Modelos de estimação da volatilidade condicional

No modelo de volatilidade histórica, considera-se como pressuposto a homocedasticidade, isto é, volatilidade constante para todos os possíveis valores das variáveis preditoras ou qualquer intervalo de tempo de uma série temporal (WOOLDRIDGE, 2011). Porém, há casos em que a volatilidade é considerada constante apenas para certos intervalos de tempo ou certas variáveis, podendo reproduzir seu comportamento no futuro, que é o caso dos modelos de médias móveis (Exponential Weight Moving Average – EWMA), em que a última observação recebe maior peso, sendo que os pesos associados às observações anteriores declinam exponencialmente (BROOKS, 2008). Mas, de modo geral, os modelos de volatilidade histórica atribuem pesos iguais aos retornos de uma série, o que faz com que os eventos ocorridos há mais tempo tenham o mesmo grau de influência dos eventos mais recentes.

Sendo assim, surgem os modelos de volatilidade condicional, em que a volatilidade dinâmica é uma função determinística do quadrado das inovações passadas e das variâncias condicionais defasadas. Como Ding (2011) afirma, os modelos econométricos tradicionais que trazem a suposição de que a variância é independente e constante não são adequados para mudanças de preços do mercado financeiro. Daly (2008) confirma isso, ao expor que, na prática, as evidências empíricas têm mostrado que a volatilidade dos retornos dos ativos varia no tempo e que não apresentam distribuição normal. Com isso, surge o modelo Autoregressive Moving Average (ARMA), em que o foco é projetar médias futuras condicionadas por valores passados, sendo que os demais momentos são invariantes ao longo do tempo.

A estruturação de tal modelo serviu como base para o surgimento de outro grupo, os da classe ARCH, foco deste estudo e, por isso, apresentado de maneira mais detalhada aqui. Engle (1982) propôs esse modelo, considerando que a variância de uma série temporal

modifica-se ao longo do tempo, de forma condicional aos erros de previsão do passado. Logo, surge o conceito de volatilidade condicional. Além disso, o diferencial desse modelo é a possibilidade de capturar aglomerados de volatilidade que outros processos estocásticos não eram capazes de capturar. Enders (2010) ainda pontua que a questão central desse tipo de modelagem é que os erros não são independentes, estando correlacionados por meio do seu segundo momento.

A volatilidade segue um processo autorregressivo que resulta em erros condicionalmentes heterocedásticos, isto é, se o resíduo gerado no período anterior é muito maior, ou mais próximo de zero, então, quando elevado ao quadrado, resulta em grande/pequena variância do erro, fazendo com que a variância se altere ao longo da série. Observa-se, então, que o retorno se apresenta não correlacionado serialmente, porém a volatilidade (variância condicional) depende de retornos passados por meio de uma função quadrática (ENDERS, 2010).

Bollerslev (1986) melhorou o modelo ARCH ao propor que a volatilidade condicionada fosse função não apenas dos quadrados dos erros passados (!!

!!!), mas também dos seus próprios valores passados (!_!!!! _{), passando os modelos assim construídos a serem} denominados Generalized ARCH (GARCH):

Hamilton (1994) afirma que, enquanto o ARCH pode ser visto como um processo autorregressivo – AR – de ordem “q”, o GARCH inclui também os componentes de médias móveis (MA), de ordem “q”, sendo então um modelo de ordem “p,q”, para a modelagem de variâncias heterocedásticas.

Insta salientar que, apesar de o modelo GARCH (p,q) captar corretamente diversas características observadas nas séries temporais financeiras, como a leptocurtose e o agrupamento de volatilidades, ele não capta o efeito de alavancagem (BROOKS, 2008). Esse efeito traz como informação a ideia de que choques positivos e negativos tendem a ter impactos diferentes sobre a volatilidade, isto é, períodos de quedas nos preços são frequentemente seguidos por períodos de intensa volatilidade, enquanto que em períodos de alta nos preços a volatilidade não é tão intensa (SILVA; SÁFADI; CASTRO JÚNIOR, 2005).

Ding (2011) afirma que o modelo GARCH não pode explicar a correlação negativa entre as flutuações no retorno das ações. Isso ocorre já que a variância condicional é uma função do quadrado dos resíduos defasados, não dependendo, portanto, dos seus sinais. Além disso, o modelo GARCH assume que todos os coeficientes são maiores do que zero, o que também torna sua aplicação difícil.

Sendo assim, foram surgindo algumas especificações do modelo GARCH, por exemplo, o Exponential GARCH - EGARCH, proposto por Nelson (1991), que permite a inserção de efeitos assimétricos entre retornos positivos e negativos dos ativos através do uso do logaritmo, ou seja, o efeito dos choques é exponencial, e não quadrático.

Dentre vários outros modelos advindos da família ARCH, Ding, Granger e Engle (1993) trouxeram, por fim, o modelo APARCH, que consegue expressar as caudas pesadas, excesso de curtose e efeitos de alavancagem. Freitas e Sáfadi (2015) afirmam que esse modelo é um dos mais promissores da família ARCH por ser uma generalização de outros sete modelos da família.

Além desses modelos apresentados, a família ARCH ainda deu origem a vários outros, como o TARCH, Integrated ARCH (IGARCH), Fractionally Integrated GARCH (FIGARCH), Multiplicative ARCH (MARCH), Non-linear ARCH (NARCH), GED-ARCH, AARCH, SWARCH, STARCH, CESGARCH, entre outros. De maneira geral, o quadro 4 resume alguns dos modelos da família ARCH descritos.

Quadro 4 – Resumo dos modelos da família ARCH

Modelo Autores (ano) Equação Características

ARCH Engle (1982) !!= !!!!; ! !!!= ! + !! !

!!!

!!!!! ;

Utiliza uma função quadrática dos desvios (“inovações”) em torno da média para estimação da volatilidade, com base nos retornos defasados em m ordens. GARCH Bollerslev (1986) !! !_{= ! + !} ! ! !!! !_!!!! _{+ !} ! ! !!! !_!!!! _;

Generalização do modelo ARCH. Incorpora a própria volatilidade condicional defasada no tempo como forma de diminuir a alta ordem exigida no modelo ARCH.

EGARCH Nelson (1991) ln (!!!) = ! + !! !_!!! + !_!!_!!! !!!! ! !!! + !! ! !!! !" !!!!! ;

Desenvolvido de forma a ultrapassar algumas restrições do modelo

GARCH. Avalia se choques negativos e positivos apresentam impactos diferentes sobre a volatilidade condicional de um período à frente.

APARCH Ding, Granger e Engle (1993) !_!! _{= ! + !} ! ! !!! ( !_!!! − !_!!_!!!)! + !_! ! !!! !_!!!!

O modelo oferece uma forma geral em que a potência da equação da variância condicional também é estimada. Além disso, permite verificar a existência do efeito alavancagem, assim como o GJR-

GARCH. Sua especificação abrange

pelo menos outros sete modelos da família ARCH, o que o torna muito promissor.