vasicek (1977) e Cox-Ingersoll-Ross (1985) se enquadram neste grupo. Sua desvantagem em relação aos modelos considerados de não arbitragem, como Ho-Lee (1986), Hull-White (1990), é a não incorporação da Estrutura a Termo de Taxas de Juros (ETTJ).
O objetivo deste trabalho é aplicar um modelo que atenda as características da dinâmica das Taxas de Juros através da análise do comportamento da ETTJ brasileira baseado na metodologia proposta por Ahmad e Wilmott (2006) e, em seguida, precificar opções sobre Índice DI (IDI) através do modelo proposto por Barbachan e Ornelas (2003).
Isto é, a principal contribuição do trabalho é mesclar o trabalho de Ahmad e Wilmott (2006) o qual estima o Preço de Mercado do Risco para a Taxa de Juros, e Barbachan e Ornelas (2003) o qual modela uma fórmula para precificar as opções sobre IDI. Logo, o modelo proposto por esse trabalho será aquele proposto por Barbachan e Ornelas (2003) assumindo o Preço de Mercado do Risco variando no tempo. E, até onde se sabe, esta será a primeira vez que isso será feito para o mercado de opções sobre IDI.
Para isso, além desta introdução, o trabalho foi dividido em 7seções. A seção seguinte, há uma breve revisão dos modelos seminais. Depois, apresenta-se a Metodologia de Ahmad e Wilmott (2006) para a modelagem de Taxas de Juros. Na seção 4, é apresentado dois derivativos de Taxas de Juros negociados no mercado brasileiro, o DI1 e as opções de Índice DI (IDI). Na seção 5, a metodologia proposta neste trabalho é apresentada e, com base no artigo de Barbachan e Ornelas (2003), precifica-se as opções sobre IDI. Em seguida, os resultados foram apresentados e comparados com preços colhidos de um administrador de fundos de investimentos.
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2. REVISÃO DA LITERATURA
Os primeiros modelos de apreçamento de opções foram desenvolvidos para compra ou venda de ações. No entanto, à medida que outros produtos financeiros foram criados e, por sua vez, ganharam complexidade, o apreçamento de opções sobre estes produtos se tornou cada vez mais desafiador.
Segundo Hull (2016):
“Os derivativos de taxas de juros são mais difíceis de avaliar do que os derivativos de ações e de taxas de câmbio pelos seguintes motivos:
1) O comportamento de uma taxa de juros individual é mais complexa do que a de um preço de ação ou taxa de câmbio.
2) Para avaliação de muitos produtos, é necessário desenvolver um modelo que descreva o comportamento de toda a curva de juros de cupom zero.
3) As volatilidades de diferentes pontos na curva de juros são diferentes. 4) As taxas de juros são utilizadas para descontar o derivativo, não
apenas para definir seu resultado.”
Além disso, Hull (2016) apresenta outra característica das taxas de juros que ações e commodities não apresentam: reversão à média. Ainda segundo o autor, quando a economia possui taxas de juros altas, ela tende a se desacelerar e os agentes devedores reduzem sua demanda por crédito. A tendência, por consequência, é que o preço do crédito, isto é, a taxa de juros caia. O inverso ocorre quando a economia possui baixas taxas de juros.
ϴ
Fonte: Elaboração própria com base em Hull (2016).
Logo, num período de tempo infinitesimal, a taxa de juros, quando capitalizada continuamente, será denominada Taxa de Juros de Curto Prazo Instantânea.
Para ݐ Ͳ e ܤሺͲሻ ൌ ͳ, temos:
ܤሺͲǡ ݐሻ ൌ ݁ሺ బ ೞௗ௦ሻ (1)
onde:
ܤሺͲǡ ݐሻ: valor do investimento no instante t ݎ௦: Taxa de Juros de Curto Prazo Instantânea
ݏ: variável tempo
Todos os ativos e derivativos atrelados à Taxa de Juros podem ter seus preços definidos pelo processo que a Taxa de Juros de Curto Prazo Instantânea assumir em um mundo risk-neutral.
Por isso, na subseção 2.1, apresentam-se alguns modelos tradicionais para definição do processo aleatório de taxa de juros.
Gráfico 1 - Reversão à Média
Taxas de Juros
Tempo Alta taxa de Juros tem tendência
negativa
Baixa taxa de Juros tem tendência positiva
ϵ
2.1 MODELOS DE EQUILÍBRIO GERAL
Os modelos de equilíbrio geral são aqueles que normalmente adotam hipóteses sobre as variáveis econômicas e geram um processo estocástico para a taxa de curto prazo. Em geral, esse processo, em um mundo risk-neutral, é descrito como na equação (2):
݀ݎ ൌ ݑሺݎሻ݀ݐ ݓሺݎሻܼ݀ (2)
onde ݑሺݎሻ é chamado de drift e ݓሺݎሻ é chamado de diffusion e ܼ݀ é um processo de Wiener.
Os modelos desse grupo se diferenciam à medida que o drift e o diffusion tomam formas diferentes. Nas subseções 2.1.1 e 2.1.2, apresentam-se dois dos principais modelos deste grupo para o processo de taxas de juros.
2.1.1 VASICEK (1977)
O modelo de Vasicek considera os seguintes parâmetros para o processo da taxa de juros em um mundo risk-neutral:
ݑሺݎሻ ൌ ܽǤ ሺݎҧ െ ݎሻ ݓሺݎሻ ൌ ݒ Portanto, o processo de Vasicek:
݀ݎ ൌ ܽǤ ሺݎҧ െ ݎሻ݀ݐ ݒܼ݀ (3)
onde ݎҧǡ ܽ e ݒ são constantes positivas
Uma característica do modelo é o difusor constante ݒ. Além disso, pode-se notar que este modelo incorpora uma característica das Taxas de Juros: a reversão à média. O fator multiplicador de ݀ݐ, ܽǤ ሺݎҧ െ ݎሻ, é determinístico e carrega esta atribuição. Quanto maior a constante ܽ, mais rápido a taxa de juros tende a retornar à média ݎҧ. Logo, este fator representa que a taxa de juros de curto prazo deve ficar em torno da taxa de juros de longo prazo.
ϭϬ
Pode-se comprovar que há observação da reversão à média no modelo resolvendo-se a equação diferencial considerando apenas o componente determinístico do processo:
݀ݎ ൌ ܽǤ ሺݎҧ െ ݎሻ݀ݐ
A equação diferencial acima tem a seguinte solução, entre os instantes ݐ e ݐ: ݎ௧ ൌ ݎҧ െ ሺݎҧ െ ݎሻǤ ݁ିǤሺ௧ି௧బሻ
Pata ݐ ՜ λ, ݎ௧՜ஶൌ ݎҧ. Logo, no longo prazo, a taxa de juros reverte à média.
No entanto, uma das hipóteses do modelo é que o termo estocástico ݒܼ݀ é distribuído normalmente, isso ocasiona situações na qual a taxa de juros assume valores negativos. Logo, as principais desvantagens do modelo de Vasicek são: em determinadas condições, a taxa de juros pode assumir valores negativos; a ETTJ surge em consequência do modelo; e a volatilidade é assumida constante, fato não observado na prática.
2.1.2 COX, INGERSSOL, ROSS – CIR (1985)
Este foi o primeiro modelo que conseguiu incorporar duas características importantes da taxa de juros: reversão à média; e impossibilidade de assumir valores negativos. Aqui, o drift e o diffusion assumem os valores abaixo, em um mundo risk-neutral:
ݑሺݎሻ ൌ ܽǤ ሺݎҧ െ ݎሻ ݓሺݎሻ ൌ ݒǤ ݎଵȀଶ
Logo, o processo para taxa de juros de curto prazo definido pelo modelo CIR é:
݀ݎ ൌ ܽǤ ሺݎҧ െ ݎሻ݀ݐ ݒǤ ݎଵȀଶܼ݀ (4)
O componente representado por ݎଵȀଶ e a restriçãoʹǤ ܽǤ ݎҧ ݒଶ impedem que as taxas de juros tornem-se negativas. Isso ocorre, pois quando a taxa de juros
ϭϭ
cresce, seu desvio-padrão também cresce, dando maior peso no componente estocástico do processo. E, ocorre o inverso para diminuição das taxas de juros.
No entanto, apesar de o modelo corrigir algumas deficiências teóricas que outros incorporam, ele ainda apresenta a desvantagem de a ETTJ surgir como consequência dele através de ajustes em seus parâmetros. Ou seja, o modelo CIR, assim como Vasicek, não se adequa automaticamente a uma ETTJ exógena.
Vale fazer uma menção que ambos os modelos, mesmo com suas deficiências, Vasicek (1977) e CIR (1985) possuem propriedades analíticas e alcançam fórmulas fechadas para um título derivado de taxa de juros. Fato que viabiliza de forma mais simples o uso desses modelos na prática.
2.2 MODELOS DE NÃO ARBITRAGEM
Conforme foi visto anteriormente, os modelos de equilíbrio não incorporavam a ETTJ, isto é assumem a estrutura temporal da taxa de juros como endógena. Logo, o modelo resultava uma ETTJ que não refletia a estrutura temporal observada no mercado, abrindo possibilidade de arbitragem. Os modelos de não arbitragem são caracterizados por assumirem a ETTJ como input do processo, ou seja, ela é exógena, resolvendo, assim, a deficiência dos modelos de equilíbrio e possibilitando a calibração desses modelos para replicar a ETTJ. Em relação a suas deficiências, pode-se citar dificuldade para tratamento analítico, e, muitas vezes, a necessidade da adoção de procedimentos numéricos para sua estimação.
Os primeiros modelos que se enquadram neste grupo foram: modelo de Ho-Lee e modelo de Hull-White. Eles também podem ser definidos de uma maneira geral, porém, diferentemente dos modelos de equilíbrio geral, o drift e o diffusion, geralmente, possuem dependência do tempo:
ϭϮ
2.2.1 HO-LEE (1986)
Ho-Lee foi pioneiro em modelar o processo da taxa de juros pela ETTJ. Os autores adotaram tempo discreto e utilizaram árvore binomial para os preços de títulos de renda fixa. Estendendo para o tempo contínuo, o processo toma a seguinte forma em um mundo neutro a risco:
݀ݎ ൌ ߠሺݐሻ݀ݐ ݒܼ݀ (6)
A função ߠሺݐሻ, drift, deve ser de tal forma que o modelo seja consistente com a ETTJ. Porém, nota-se que esta função não permite que a característica de reversão à média das taxas de juros seja incorporada ao modelo.
2.2.2 HULL-WHITE (1990)
Hull e White resolveram a deficiência de não reversão à média do modelo de Ho-Lee apenas incorporando, no drift do modelo, o fator ܽǤ ݎ:
݀ݎ ൌ ሾߠሺݐሻ െ ܽǤ ݎሿ݀ݐ ݒܼ݀ Algebricamente, podemos definir de outra forma:
݀ݎ ൌ ܽǤ ቈߠሺݐሻܽ െ ݎ ݀ݐ ݒܼ݀ (7)
Fazendo um paralelo com Vasicek (1977), o processo de Hull-White para as taxas de juros tem a média da taxa de juros dependente do tempo:
ݎҧ ൌߠሺݐሻܽ
Nota-se que este modelo adota a volatilidade como um fator constante.
2.2.3 OUTROS MODELOS DE NÃO ARBITRAGEM
Outros modelos se enquadram no grupo de não arbitragem. Por exemplo, para um mundo neutro ao risco, temos:
ϭϯ ݀ ݎ ൌ ሾߠሺݐሻ െ ܽሺݐሻǤ ݎሿ݀ݐ ݒሺݐሻܼ݀ (8) onde: ܽሺݐሻ ൌௗ௩ሺ௧ሻ௩ሺ௧ሻൗௗ௧ b) Black-Karasinski (1991): ݀ ݎ ൌ ሾߠሺݐሻ െ ܽሺݐሻǤ ݎሿ݀ݐ ݒሺݐሻܼ݀ (9)
A diferença neste modelo em relação ao BDT (Black-Derman-Toy) é que não há dependência de ܽሺݐሻ em relação a ݒሺݐሻ.
Black, Derman e Toy (1990), também chamado de modelo BDT, propuseram uma árvore binomial para tratar o processo da taxa de juros de curto prazo. A imposição de um modelo log-normal impede a ocorrência de taxas de juros negativas, um dos pontos positivos do modelo. Porém, conforme apresentado por Hull (2016), este modelo e a extensão dele, Black-Karasinski (1991), não possuem propriedades analíticas, impossibilitando alcançar uma fórmula fechada para apreçamento de um título derivado de taxas de juros.
2.3 HEATH-JARROW-MORTON (1992)
Este modelo, apesar de se enquadrar como um modelo de não arbitragem apresenta uma evolução em relação aos demais. Na verdade, ele é o caso geral dos modelos de não arbitragem apresentados anteriormente: Ho-Lee (1986), Hull-White (1990) e BDT (1990).
Sua grande diferença é a variável da onde se parte a modelagem do processo:
݀ሺݐǡ ܶሻ ൌ ݎሺݐሻǤ ሺݐǡ ܶሻ݀ݐ ݒሺݐǡ ܶǡ ߗ௧ሻǤ ሺݐǡ ܶሻܼ݀ሺݐሻ (10)
Nota-se dois pontos diferenciais na equação 10: a modelagem é feita a partir de uma equação diferencial sobre os preços dos títulos zero-cupom e há a presença no fator ݒሺݐǡ ܶǡ ߗሻ, do argumento ߗ௧. Este argumento traz generalização da função que representa a volatilidade de preços de títulos no instante ݐ, desde que se tenha
ϭϰ
na maturidade do título ݒሺݐǡ ܶǡ ߗሻ ൌ Ͳ. E, representa o vetor dos valores passados e presente de preços de títulos e de taxas de juros no tempo ݐ relevantes para determinar as volatilidades de preço de títulos nessa mesma data. Agora, com a relação abaixo:
݂ሺݐǡ ܶଵǡ ܶଶሻ ൌ൫ܲሺݐǡ ܶଵሺܶሻ൯ െ ൫ܲሺݐǡ ܶଶሻ൯
ଶെ ܶଵሻ (11)
onde ݂ሺݐǡ ܶଵǡ ܶଶሻ é a taxa forward entre os períodos ܶଵ e ܶଶ, com ܶଶ ܶଵ, combinada com a equação 10 e o lema de Itô, temos o processo das taxas de juros a termo instantânea no modelo HJM:
݀ ሺݐǡ ܶሻ ൌ ݒሺݐǡ ܶǡ ߗ௧ሻǤ ݒ்ሺݐǡ ܶǡ ߗ௧ሻ݀ݐ െ ݒ்ሺݐǡ ܶǡ ߗ௧ሻܼ݀ሺݐሻ (12)
onde ሺݐǡ ܶሻ é a taxa forward instantânea vista no instante ݐ para um contrato com maturidade ܶ.
Este modelo, como todos de não arbitragem, tem a vantagem de se adequar perfeitamente a ETTJ, uma vez que ele a utiliza como input ao modelo. Porém, o processo seguido neste modelo é não Markov. O que significa que o processo para ݎ em um tempo futuro ݐ depende do próprio caminho seguido por ݎ entre agora e o instante ݐ e também do valor de ݎ no instante ݐ. Esse é o principal problema para a implementação desse modelo. A construção de uma árvore para representar os movimentos da ETTJ é muito complicada, pois a árvore geralmente não se
recombina, ocasionando diversas possibilidades para o caminho seguido por ݎ entre
agora e o instante ݐ. Logo, fica claro que este modelo é carente de alta capacidade tecnológica para experimentos em um evento prático.
ϭϱ
3. REFERENCIAL TEÓRICO
3.1 MODELO DA TAXA DE JUROS DE CURTO PRAZO DE AHMAD & WILMOTT
Ahmad e Wilmott (2006) adotaram uma perspectiva diferente dos modelos apresentados na seção anterior. Numa observação do histórico das taxas de curto prazo norte-americanas, eles estudaram o preço de mercado do risco inerente a estas taxas no período de janeiro de 1982 a dezembro de 2005.
Ahmad e Wilmott (2006) comparam os modelos de renda fixa com os modelos de equities. Eles defendem que, diferentemente destes, aqueles não possuem seus
‘underlyings’ como ativos negociados em mercados. Isso impede justamente a
realização de hedge dinâmico da carteira, expondo o portfolio a risco. Assim, os modelos neutros a risco apresentados na seção 2 não teriam aplicabilidade direta a estes derivativos. Para isso, seria preciso incorporar outro parâmetro que meça esse risco: o preço de mercado do risco. No artigo de 2006, Ahmad e Wilmott estimam três parâmetros: volatilidade (diffusion), tendência (drift) e preço de mercado do risco
(MPR1)ǣa compensação que o mercado exige para se alcançar um retorno acima da
taxa livre de risco na negociação de um determinado ativo ou derivativo.
Para estimar a volatilidade, a proposta dos autores foi usar um método simplificado no qual os dados históricos da Taxa de Juros de Curto Prazo são tratados e separados em grupos. Sob a hipótese de que a equação diferencial que rege a taxa de juros de curto prazo (equação 2) é válida, regride-se linearmente o logaritmo natural do valor esperado do quadrado das variações das taxas de juros de curto prazo contra o logaritmo natural da taxa de juros de curto prazo. Os coeficientes dessa regressão são estimados por Mínimos Quadrados Ordinários.
Para a tendência (drift), os autores ajustam uma curva lognormal à distribuição dos dados históricos da Taxa de Juros de Curto. Assim, os parâmetros
dessa curva são os parâmetros que definem ݑሺݎሻǤ Ao ajustar o histograma com uma
curva lognormal é possível retirar a taxa de juros média de longo prazo.
ϭ
ϭϲ
Para modelar o MPR, utiliza-se a equação que define o preço de um derivativo de juros ܸ para um determinístico, expressa por Ahmad e Wilmott (2006) da seguinte forma:
߲ܸ
߲ݐ ͳʹ ݓଶ߲
ଶܸ
߲ݎଶ ሺݑ െ Ǥ ሻ߲ܸ߲ݎ െ ݎǤ ܸ ൌ Ͳ
.A partir da expansão de Taylor ao redor da maturidade ܶ desse derivativo zero
cupom e assumindo que ܸሺݎǡ ܶሻ ൌ ͳ, temos a ETTJ:
െ݈݊ሺܸሻܶ െ ݐ ̱ݎ ͳʹ ሺݑ െ Ǥ ݓሻǤ ሺܶ െ ݐሻ ڮ
Assim, encontra-se o valor para MPR (ܯܴܲ) naquele ponto observado, pois ele será
dado pela inclinação da ETTJ (ଵଶሺݑ െ Ǥ ݓሻ), por ݓ e ݑ.
Logo, a cada instante, haverá um MPR. Isso levou os autores a concluírem que o MPR não é somente variável como, em alguns momentos, seu valor torna-se positivo. Isso contradiz uma das hipóteses de Barbachan e Ornelas (2003), onde se usa MPR fixo igual a -1. O valor atribuído foi negativo porque o risco é algo indesejável. O valor -1 significa que para cada unidade adicional de risco, o investidor exige uma unidade a mais de retorno. Na figura 1 apresenta-se o resultado alcançado por Ahmad e Wilmott (2006). Pode-se concluir que a hipótese de constante pode ser considerada forte para taxas de juros de curto prazo.
ϭϳ
Fonte: Ahmad & Wilmott (2006)
ϭϴ
4. DERIVATIVOS DE JUROS NO BRASIL
A principal referência para os derivativos de juros no Brasil é a taxa do Certificado de Depósitos Interbancário de um dia, chamado pela sigla CDI. Ele foi criado para lastrear as operações de curto prazo entre os bancos, agentes que têm obrigação de ter seus caixas equilibrados diariamente. Logo, caso um banco tenha excesso de saques durante um dia, ele é financiado a essa taxa por outro que teve excesso de depósitos. A taxa média diária do CDI, CDI-Over ou apenas Taxa DI, é divulgada pela CETIP e fica sempre muito próxima da taxa básica de juros da economia (taxa SELIC). Além disso, serve como referência para outras aplicações financeiras, que não são objeto deste trabalho. Abaixo, tem-se o gráfico diário da Taxa DI expressa em termos anuais.
4.1 CONTRATO DE DI FUTURO
O principal (e mais líquido) derivativo negociado no Brasil é o DI1: o contrato futuro da Taxa Média de Depósitos Interfinanceiros de Um Dia ou, apenas, contrato de DI futuro. Este derivativo é a taxa acumulada das taxas diárias de DI a partir do instante observado até o vencimento do contrato. Logo, ele apresenta uma
0.00% 5.00% 10.00% 15.00% 20.00% 25.00% 30.00% 8/ 25 /2 00 0 8/ 25 /2 00 1 8/ 25 /2 00 2 8/ 25 /2 00 3 8/ 25 /2 00 4 8/ 25 /2 00 5 8/ 25 /2 00 6 8/ 25 /2 00 7 8/ 25 /2 00 8 8/ 25 /2 00 9 8/ 25 /2 01 0 8/ 25 /2 01 1 8/ 25 /2 01 2 8/ 25 /2 01 3 8/ 25 /2 01 4 8/ 25 /2 01 5 8/ 25 /2 01 6 Gráfico 2: CDI
ϭϵ
peculiaridade em relação a contratos futuros sobre taxas de juros usualmente negociados no exterior: a taxa medida é para um período variável com o passar do tempo.
O uso desse derivativo, como apresentado anteriormente, pode ser tanto para
hedge quanto para especulação. O hedge pode ser feito, por exemplo, para se
proteger de oscilações na taxa de juros de um financiamento realizado, enquanto a especulação pode ser feita na aposta das decisões de política monetária do Banco Central que direcionam os movimentos da taxa básica de juros da economia pois, como visto, a taxa DI possui comportamento muito alinhado à taxa SELIC.
4.2 OPÇÕES SOBRE IDI
As opções de IDI (Índice de Taxa Média de Depósitos Interfinanceiros de Um Dia) são opções que possuem como underlying o IDI, um índice que acumula o fator CDI diariamente e tem seu valor na data de criação igual a 100.000. Atualmente, no mercado, há apenas opções cujo ativo objeto é o IDI com ponto de partida em 2009. Temos:
ܫܦܫ௧ ൌ ܫܦܫ௧ିଵǤ ሺͳ ܥܦܫ௧ିଵሻ (103)
onde ܫܦܫ௧é o IDI na data t, ܥܦܫ௧ିଵé a Taxa Média de Depósitos Interfinanceiros de Um Dia referente ao dia útil imediatamente anterior divulgada pela CETIP, expressa em termos diários.
Aqui, nota-se também a mesma peculiaridade dos Contratos Futuros de DI em relação ao período de que a taxa faz referência. Ou seja, não se trata da expectativa sobre uma taxa forward que o IDI faz referência, isto é, não é uma taxa para um período fixo entre duas datas futuras, e, sim, o período entre a data que se negocia o contrato de opção até o vencimento da mesma. Também há, no mercado brasileiro, contrato de opções que negociam esse tipo de taxa2 forward. Porém, não é escopo do trabalho avançar sobre este assunto.
Ϯ
KƉĕƁĞƐƐŽďƌĞ&ƵƚƵƌŽĚĞ/ʹƉĂƌĂŵĂŝŽƌĞƐĚĞƚĂůŚĞƐǀĞƌ͗
ŚƚƚƉ͗ͬͬǁǁǁ͘ďŵĨďŽǀĞƐƉĂ͘ĐŽŵ͘ďƌͬƉƚͺďƌͬƉƌŽĚƵƚŽƐͬůŝƐƚĂĚŽƐͲĂͲǀŝƐƚĂͲĞͲĚĞƌŝǀĂƚŝǀŽƐͬũƵƌŽƐͬŽƉĐŽĞƐͲƐŽďƌĞͲĨƵƚƵƌŽͲĚĞͲ Ěŝ͘Śƚŵ
ϮϬ
As opções sobre IDI, assim como o Contrato Futuro de DI, também permitem realizar hedge de posição ou especular sobre taxas de juros. É possível elaborar as tradicionais estruturas de opções visando ganhos quando se espera um aumento de volatilidade na taxa de juros do período ou, ainda, na expectativa de política monetária adotada pelo Banco Central em seus comitês de política monetária (COPOM). Uma vantagem do uso de opções em relação ao uso de Contrato Futuro de DI é inerente a este mercado. O comprador e o lançador não terão fluxo de pagamentos entre o período, isto é, não há ajuste diário de posição. Após o pagamento/recebimento do prêmio, apenas no vencimento, haverá o exercício ou não do contrato.
O método mais comum para marcar os preços das opções de IDI no mercado brasileiro é o de Black (1976). Para este caso, o ativo objeto seria o IDI no vencimento, isto é, o IDI de hoje acumulado pela Taxa Média de Depósitos Interfinanceiros de Um Dia entre hoje até o vencimento da opção. Portanto, a taxa a qual o IDI será acumulado é o contrato futuro de DI, que vence na mesma data que a respectiva opção. Em relação ao cálculo da volatilidade, uma das possibilidades é usar a ETTJ de cada dia e, através delas, retirar a volatilidade histórica da taxa referente ao período igual ao vencimento da opção. Por exemplo, para uma opção de vencimento para 43 dias, deve-se estimar a volatilidade da taxa de juros de 43 dias. No entanto, como discutido, o modelo de Black (1976) não se adequa bem a derivativos de taxas de juros. Por isso, o tema tem sido abordado pela academia.
Neto e Pereira (2000) chegaram a uma fórmula fechada para opções sobre IDI através do método de Vasicek (1977), porém, não realizaram um trabalho empírico, pois o histórico de negociações desse tipo de opção apresentava baixa liquidez. Esses autores também propuseram dois métodos para estimação dos parâmetros de volatilidade e de reversão à média da taxa de juros de curto prazo: estimação endógena (ou incondicional) e estimação exógena (ou condicional).
Em um trabalho empírico com base no histórico de negociações das opções até 2001, Gluckstern et al. (2002) aplicaram o modelo de Hull-White (1990) e compararam seus resultados com aqueles alcançados através do método de precificação de Black (1976) e Black-Karasinski (1991). Além de estimar a velocidade de reversão à média da taxa de juros para a base de dados de 1997 até
Ϯϭ
2001, o trabalho destes autores contribuiu para verificar que o método Hull-White (1990) alcançava resultados mais robustos, apesar de obter valores para as opções. A referência para este trabalho, entretanto, é Barbachan e Ornelas (2003). Os autores usaram do modelo de CIR para definir o processo de taxas de juros e, assim, derivar uma equação para precificar opções sobre IDI. Posteriormente, compararam os resultados gerados pelo seu modelo com a metodologia de Black (1976). Entretanto, o trabalho deles utilizou uma base de dados muito pequena para uma validação empírica ou para a realização de inferências.
Em seu modelo, Barbachan e Ornelas (2003) precisaram de quatro parâmetros: volatilidade, taxa de juros de longo prazo, preço de mercado do risco, e velocidade de reversão à média. Dois desses quatro parâmetros foram arbitrados, preço de mercado do risco e taxa de juros de longo prazo e os outros dois, estimados com base em dados históricos que são a velocidade de reversão à média e a volatilidade. Para a velocidade de reversão à média, Barbachan e Ornelas (2003) utilizaram o valor estimado no trabalho de Gluckstern et al. (2002). Como visto no final da seção anterior, para o preço de mercado do risco, os autores calibraram como -1, isto é, para cada unidade adicional de risco, o mercado exigirá uma unidade adicional de retorno. A taxa de juros de longo prazo também foi estimada com base nos dados históricos do CDI, chegando ao valor de 18% a.a. O mesmo se deu em relação à volatilidade. Posteriormente, Dalmagro (2015), em sua dissertação, trouxe novamente a metodologia proposta por Barbachan e Ornelas, atualizando os resultados através do uso de uma amostra maior, e estimando os parâmetros via Máxima Verossimilhança. No entanto, Dalmagro (2015) usa o mesmo método ao empregar o preço de mercado do risco como -1.
Em um trabalho mais atual, Takarabe e Silva (2016) incorporam as decisões de política monetária sobre a precificação de derivativos de taxas de juros, mais especificamente sobre opções de compra sobre IDI. Para isso, eles incorporam ao modelo de Black (1976) para commodities o modelo proposto por Genaro e Avallaneda (2013) que modela os saltos ocasionados pelas decisões de política monetária. As pesquisas mais recentes tentam trazer esse componente de choque causado pelas decisões de política monetária aos modelos. Genaro e Avallaneda (2013) analisam a taxa de juros brasileira de 2000 a 2012 e propõem um modelo
ϮϮ
DTMC , Discrete Time Markov Chain, para incorporar os “degraus” ocasionados pelas decisões do Comitê de Política Monetária (COPOM).
A motivação deles é justamente que, se há uma agenda de tomada de decisão pelo COPOM, então a expectativa a respeito dessa decisão deve estar incorporada nas taxas de juros, caso contrário, o preço de mercado dos títulos e ativos derivados dessa taxa de juros estariam todos incorretos ao considerar um modelo de não arbitragem. Logo, a modelagem da taxa de juros de curto prazo deve incorporar esse fator de probabilidade a respeito da respectiva decisão. Após analisarem o histórico das decisões tomadas pelo Banco Central Brasileiro, os autores traçam uma matriz de probabilidades para as possíveis próximas decisões e incorporam, assim, esse componente no modelo de Brack & Scholes (1972) a equação de uma opção de compra sobre IDI.
Conforme dito no início deste trabalho, pretende-se aqui mesclar o modelo proposto por Ahmad e Wilmott (2007) com a fórmula proposta por Barbachan e Ornelas (2003) para encontrar o preço de uma Call3, incluindo, portanto, MPR variável ao modelo. Isso, até onde sabemos, é pioneiro na pesquisa sobre precificação de derivativos atrelados a taxa de juros no Brasil.
Com base nos trabalhos que são referências a esta pesquisa, pode-se concluir que há diversas abordagens para tratar as opções sobre IDI. Por estarem tratando de um derivativo tão complexo, também é esperado que todos possuem vantagens e desvantagens uns em relação aos outros, seja no aspecto teórico ou seja no aspecto prático da implementação do modelo.
ϯ
ĂůůĠƵŵĂŽƵƚƌĂŵĂŶĞŝƌĂƋƵĞƵŵĂŽƉĕĆŽĚĞĐŽŵƉƌĂƉŽĚĞƐĞƌĐŚĂŵĂĚĂ͘WĂƌĂĂƐŽƉĕƁĞƐĚĞǀĞŶĚĂ͕ƵŵĂ ĂůƚĞƌŶĂƚŝǀĂĠWƵƚ͘
Ϯϯ
5. METODOLOGIA
A metodologia usada neste trabalho segue os passos de Ahmad e Wilmott (2006) e de Barbachan e Ornelas (2003). Inicialmente, selecionaram-se dados diários da ETTJ com os vértices de 1 dia, 1 mês, 2 meses e 3 meses de agosto de 2000 até fevereiro de 2017. Com isso, temos 4000 observações da ETTJ coletadas via terminal Bloomberg®. De posse desses dados, foi possível estimar os parâmetros do modelo da taxa de juros de curto prazo nos moldes de Ahmad e Wilmott (2006). São eles: volatilidade (ߪ), taxa média de juros de curto prazo (ߚሻ, i.e., tendência; e preço do mercado de risco ().
Com base no processo da taxa de juros, ݎ, seguiu-se Barbachan e Ornelas (2003) para precificar as opções sobre IDI, porém, com parâmetros estimados de maneira diferente em uma base de dados maior e mais atualizada. No início, será usado um processo de taxas contínuas para facilitar a modelagem.
ܤሺͲǡ ݐሻ ൌ ݁ሺ బ ೞௗ௦ሻ
O gráfico 3 apresenta a evolução da Yield de vértice de 1 mês em termos anuais, isto é, a taxa de juros de curto prazo em que o trabalhou se baseou. Como era de se esperar, segue os movimentos observados no gráfico 1 do CDI.
0.00% 5.00% 10.00% 15.00% 20.00% 25.00% 30.00%
Gráfico 3: Taxa de Juros de 1 Mês
Ϯϰ
Para estimar a estrutura de volatilidade, as observações da Yield de 1 Mês foram separadas em intervalos de 250 dias úteis, gerando 16 subamostras. Utilizando a nomenclatura de Ahmad e Wilmott (2006) e assumindo que o modelo para taxa de juros de curto prazo possa ser descrito como ݀ݎ ൌ ݑሺݎሻ݀ݐ ݒሺݎሻܼ݀, seja a variação das taxas de juros de curto prazo, ߜݎ, em cada uma das subamostras, foram retirados o logaritmo natural da última observação de ݎ, (ሺݎሻ) e o logaritmo natural da média do quadrado das variações dessas taxas de juros de curto prazo (ሺܧሾሺߜݎሻʹሿሻ). Em seguida, regrediu-se linearmente o ሺܧሾሺߜݎሻʹሿሻ com ሺݎሻ. Assim, ܧሾሺߜݎሻଶሿ ൌ ൫ݓሺݎሻ൯ଶǤ ߜݐ e ݓሺݎሻ ൌ ݒǤ ݎఉ e chega-se ao resultado no gráfico 4 para a
regressão linear de ሺܧሾሺߜݎሻʹሿሻ, apresentado no eixo y, contra ሺݎሻ, apresentado no eixo x.
Os pontos no gráfico 4 são os valores encontrados de ሺܧሾሺߜݎሻʹሿሻpara cada uma das 16 subamostras definida anteriormente. O resultado da estimação OLS4 encontra-se na equação: ሺܧሾሺߜݎሻʹሿሻ ൌ ͵ǡͶʹǤ ሺݎሻ െ ǡʹͶ ϰ K>^ĠĂƐŝŐůĂ͕ĞŵŝŶŐůġƐ͕ƉĂƌĂKƌĚŝŶĂƌLJ>ĞĂƐƚ^ƋƵĂƌĞŽƵDşŶŝŵŽYƵĂĚƌĂĚŽƐKƌĚŝŶĄƌŝŽƐ͘DĠƚŽĚŽĚĞĞƐƚŝŵĂĕĆŽ ĚĞƉĂƌąŵĞƚƌŽƐĞŵƵŵĂƌĞŐƌĞƐƐĆŽůŝŶĞĂƌƐŝŵƉůĞƐ͘ y = 3.7472x - 7.2466 -20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 Gráfico 4: ln(ܧܧܧܧ[(ߜߜߜߜݎݎݎݎ)² ]) x ln(ݎݎݎݎ)
Ϯϱ
Encontramos o parâmetro Ⱦ resolvendo ʹǤ Ⱦ ൌ ͵ǡͶʹǤO segundo parâmetro
ݒpode ser encontrado fazendo ʹǤ ሺݒሻ ൌെǡʹͶ. O ݒ encontrado está em termos
diários. Portanto, há a necessidade da multiplicação por ξʹͷʹ para anualizá-lo. Logo, a estrutura da volatilidade está definida com os parâmetros:
ߚ ൌ ͳǡͺ͵ͳʹ ݒ ൌ ͲǡͶʹ͵
Para estimar o drift, primeiro, é necessário traçar um histograma das taxas de juros observadas. Após essa etapa, deve-se estimar uma distribuição lognormal que melhor se encaixe a este histograma. Os parâmetros da distribuição definirão a estrutura para a tendência. A figura 2 possui o histograma dos dados para a taxa de juros. No eixo horizontal, temos os intervalos em que a taxa de juros foi dividida. No eixo vertical, temos a frequência para esses dados estarem dentro do respectivo intervalo.
Fonte: Elaboração própria, dados Bloomberg®.
Ϯϲ
Através do software Matlab®, a lognormal em vermelho da figura 2 foi traçada de maneira que ela se ajuste melhor à distribuição de frequência. Seus parâmetros são:
ܽ ൌ Ͳǡͻͷͷ ݎҧ ൌ Ͳǡͳ͵
tais que a curva lognormal é representada pela equação: ͳ
ܽǤ ݎǤ ξʹǤ ߨ݁
ቀ ିଵଶǤమ୪୬ሺ ҧΤ ሻቁ
Assim, com ܽ e ݎҧ encontra-se o drift assumindo a equação abaixo, conforme
Ahmad e Wilmott (2007) propõem:
ݑሺݎሻ ൌݒଶǤ ݎଶǤఉିଵǤ ቆߚ െͳ
ʹ െʹǤ ܽͳଶ݈݊ሺݎ ݎҧΤ ሻቇ
O MPR, ou , pode facilmente ser determinado pela inclinação da curva
ETTJ, pois a inclinação da estrutura (Slope) em um determinado instante ݐ é dada
por:
݈ܵ݁ሺݐሻ ൌ ൫ݑሺݐሻ െ ܯܴܲሺݐሻǤ ݓሺݐሻ൯ ʹΤ Assim,
ܯܴܲ ൌ ൫ݑሺݐሻ െ ʹǤ ݈ܵ݁ሺݐሻ൯ ݓሺݐሻΤ
Logo, para cada instante do tempo, haverá um correspondente,
contradizendo uma das hipóteses dos trabalhos de Barbachan e Ornelas (2003) e Dalmagro (2015). Tem-se o gráfico 5 abaixo para o MPR para cada observação:
Ϯϳ
Ao analisar o resultado acima, chega-se à mesma conclusão que Ahmad e Wilmott (2006) alcançaram em seu trabalho: o preço de mercado do risco não é sempre constante, muito menos sempre negativo. Há situações em que o mercado está mais greed ou apresenta mais fear, utilizando os termos dos autores. Porém, os resultados apresentam alguns pontos interessantes, que poderiam indicar situações de maior fear nos mercados, indicam o contrário, por exemplo, no período da crise do subprime em 2008, quando se espera que o MPR fosse extremamente negativo, os valores não apresentaram nenhum choque negativo. Isso pode ser consequência do comportamento que a taxa de juros brasileira possui, fora do comum por ser estruturalmente elevada quando se observam as taxas de juros de outros países na economia mundial. A média do resultado do MPR foi -1,15.
5.1 MODELO PARA UMA CALL
Sabe-se que uma call terá, em seu vencimento, o seguinte pay-off: ܿሺܶሻ ൌ݉ܽݔሼͲǡ ܤሺͲǡ ܶሻ െ ܭሽ
Trazendo a expressão da call a valor presente em um mundo risk-neutral e supondo não haver oportunidade de arbitragem nem a presença de fricções:
ܿሺݐሻ ൌ ܧ ቂܿሺܶሻǤ ݁ି ೞௗ௦ቃ -30 -15 0 15 30 8/ 25 /2 00 0 8/ 25 /2 00 1 8/ 25 /2 00 2 8/ 25 /2 00 3 8/ 25 /2 00 4 8/ 25 /2 00 5 8/ 25 /2 00 6 8/ 25 /2 00 7 8/ 25 /2 00 8 8/ 25 /2 00 9 8/ 25 /2 01 0 8/ 25 /2 01 1 8/ 25 /2 01 2 8/ 25 /2 01 3 8/ 25 /2 01 4 8/ 25 /2 01 5 8/ 25 /2 01 6
Gráfico 5: Market Price of Risk (MPR)
Ϯϴ
Deseja-se precificar opções sobre IDI. Como este índice é uma composição da taxa de juros em tempo discreto, a expressão para a ele no instante ݏ será, para ݏ ݐ:
ܫܦܫ௦ൌ ܫܦܫ௧Ǥ ሺͳ ݎ௦ሻሺ௦ି௧ሻ ଶହଶΤ
onde:
ݎ௦: Taxa DI de vértice em s expressa em termos anuais
Porém, como visto anteriormente, como estas opções são relacionadas a um
underlying que não é negociado nos mercados, há a presença da medida do preço
de mercado do risco. Logo, a expressão acima não pode ser utilizada diretamente.
A solução para isso é o uso de uma medida martingale. Um martingale é um processo estocástico com tendência nula. Em Hull (2016): “qualquer variável que
siga um martingale tem a propriedade simplificadora de que seu valor esperado em qualquer data futura é igual a seu valor hoje”. O autor ainda prossegue: “o resultado de medida de martingale equivalente mostra que se g é o preço de um título, há um mundo no qual a razão f/g é um martingale para todos os preços de título f”. Esse
assunto não será detalhado neste trabalho, no entanto, é necessário reforçar as condições para que exista uma medida equivalente à outra.
Como desenvolvido por Barbachan e Ornelas (2003), seja Է א ሺߗǡ ߦሻ uma
martingale equivalente a Զ, logo Է e Զ satisfazem as hipóteses abaixo:
a) Զሺܣሻ ൌ Ͳ, se e somente se, Էሺܣሻ ൌ Ͳ, ܣ א ߦ;
b) O quadrado de Է é integrável em relação a Զ, isto é, a derivada de Radon-Nikodym existe e pertence a ࣦଶሺߗǡ ߦǡ Զሻ
c) ܧԷሺܣሺݐሻȁߦ௨ሻ ൌ ܣሺݑሻ, ݅ ൌ Ͳ ǥ ݊ െ ͳ e Ͳ ݑ ݐ ܶ
Logo, reescrevendo o preço de uma call e assumindo que o preço de um título é ܤሺͲǡ ݐሻ ൌ ݁ሺ బ ೞௗ௦ሻ, temos:
ܿሺݐሻ ൌ ܧԷቀܿሺܶሻǤ ݁ି ೞௗ௦ቚߦ௨ቁ
Ϯϵ
ܿሺݐሻ ൌ ܧԷቀ݉ܽݔሼͲǡ ܤሺͲǡ ܶሻ െ ܭሽ Ǥ ݁ି ೞௗ௦ቚߦ௨ቁ
Para chegar à equação válida para o cenário com risco, Barbachan e Ornelas (2003)
usaram o Teorema de Girsanov. Nesse caso, o processo de Wiener em Է pode ser
escrito como:
ܼ݀௧Է ൌെܯܴܲሺݎǡ ݐሻ݀ݐ ܼ݀௧
Portanto, o processo para a taxa de juros de curto prazo pode ser reescrito para o mundo real:
݀ݎ ൌ ݑሺݎǡ ݐሻ݀ݐ ݓሺݎǡ ݐሻ൫ܼ݀௧Է ܯܴܲሺݎǡ ݐሻ݀ݐ൯
Rearranjando os termos, temos
݀ݎ ൌ ൫ݑሺݎǡ ݐሻ ܯܴܲሺݎǡݐሻǤ ݓሺݎǡ ݐሻ൯݀ݐ ݓሺݎǡ ݐሻܼ݀ݐԷ
Agora, reescrevendo os parâmetros para seguir a forma dos modelos neutros ao risco, tem-se:
݀ݎ ൌ ሺݑሺݎǡ ݐሻכሻ݀ݐ ݓሺݎǡ ݐሻܼ݀
ݐ Է
Tal que ݑכሺݎǡ ݐሻ ൌ ݑሺݎǡ ݐሻ ܯܴܲሺݎǡ ݐሻǤ ݓሺݎǡ ݐሻ.
Barbachan e Ornelas (2003), em referência ao trabalho de CIR (1985), afirmam que ݎሺݏሻ condicionada a ݎሺݐሻ, com ݏ ݐ segue uma distribuição chi-quadrada não central em Է da seguinte forma:
ݎሺݏሻȁߦݐ̱Է߯ଶሺܿǤ ݎሺݏሻǢ ݊ǡ ሻ ܿΤ
Lembrando que, pelo CIR (1985), em um mundo neutro ao risco, temos a equação 4 reescrita abaixo:
݀ݎ ൌ ߙǤ ሺݎҧ െ ݎሻ݀ݐ ݒǤ ݎଵȀଶܼ݀ (11)
Como a expressão geral para o processo de taxas de juros é dada da seguinte forma:
ϯϬ
Temos que ߙ ൌ ݑሺݎǡ ݐሻ ሺݎҧ െ ݎሻΤ e ݓሺݎǡ ݐሻ ൌ ݒǤ ݎଵ ଶΤ . Ambos possíveis de se encontrar
com os dados.
Trazendo a medida de risco ܯܴܲሺݎǡ ݐሻ para o modelo, temos: ݀ݎ ൌ ൫ߙǤ ሺݎҧ െ ݎሻ ܯܴܲሺݎǡ ݐሻǤ ݒǤ ݎଵ ଶΤ ൯݀ݐ ݒǤ ݎଵȀଶܼ݀
௧Է
Multiplicando a parcela ܯܴܲሺݎǡ ݐሻǤ ݒǤ ݎଵ ଶΤ por ݎ ݎΤ temos: ݀ݎ ൌ ቀߙǤ ݎҧ െ ߙǤ ݎ ܯܴܲሺݎǡ ݐሻǤ ݒǤ ݎଵ ଶΤ Ǥݎ
ݎቁ ݀ݐ ݒǤ ݎଵȀଶܼ݀௧Է
Colocando െݎ em evidência:
݀ݎ ൌ ቆߙǤ ݎҧ െ ቆߙ െܯܴܲሺݎǡ ݐሻǤ ݒǤ ݎݎ ଵ ଶΤ ቇ Ǥ ݎቇ ݀ݐ ݒǤ ݎଵȀଶܼ݀ ௧Է
Agora, com a finalidade de se alcançar uma expressão no mesmo formato da equação 4, assume-se ܯܴܲሺݎǡ ݐሻǤ ݒǤ ݎଵ ଶΤ ൗ ൌܯܴܲݎ כሺݎǡ ݐሻ, e coloca-se em evidência o fator ቆߙ െ ܯܴܲሺݎǡ ݐሻǤ ݒǤ ݎଵ ଶΤ ൗ ቇ, assim: ݎ
݀ݎ ൌ ൫ߙ െ ܯܴܲכሺݎǡ ݐሻ൯Ǥ ቆ ߙǤ ݎҧ
൫ߙ െ ܯܴܲכሺݎǡ ݐሻ൯െ ݎቇ ݀ݐ ݒǤ ݎଵȀଶܼ݀௧Է (124)
Agora, fazendo um paralelo com a equação 4, fica possível identificar cada variável para o modelo: ܯܴܲכሺݎǡ ݐሻ e ߙ com os dados da pesquisa. Isto é, nota-se que como ܯܴܲሺݎǡ ݐሻ, ݒ, ݑሺݎǡ ݐሻ foram encontrados para cada instante seguindo o modelo de Ahmad e Wilmott (2007), as variáveis ܯܴܲכሺݎǡ ݐሻ e ߙ podem também serem encontradas, pois ܯܴܲכሺݎǡ ݐሻ é função de ܯܴܲሺݎǡ ݐሻ e ߙ função de ݑሺݎǡ ݐሻ. Agora, reescrevendo os parâmetros do processo:
ߙכൌ ൫ߙ െ ܯܴܲכሺݎǡ ݐሻ൯
ݎҧכൌ ݎҧǤ ߙ ൫ߙ െ ܯܴܲΤ כሺݎǡ ݐሻ൯
ϯϭ
Assim, o processo reescrito para a taxa de juros assume a forma:
݀ݎ ൌ ߙכǤ ሺݎҧכെ ݎሻ݀ݐ ݒǤ ݎଵȀଶܼ݀ ௧Է
Agora, voltando para a distribuição de ݎ, seus parâmetros podem ser escritos como: ܿ ؠ ͶǤ ߙכ ൣݒଶǤ ൫ͳ െ ݁ିఈכǤሺ௦ି௧ሻ
൯൧ Τ
ؠ ܿǤ ݎሺݐሻǤ ݁ିఈכǤሺ௦ି௧ሻ
݊ ؠ ͶǤ ߙכǤ ݎҧכΤ ݒଶ
Sabe-se, também que, se a distribuição de uma variável aleatória ܴ segue uma chi-quadrada do tipo ݎሺݏሻȁߦݐ̱Է߯ଶሺܿǤ ݎሺݏሻǢ ݊ǡ ሻ ܿΤ , então, quando são independentes, a soma dessas variáveis aleatórias também segue uma chi-quadrado, mas do tipo ݎሺݏሻȁߦݐ̱Է߯ଶሺܿǤ ݎሺݏሻǢ ݊ǡ ሻ ܿΤ . Logo, a variável ߮ሺݐ ߝǡ ܶሻ ൌ
ݎ௧ାఌ் ௦݀ݏ também segue uma chi-quadrado não central do tipo
߮ሺݐ ߝǡ ܶሻȁߦݐ̱Է߱߯ଶሺܿכǤ߮Ǣ ݊כǡ כሻ, onde: כؠ Ͷݎሺݐሻ ݒଶ ቈ݈݊ ቆͳ െ ݁ ఈכǤሺ௧ି்ሻ ͳ െ ݁ିఈכǤఌ ቇ ܿכؠ ݒଶǤ כΤሺͳǤ ݎሺݐሻǤ ߙכଶሻ ݊כؠ ͶǤ ߙכǤ ݎҧכǤ οݐ ݒΤ ଶ ߱ ؠͶǤ ߙݒଶכͶǤ οݐ ൫݁ݒଶ ିఈכǤሺ்ି௧ሻ െ ݁ିఈכǤఌ ൯
Assim, Barbachan e Ornelas (2003) concluem que o preço de uma call para um título ܤሺݐሻ, em tempo contínuo, é:
ܿሺݐሻ ൌܿ߱כܤሺͲǡ ݐሻǤ ൬ͳ െ߯ʹ݈݊൬ ܭ ܤሺͲǡ ݐ ߤሻ൰Ǥ ܿכǢ ݊כǡ כ൨൰ െ ߱Ǥ ܭǤ ܿ כ൬כଶ ൰ିଶ Ǥ ݁ିככ ሺʹ ܿכሻǤ ܤሺݐǡ ݐ ߝሻ Ǥ ൬ͳ െ߯ʹ݈݊൬ܤሺͲǡ ݐ ߝሻ൰ܭ Ǥሺʹ ܿכሻǢ ݊כǡ ככ൨൰ onde ככൌ כǤ ܿכΤሺʹ ܿכሻ.
ϯϮ
Para tempo discreto, Barbachan e Ornelas (2003) chegam ao preço de uma
call: ܿሺݐሻ ൌ ܿכǤ ܫܦܫ ௧Ǥ ൬ͳ െ߯ʹ݈݊൬ܫܦܫܭ ௧ାଵ൰Ǣ ݊ כǡ כ൨൰ െܭǤ ܿכǤ ͵ ൬ିଶ ൰כ Ǥ ݁ିככ ሺͳ ݎ௦ሻ ൮ͳ െ߯ ʹ൦݈݊ቀ ܭ ܫܦܫ௧ାଵቁ ͵ Ǣ ݊כǡ ככ൪൲ onde ݎ௦ é a taxa do CDI e os parâmetros são:
כؠ Ͷݎሺݐሻ ݒଶ ቈ݈݊ ቆͳ െ ݁ ఈכǤሺ௧ି்ሻ ͳ െ ݁ିఈכ ቇ ݊כؠ ͶǤ ߙכǤ ݎҧכǤ οݐ ݒΤ ଶ ܿכؠ ݒଶ ͶǤ ߙכ ݒ ଶ ͶǤ οݐǤ ݁ఈכ൫݁ሺ்ି௧ሻെ ͳ൯
ϯϯ
6. RESULTADOS
Como visto no início da seção anterior, os parâmetros não observáveis já foram estimados:
ݎҧ ൌ Ͳǡͳ͵ ݒ ൌ ͲǡͶʹ͵ ܯܴܲ ൌ ܯܴܲሺݎǡ ݐሻ
Com isso em conjunto com a base de dados de ݎ e as variáveis d, é necessário encontrar os novos parâmetros para a fórmula fechada proposta por Barbachan e Ornelas (2003). Isto é: ߙכ, ݎҧכ, ܯܴܲכ, כ, ݊כ e ܿכ.
Além de todo histórico que compõe a base de dados, ela, também, é composta por duas opções de compra de vencimento em 03 de Abril de 2017: a primeira, de strike 232.500,00 (JK8B); e a segunda, de strike 232.200 (JK87). O período analisado foi de 02 de Janeiro até 31 de Janeiro de 2017 que foi escolhido por estar dentro da base de dados, além de estar próximo ao vencimento das opções. O motivo da escolha dessas séries de opções, JK8B e JK87, e do período de estudo é porque as opções de IDI não possuem grande liquidez no mercado para vencimentos muito longos. Além disso, a escolha desses strikes teve o objetivo de contemplar uma opção fora-do-dinheiro (JK8B) e outra dentro-do-dinheiro (JK87) durante o período analisado. Os preços de mercado dessas opções foram obtidos na base de um dos maiores administradores de fundos no Brasil. Apesar de ela não ser, a princípio, de domínio público, esses preços também podem ser colhidos do
website da CVM ao pesquisar, no período analisado, um fundo que também tenha a
mesma administração e que também possua esses ativos. A escolha dessa base é motivada pelo fato de essa instituição administrar grande parte dos fundos brasileiros, agentes que atuam ativamente no mercado de opções de taxas de juros. Este administrador utiliza a metodologia de Black (1976) após a coleta de parâmetros em um pool de corretoras, players dentro desse mercado. Logo, após o cálculo dos parâmetros, pode-se chegar aos preços para as calls e compará-los aos preços calculados por este administrador.
ϯϰ
Após o cálculo, este trabalho encontrou dificuldades para alcançar valores condizentes com a realidade e que fizesse sentido teoricamente. Este fato pode ter sido ocasionado por conta da grande volatilidade do Preço de Mercado do Risco que, majoritariamente, durante o período sob análise, é positivo. A teoria nos indica que este valor deveria ser, majoritariamente, negativo e, somente em momentos de
greed, este parâmetro assumiria valores positivos.
Logo, fica claro que a metodologia proposta, a princípio, não se adequa para o estudo de preço de opções de IDI, ativo peculiar no mercado financeiro global. E que, por ora, é necessário maior estudo na proposta de uma nova metodologia de precificação destes ativos.
Tomando uma data do período sob análise, 06 de janeiro de 2017, chega-se ao seguinte resultado:
ĂƚĂ KƉĕĆŽ ^ƚƌŝŬĞ WƌĞĕŽDĞƌĐĂĚŽ sĞŶĐŝŵĞŶƚŽ //ăǀŝƐƚĂ //ƚнϭ WƌĞĕŽ
ϬϲͬϬϭͬϮϬϭϳ :<ϴ ϮϯϮϱϬϬ ϴ͕ϵϮϴϲϲϵ ϬϯͬĂďƌͬϭϳ ϮϮϵ͘ϯϳϵ͕ϴϭ ϮϮϵ͘ϰϵϬ͕ϭϮ ͲϭϬ͘ϳϲϭ͕ϯϰ ϬϲͬϬϭͬϮϬϭϳ :<ϴϳ ϮϯϮϮϬϬ Ϯϯϭ͕ϱϬϳϱ ϬϯͬĂďƌͬϭϳ ϮϮϵ͘ϯϳϵ͕ϴϭ ϮϮϵ͘ϰϵϬ͕ϭϮ ͲϭϬ͘ϳϰϮ͕ϰϭ
Como observado, os valores encontrados são negativos, algo inconsistente com a realidade e com o esperado pela teoria. Isso nos força a tentar compreender o motivo deste resultado, e um ponto importante se sobressai: o uso do preço de mercado do risco variável e que justamente neste período os valores assumidos pelo MPR são positivos. Estas hipóteses assumidas podem ter contribuído para que se obtenha valores estranhos para os parâmetros da fórmula e que, por consequência, o preço da call seja negativo.
Agora, assumindo um valor médio para o MPR de -1,15, como encontrado na seção 5, os valores para os preços das calls são:
ĂƚĂ KƉĕĆŽ ^ƚƌŝŬĞ WƌĞĕŽDĞƌĐĂĚŽ sĞŶĐŝŵĞŶƚŽ //ăǀŝƐƚĂ //ƚнϭ WƌĞĕŽ
ϬϲͬϬϭͬϮϬϭϳ :<ϴ ϮϯϮϱϬϬ ϴ͕ϵϮϴϲϲϵ ϬϯͬĂďƌͬϭϳ ϮϮϵ͘ϯϳϵ͕ϴϭ ϮϮϵ͘ϰϵϬ͕ϭϮ Ϯϵ͕ϰϭ ϬϲͬϬϭͬϮϬϭϳ :<ϴϳ ϮϯϮϮϬϬ Ϯϯϭ͕ϱϬϳϱ ϬϯͬĂďƌͬϭϳ ϮϮϵ͘ϯϳϵ͕ϴϭ ϮϮϵ͘ϰϵϬ͕ϭϮ ϰϯ͕ϭϱ
Logo, quando o MPR é negativo, os valores das opções ficam positivos. Isto pode justificar a estranheza dos valores anteriormente calculados. No entanto, os
ϯϱ
valores encontrados ainda estão muito diferentes daqueles marcados pelo mercado, isso pode ser justificado pela metodologia aplicada pelo mercado e o modelo proposto por Barbachan e Ornelas (2003) para precificar este tipo de opção.
ϯϲ
7. CONCLUSÃO
Este trabalho teve o objetivo de calcular preço de opções de IDI através da fórmula fechada de CIR como proposto por Barbachan e Ornelas (2003). No entanto, ao contrário da hipótese de preço de mercado do risco constante igual a -1, assumida por estes autores, foi usada uma metodologia para se chegar ao MPR de cada instante da base de dados como proposto no artigo de Ahmad e Wilmott (2006).
Após a estimação dos parâmetros do processo de taxas de juros de curto prazo através da análise histórica dos dados, foi necessário passar esse processo para o “mundo com risco” com a adição do preço de mercado do risco (MPR). A estimação desta medida é de extrema importância, pois, ao assumir este parâmetro como variável, poderíamos alcançar valores mais condizentes do preço do derivativo com aqueles precificados no mercado.
De acordo com os resultados deste trabalho, o MPR apresenta alta volatilidade para seus valores, e se torna positivo quando o mercado se apresenta com mais greed, e negativo com o mercado cada vez mais em fear. No entanto, no modelo proposto por Barbachan e Ornelas (2003), o fato de assumir MPR variável pode ter contribuído para resultados inconsistentes com a realidade e com a expectativa que a teoria impõe.
A pesquisa deve prosseguir, em trabalhos posteriores, para maior investigação das causas desses resultados inconsistentes. Uma primeira sugestão seria o uso de outros métodos para estimação dos parâmetros do processo de taxa de juros de curto prazo. Ahmad e Wilmott (2006) se utilizaram de uma metodologia simples para compreensão, porém, também se adotaram uma base de dados mais bem-comportada do que aquela utilizada neste trabalho – cabe lembrar que o trabalho destes autores é sobre a taxa de juros norte-americana. Por este caminho, também é necessário maior investigação das causas dos valores de MPR apresentarem, durante grandes períodos, valores persistentemente positivos.
ϯϳ
8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
AHMAD, R.; WILMOTT, P. The Market Price of Interest-rate Risk: Measuring and Modelling Fear and Greed in the Fixed-income Markets. Wilmott Magazine 2006.
BARBACHAN, J. S. F.; ORNELAS, J. R. H. Apreçamento de opções de IDI usando o modelo CIR. Estatística Econômica, v.33, n.2, p.287-323, 2003.
BLACK, F.; DERMAN, E.; TOY, W. A one factor model of interest rates and its application to Treasury Bonds Option. Financial Analyst journal, 46, p.33-39, 1990.
BLACK, F.; SCHOLES, M. The pricing of options and corporate liabilities. Journal of Political Economy 81, p.637-659, 1973.
BLACK, F. The pricing of commodity contracts. Journal of Financial Economics, v.3, p.167-179, 1976.
BLACK, F.; KARASINKI, P. Bond and Option pricing when short rates are Lognormal. Financial Analyst Journal, vol.47, n.4, p.52-59, 1991.
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Monetary Changes. Disponível em:
https://www.ime.usp.br/~walterfm/Seminario/prim12/AlanDeGenaro, 2013.
GLUCKSTERN, M. C.; FRANCISCO, G.; JR, W. Aplicação do modelo Hull-White à precificação de opções de IDI. In: Anais do II Encontro da Sociedade Brasileira de Finanças, 2002.
ϯϴ
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HULL, J.; WHITE, A. Pricing interest rate derivative securities. Review of Financial Studies, v.3, n.4, p.573-592, 1990.
HULL, J. Opções, Futuros e Outros Derivativos. Bookman, v.9, 2016.
TAKARABE, E. W.; SILVA, M. E. Impacto das Reuniões do Copom no Preço de Opções de Índice de Taxas de Juros (IDI). Disponível em: http://resenhadabolsa.com.br/portfolio-items/impacto-das-reunioes-do-copom-no-preco-de-opcoes-de-indice-de-taxas-de-juros-idi/, 2016.
VASICEK, O. An Equilibrium characterization of the term structure. Journal of Financial Economics, v.5, p.177-188, 1977.
VIEIRA, C. A.; PEREIRA, P. L. V. Closed form formula for the price of the options on the 1 day brazilian interfinancial deposits index – IDI. Anais do XXII Congresso Brasileiro de Econometria, 2000. (Volume II).
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9. GLOSSÁRIO DE SIGLAS
BDT: Modelo proposto por Black, Derman e Toy para derivativos de taxas de juros.
BMF: Bolsa de Mercadoria e Futuros, também conhecida como BM&FBovespa. CALL: opção de compra. Derivativo que fornece ao seu detentor o direito de comprar o ativo objeto por determinado preço (strike) em um determinado instante.
CDI: Certificado de Depósitos Interfinanceiros ou Interbancário.
CIR: Modelo proposto por Cox, Ingerssol e Ross para derivativos de taxas de juros.
COPOM: Comitê de Política Monetária, comitê formado pelo Presidente do Banco Central Brasileiro e seus Diretores para decisão de Política Monetária, elevação, manutenção ou redução da Taxa de Juros básica da Economia.
CVM: Comissão de Valores Mobiliários. Autarquia vinculada ao Ministério da Fazenda brasileiro que disciplina, normaliza e fiscaliza o mercado financeiro brasileiro e seus integrantes.
DI1: Depósito Interbancário de 1 Dia. Derivativo negociada na BM&FBovespa. ETTJ: Estrutura a Termo da Taxa de Juros.
IDI: Índice de Depósito Interbancário de 1 Dia.
MPR: Market Price of Risk, isto é, Preço de Mercado do Risco. Também
comumente tratado como ߣ.
OLS: Ordinary Least Square. Método para estimação de parâmetros emu ma regressão.
PUT: opção de venda. Derivativo que fornece ao seu detentor o direito de vender o ativo objeto por um determinado preço (strike) em um determinado instante.
