O desenvolvimento do conjunto de modelos M1 origina-se com a Equação (2.6),
Ptot = k0· V2· F , a partir da qual, juntamente com a relação (4.2), é possível obter-se a
Forma Genérica do Modelo de Potência M1 :
PtotM1 = k0· g(F )2· F. (4.3)
Com base nessas associações de ordem geral, serão desenvolvidas nas próximas quatro subseções as expressões de P (F ) para as variantes do Modelo M1 relacionadas na Tabela 3.
4.1.1
Modelo M1 Básico (V
th≈ 0 e h = 2)
Neste trabalho, esse é o Modelo M1 por padrão, ou seja, se o M1 for citado sem menção a sua variante, então é porque existe uma referência implícita ao M1 Básico. Assim, diante do exposto, considerando que Vth = 0 e h = 2, e partindo-se da expressão (4.1),
tem-se F = k1 · (V − Vth)h V = k1 · (V − 0)2 V = k1 · V.
Logo, para essa variante o valor de V = g(F ) procurado é dado por
g(F ) = (1/k1) · F. (4.4)
Consequentemente, a partir da expressão (4.3) tem-se
Ptot = k0· g(F )2 · F
= k0· [(1/k1) · F ]2· F
= (k0/k21) · F 3.
Capítulo 4. Modelos de Potência Propostos 77 Para melhorar a clareza do texto, esse resultado será reescrito a seguir e será referenciado como a Representação Formal do Modelo M1 Básico:
PtotM1,Bas = a · F3, (4.5) em que a é a constante da relação, equivalente a (k0/k12), e seu valor é calculado como
parte das discussões do Capítulo 5.
A rigor, o “Modelo M1 Básico” não é uma proposta nossa, uma vez que a literatura contempla formulação semelhante. Preferimos mantê-lo aqui, com essa ressalva, apenas para preservar a completude da generalização no esquema de elaboração das variantes.
A Equação(4.5), exposta em nossos trabalhos anteriores (XAVIER-DE-SOUZA et al., 2013) e (LIMA et al., 2014), também pode ser encontrada de forma equivalente, por exemplo, em (SEO et al., 2008) e (USMAN; KHAN; KHAN,2013). Tal expressão ressalta a atenção que se deve ter com o aumento da frequência de operação dos processadores, de modo que uma pequena elevação no seu valor aumenta a potência numa taxa bem maior. Nesses termos, por exemplo, para dobrar a potência bastaria aumentar a frequência em cerca de 26%.
4.1.2
Modelo M1 Intermediário (V
th≈ 0 e h-livre)
Dentre as considerações desta subseção, tem-se Vth = 0 e h-livre. Por h-livre
entenda-se que o valor de h não está especificado previamente pelo modelo, ou seja, o valor que ele poderá assumir dependerá das individualidades do processador e seu entorno em que será aplicado. Assim, eventualmente, o valor de h poderia ser, por exemplo, igual a 1,5 ou 1,997 ou 2,4. Teoricamente, esse valor pode ser até mesmo igual a 2, mas nesse caso a situação recairia no modelo anterior.
Uma forma de se encontrar um valor representativo para h consiste em se utilizar pares (V,F ) reais do processador, obtidos com o fabricante ou mesmo experimentalmente, e com eles prover um ajuste estatístico da curva F × V (fitting), de modo que o valor procurado faça parte da curva expressa no formato daEquação (4.1) que mais se aproxime dos pontos utilizados, ou seja, a aproximação com o menor erro coletivo possível. Novamente, se o melhor ajuste conduzir a um valor de h igual a 2, então a situação recairia no caso do modelo anterior.
O caso de ajuste estatístico apresentado na Figura 26 retrata a situação mais genérica de busca de parâmetros entre os modelos de potência deste trabalho. Nesse exemplo, três parâmetros (k1, Vth e h) foram obtidos por ajuste de curva1 a partir de
1 No exemplo daFigura 26, a expressão Y = A ∗ ((X − B) ∗ ∗C)/X representa aEquação(4.1), de
modo a serem realizadas as seguintes correspondências: Y e F ; X e V ; A e k1; B e Vth; C e h. Para o
Capítulo 4. Modelos de Potência Propostos 78 pontos (V,F ) de origem experimental (WONG,2012) para um processador i5/Ivybridge. Nessa situação, em particular, foi encontrado para h um valor igual a 1,012. No Capítulo 7 são apresentadas informações sobre o programa LabFit, utilizado para obter os valores desses parâmetros, bem como sobre a avaliação da qualidade dos resultados, além de mais alguns exemplos de cálculo de h-livre.
Figura 26 – Exemplo de obtenção de k1, Vth e h por ajuste de curva
De qualquer forma, é possível desenvolver uma expressão P (F ) formal para esse modelo a partir da Equação (4.1), obtendo-se
F = k1 · (V − Vth)h V = k1 · (V − 0)h V = k1 · Vh−1.
Então, a expressão de V = g(F ) procurada para essa variante é dada por
g(F ) = (1/k1)
1
h−1 · F
1
h−1. (4.6)
Consequentemente, a partir da expressão (4.3) tem-se
Ptot = k0· g(F )2· F = k0· [(1/k 1 h−1 1 ) · F 1 h−1]2· F = (k0/k 2 h−1 1 ) · F ( 2 h−1+1),
Capítulo 4. Modelos de Potência Propostos 79 que, reescrita, será referenciada como a Representação Formal do Modelo M1 Intermediário:
PtotM1,Int = c · F(h−12 +1), (4.7)
em que c é a constante da relação, equivalente a (k0/k
2
h−1
1 ). Observa-se que matematica-
mente é possível se chegar à expressão (4.5) pela particularização da relação (4.7) por meio da fixação de h com valor igual a 2. Alguns autores chegam a estabelecer uma relação
P (F ) dada por P = Fq, com 2 < q < 3, como modelo de potência, mas não apontam suas origens (CHO; MELHEM, 2008) (CHROBAK, 2012).
4.1.3
Modelo M1 Superior (V
th6= 0 e h = 2)
Para essa e para a próxima variante do Modelo M1, os valores de Vth não são
desconsiderados. Além de Vth6= 0, o modelo M1 Superior utiliza h = 2. Assim, partindo-se
de (4.1), o desenvolvimento de uma expressão P (F ) formal para esse modelo conduz a
F = k1· (V − Vth)h V = k1· (V − Vth)2 V = k1· V2− 2.V.V th+ Vth2 V . (4.8)
Logo, a partir da relação (4.8) é possível resolver a seguinte equação quadrática:
V2− (F/k1+ 2.Vth).V + Vth2 = 0.
O resultado dessa equação corresponde à expressão V = g(F ) para essa variante, e é dada por
g(F ) = F/k1+ 2.Vth±
q
(F/k1)2+ 4.(F/k1).Vth
2 . (4.9)
Nota-se que matematicamente existirão dois resultados para g(F ), diferenciados a partir do sinal que acompanha o radical. Como essa função representa, a rigor, uma tensão, então é necessário confrontar os valores assim obtidos com as restrições impostas pelo conjunto de regras. Por exemplo, se for encontrado um valor negativo para essa tensão
g(F ), então ele deve ser desconsiderado. Outra possibilidade de desconsideração ocorrerá
se g(F ) conduzir a um valor para F que não obedeça à imposição da relação (2.7). Em termos de potência, como consequência do resultado anterior e de (4.3) tem-se
Ptot = k0· F/k1+ 2.Vth± q (F/k1)2+ 4.(F/k1).Vth 2 2 · F. (4.10)
Para se confirmar a expressão (4.10) como uma generalização de (4.5), basta colocar na equação acima, com sua raiz positiva, o valor nulo para o Vth. Ademais, para se utilizar
Capítulo 4. Modelos de Potência Propostos 80 um Vth não nulo nessa variante (e na próxima) é preciso obter seu valor por meio do
fabricante do processador ou por meio de ajuste de curvas com valores experimentais, como descrito na subseção anterior em relação ao expoente h.
Reescrevendo-se a equação de Ptot a seguir, ela será referenciada como a Represen-
tação Formal do Modelo M1 Superior : PtotM1,Sup= (k0/4) · F/k1+ 2.Vth± q (F/k1)2+ 4.(F/k1).Vth 2 · F. (4.11)
4.1.4
Modelo M1 Avançado (V
th6= 0 e h-livre)
Nesta variante de M1 o valor do Vth é considerado fixo e não nulo, e simultanea-
mente o expoente h é tratado como h-livre, ambos obedecendo aos termos estabelecidos nas subseções anteriores. Assim, diante dessas condições, não é possível realizar-se o desenvolvimento de uma expressão P (F ) formal como nos casos anteriores.
Isso ocorre porque não se pode destrinchar a expressão (4.1) que relaciona F e V , sem que haja um valor de h que assim o permita. Logo, a questão do uso desse modelo requer uma outra forma de abordagem que conduza aos valores de potência para valores de h tão díspares quanto, por exemplo, 1,41 ou 2,3 ou, ainda, qualquer outro que seja válido.
Nesse sentido, a solução utilizada neste trabalho para viabilizar o uso do modelo M1 Avançado envolveu o tratamento numérico para relacionar F e V , em substituição às abordagens puramente analíticas das variantes anteriores. Assim, o cálculo de g(F ) no modelo avançado não disporá de uma equação própria, como nos casos das variantes anteriores, que utilizaram g(F ) correspondentes a V = (1/k1) · F para M1 Básico, V =
(1/k1)
1
h−1 · F
1
h−1 para M1 Intermediário e a expressão daEquação (4.9) para M1 Superior.
O procedimento se inicia com a determinação do h. Em seguida, são usados os valores de h, Vth, F e k1 para a montagem da equação de relação entre V e F , com base
na expressão (4.1), como no exemplo abaixo (para Vth = 0,5V; h = 1,8; k1 = 1010 e
F = 1,5.109Hz): F = k1· (V − Vth)h V ⇒ F · V − k1· (V − Vth) h = 0 ⇒ 1,5.109· V − 1010· (V − 0,5)1,8 = 0
A partir desse ponto, a questão é tratada como uma busca de otimização pelo valor de V que corresponda ao menor erro (idealmente igual a zero) dentro de uma tolerância escolhida previamente. Nesse exemplo, a solução com tolerância de erro de 10−5
Capítulo 4. Modelos de Potência Propostos 81 foi calculada2 como 0,81006307787938 V. NoCapítulo 6 são utilizados alguns exemplos de cálculo de g(F ) por meio dessa estratégia.
Em termos de potência, como consequência de (4.3) e do que fora apresentado acima, tem-se a Representação Formal do Modelo M1 Avançado:
PtotM1,Av = k0· [g(F )num]2· F, (4.12)
em que g(F )num é o resultado do cálculo numérico de g(F ) nos termos apresentados.