Uma importante quest˜ao sobre o estudo da evolu¸c˜ao e propaga¸c˜ao das r´adio fontes ´e determinar quando o seu comportamento pode ser tido como sendo auto-similar, ou seja, determinar de os parˆametros evolutivos da fonte seguem uma lei de potˆencia simples. De acordo com Falle (1991) e Komissarov & Falle (1998) a propaga¸c˜ao da fonte inicialmente
CSO
MSO
LSO
Figura 2.13: Neste cen´ario evolutivo as fontes come¸cariam como fontes compactas (CSOs) evoluiria passando por seus tamanhos m´edio (MSOs) e terminariam finalmente em fontes extensas (LSOs).
CSO
MSO
LSO
Figura 2.14: Neste cen´ario as fontes tanto podem evoluir como tamb´em podem se man- terem confinadas em seu tamanhos.
n˜ao ´e auto-similar, o que acontece apenas quando seu comprimento atinge um certo valor critico.
Nessa se¸c˜ao apresentaremos uma breve revis˜ao dos principais modelos anal´ıticos auto- similares para a propaga¸c˜ao das r´adio fontes extragal´acticas.
Carvalho & O’Dea (2002a) propuseram que os modelos anal´ıticos para r´adio fontes extragal´acticas podem ser divididos basicamente em trˆes principais categorias ou tipos; Tipos I, II e III. Uma das propriedades comum a todos os modelos ´e a dependˆencia tempo- ral das principais quantidades f´ısicas que caracterizam a expans˜ao da fonte. Uma hip´otese comum a todos os tipos ´e que a cabe¸ca do jato avan¸ca em equil´ıbrio de press˜ao com o
g´as ambiente. Nesses modelos, segundo Begelman & Cioffi (1989), a energia cinem´atica do jato ´e depositada em seu ponto terminal, a cabe¸ca, e esse material acaba inflando e formando o casulo superpressurizado.
O modelo mais simples ´e o Tipo I (Begelman & Cioffi 1989), em que o jato avan¸ca com velocidade constante em uma atmosfera de densidade tamb´em constante. Isso ´e conseguido supondo que a press˜ao na cabe¸ca do jato se mant´em constante e que o ˆangulo de abertura do jato ´e igual a zero. No modelo Tipo II a densidade ambiente varia com d−2, mas devido ao ˆangulo de abertura do jato n˜ao ser igual a zero, e sim variar com t2
acaba havendo uma certa compensa¸c˜ao que faz com que a velocidade de avan¸co da cabe¸ca do jato permane¸ca constante (Daly 1990). O modelo mais geral ´e o Tipo III, que assume uma lei de potˆencia na distribui¸c˜ao da densidade do meio ambiente com um expoente arbitr´ario δ. Nesse modelo, a suposi¸c˜ao b´asica ´e que a cabe¸ca do jato avan¸ca de maneira tal que a raz˜ao entre a press˜ao global no casulo e na cabe¸ca permane¸ca constante (Falle 1991 e Begelman 1996). Todos os parˆametros desse modelo variam com o tempo de forma que dependem do expoente δ.
Os trˆes tipos s˜ao independentes no sentido de que nenhum corresponde a um caso especial do outro. Por exemplo, para δ = 0 o modelo Tipo III n˜ao se reduz ao modelo Tipo I. E ainda para δ = 2, o modelo Tipo III tamb´em n˜ao se reduz ao modelo Tipo II.
A ´unica diferen¸ca entre os modelos Tipo III e Tipo II para δ = 2 ´e o comportamento do
casulo que muda devido a varia¸c˜ao da densidade externa em cada modelo.
Partindo da hip´otese de equil´ıbrio de press˜ao entre a cabe¸ca do jato e a press˜ao “ram” temos que Ph = Pram e tomando Pram ∼ρvh2, temos que Ph = ρvh2 de onde podemos obter
uma express˜ao para a velocidade de avan¸co da cabe¸ca do jato vh dada por
vh ∼
µ Ph
ρ ¶1/2
. (2.1)
J´a a press˜ao na cabe¸ca, dada por Begelman (1996), ´e Ph =
Lj
Ahvj
. (2.2)
De posse dessas express˜oes e das suposi¸c˜oes citadas acima, passaremos agora a detalhar cada um dos trˆes tipos de modelos auto-similares.
Modelo Tipo I
O modelo Tipo I foi proposto e desenvolvido por Begelman & Cioffi (1989), Loken et al. (1992), Cioffi & Blondin (1992) e Nath (1995). Neste caso assume-se que os parˆametros
do modelo, tais como, a luminosidade do jato Lj, a velocidade de avan¸co do jato vj e a
densidade do meio ρ s˜ao constantes, e ainda, que a ´area transversal do jato Aj ´e igual
a ´area da cabe¸ca Ah de forma que Aj = Ah = constante. A Figura 2.15, extra´ıda de
Begelman & Cioffi (1989), mostra um esquema do modelo tipo I.
Figura 2.15: Esquema do modelo tipo I. Figura extra´ıda de Begelman & Cioffi (1989).
Desse modo da equa¸c˜ao (2.1) temos que a velocidade de propaga¸c˜ao da cabe¸ca vh ´e
constante. Partindo novamente da hip´otese de equil´ıbrio entre as press˜oes, podemos obter uma express˜ao para a expans˜ao lateral da fonte. Neste caso, a press˜ao interna ´e a press˜ao exercida pelo casulo Pc. A press˜ao no casulo ´e igual a press˜ao “ram” lateral. Desse modo
temos que Pc = ρvc2. A press˜ao no casulo tamb´em pode ser obtida considerando-se que
ela ´e da ordem da energia depositada pelos jatos durante todo o tempo de vida da r´adio fonte, dividido pelo volume do casulo. Dessa forma a express˜ao para a press˜ao no casulo fica:
Pc=
Ljt
Vc
. (2.3)
O volume do casulo ´e dado por:
onde o comprimento zh = vht e a ´area do casulo ´e:
Ac= πrc2. (2.5)
Substituindo a equa¸c˜ao (2.5) e t = zh/vh na equa¸c˜ao (2.3) obtemos a seguinte express˜ao:
Pc =
Lj
Acvh
. (2.6)
Da equa¸c˜ao (2.6) e usando a express˜ao Pc = ρvc2, obtemos:
vh ≈
Lj
Acρvc2
. (2.7)
Substituindo vc= rc/t em (2.7) e usando a express˜ao (2.5) teremos:
vh ≈
Ljt2
A2 cρ
. (2.8)
Da equa¸c˜ao (2.1), temos que vh ´e constante e para que isso seja verdadeiro, ´e necess´ario
que em (2.8) Ac ∝ t. Desse modo, das equa¸c˜oes acima, podemos tirar as seguintes
conclus˜oes para o modelo Tipo I: a velocidade da cabe¸ca do jato ´e constante; a ´area do casulo ´e proporcional a t; o comprimento da fonte ´e proporcional a t; o volume do casulo ´e proporcional a t2; a press˜ao no casulo ´e proporcional a t−1; a press˜ao na cabe¸ca ´e constante
e a raz˜ao entre as press˜oes da cabe¸ca e do casulo ´e proporcional a t (ver Tabela 2.1). Modelo Tipo II
Analisaremos agora como os parˆametros f´ısicos das r´adio fonte variam com rela¸c˜ao ao tempo para o modelo Tipo II proposto por Daly (1990). Nesse modelo, a densidade do meio ambiente externo varia segundo d−2, onde d ´e a distˆancia radial ao objeto central,
ou seja, ρ ∝ d−2 e A
h ∝ d2. Dessa forma, o produto entre a densidade do meio e a ´area
da cabe¸ca ´e constante.
A massa acumulada pela frente de choque na cabe¸ca do jato ´e dada por dM
dt = vhAhρ (2.9)
onde vh ´e a velocidade da frente de choque, Ah ´e a ´area da frente de choque e ρ ´e a
densidade do g´as no ambiente da frente de choque. A velocidade da frente de choque pode ser escrita como vh = dzdth e a taxa de varia¸c˜ao de massa ´e dada por:
dM dzh
A energia total W na onda de choque pode ser escrita na seguinte forma: W = 3 4 Z v2 hdM. (2.11)
Esta equa¸c˜ao sugere que a energia na onda pode ser escrita como
W = ǫM vh2 (2.12)
onde ǫ ´e uma fra¸c˜ao da ordem de 1. Finalmente, a velocidade da cabe¸ca pode ser obtida de
v2h = W
ǫM (2.13)
onde M ´e obtida pela integra¸c˜ao da equa¸c˜ao (2.9).
A energia da onda de choque ´e W = Ljt sendo a potˆencia do jato Lj constante.
Al´em disso, como estamos supondo que o produto ρAh que aparece em (2.10) tambem ´e
constante, resulta que a velocidade da cabe¸ca ´e dada por:
vh = µ Lj ǫAhρ ¶1/3 . (2.14)
Para calcular a expans˜ao lateral do casulo Daly sup˜oe que a varia¸c˜ao da densidade do meio ambiente na dire¸c˜ao perpendicular ao eixo do jato ´e muito menor que aquela ao longo do eixo de simetria do jato e pode, portanto, ser considerada constante. Isto ´e
verdade uma vez que o raio do casulo rc´e bem menor que zh.
Procedendo como antes, pode-se obter vc=
drc
dt ∝r
−1
c (2.15)
e portanto rc ∝ t1/2 e vc ∝ t−1/2. Para as outras quantidades temos que a velocidade
da cabe¸ca vh ´e constante e o tamanho da fonte ´e dado por zh ∝ t. A press˜ao na cabe¸ca
do jato ´e proporcional a t−2 e no casulo ela ´e proporcional a t−1. Um resumo destas
propriedades pode ser encontrado na Tabela 2.1 Modelo Tipo III
O modelo Tipo III foi proposto por Falle (1991), Begelman (1996), Kaiser & Alexander (1997) e Komissarov & Falle (1998). Este modelo ´e mais geral e assume que a densidade
do meio externo, varia de acordo com uma lei de potˆencia com um expoente arbitr´ario δ, ou seja, ρ ∝ d−δ, onde d ´e a distˆancia ao objeto central. A hip´otese b´asica do modelo ´e
que a raz˜ao entre a press˜ao na cabe¸ca e no casulo ´e constante, de maneira que: Ph Pc = ρv 2 h ρv2 c . (2.16)
Segundo Begelman (1989) temos que vh ≃ zth e vc ≃ rtc. Substituindo em (2.16) e
chamando de η a raz˜ao entre as press˜oes, obtemos:
zh ≃η1/2rc. (2.17)
Substituindo (2.17) em (2.4) e levando o resultado a (2.3), obtemos a seguinte express˜ao: Pc =
ηLjt
z3 h
. (2.18)
Sabendo que Ph = ηPc e substituindo (2.18) em (2.17) em (2.1), temos:
vh2 ≃ η 2L jt ρz3 h . (2.19)
Como vh ≃ zth, podemos substituir em (2.19) e obter uma express˜ao para t em fun¸c˜ao de
zh, ou seja,
t = zh5/3ρ1/3L−1/3
j η−2/3. (2.20)
Em (2.20) Lj e η s˜ao constantes e como ρ ∝ d−δ, resulta que t ∝ z
5−δ 3
h , ou seja, zh ∝t
3 5−δ.
Sendo assim, das equa¸c˜oes acima, podemos obter de que forma os parˆametros f´ısicos
variam para o modelo Tipo III: vh ∝t
δ−2 5−δ; Ac∝t δ+4 5−δ; Pc∝t− δ+4 5−δ; rc∝t 3 5−δ; Ph ∝t− δ+4 5−δ e Ph
Pc = constante (ver Tabela 2.1).
Modelos mais recentes para a evolu¸c˜ao das r´adio fontes foram propostos por Carvalho
(1985, 1994, 1998) e Lima, Carvalho & O’Dea (2007). Este ´ultimo correspondendo a um
modelo anal´ıtico que generaliza os modelos Tipo I, II e III encontrados na literatura. Na ´epoca da publica¸c˜ao do referido trabalho (Lima Carvalho & O’Dea 2007) nossa maior dificuldade era modelar fontes desde seus tamanhos compactos at´e o tamanho de fontes extensas, usando a suposi¸c˜ao de auto-similaridade, devido `a varia¸c˜ao na densidade am- biente. Um outro problema era que n˜ao sab´ıamos como calcular a varia¸c˜ao na ´area da cabe¸ca do jato ao longo de sua evolu¸c˜ao. Parte do trabalho desta tese ´e apresentar um modelo anal´ıtico auto-similar simples para a evolu¸c˜ao das r´adio fontes extragal´acticas que consegue solucionar os problemas referidos acima (ver Cap´ıtulo 3).
Tabela 2.1: Modelos Tipo I, II e III
Tipo I Tipo II Tipo III
densidade ρ constante d−2 d−δ
velocidade da cabe¸ca vh constante constante t
δ−2 5−δ
´area da cabe¸ca Ah constante t2 t
δ+4 5−δ
tamanho da fonte zh t t t
3 5−δ
press˜ao na cabe¸ca Ph constante t−2 t−
δ+4 5−δ raio do casulo rc t1/2 t1/2 t 3 5−δ press˜ao no casulo Pc t−1 t−1 t− δ+4 5−δ Ph Pc t t −1 constante