A translação das curvas isotérmicas pode ser realizada de três maneiras:
Figura 3.20 – Sinais de deformação no pavimento e a superposição dos sinais
4.2 PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS DAS MISTURAS DE CONCRETO ASFÁLTICO
4.3.1 Modelo Reológico no Domínio Temporal
O domínio temporal consiste em solicitar um material com carregamento quase estático em função de um determinado tempo e de uma temperatura que apresentam uma resposta correspondente à fluência ou relaxação.
Segundo OLARD (2003), a relaxação consiste na aplicação de deformação constante do material em função do tempo. Por conseguinte, a resposta observada diminui a tensão ao longo de tempo, conforme é apresentado na Figura 4.3.
Figura 4.3 – Representação de relaxação – comportamento à deformação constante (OLARD, 2003).
A resposta da tensão é expressa na Equação [4.1]:
σ(t) = ε
0R (t
0, t)
[4.1]Em que:
R(t0,t) = função da relaxação em função de tempo;
σ(t) = tensão em função de tempo; e
ε0 = deformação inicial aplicada ao material
Assumindo a hipótese de não envelhecimento de materiais, uma deformação varia em função da temperatura constante e da tensão, ou seja, é a tensão sob aplicação de diversas solicitações de deformações, que pode ser expressa pela Equação [4.2](OLARD, 2003).
σ(t) = ε(t) R(0) +
d
[4.2]Em que:
σ(t) = tensão aplicada em função do tempo; ε(t) = deformação em função de tempo; R(0) = função de relaxação no instante t=0; e τ = tempo de relaxação.
O primeiro termo de Equação [4.2] representa a resposta instantânea, enquanto que o segundo termo representa a resposta do retardo (OLARD, 2003).
O fenômeno da fluência consiste no carregamento instantâneo, resultando em uma resposta elástica instantânea. A aplicação de uma força, mantendo-o constante ao longo de tempo, resulta no escoamento viscoso do material, conforme ilustra a Figura 4.4 (OLARD, 2003; HECK, 2005).
Figura 4.4 – Representação de Fluência – comportamento à tensão constante (OLARD, 2003).
A função da fluência (a resposta da deformação) é expressa pela Equação [4.3], a seguir.
ε(t) = σ
0J(t
0, t)
[4.3]Em que:
J(t0, t) = função da fluência ou retardo;
σ0 = tensão inicial aplicada ao material; e
ε(t) = deformação em função de tempo.
Para o material considerado viscoelástico, o Princípio da Superposição de BOLTZMANN é aplicado, onde a aplicação da deformação em função de tempo ε(t) resulta na soma das respostas de cada solicitação elementar, a qual pode ser expressa pela Equação [4.4].
ε(t) = σ(t)J(0) +
d
[4.4]Em que:
ε(t) = deformação em função de tempo; σ(t) = tensão aplicada em função de tempo; J(0) = função fluência; e
τ = tempo de relaxação.
O primeiro termo de Equação [4.4] representa a resposta instantânea, e o segundo representa a resposta no tempo (OLARD, 2003).
Existem vários modelos físico-matemáticos que imprimem o comportamento analógico usando elementos simples para descrever a reologia viscoelástica de mistura de concreto asfáltico, comparando as suas impedâncias teóricas experimentais, assim como o Módulo Complexo no Plano Cole-Cole e no Espaço de Black. Os modelos de comportamento mecânico mais conhecido na literatura científica que descrevem o comportamento viscoelástico linear das misturas de concreto asfálticos, no domínio temporal, são de MAXWEL, KELVIN- VOIGT e BURGER. Esses modelos são compostos de elementos reológicos simples: as molas (representam a parte elástica – Hookeana) e os amortecedores (representam a parte viscosa - Newtoniana), sendo que o resultante de combinação da mola e do amortecedor constitui um modelo viscoelástico linear (De La ROCHE, 1996; OLARD, 2003; DOGMO, 2005; HECK, 2005; BARRA, 2009):
a) Modelo de Maxwel
O modelo de MAXWEL representa o comportamento reológico simples a partir da combinação em série de uma mola e de um amortecedor, representando um modelo analógico (líquido viscoelástico). Esse modelo consiste em aplicar uma deformação sobre o corpo, resultando na soma da deformação de dois elementos (E, η) iguais tensões (PERRET, 2003).
A Figura 4.5, a seguir, ilustra o modelo de MAXWEL, representado pela combinação de uma mola e um amortecedor linear em série.
Figura 4.5 – Modelo de Maxwell (SAMUEL, 2005).
A Equação [4.5] descreve o modelo reológico de Maxwell, e as Equações [4.6] e [4.7], respectivamente, descrevem a função de fluência J (t) e de relaxamento R (t) desse modelo.
4.5
R(t) = E
4.7 Em que: Ε = deformação; σ = tensão; E = módulo;
Η = constante de amortecedor (viscoso linear); τ = tempo de relaxação (τ = ).
O Módulo Complexo do modelo de Maxwell é representado pela Equação [4.8]. Se τ está em função da temperatura, o princípio de equivalência tempo-temperatura (PETT) é válido (OLARD, 2003).
E*(ω) = E
4.8
Em que:
E* =
Módulo Complexo;ω = pulsação; 2πf, em que f = frequência de solicitação; i = número complexo definido por i2 = -1;
τ = tempo de relaxação dos amortecedores, portanto, um parâmetro em função do tempo que se assemelha a um tempo de retardo, em que o valor varia com a temperatura e
η = constante de amortecedor (viscoso linear) b) Modelo Kelvin-Voigt
O modelo de KELVIN-VOIGT é representado pela combinação de uma mola e de um amortecedor linear. Contrariamente ao modelo de Maxwell, esse modelo (KELVIN-VOIGT) é a combinação dos elementos em paralelo, representando um modelo analógico (sólido viscoelástico). A tensão (σ) é aplicada sobre o corpo, resultando nos elementos E e η, que são as constantes dos elementos elástico, módulo de elasticidade e constante de amortecedor (viscoso linear), respectivamente (BARRA, 2009; OLARD, 2003; SAMUEL, 2005).
A Figura 4.6, a seguir, ilustra o modelo de KELVIN-VOIGT, representado por combinação de uma mola e de um amortecedor linear em paralelo.
Figura 4.6 – Modelo de KELVIN VOIGT (SAMUEL, 2005).
A Equação [4.9], a seguir, descreve o modelo reológico de Kelvin-Voigt, e as Equações [4.10] e [4.11], respectivamente, descrevem a função de fluência J (t) e de relaxação R (t) desse modelo.
4.9
J(t) =
4.10
R(t) = E
4.11Em que:
δ = constante adimensional, função da natureza do ligante asfáltico e da curva granulométrica.
O Módulo Complexo do modelo de Kelvin-Voigt é apresentado conforme a Equação 4.12.
c) Modelo de Burger
O modelo de comportamento reológico de Burger é composto de dois elementos de Maxwell, ligados em paralelo conforme mostra a Figura 4.7 (a), onde também pode ser representado, sob a forma de uma modelo de Maxwell, colocado em série com o modelo de Kelvin-Voigt, conforme ilustra a Figura 4.7 (b) (De La ROCHE, 1996; HECK, 2005 ;LEFEUVRE, 2001).
(a) (b)
Figura 4.7 – Modelo de BURGER (HECK, 2001).
Os Módulos Complexos associados ao modelo de BURGER são dados pela Equação [4.13]:
E*(ω)
=
[4.13]
Muitos autores consideram que o modelo de Burger é adequado para descrever o comportamento de asfalto e é utilizado na realização de cálculos estruturais de pavimento (HUHTALA, 1995; HOPMAN, 1996 apud HECK, 2005). Esse modelo foi ainda estudado por vários autores. Inclusive, De La ROCHE (1996), com relação à comparação à sua impedância teórico-experimental, ao módulo complexo no Plano Cole- Cole, constatou que esse modelo não ajusta satisfatoriamente ao comportamento mecânico de misturas de concreto asfáltico no intervalo do Módulo Complexo no domínio frequencial, conforme o gráfico da Figura 4.8 (De La ROCHE, 1996; HECK, 2005; LEFEUVRE, 2001).
Figura 4.8 – Módulo complexo no plano COLE-COLE do modelo de Burger (De La ROCHE,1996).
d) Modelos generalizados de Maxwell e de Kelvin-Voigt
No que concerne aos modelos de Maxwell e de Kelvin-Voigt, anteriormente descritos, representados por elementos analógicos simples, a associação de uma mola e de um amortecedor é respectivamente colocada em série e em paralelo. Esses modelos não descrevem adequadamente o comportamento complexo de uma mistura de concreto asfáltico, mas podem constituir os elementos de base para associação mais complexas.
Os modelos generalizados de Maxwell e de Kelvin-Voigt são constítuidos de um grupo de n elementos associados em paralelos e em série para permitir a descrição satisfatória do comportamento de misturas de concreto asfáltico, com a condição de que número n mínimo considerável de elementos deve ser igual a 8 (n=8) (OLARD, 2003; MILLARD 2005).
A Figura 4.9, a seguir, representa o modelo analógico generalizado de Maxwell, constituído de n elementos colocados em paralelo, eventualmente, com uma mola e um amortecedor linear.
Figura 4.9 – Modelo de Maxwell generalizado (OLARD, 2003).
A Figura 4.10 representa o modelo analógico generalizado de Kelvin-Voigt, constituído de n elelmentos colocados em série, eventualmente, com uma mola e um amortecedor linear.
Figura 4.10 – Modelo de Maxwell generalizado (OLARD, 2003).