A translação das curvas isotérmicas pode ser realizada de três maneiras:
Figura 3.20 – Sinais de deformação no pavimento e a superposição dos sinais
4.2 PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS DAS MISTURAS DE CONCRETO ASFÁLTICO
4.3.2 Modelo Reológico no Domínio Frequencial
Os modelos matemáticos que melhor interpretam o real comportamento viscoelástico do material de concreto asfáltico são de Huet e Huet-Sayegh, e têm como base os modelos citados nos itens anteriores. Esses modelos imprimem uma relação de tensão e deformação, que facilita o entendimento das Equações construtivas de elementos simples (molas e amortecedores) e compara as suas impedâncias teóricas experimentais, representadas graficamente no Módulo Complexo do plano Cole-Cole e do Espaço de Black, os quais são obtidos sob várias frequências e temperaturas de ensaio (De La ROCHE, 1996; HECK, 2001; BARRA, 2009):
a) Modelo de Huet
O modelo de Huet é um modelo analógico de fluência bi- parabólico, composto de três elementos simples em série, uma mola de rigidez e dois amortecedores de fluência parabólica de parâmetros k e h, conforme ilustra a Figura 4.11 (PERRET, 2003). Esse modelo foi inicialmente proposto para o comportamento do ligante asfáltico, conforme está escrito na tese de OLARD (2003).
Figura 4.11 – Representação do modelo de Huet (HECK, 2005).
Os trabalhos desenvolvidos no século passado por COLE e COLE (1941) e HUET (1963) demonstraram que o comportamento frequencial das misturas de concreto asfáltico podem corretamente descrever o modelo da fluência bi-parabólica (MAILLARD, 2001).
O modelo de Huet é um modelo reológico de quatro (4) parâmetros associados em série de uma mola de rigidez e de dois amortecedores da lei de fluência parabólica de parâmetros h e k, conforme as expressões seguintes: f(t) =ath e f(t) = btk (MAILLARD, 2001).
A representação do modelo de Huet começa pela introdução de amortecedores de fluência parabólica e dos elementos reológicos que podem ser definidos em uma expressão do Módulo Complexo, com a introdução do tempo de retardo na expressão da viscosidade dinâmica (HECK, 2005).
A expressão da Equação [4.14] do Módulo Complexo representa o modelo analógico de Huet.
Em que:
E∞ = módulo instantâneo do modelo, obtido quando ωτ tende ao infinito, para as elevadas frequências e para as baixas temperaturas;
τ = tempo de relaxação dos amortecedores, que é um parâmetro em função do tempo, o qual se assemelha a um tempo de retardo e varia em função da temperatura; h, k = os parâmetros dos elementos parabólicos do modelo e
às misturas asfálticas, os quais estão situados no intervalo entre 0 < k < h < 1;
i = número complexo definido por i2 = -1;
δ = constante adimensional, função da natureza do betume e da curva granulométrica; e
ω = pulsação; 2πf, em que f = frequência de solicitação. O tempo de relaxação dos amortecedores pode ser definido pela expressão seguinte:
( ) =
, em que se pode depreender uma aproximação segundo a suscetibilidade térmica do material.O ajustamento dos quatro (4) parâmetros são feitos de forma simples e de maneira clara, buscando o melhor ajuste do modelo aos valores experimentais no Espaço de Black (Figura 12) e no Plano Cole- Cole (Figura 13). O módulo no infinito ( corresponde ao ponto de interseção da curva do modelo com o eixo x no Plano Cole-Cole, determinado no Espaço de black a partir da estimativa da tendência dos dados experimentais. Os expoentes h e k dos amortecedores são ligados à tangente da curva do modelo no Plano Cole-Cole por uma relação simples, conforme mostram as expressões das Equações [4.15] e [4.16], respectivamente (HUET, 1963; De La ROCHE).
h =
[4.15]
Figura 4.12 – Ajuste do modelo complexo de Huet no espaço de BLACK (LEFEUVRE, 2001).
Figura 4.13 –Modelo complexo no Plano COLE-COLE de Huet (HECK,2001) A determinação dos parâmentros , , k e δ se faz graficamente
e em ajuste ao plano Cole-Cole (Figura 4.13) da curva teórica do modelo com os resultados experimentais. Uma vez determinados os
parâmetros, a varição de
τ
em função da temperatura é igualmente obtida graficamente, ajustando as curvas isócronas do modelo sobre aquele obtido experimentalmente.O modelo de Huet não permite representar adequadamente os módulos muito baixos (módulos em alta temperatura e baixa frequência) (PERRET, 2001; MILLARD, 2005). Esse modelo, portanto, foi ajustado ou completado por SAYEGH (1965).
b) Modelo de Huet-Sayegh
O modelo de Huet não teve uma adequação no ajuste com relação ao módulo estático (E0), isto é, não permite um ajuste adequado dos
valores experimentais do módulo complexo em alta temperatura e baixa frequência. O Sayegh observou que, a baixa frequência e elevada temperatura as misturas de concreto asfáltico que possuíam módulos estáticos elevados não apresentavam resultados satisfatórios. Nesta sentido na sua tese desenvolvida em (1965), adaptou o modelo de Huet com o ajuste de um modelo paralelo, uma mola de baixa rígidez (E0-
módulo estático) (Figura 14), traduzindo o comportamento nas situações de solicitações estáticas, ou seja, a baixa frequência e elevada temperatura da mistura de concreto asfáltico (De La ROCHE, 1996; MOMM, 1998; HECK, 2005).
A Figura 4.14, a seguir, representa o modelo analógico de Huet- Sayegh.
Figura 4.14 – Representação do modelo de Huet-Sayegh (HECK, 2005).
O modelo é representado por duas partes paralelas, denotadas parte I e parte II. A parte I é representada por uma mola em série com dois amortecedores. Sua definição é dada por cinco constantes viscoelásticas: molas e amortecedores (E∞, Eo , k, h, δ).
A parte II, composta por uma mola, representa o módulo estático (Eo), destinado para quando o material é solicitado em baixas frequências e elevada temperatura (HECK, 2005).
A representação do modelo analógico de Huet-Sayegh é expresso conforme a Equação [4.17].
E* =
4.17] Em que:
E∞ = módulo instantâneo do modelo, obtido quando ωτ tende ao infinito, assim como para as elevadas frequências e para as baixas temperaturas;
E0 = módulo estático, para as situações de baixas frequências e
de elevadas temperaturas;
τ = tempo de relaxação dos amortecedores, o qual é um parâmetro em função do tempo e que se assemelha a um tempo de retardo, variando em função da temperatura; h, k = parâmetros dos elementos parabólicos do modelo, que, para
as misturas asfálticas, estão situados nos intervalos entre 0 < k < h < 1;
i = número complexo, definido por i2 = -1;
δ = constante adimensional, função da natureza do betume e da curva granulométrica; e
ω = pulsação; 2πf, em que f = frequência de solicitação.
A representação no Plano Cole-Cole, do modelo de Huet-Sayegh, permite descrever adequadamente o comportamento das misturas de concreto asfáltico sobre um espectro de frequência e temperatura, tanto com baixa frequência e alta temperatura quanto com alta frequência e baixa temperatura, conforme ilustra o gráfico da Figura 4.15, a seguir.
Figura 4.15 – Modelo complexo no Plano Cole-Cole de Huet-Sayegh (HECK, 2001).
4.4 INFLUÊNCIA DE PARÂMETROS NO COMPORTAMENTO