Primeiramente, definimos um modelo pertencente `a fam´ılia exponencial que explica o termo generalizado. Em seguida, apresentamos os modelos lineares dinˆamicos generalizados.
Sejam Y1, · · · , YT vari´aveis aleat´orias cont´ınuas (ou discretas). Para cada t, t = 1, · · · , T ,
Yt ´e dita pertencer a fam´ılia exponencial se sua func¸˜ao de densidade de probabilidade (func¸˜ao
de probabilidade) pode ser escrita como
p(yt | ηt, φt) = exp{φt[Ut(yt)ηt− a(ηt]}b(yt, φ−1t ), (3.3)
tais que ηt ´e o parˆametro natural, φt ´e o parˆametro de precis˜ao e, em geral, Ut(yt) = yt. Pode-
se mostrar que E[Ut(Yt)|ηt, φt] = a
0
(ηt) e V ar(Ut(Yt)|ηt, φt) = φ−1t a
00
(ηt). Usaremos Yt ∼
F E(ηt, φt) para representar que Yt tem distribuic¸˜ao na fam´ılia exponencial com parˆametro
Seguindo West e Harrison (1997), suponha o vetor de parˆametros de estado de tamanho K, θt, para t = 1, 2, · · · , T . O modelo linear dinˆamico generalizado para Yt´e definido por
Yt ∼ FE(ηt, φt), (3.4)
g(ηt) = λt = Ft>θt (3.5)
θt = Gtθt−1+ ωt, ωt ∼ [0, Wt] (3.6)
tais que Ft(K × 1) ´e o vetor de regress˜ao dinˆamica, φt ´e a precis˜ao observacional, g(ηt) ´e
uma func¸˜ao real cont´ınua mon´otona de ηt e conhecida, λt = Ft>θt ´e uma func¸˜ao linear de
θt, Gt(K × K) ´e a matriz de evoluc¸˜ao dos estados e Wt(K × K) ´e a matriz de variˆancia da
evoluc¸˜ao, e Yte ωts˜ao mutuamente independentes. Aqui, X ∼ [a, b] representa que a vari´avel
aleat´oria X segue uma distribuic¸˜ao com m´edia a e variˆancia b. As equac¸˜oes (3.4) e (3.5), formam a equac¸˜ao de observac¸˜ao que relaciona as observac¸˜oes Yt ao vetor de estados θt e, a
equac¸˜ao (3.6) ´e a equac¸˜ao de evoluc¸˜ao/sistema/estado que define a evoluc¸˜ao temporal do vetor de estados. Para mais detalhes sobre MLDG veja, por exemplo, West e Harrison (1997).
3.3
Equivalˆencia entre Splines Polinomiais e Modelos
Lineares Dinˆamicos
Na Sec¸˜ao 2.4, apresentamos o resultado de Wahba (1978) da equivalˆencia entre o m´etodo de suavizac¸˜ao por splines polinomiais e a estimac¸˜ao bayesiana sob uma distribuic¸˜ao a priori que envolve um processo gaussiano. Nesta Sec¸˜ao, descrevemos uma extens˜ao deste resultado para a equivalˆencia entre suavizac¸˜ao por splines polinomiais e modelos lineares dinˆamicos, demonstrada por Biller e Fahrmeir (1997).
Considere novamente o problema de suavizac¸˜ao por splines de um modelo de regress˜ao, que consiste em minimizar a soma penalizada dos quadrados dada por
SP Q(f ) = n X i=1 [Yi− f (xi)]2+ λ Z x [f00(x)]2dx, (3.7) onde as observac¸˜oes s˜ao {(xi, yi); i = 1, · · · , n, 0 < x1 < · · · < xn < 1} com parˆametro de
Kohn e Ansley (1987) reescrevem a equac¸˜ao diferencial estoc´astica dada em (2.6) na forma de modelos de espac¸o-estado (equac¸˜oes a diferenc¸as estoc´asticas), propondo um algoritmo baseado no filtro de Kalman e suavizac¸˜ao para um c´alculo eficiente de ˆf .
Para observac¸˜oes na fam´ılia exponencial, apresentada na Sec¸˜ao 3.2, o crit´erio da SP Q pode ser adaptado pelo crit´erio de log-verossimilhanc¸a penalizada que ´e dado por
LP (f ) = n X i=1 log[l(yi | f (ti))] − 1 2λ Z x [f00(x)]2dx, (3.8) tal que a estimativa de f ´e obtida maximizando-se a LP , que leva em conta o ajuste aos dados pelo termo Pn
i=1log[l(Yi | f (ti))] e a penalizac¸˜ao por rugosidade pelo outro termo da ex-
press˜ao. Green e Silverman (1994) mostram que a maximizac¸˜ao do crit´erio (3.8) ´e equivalente a minimizac¸˜ao da SP Q n X i=1 [Yi− f (ti)]2+ α Z x [f00(x)]2dx, (3.9) tal que α = λφ ´e o parˆametro de suavizac¸˜ao com φ sendo o parˆametro de escala comum do modelo (no caso normal φ = σ2). Portanto, a soluc¸˜ao ˆf ´e, ainda, um spline c´ubico. Entretanto, o argumento bayesiano para este crit´erio consiste em que a estimativa ˆf ´e a moda a posteriori, com φ fixado.
Neste contexto, Biller e Fahrmeir (1997) prop˜oem uma abordagem bayesiana completa em modelos aditivos generalizados. Considere as observac¸˜oes Y = (Y1, · · · , Yn) e o vetor de
covari´aveis observadas x = (x1, · · · , xp), com cada xj sendo um vetor de n observac¸˜oes da j-
´esima covari´avel e com x1,j < · · · < xn,j, para j = 1, · · · , p. Suponha que, para i = 1, · · · , n,
Yi segue um modelo na fam´ılia exponencial com m´edia µi = E[Yi | xi] ligada ao preditor
aditivo ηi pela func¸˜ao de ligac¸˜ao adequada h, isto ´e,
µi = h(ηi), com ηi = γ + f1(xi,1) + · · · + fp(xi,p). (3.10)
O crit´erio de LP generalizado para p func¸˜oes de regress˜ao ´e dado por LP (f1, · · · , fp) = n X i=1 log[l(yi | ηi)] − 1 2 p X j=1 λj Z x [fjm(x)]2dx, (3.11) tais que as estimativas ˆf1, · · · , ˆfp s˜ao obtidas pela maximizac¸˜ao deste crit´erio, e s˜ao func¸˜oes
splines polinomiais de grau 2m−1. A constante γ presente na func¸˜ao de ligac¸˜ao ´e para garantia de unicidade dos suavizadores.
Sob o enfoque bayesiano, para j = 1, · · · , p, suponha que a distribuic¸˜ao a priori de fj ´e a
soluc¸˜ao da equac¸˜ao diferencial estoc´astica dmf
j(x)
dxm = σj
dWj(x)
dx , para x > x1j, (3.12) tal que Wj(x) ´e um processo de Wiener padr˜ao com W (x1j) = 0 e s˜ao mutuamente indepen-
dentes. As condic¸˜oes iniciais s˜ao (fj(x1j), f
0
j(x1j), · · · , fjm−1(x1j))0 ∼ Normal(0, kjIm), que
com kj → ∞ torna-se difusa. Desta forma, temos que a estimativa ˆfj obtida pela maximizac¸˜ao
da LP , com λj = 1/(2σj2), ´e o limite da moda a posteriori de fj, quando kj → ∞. Para
completar a especificac¸˜ao bayesiana do modelo, s˜ao atribu´ıdas distribuic¸˜oes independentes a priorinormal para γ e gama invertida para σ2
j.
Baseados nos resultados apresentados em Kohn e Ansley (1987), Biller e Fahrmeir (1997) reescrevem a equac¸˜ao diferencial estoc´astica como uma equac¸˜ao a diferenc¸as estoc´astica para o vetor fj(x1j), · · · , fj(xnj) de avaliac¸˜oes de fj, para j = 1, · · · , p, da forma abaixo
αij = Fijαi−1,j + σjuij, para i = 2, · · · , n, (3.13)
tais que αij = (fj(xij), f
0
j(xij), · · · , fjm−1(xij))> ´e um vetor com dimens˜ao m, para i =
1, · · · , n; matriz de regress˜ao/transic¸˜ao de dimens˜ao l × l dada por
Fij = 1 δij · · · · δijm−1 (m−1)! 0 1 δij · · · δijm−2 (m−2)! . .. ... . .. δij 1 , (3.14)
com δij = xij − xi−1,j; uij s˜ao independentes e tem distribuic¸˜ao normal com m´edia zero e
matriz de covariˆancias Qij, com elementos
Qij(q, r) =
δij2m−q−r+1
(2m − q − r + 1)(m − q)!(m − r)! q, r = 1, · · · , m. (3.15) A equac¸˜ao a diferenc¸as estoc´astica define uma distribuic¸˜ao a priori para a sequˆencia αij, para
i = 1, · · · , n, equivalente a assumida pela especificac¸˜ao da equac¸˜ao diferencial estoc´astica. Portanto, o modelo para as observac¸˜oes Y seguindo uma distribuic¸˜ao na fam´ılia exponen- cial com covari´aveis x1, · · · , xp, especificado pelas equac¸˜oes (3.10) e (3.13) ´e um modelo
Os autores mostram tamb´em que a hip´otese de ordenac¸˜ao das covari´aveis pode ser retirada. Generalizando os modelos dinˆamicos normais, Gamerman e Migon (1993) prop˜oem o mo- delo hier´arquico linear dinˆamico normal que ser´a discutido a seguir.