6 Modelo de Qualidade de Água e Eutrofização
6.5 Implementação computacional do modelo de qualidade de água
6.6.1 Modelo de transporte Euleriano
Cn : concentração de OD no tempo t,
4
Cn : concentração de biomassa de fitoplâncton no tempo t,
1
Cn: concentração de Amônia no tempo t e Tn : temperatura no tempo t.
Pode-se observar que as concentrações de OD e da biomassa de fitoplâncton, que ainda não foram calculadas neste intervalo de tempo, precisam ser extrapoladas para o tempo t1 / 2t. A temperatura e a concentração de amônia, que já foram calculadas neste intervalo de tempo, seguindo a sequência mostrada na Figura 6, não precisam ser extrapoladas, e os valores usados correspondem exatamente aos valores calculados. Os demais coeficientes são constantes du-rante a simulação e não se alteram.
6.6
Validação
A validação do código computacional foi feita comparando os resultados numéricos, obtidos pelo modelo, com valores exatos de soluções analíticas. Foram desenvolvidos testes para o MTAD, considerando uma fonte instantânea e uma fonte contínua, fazendo apenas os processos difusivos e depois incluindo a advecção, obtendo-se bons resultados. Para validar os processos de transformação foram realizados dois testes, resolvendo de forma numérica problemas com soluções analíticas conhecidas.
6.6.1 Modelo de transporte Euleriano
Apresenta-se nesta seção comparações de soluções numéricas com soluções exatas para pro-blemas que dispõem de soluções analíticas.
6.6.1.1 Fonte plana instantânea em um canal uniforme com velocidade zero
Este teste corresponde ao lançamento instantâneo de uma quantidade de massa M uniforme-mente distribuída na seção transversal de um canal infinitauniforme-mente longo, alinhado com a direção x. O canal tem uma seção transversal uniforme A. A substância em questão é conservativa e, portanto, não há reações cinéticas. A água no canal está em repouso, logo Ui é zero. Nestas condições, a equação de transporte advectivo-difusivo bidimensional (equação (272)), reduz-se a:
2 xx 2
C C
t D x
(352)
A Figura 37 mostra a geometria do canal considerado, bem como a malha de discretização aplicada. A profundidade do canal é uniforme e igual a 5,0m, resultando em uma seção trans-versal A= 20,0 m2.
Figura 37. Malha usada na discretização do canal. Há 114 elementos e um total de 575 nós igualmente espa-çados ( x = y = 1,0m).
As condições de contorno para este problema constituem na imposição de:
C(x,t)=0 para valores de x tendendo a
Condições iniciais:
C (x = 57,0 m, t=0)=M/(Ax) e
C (x 57,0 m, t=0) = 0,0.
A solução geral para este problema pode ser encontrada em Fischer (1979), e lê-se:
0
2( , ) exp
4 xx 4 xx
x x C x t M
A D t D t
(353) A simulação numérica para este teste utilizou os parâmetros listados na Tabela 18. O lança-mento instantâneo foi feito em x = 57,0m. Evidentemente o canal numérico não é infinito e, consequentemente, não é possível prescrever as condições de contorno teóricas. Foi especifi-cada, como condição de contorno, vazão normal igual a zero em todos os pontos do contorno.
Sendo assim, a simulação numérica concorda com a solução analítica até o instante em que a reflexão nas extremidades do canal se torna significativa.
Tabela 18. Parâmetros usados no modelo numérico.
Parâmetros Valor
Dxx(m²/s) 4,0
t (s) 1,0
Número de Péclet 0,0
Número de Courant 0,0
(Dt/x2): razão entre a difusão física e a numérica 4,0
Para verificar os resultados do modelo, os valores calculados pelo modelo numérico, com e sem interface dissipativa, foram comparados com a solução analítica para a concentração. A inter-face dissipativa tem importante papel em algumas simulações porque os esquemas numéricos usados no modelo de transporte Euleriano são esquemas não dissipativos. Tais esquemas nu-méricos tendem a gerar oscilações numéricas espúrias, as quais precisam ser controladas e re-movidas sem afetar os fenômenos de interesse de larga escala. Maiores detalhes sobre a inter-face usada podem se obtidos em Rosman (2000).
O parâmetro de controle dessa interface dissipativa é IDC = N, onde N é um número inteiro. Se N > 0, a interface é aplicada N vezes em cada intervalo de tempo. Se N = 0, a interface não é aplicada. Se N < 0, a interface é aplicada uma vez a cada N intervalos de tempo.
0m 10m 20m 30m 40m 50m 60m 70m 80m 90m 100m 110m 0m
4m
Figura 38. Comparação entre os resultados do modelo com a solução analítica em diferentes instantes, con-siderando IDC=1.
Os resultados do teste são apresentados na Figura 38. Como pode ser observado da comparação entre os resultados numéricos, obtidos pelo modelo, e a solução analítica, uma boa concordân-cia foi obtida com o uso da interface dissipativa (IDC = 1).
6.6.1.2 Fonte plana em um canal uniforme com escoamento permanente uniforme Estes testes correspondem a uma fonte plana contínua com uma quantidade de massa igual a M, uniformemente distribuída na seção transversal uniforme A posicionada em x = 0,0. A água escoa no canal com uma velocidade constante U. Não foi considerada, para efeito de simulação, qualquer reação cinética, ou seja, a substância é conservativa. Segundo estas condições, a equa-ção de transporte pode ser reduzida a:
2
As condições de contorno do problema são:
C (0, t) = M/(Ax) e
Fluxo normal nulo ao longo das paredes.
As condições iniciais correspondem a:
C (0,0) = M/(Ax) e
C (x0,0)=0,0.
A solução analítica para o problema proposto pode ser encontrada em Fischer (1979) e é dada por:
onde Co é uma concentração de referência.
Tabela 19. Parâmetros utilizados na simulação numérica para uma fonte plana contínua com velocidade uni-forme.
Parâmetros Casos
#1 #2 #3
Dxx(m2/s) 2,0 0,5 1,0
U (m/s) 2,0 4,0 2,5
t (s) 2,0 0,5 1,0
Número de Péclet 1,0 8,0 2,5
Número de Courant 4,0 2,0 2,5
t/x2 = razão entre a difusão física e a numérica 4,0 0,25 1,0
O canal usado para o lançamento é o mesmo do teste anterior, mostrado na Figura 37. Foram desenvolvidos três testes numéricos, usando diversos parâmetros de simulação, observando as-sim os efeitos, sobre a solução numérica, de diferentes coeficientes de difusão para distintas condições hidrodinâmicas do corpo receptor. O objetivo é verificar o comportamento do mo-delo diante de condições adversas como, por exemplo, altos números de Péclet e Courant. Os parâmetros usados estão mostrados na Tabela 19.
O esquema numérico usado no modelo apresenta efeitos de difusão numérica, ou seja, oscila-ções, que são tanto mais importantes quanto menor é a difusão física do problema. Sendo assim, a interface dissipativa foi utilizada para retirar as oscilações numéricas indesejáveis, sem o comprometimento da solução.
Na Figura 39 são mostrados os resultados numéricos obtidos pelo modelo e as soluções analí-ticas, para os diferentes casos, em dois instantes de tempo distintos. Pode-se observar que nos casos #1 e #2 os resultados numéricos apresentam boa concordância com a solução analítica, considerando ou não a interface dissipativa. No entanto, no caso #1 pode-se afirmar que a pre-sença desta interface melhora o resultado numérico, sem provocar abatimento da resposta. No caso #3, a interface trabalha para retirar as oscilações numéricas apresentadas pela solução nu-mérica, melhorando de forma significativa o resultado, sem afetar a resposta do problema (Vin-zon, 1991). Se as oscilações não forem removidas, a solução numérica não é boa, como fica claramente demonstrado no caso #3. Sendo assim, uma estimativa do erro médio quadrático foi realizada considerando os três casos em estudo. O erro médio quadrático pode ser definido como:
2 121
M a
Erro C C dxdy
M
(356)onde CM é a concentração calculada numericamente, Ca é a concentração calculada analitica-mente e M é a massa total de escalar despejado.
Figura 39. Comparação entre os resultados do modelo e as soluções analíticas para os diferentes casos.
A Figura 40 mostra o erro médio quadrático para caso #3, com ou sem a interface dissipativa.
Pode-se observar que o uso da interface diminui o erro médio quadrático ao longo de todo intervalo de simulação, melhorando bastante o resultado numérico (Oliveira et al., 2000). Nos demais casos, os erros médios quadráticos encontrados foram na ordem de 4%, bem inferior ao do caso #3. Nestes casos, a interface dissipativa altera muito pouco o padrão de distribuição dos erros ao longo dos intervalos de simulação, mostrando que a interface criada não compromete a solução numérica, e sim melhora o seu comportamento, removendo as oscilações numéricas espúrias.
Figura 40. Erro médio quadrático para Caso #3 no instante t = 20s.