O problema de transporte é um problema tradicional de PL. Este problema pode ser representado com um modelo matemático linear e ser resolvido mediante o mé- todo simplex, mas devido a sua estrutura especial, foram desenvolvidos métodos mais e cazes para sua resolução.
Estes tipos de problemas são baseados na necessidade de levar unidades de um produto especi co chamado origem até outro ponto chamado destino. Os principais objetivos destes modelos de transporte são a satisfação de todos os requerimentos e a minimização dos custos relacionados às rotas escolhidas. Na Figura 4.2, apresenta-se a modelização mediante grafos para um problema de 2 origens e 3 destinos.
O1 D1 b1 a1 O2 a2 D2 b2 D3 b3 ci,j xi,j
Figura 4.2: Representação de Grafo de um problema de transporte Fonte: Elaboração própria
Como se pode observar na gura anterior, exite um numero xo de unidades (am) em cada origem (Oi, i = 1...m) que devem ser distribuídas a um destino (Dj,
j = 1...n) que tem uma demanda xa delas (bn). Esta distribuição vai gerar um custo
(ci,j) de transporte que vai depender da rota escolhida. O problema é determinar o
número de unidades xi,j que devem a ser movimentadas pelas rotas, gerando o menor
custo e satisfazendo as restrições de oferta e demanda. A formulação linear deste problema é a seguinte:
min z = m X i=1 n X j=1 ci,jxi,j
sujeito a: n X j=1 xi,j ≤ ai i = 1, ..., m m X i=1 xi,j ≥ bj j = 1, ..., n xi,j >= 0 i = 1, ..., m, j = 1, ..., n
As primeiras m restrições, fazem referência às ofertas dos origens que não de- vem ser sobrepassadas. As n seguintes restrições garantem que as demandas dos destinos são satisfeitas. Finalmente se tem que as variáveis de decisão xi,j não podem ser valores
negativos, pois elas representam a quantidade de produto que está sendo transportado. Para que o problema de transporte tenha soluções factíveis é necessário que ele seja equilibrado, ou seja, que a oferta total seja igual à demanda total, ou seja:
m X i=1 ai = n X j=1 bj
Se essa condição não é cumprida é necessário equilibrar o problema introdu- zindo origens e destinos ctícios. No caso em que a oferta é menor do que a demanda:
m X i=1 ai ≤ n X j=1 bj
deve ser criado um origem ctício, Om+1, com uma oferta ctícia, am+1, tal
que: am+1 = n X j=1 bj− m X i=1 ai
e o custo de transporte associado a esse novo origem deve ser:
cm+1,j = 0, j = 1, ..., n
Em alguns casos, o custo pode ter valores diferentes a zero, com a nalidade de expressar, por exemplo, custos associados a penalidade por não satisfazer a demanda.
Já no caso de ter a demanda total menor do que o a oferta total:
n X j=1 bj ≤ m X i=1 ai
deve ser criado um destino ctício, Dn+1, com uma demanda ctícia, bn+1, tal que: bn+1 = m X i=1 ai− n X j=1 bj
e o custo de transporte associado a esse novo origem deve ser:
ci,n+1= 0, i = 1, ..., m
Em alguns casos, este custo pode ter valores diferentes a zero, com a na- lidade de expressar, por exemplo, custos associados à armazenagem das unidades não transportadas.
De forma matricial se tem que a matriz A deste tipo de modelo, vai ter m + n linhas e m × n colunas. A seguir é apresentada a matriz A correspondente ao grafo apresentado na Figura 4.2: A = 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1
Uma característica do problema de transporte, como se pode observar é que a matriz A é uni-modular, isto quer dizer, qualquer submatriz quadrada B do ordem m + n− 1 tem uma determinante com um valor igual a 0, 1 ou -1. A uni-modularidade garante que a solução ótima seja inteira.
Os vetores coluna desta matriz somente têm 2 componentes com valor de 1 e o restos com 0. Para um vetor ai,j da matriz A os valores de 1 estão localizados nas
posições (i, m + j). Conhecendo a informação anterior, o problema de transporte pode ser apresentado de forma compacta em uma tabela de custos. A Tabela de custos 4.1 corresponde ao grafo apresentado na Figura 4.2.
A tabela de custos contém tantas linhas como origens e tantas colunas como destinos tenha o problema de transporte. No interior da tabela são apresentados os custos de transporte associados a cada rota.
Tabela 4.1: Tabela de custos D1 D2 D3 of erta
O1 c1,1 c1,2 c1,3 a1
O2 c2,1 c2,1 c2,3 a2
Para encontrar a solução factível básica existem vários métodos, alguns deles são descritos a seguir:
• Método do canto noreste: este método usa uma tabela de uxos para obter a solução factível básica inicial. Essa tabela é muito semelhante com a tabela de custos, sua diferença consiste que em vez de custos, são apresentadas as quantidades de produtos transportadas desde o origem até o destino. A Tabela 4.2 pode ser observado um exemplo de tabela de uxo para o grafo apresentado na Figura 4.2
Tabela 4.2: Tabela de uxos D1 D2 Dn of erta
O1 X1,1 X1,2 X1,3 a1
O2 X2,1 X2,1 X2,3 a2
Demanda b1 b2 b3
O primeiro passo na procura da solução é selecionar o canto noroeste da tabela de uxos, ou seja, a posição X1,1 e atribuir a esta variável, o maior uxo possível é
dizer que X1,1 = min(a1, b1). Aqui podem-se apresentar dois casos, que o mínimo
seja a1 e portanto, a oferta do origem O1 toma o valor de zero e se apaga a linha
i = 1 em atribuições posteriores e o valor da demanda se atualiza a b1 − a1. No
caso de ser menor o valor de b1, a demanda do destino D1 toma o valor de zero e
se apaga a coluna j = 1 em atribuições posteriores, o valor da oferta se atualiza a a1− b1. Se a1 e b1 tem o mesmo valor, se atualizam tanto a oferta como a demanda
a zero e se apagam a linha i = 1 e a coluna j = 1. Este processo é repetido quantas vezes seja necessário até ter todos os produtos atribuídos.
• Método de Vogel: A diferença entre este método e o anterior é na seleção da variável, pois o método de Vogel usa a tabela de custos (Tabela 4.1) e calcula a diferença em valor absoluto dos dois custos menores das linhas i e das colunas j. Na linha ou coluna que apresente maior diferença é selecionada a variável que tenha o menor custo. Depois, o procedimento é o mesmo usado no método de canto noroeste, atribuindo à variável Xi,j selecionada o maior uxo possível nessa posição,
seguidamente se atualiza o valor de oferta Oi e Dj e repete-se o processo até que
todos os produtos sejam atribuídos.
Esta solução básica factível, na teoria dos grafos, equivale a uma árvore, ou seja, nodos conectados sem formar ciclos, onde se tem m + n − 1 variáveis básicas como é apresentado a seguir:
O1 D1 b1 a1 O2 a2 D2 b2 D3 b3 ci,j xi,j
Figura 4.3: Representação de Árvore de uma solução básica factível Fonte: Elaboração própria
Obtida a solução básica factível, se procede a melhorá-la através da formulação dual do problema de transporte. Tendo o modelo equilibrado:
min z = m X i=1 n X j=1 ci,jxi,j sujeito a: n X j=1 xi,j = ai i = 1, ..., m m X i=1 xi,j = bj j = 1, ..., n xi,j >= 0 i = 1....m, j = 1, ..., n
e denotando as variáveis duais como u1, ..., um e v1, ..., vn, o problema dual
associado pode ser escrito como:
max w = m X i=1 aiui+ n X j=1 bjvj sujeito a: ui+ vj ≤ ci,j i = 1....m, j = 1, ..., n ui, vjsem restrição i = 1....m, j = 1, ..., n
Partindo do problema dual é preciso calcular o valor indicador associado das variáveis não básicas:
sendo, cB· B−1 é o vetor das variáveis duais:
cB· B−1 = (u1, ..., um, v1, ..., vn)
onde:
zi,j − ci,j = (u1, ..., um, v1, ..., vn)∗ ai,j − ci,j
Lembrando que o vetor ai,j só tem componentes com valor 1 nas posições
(i, m + j)e o resto de componentes são zero, se tem:
zi,j− ci,j = ui+ vj − ci,j
Conhecendo que zi,j − ci,j = 0 para todas as variáveis Xi,j básicas e que na
base existam m + n − 1 incógnitas, m + n − 1 equações do tipo ui + vj − ci,j = 0 e
m + n incógnitas u1, ..., um, v1, ..., vn, pode-se calcular todos os indicadores, levando em
consideração que:
• ci,j ≤ 0 a solução é ótima.
• zi,j− ci,j ≥ 0 a solução pode ser melhorada mais uma vez, fazendo entrar à base, a
variável com o maior valor positivo de zi,j − ci,j
A entrada de uma nova variável na base provoca um desiquilíbrio na quantidade de unidades tanto da oferta quanto da demanda, então se deve proceder a balancear novamente as tabelas e assim sucessivamente até obter a solução ótima.
5 Modelo de otimização do transporte do Gás Natural
Como foi dito no Capítulo 4, os problemas de transporte são resolvidos como problemas especiais de PL. Devido a sua estrutura particular se tem desenvolvidos algo- ritmos próprios mais e cientes que o método simplex para sua resolução. No entanto, a PL pode ser utilizada na resolução dos problemas de transporte quando se tem modelos com restrições adicionais complexas.
Quando são introduzidas restrições adicionais nos modelos de transporte, a uni modularidade da matriz de coe cientes A se perde, por conseguinte, agora se têm valores diferentes de zeros e uns nesta matriz. Deste modo, já não pode-se garantir uma solução inteira viável para o problema.
Devido a que o modelo de otimização do transporte do GN contem restrições adicionais, não pode ser considerado como um problema de transporte e deve ser resolvido usando PLI.