Modelos baseados na ideia de precedência

Nos modelos baseados na ideia de precedência, existem variáveis que indicam em qual doca cada carga deve ser processada e variáveis que determinam a relação de precedência entre as cargas processadas em uma mesma doca. Essa relação de precedência é estabelecida através de restrições disjuntivas modeladas com um big-M que, geralmente, piora a qualidade das relaxações lineares para a obtenção de limitantes duais em métodos do tipo Branch and Cut.

∙ Modelos de precedência para uma doca

O único modelo de precedência foi proposto porYu e Egbelu(2008) para a ordenação de cargas com uma doca destinada exclusivamente ao descarregamento e outra para o carregamento.

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O problema modelado consiste em obter uma sequência em que as cargas de entrada e de saída devem ser processadas tal que o makespan seja mínimo. Para a modelagem, os autores consideram o tempo de processamento proporcional à quantidade de produtos, o tempo de troca entre duas cargas consecutivas, o tempo de transferência da doca de entrada para a doca de saída e uma área de estoque temporário com capacidade ilimitada. Para a modelagem Problema de roteamento de veículos com programação do cross-dock - VRCDSPdas decisões relacionadas à ordenação das cargas de entrada e de saída, são definidas restrições disjuntivas para todo par de cargas de entrada e de saída respectivamente, enquanto que, para a modelagem das restrições de conexão, são definidas restrições disjuntivas para cada par de carga considerando uma carga de entrada e outra carga de saída, além das restrições que determinam as transferências. Três tipos de variáveis binárias são definidos que, juntamente com as restrições disjuntivas, estabelecem a relação de precedência por meio dos instantes de tempo que são representados por variáveis contínuas. Os autores também propõem heurísticas para resolver o problema combinando três estratégias de seleção para a ordenação das cargas. Para avaliar as heurísticas são geradas instâncias randomicamente para diferentes quantidades de cargas de entrada e de saída e de tipos de produtos classificadas como pequenas e médias. A qualidade das soluções heurísticas são avaliadas através das soluções ótimas encontradas usando um método de enumeração completa.

Apesar de não terem outros modelos de precedência na literatura para o problema abordado por Yu e Egbelu(2008), existem trabalhos nos quais são propostos outros métodos para resolvê-lo.Vahdani e Zandieh(2010) desenvolveram cinco meta-heurísticas com as quais são realizados testes usando as mesmas instâncias apresentadas emYu e Egbelu(2008) e outras 25 instâncias geradas pelos autores com quantidade maiores de cargas de entrada e de saída. Os resultados com a resolução destas instâncias mostram que as meta-heurísticas propostas em geral fornecem soluções com menor makespan apresentado pelas soluções encontradas pelas heurísticas propostas porYu e Egbelu(2008). EmArabani, Ghomi e Zandieh(2011) também são desenvolvidas cinco meta-heurísticas, cujos parâmetros são configurados pelo método de Taguchi, e testes são realizados com nove diferentes conjuntos de instâncias geradas randomicamente pelos autores.Arabani, Ghomi e Zandieh(2011) conseguem resultados melhores ao compararem com as heurísticas propostas emYu e Egbelu(2008).

∙ Modelos baseados na ideia de precedência para múltiplas docas

Li, Lim e Rodrigues(2004) foram os primeiros a apresentarem um modelo baseado na ideia de precedência para o problema de ordenação e de designação de cargas com múltiplas docas. A abordagem é baseada no problema de programação de máquinas paralelas. O problema é determinar a sequência de processamento das cargas considerando prazos para o processamento de cada carga de forma a minimizar o tempo total de atraso e de antecipação no descarregamento e no carregamento. As restrições de conexão, diferentemente deYu e Egbelu(2008), não incluem restrições disjuntivas pelo fato do problema admitir que as transferências das cargas de entrada

necessárias para consolidar as cargas de saída são conhecidas e, consequentemente, as relações de precedência entre cargas de entrada e cargas de saída também são conhecidas. Dois tipos de variáveis binárias com dois índices são definidos. Uma variável que indica a doca em que a carga deve ser processada, isto é, yikassume o valor um se a carga i é processada na doca k e zero para

o caso contrário. E outra que indica a precedência imediata entre duas cargas, isto é, xi j é igual a

um se a carga i precede imediatamente a carga j e igual a zero para o caso contrário. No mesmo trabalho, é proposta uma reformulação do modelo redefinindo as variáveis binárias que indicam a precedência imediata como variáveis de três índices que indicam precedência não imediata, isto é, I_{i jk}é igual a um se a carga i precede (não imediatamente) a carga j na doca k e é igual a zero para o caso contrário. A variável y_ikpermanece inalterada na reformulação. A reformulação proposta reduz a quantidade de restrições. Além disso, nesse mesmo trabalho também são propostas duas meta-heurísticas para resolver instâncias que foram geradas e cujas soluções são comparadas com as soluções obtidas pela resolução do modelo utiizando o CPLEX . Para o mesmo problema abordado emLi, Lim e Rodrigues(2004),Alvarez-Perez, González-Velarde e Fowler(2009) propõem uma meta-heurística híbrida combinando GRASP e Busca Tabu a partir da qual foram obtidos melhores resultados.

Em Chen e Song(2009), o problema abordado é interpretado como um problema de programação de máquinas paralelas em dois estágios, onde o primeiro estágio representa o descarregamento, o segundo representa o carregamento e as tarefas representam o processamento das cargas. O objetivo do problema é determinar a sequência para o processamento das tarefas (cargas) que minimize o makespan, respeitando as relações de precedência conhecidas entre as tarefas (cargas). Análogo ao modelo reformulado emLi, Lim e Rodrigues(2004), as restrições que determinam as transferências não são necessárias e as variáveis e as restrições disjuntivas são similares, mas os autores escrevem o modelo de forma compacta por usar o índice que indica o estágio e pelas restrições serem similares nos dois estágios. Também foram desenvolvidas heurísticas que foram avaliadas ao resolver instâncias pequenas e grandes. Para as instâncias pequenas, as soluções fornecidas pelas heurísticas são comparadas com as soluções obtidas ao resolver o modelo pelo CPLEX e, para as instâncias grandes, as soluções heurísticas são comparadas com um lower bound, cujo cálculo é proposto pelos autores.

Belle et al.(2013) eAssadi e Bagheri(2016) apresentam modelos similares sob deter- minados aspectos. Nestes dois trabalhos, são abordados problemas que consideram diferentes tempos para as transferências que dependem das docas de entrada e de saída. As decisões de designação e de ordenação são modeladas usando variáveis e restrições parecidas que formulam a relação de precedência (não imediata) e consideram janelas de tempo dentro das quais as cargas devem ser processadas. No entanto, os autores admitem que as janelas de tempo podem ser violadas gerando atraso ou antecipação. A diferença entre eles é que, no problema abordado porBelle et al.(2013), as transferências entre as cargas de entrada e de saída são conhecidas e o objetivo é minimizar a soma do tempo total para as transferências com o tempo total de antecipação e de atraso, enquanto que, no problema abordado porAssadi e Bagheri(2016), as

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transferências fazem parte das decisões do problema e o objetivo é apenas minimizar o tempo total de antecipação e de atraso.

Assim comoAssadi e Bagheri(2016),Joo e Kim(2013) consideram as decisões de trans- ferências, mas sem contabilizar o tempo para o transporte interno entre as docas de entrada e de saída. O modelo é descrito com variáveis binárias análogas ao modelo reformulado apresentado emLi, Lim e Rodrigues(2004), mas, da maneira como as restrições são definidas, as variáveis indicam precedência imediata entre as cargas. O objetivo é a minimização do makespan. Os autores consideram que alguns veículos entregam e coletam cargas. Também apresentam duas meta-heurísitcas (algoritmo evolutivo e algoritmo genético) que são avaliadas considerando dois operadores de mutação por meio de testes com instâncias geradas pelos autores e classificadas em pequenas e grandes. As soluções fornecidas pelas meta-heurísitcas para as instâncias pequenas foram comparadas com as soluções ótimas encontradas ao resolver o modelo usando o CPLEX. Uma comparação entre os métodos propostos é apresentada ao resolver as instâncias grandes que estão divididas em quatro grupos de acordo com a quantidade total de cargas (cargas de entrada e cargas de saída).