Modelos Hierárquicos Funcional e Dinâmico

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Modelos Hier´arquicos

Funcional e Dinˆamico

TESE DE DOUTORADO

por

Josiane S. Cordeiro Coelho

Universidade Federal do Rio de Janeiro

Instituto de Matem´atica

Departamento de M´etodos Estat´ısticos

Programa de Pós-Graduação em Estat´ıstica

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Modelos Hier´arquicos Funcional e Dinˆamico

Josiane S. Cordeiro Coelho

Tese de doutorado submetida ao Corpo Docente do Instituto de Matemática - Departa-mento de Métodos Estat´ısticos da Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ, como parte dos requisitos necessários à obtenção do grau de Doutor em Estat´ıstica.

Orientador: Alexandra Mello Schmidt

Rio de Janeiro, RJ - Brasil Junho de 2014

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FICHA CATALOGR ´AFICA

Coelho, Josiane da Silva Cordeiro.

Modelos Hier´arquicos Funcional e Dinˆamico / Josiane da Silva Cordeiro Coelho.

Rio de Janeiro: UFRJ, IM, DME, 2014.

Tese (Doutorado) - Universidade Federal do Rio de Janeiro, IM, DME. 1. Introduc¸˜ao.

2. Modelagem Funcional de Sinais Biomédicos com Estrutura Hierárquica 3. Modelagem Hierárquica Dinâmica de Sinais Biomédicos

4. Modelos Hier´arquicos Robustos e Priori de Referˆencia. (Doutorado-UFRJ/IM/DME) I. Schmidt, Alexandra M. II. IM/UFRJ III. T´ıtulo.

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Modelos Hier´arquicos Funcional e Dinˆamico

Josiane S. Cordeiro Coelho

Tese de doutorado submetida ao Corpo Docente do Instituto de Matemática - Departamento de Métodos Estat´ısticos da Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ, como parte dos requisitos necessários à obtenção do grau de Doutor em Estat´ıstica.

Aprovada por:

Profa_{. Alexandra M. Schmidt.}

Ph.D. - IM - UFRJ - Presidente.

Prof. Dani Gamerman. Ph.D. - IM - UFRJ.

Profa_{. Tha´ıs Fonseca.}

D.Sc. - IM - UFRJ.

Prof. Francisco Louzada. D.Sc. - ICMC - USP.

Prof. Ronaldo Dias. D.Sc. - IMECC - UNICAMP. Rio de Janeiro, RJ - Brasil

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Agradecimentos

Agradeço a Deus por cada oportunidade e experiência vividas, pela força e saúde concedi-das, pela imensa graça e amor que me fazem crescer a cada dia. E, pelos muitos milagres.

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A minha orientadora Alexandra pelo incentivo, conhecimento, dedicação e fraternidade durante todos os meus anos de pós-graduação. Ao meu coorientador Hélio por todo conhe-cimento compartilhado, cordialidade e imenso prazer demonstrados em fazer seu trabalho. A todos os outros professores da pós-graduação do DME pelas diversas contribuições em minha formação acadêmica.

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A Capes pela bolsa concedida durante 4 anos do doutorado. Ao DEMAT/UFRRJ pela colaboração e dispensas que foram necessárias para a conclusão deste trabalho. Aos meus colegas e amigos também deste departamento por todo incentivo.

Ao professor Gauss Cordeiro por me apresentar a func¸˜ao Meijer G a fim de resolver uma integral que surge no Cap´ıtulo 4 desta tese.

Ao meu amado esposo Felipe pela compreensão diária, força nos diversos momentos, ajuda tanto nas tarefas domésticas quanto em aulas, contas e programas, por muitas vezes abrir mão de si mesmo por mim, e pelo amor.

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A minha fam´ılia amada que cresceu mais ainda com a inclusão da fam´ılia do Felipe. Aos meus pais, Josias e Maria, que não consigo dimensionar ou descrever o tanto que fazem por mim, com diversas lutas e conquistas que vivemos juntos. Mãe, valeu a pena brigar para po-der me colocar naquele “Brizolão” onde não aceitavam uma menina de 5 anos na classe de alfabetização. Aos meus irmãos que são companheiros e que foram feitos sob medida para mim, auxiliando em diversas situações, um com todo o seu conhecimento matemático, We-lington, e o outro com sua disponibilidade sem medida, Welton. Aos meus sogros, cunhados, novos avôs que são maravilhosos, tios(as), primos(as), enfim, todos familiares e amigos pelo amor, carinho e compreensão.

Aos meus amigos especiais que fiz no DME/UFRJ, que comecei listando mas voltei atrás porque achei injusto não escrever o nome de todos. Nossos momentos de superação e de diversão levarei para sempre em meu coração e, sei que teremos muitos mais.

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Resumo

Nesta tese, temos interesse na modelagem de um conjunto de sinais estruturados tempo-ralmente e aninhados. Este tipo de modelagem é relevante em diversos problemas como, por exemplo, aqueles envolvendo a análise de sinais biomédicos. Baseados na equivalência entre suavização por splines e modelos dinâmicos, propomos dois modelos distintos a fim de eluci-darmos questões inerentes à doença conhecida como fenômeno de Raynaud (FR), que ocorre devido a espasmos dos vasos sangu´ıneos. Temos dispon´ıvel uma amostra de indiv´ıduos per-tencentes a duas formas diferentes de FR e um grupo de controle. Para cada indiv´ıduo, temos várias séries temporais geradas através de técnicas de imagem infravermelha térmica. Estes sinais representam curvas de temperaturas medidas na ponta dos dedos das mãos, os quais documentam a recuperação térmica de um indiv´ıduo a partir de um estresse térmico (frio) padronizado. Primeiro, consideramos os dados como amostras de curvas de temperaturas, e propomos um modelo hierárquico funcional cuja função média envolve uma expansão por K funções bases B-splines e com estrutura de covariância que permite correlações entre as dife-rentes curvas dos dedos, correlações entre mãos e ao longo do tempo. Nossos resultados trazem várias elucidações interessantes no contexto da doença. Por outro lado, propomos um modelo hierárquico dinâmico que também é capaz de descrever a natureza hierárquica dos dados e as variabilidades dentro e entre as curvas. Mostramos que este modelo sugere diferenciações claras entre os grupos estudados. Motivados por este problema de diferenciação entre gru-pos, exploramos modelos hierárquicos robustos com apenas um único n´ıvel a fim de acomodar poss´ıveis observações discrepantes e/ou grupos discrepantes que levam a mudanças estruturais. Neste contexto, exploramos modelos t-Student e derivamos distribuições a priori de referência para seus graus de liberdade sob diversas parametrizações destes modelos hierárquicos. Para ilustrar o desempenho das distribuições a priori encontradas neste tipo de problema, realiza-mos um estudo simulado e aplicarealiza-mos a dois conjuntos de dados reais, comparando com outras distribuições dispon´ıveis na literatura.

Palavras Chaves: modelos hierárquicos, inferência bayesiana, processos gaussianos, B-splines, modelos hierárquicos dinâmicos, priori de referência, fenômeno de Raynaud.

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Abstract

In this thesis, we are interested in modeling a set of temporally and nested structured sig-nals. This type of modeling is relevant in several problems, for example, those involving the analysis of biomedical signals. Based on the equivalence between smoothing splines and dy-namic models, we propose two distinct models to elucidate issues related to the Raynaud’s phenomenon (RP), a disease that occurs because of spasm of blood vessels. We have avai-lable a sample of individuals belonging to two different forms of RP and a control group. For each individual we have multiple time series generated through thermal infrared imaging techniques. These signals represent fingertip temperature curves documenting the thermal re-covery of an individual from a standardized thermal (cold) stress. First, we consider the data as samples of temperature curves, and we propose a functional hierarchical model where the mean function involves an expansion of K B-splines functions and covariance structure that allows correlations between the different curves of the fingers, correlations between hands and correlations across time. Our results provide several interesting elucidations in the context of disease. Furthermore, we propose a dynamic hierarchical model which is also able to describe the hierarchical nature of the data and variability within and between curves. We show that this model suggests clear differences between the groups. Motivated by this problem of differenti-ating between groups, we explore robust hierarchical models with only a single level in order to accommodate possible outliers and/or disparate groups that lead to structural changes. In this context, we explore Student-t models and derive reference priors to its degrees of freedom under various parameterizations of these hierarchical models. To illustrate the performance of the refrence priors encountered for this kind of problem, we conducted a simulation study and applied to two real data sets, comparing with other prior distributions available in the literature. Key Words: hierarchical model, Bayesian inference, Gaussian processes, B-splines, dyna-mic hierarchical model, reference prior, Raynaud’s Phenomenon.

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Sum´ario

1 Introduc¸˜ao 1

1.1 Modelos Hier´arquicos . . . 5

1.2 Motivac¸˜ao . . . 6

1.2.1 Imagem Infravermelha T´ermica . . . 7

1.2.2 Processamento dos Dados . . . 8

1.3 Organizac¸˜ao do Texto . . . 10

2 Modelagem Funcional de Sinais Biom´edicos com Estrutura Hier´arquica 12 2.1 Dados Funcionais . . . 13

2.2 Splines Polinomiais . . . 14

2.3 Processos Gaussianos . . . 16

2.4 Equivalência entre Suavização por Splines Polinomiais e Processos Gaussianos 17 2.5 Um modelo funcional não-paramétrico hierárquico . . . 19

2.5.1 Modelando a função média . . . 19

2.5.2 Modelando a função de covariância . . . 22

2.5.3 Procedimento de Inferˆencia . . . 26

2.5.4 Comparac¸˜ao de Modelos . . . 27

2.6 An´alise de Dados . . . 29

2.7 Conclus˜ao . . . 41

3 Modelagem Hierárquica Dinâmica de Sinais Biomédicos 43 3.1 Modelos Lineares Dinâmicos Normais (MLDN) . . . 44

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3.3 Equivalˆencia entre Splines Polinomiais e Modelos

Lineares Dinˆamicos . . . 47

3.4 Modelo Hier´arquico Dinˆamico (MHD) . . . 50

3.5 Modelagem Dinâmica de Sinais Biomédicos com Estrutura Hierárquica . . . . 53

3.5.1 Modelando a estrutura de covariˆancia Ωgi . . . 55

3.5.2 Procedimento de Inferˆencia . . . 56

3.6 An´alise de Dados . . . 58

3.6.1 Distribuic¸˜ao Preditiva . . . 68

3.7 Conclus˜ao . . . 71

4 Modelos Hier´arquicos Robustos e Priori de Referˆencia 74 4.1 Modelos Robustos . . . 75

4.2 Priori de Referˆencia . . . 79

4.3 Priori de Referência sob a Distribuição t-Student na Equação da Observação . . 94

4.3.1 Priori de Referência Marginalizando o Modelo em Relação a φ . . . . 95

4.3.2 Priori de Referência Marginalizando o Modelo em Relação a µ . . . . 96

4.3.3 Priori de Referˆencia com Variˆancias Desconhecidas . . . 98

4.4 Priori de Referência sob a Distribuição t-Student na Equação Estrutural . . . 99

4.4.1 Priori de Referência Marginalizando o Modelo em Relação a λ . . . . 100

4.4.2 Priori de Referência Marginalizando o Modelo em Relação a µ . . . . 101

4.4.3 Priori de Referˆencia com Variˆancias Desconhecidas . . . 102

4.5 Priori de referência sob a Distribuição t-Student na Equação de Observação e na Equação Estrutural . . . 103

4.5.1 Priori de Referência Marginalizando em Relação a λ . . . 103

4.5.2 Priori de Referência Marginalizando em Relação a φ . . . 104

4.5.3 Priori de Referência Marginalizando em Relação a φ e a λ . . . 105

4.6 Estudo Simulado . . . 105

4.6.1 Análise dos Resultados sob o modelo com t-Student na equação obser-vacional - apresentado na Seção 4.3 . . . 107

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4.6.2 Análise dos Resultados sob o modelo com t-Student na equação

estru-tural - apresentado na Sec¸˜ao 4.4 . . . 111

4.7 Aplicac¸˜oes . . . 115

4.7.1 Exemplo West (1984) . . . 115

4.7.2 Dados dos Pesos de Ratos . . . 127

4.8 Discuss˜ao . . . 134

A Distribuições Condicionais Completas a Posteriori 144 A.1 Sob o Modelo descrito na Seção 2.5 . . . 144

A.2 Sob o Modelo descrito na Sec¸˜ao 3.5 . . . 147

A.3 Sob os Modelos descritos na Sec¸˜ao 4.6 . . . 149

A.3.1 Sob o Modelo com t-Student na Equação de Observação Marginal em φ 149 A.3.2 Sob o Modelo com t-Student na Equação Estrutural Marginal em λ . . 150

A.4 Sob o Modelo descrito na Seção 4.7.1 com t-Student em Ambas as Equações de Observação e Estrutural . . . 150

A.5 Sob o Modelo descrito na Sec¸˜ao 4.7.2 . . . 152

B Cálculos envolvidos na derivação das distribuições a priori de referência do Cap´ıtulo 4 154 B.1 Sob a Distribuição t-Student na Equação da Observação . . . 154

B.1.1 Marginalizando o Modelo em Relac¸˜ao a µ . . . 155

B.1.2 Supondo as Variˆancias Desconhecidas . . . 156

B.2 Sob a Distribuição t-Student na Equação Estrutural . . . 157

B.2.1 Marginalizando o Modelo em Relac¸˜ao a λ . . . 158

B.2.2 Marginalizando o Modelo em Relac¸˜ao a µ . . . 159

B.2.3 Supondo as Variˆancias Desconhecidas . . . 160

B.3 Sob a Distribuição t-Student em Ambas as Equações de Observação e Estrutural 161 B.3.1 Marginalizando o Modelo em relação a λ . . . 162

C Resultados para Cálculos de Esperanças 164 C.1 Algumas Esperanças . . . 164

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C.1.1 Função Meijer G . . . 164 C.2 Cálculo da esperança Eφ−k(φ−1V + s)−r, para φ ∼ G(ν/2, ν/2) . . . 165

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Lista de Tabelas

2.1 Valores de EPD, DIC e CRPS, e suas respectivas componentes, para cada mo-delo ajustado. Valores menores de D, DIC e CRPS indicam momo-delos melhores.

. . . 31 2.2 Resumo a posteriori, m´edia e limites do intervalo de 95% de credibilidade (em

parênteses), das correlações entre os dedos das mãos de qualquer indiv´ıduo (resumo a posteriori dos elementos da matriz de correlação Γ). . . 33 3.1 Critérios de comparação de modelos: valores do critério da informação da

desviância e suas componentes (DIC) para os modelos M1-M5. A última co-luna mostra os valores do critério do continuous ranking probability (CRPS).

. . . 59 3.2 Resumo a posteriori, m´edia e limites do intervalo de 95% de credibilidade (em

parênteses), das correlações entre os dedos das mãos de um indiv´ıduo genérico (resumo a posteriori dos elementos da matriz de correlação Γ). Resultados obtidos sob o modelo M4. . . 68 3.3 Log-Verossimilhança preditiva avaliada sob cada grupo e para os dois

conjun-tos de validação no procedimento de classificação. O grupo ao qual o mo-delo indica que o indiv´ıduo pertence é denotado em itálico e os números em parêntesis na primeira coluna representam o número de identificação do in-div´ıduo amostrado. Resultados obtidos sob o modelo M4. . . 70 4.1 Efeito da aplicação de tratamento de enxofre na redução de doenças em batatas. 77 4.2 Cenários considerados na simulação. . . 105

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4.3 Critérios de comparação de modelos: valores de EPD e DIC, e suas respec-tivas componentes, e do CRPS, e o log da verossimilhança para cada modelo ajustado. . . 131 4.4 Resumo a posteriori dos graus de liberdade ν. Mediana e intervalos de 95%

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Lista de Figuras

1.1 Dinâmicas das curvas de reaquecimento por grupo para todos os dedos de todos os indiv´ıduos na amostra. Painel à esquerda: indiv´ıduos do grupo saudável (HC). Painel do meio: indiv´ıduos do grupo no caso primário (PRP). Painel à direita: indiv´ıduos do grupo com esclerose sistêmica (SS). . . 9 1.2 Temperatura média através do tempo e dedos para cada um dos 72 indiv´ıduos. . 10 2.1 Painel superior esquerdo: resumo a posteriori (média e intervalo de 95% de

credibilidade) das variâncias (τ_g2) da temperatura de qualquer indiv´ıduo dentro do grupo g. Painel superior direito: resumo a posteriori (média e intervalo de 95% de credibilidade) dos parâmetros de decaimento (φg) para cada grupo,

HC, PRP, e SS. Painel inferior esquerdo: distribuição a posteriori da correlação entre as mãos de qualquer indiv´ıduo dentro do grupo g (ρg). Painel inferior

direito: distribuição a posteriori da variância do erro de medição (ν2). . . 32 2.2 Resumo a posteriori (média (c´ırculos) e intervalo de 95% de credibilidade

(li-nhas sólidas)) da média global µgi ao longo dos indiv´ıduos do grupo saudável

(HC), do caso primário e com esclerose sistêmica (SS). As três linhas traceja-das preta representam o intervalo de 95% de credibilidade da respectiva média global (µg) do grupo e os triângulos as médias a posteriori dos grupos. . . 34

2.3 Resumo a posteriori das curvas de temperatura de três dedos de três indiv´ıduos dos grupos: HC (primeira coluna), PRP (coluna do meio), e SS (último coluna). Para todos os painéis, as linhas sólidas representam a média a posteriori da curva de temperatura do indiv´ıduo, a área sombreada é o respectivo intervalo de 95% de credibilidade, e os c´ırculos representam os dados observados. . . 35

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2.4 Resumo a posteriori das curvas de temperatura de três indiv´ıduos: nos grupos HC (primeiro painel), PRP (painel do meio), e SS (último painel). Para todos os painéis, as linhas sólidas representam a média a posteriori da curva de tem-peratura do indiv´ıduo, a área sombreada é o respectivo intervalo de 95% de credibilidade, e as outras linhas (uma para cada dedo diferente) representam as respectivas curvas de temperatura média de cada dedo do indiv´ıduo. . . 36 2.5 Resumo a posteriori das curvas de temperatura por grupo: nos grupos HC

(primeiro painel), PRP (painel do meio), e SS (último painel). Para todos os painéis, as linhas sólidas representam a média a posteriori da curva de tempe-ratura do grupo, a área sombreada é o respectivo intervalo de 95% de credibili-dade, e as linhas pontilhadas representam as curvas de temperatura média dos indiv´ıduos dentro do seu respectivo grupo. . . 37 2.6 Distinção entre as curvas médias de reaquecimento a posteriori dos três grupos:

HC (painel esquerdo), PRP e SS (painel direito). . . 38 2.7 Resumo a posteriori das curvas de temperatura de trˆes dedos de trˆes indiv´ıduos

dos grupos: HC (primeira coluna), PRP (coluna do meio), e SS (última coluna). Para todos os painéis, as linhas sólidas representam a média a posteriori da curva de temperatura do indiv´ıduo, a área sombreada é o respectivo intervalo de 95% de credibilidade, e os c´ırculos representam os dados observados. . . 39 2.8 Distinção entre as curvas médias de reaquecimento a posteriori dos três grupos.

M´edia a posteriori da temperatura m´edia do grupo HC (linha tracejada menor), PRP (linha tracejada maior) e SS (linha cheia), e seus limites do intervalo de 95% de credibilidade (linhas pontilhadas), PRP (linhas tracejadas/pontilhadas) e SS (sombra cinza). . . 40

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3.1 Resumo a posteriori das curvas de temperatura de três dedos de três indiv´ıduos dos grupos: HC (primeira coluna), PRP (coluna do meio), e SS (última co-luna). Para todos os painéis, as linhas sólidas representam a média a posteriori da curva de temperatura do indiv´ıduo, a área sombreada é o respectivo inter-valo de 95% de credibilidade, e os c´ırculos representam os dados observados. Resultados sob o modelo M4. . . 61 3.2 Painel esquerdo: resumo a posteriori (média e limites do intervalo de 95%

de credibilidade em parˆentesis) da temperatura m´edia global, θ4(t). Painel

direito: M´edia a posteriori da temperatura m´edia de cada grupo θ3g(t) HC

(linha tracejada menor), PRP (linha tracejada maior) e SS (linha cheia), e seus limites do intervalo de 95% de credibilidade (linhas pontilhadas), PRP (linhas tracejadas/pontilhadas) e SS (sombra cinza). Resultados obtidos sob o modelo M4. . . 63 3.3 Resumo a posteriori (m´edia - linha s´olida e limites do intervalo de 95% de

credibilidade - ´area sombreada) da temperatura m´edia de cada grupo, θ3g(t).

Linhas tracejadas representam as temperaturas m´edia, θ2gi(t), dos indiv´ıduos

nos seus respectivos grupos. Resultados sob o modelo M4. . . 64 3.4 Resumo a posteriori (m´edia - linha s´olida e limites do intervalo de 95% de

cre-dibilidade - área sombreada) da temperatura média de três indiv´ıduos, θ2gi(t),

um de cada grupo. Linhas tracejadas representam as temperaturas m´edia, θ1gij(t), dos dedos de cada um destes indiv´ıduos. Resultados sob o modelo

M4. . . 65 3.5 Distribuições a posteriori das variâncias, ν2, W , σ2 (1a coluna), u1, u2, e u3

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3.6 Resumo das distribuições a posteriori (intervalos de 95% de credibilidade (seg-mentos) e média a posteriori (c´ırculos abertos)) das variâncias dos dedos de cada mão, de cada indiv´ıduo dentro de um grupo, isto é, os elementos da dia-gonal da matriz de covariância Ωgi. Para os painéis (a) e (b) a primeira linha

representa indiv´ıduos no grupo HC, a segunda linha no grupo PRP, e a terceira linha no grupo SS, para as mãos esquerda e direita, respectivamente. Resulta-dos obtiResulta-dos sob o modelo M4. . . 67 3.7 Séries médias dos indiv´ıduos 45 e 46 que são deixados fora do procedimento

de classificação (ver também Tabela 3.3). Resultados sob o modelo M4. . . 71 4.1 Priori de referência para o modelo exponencial com parâmetro θ, calculada

nu-mericamente para uma sequência de valores de θ através do algoritmo (c´ırculos) sobreposta a priori de referência expl´ıcita 1/θ, multiplicada por 5,2 (linha cont´ınua). . . 88 4.2 Priori de referência para o modelo t-Student padrão com ν graus de liberdade,

calculada numericamente para uma sequência de valores de ν através do algo-ritmo (c´ırculos) sobreposta a priori de Jeffreys (linha cont´ınua). . . 89 4.3 Raiz quadrada do erro quadrático médio relativo dos estimadores de ν

base-ados na priori Geweke com λ = 0, 1 (quadrbase-ados), na priori J-S com d = 10 (triângulos) e a priori de referência proposta na equação (4.20) (c´ırculos) para os diferentes cenários. Os diferentes tamanhos de amostra, n × J = 6 × 4, n × J = 12 × 8 e n × J = 20 × 15 são distinguidos nas colunas e, os valores da constante k, para 0, 1; 0, 5; 0, 8, nas linhas. . . 108 4.4 Viés dos estimadores de ν baseados na priori Geweke com λ = 0, 1

(quadra-dos), na priori J-S com d = 10 (triângulos) e a priori de referência proposta na equação (4.20) (c´ırculos). Os diferentes tamanhos de amostra, n × J = 6 × 4, n × J = 12 × 8 e n × J = 20 × 15 são distinguidos nas colunas e, os valores da constante k, para 0, 1; 0, 5; 0, 8, nas linhas. . . 109

(20)

4.5 Cobertura frequentista dos intervalos de 95% de credibilidade dos estimado-res de ν baseados na priori Geweke com λ = 0, 1 (quadrados), na priori J-S com d = 10 (triângulos) e a priori de referência proposta na equação (4.20) (c´ırculos). Os diferentes tamanhos de amostra, n × J = 6 × 4, n × J = 12 × 8 e n × J = 20 × 15 são distinguidos nas colunas e, os valores da constante k, para 0, 1; 0, 5; 0, 8, nas linhas. . . 110 4.6 Raiz quadrada do erro quadrático médio relativo dos estimadores de ν

base-ados na priori Geweke com λ = 0, 1 (quadrbase-ados), na priori J-S com d = 10 (triângulos) e a priori de referência proposta na equação (4.27) (c´ırculos). Os diferentes tamanhos de amostra, n×J = 6×4, n×J = 12×8 e n×J = 20×15 são distinguidos nas colunas e, os valores da constante k, para 0, 1; 0, 5; 0, 8, nas linhas. . . 112 4.7 Viés dos estimadores de ν baseados na priori Geweke com λ = 0, 1

(quadra-dos), na priori J-S com d = 10 (triângulos) e a priori de referência proposta na equação (4.27) (c´ırculos). Os diferentes tamanhos de amostra, n × J = 6 × 4, n × J = 12 × 8 e n × J = 20 × 15 são distinguidos nas colunas e, os valores da constante k, para 0, 1; 0, 5; 0, 8, nas linhas. . . 113 4.8 Cobertura frequentista dos intervalos de 95% de credibilidade dos

estimado-res de ν baseados na priori Geweke com λ = 0, 1 (quadrados), na priori J-S com d = 10 (triângulos) e a priori de referência proposta na equação (4.27) (c´ırculos). Os diferentes tamanhos de amostra, n × J = 6 × 4, n × J = 12 × 8 e n × J = 20 × 15 são distinguidos nas colunas e, os valores da constante k, para 0, 1; 0, 5; 0, 8, nas linhas. . . 114 4.9 Resumo a posteriori com linhas cont´ınuas representando os intervalos de 95%

de credibilidade e c´ırculos fechados as medianas, sob diferentes especificações para ν: priori Geweke (G); priori de referência (R); modelo normal (N); t-Student com ν = 2 (t). Painel superior esquerdo: graus de liberdade ν. Painel superior direito: média global µ. Painel inferior esquerdo: variância σ2_.

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4.10 Resumo a posteriori das m´edias por grupo, µi, com linhas cont´ınuas

represen-tando os intervalos de 95% de credibilidade e c´ırculos fechados as medianas, sob o modelo normal e as diferentes especificações para ν (St-t(2), Geweke e Reference). Resultados sob o modelo com t-Student na equação de observação. 118 4.11 Resumo a posteriori das escalas φij, por unidade j dentro de cada grupo i, com

linhas cont´ınuas representando os intervalos de 95% de credibilidade e c´ırculos fechados as medianas, sob as diferentes especificações para ν (St-t(2), Geweke e Reference). As linhas pontilhadas verticais dividem os indiv´ıduos de cada grupo. Resultados sob o modelo com t-Student na equação de observação. . . 119 4.12 Resumo a posteriori com linhas cont´ınuas representando os intervalos de 95%

de credibilidade e c´ırculos fechados as medianas sob diferentes especificações para ν: priori Geweke (G); priori de referência (R); modelo normal (N); t-Student com ν = 2 (t). Painel superior esquerdo: graus de liberdade ν. Painel superior direito: média global µ. Painel inferior esquerdo: variância σ2_.

Re-sultados sob o modelo com t-Student na equação estrutural. . . 120 4.13 Resumo a posteriori das médias por grupo, µi, com linhas cont´ınuas

represen-tando os intervalos de 95% de credibilidade e c´ırculos fechados as medianas, sob o modelo normal e as diferentes especificações para ν (St-t(2), Geweke e Reference). Resultados sob o modelo com t-Student na equação estrutural. . . . 121 4.14 Resumo a posteriori das escalas λi, por grupo i, com linhas cont´ınuas

represen-tando os intervalos de 95% de credibilidade e c´ırculos fechados as medianas, sob as diferentes especificações para ν (St-t(2), Geweke e Reference). Resul-tados sob o modelo com t-Student na equação estrutural. . . 123 4.15 Resumo a posteriori com linhas cont´ınuas representando os intervalos de 95%

de credibilidade e c´ırculos fechados as medianas sob diferentes especificações para ν: priori Geweke (G); priori de referência (R); modelo normal (N); t-Student com ν = 2 (t). Painel superior esquerdo: graus de liberdade ν. Painel superior direito: média global µ. Painel inferior esquerdo: variância σ2_.

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4.16 Resumo a posteriori das m´edias por grupo, µi, com linhas cont´ınuas

represen-tando os intervalos de 95% de credibilidade e c´ırculos fechados as medianas, sob diferentes especificações para ν (St-t(2), Geweke e Reference). Resultados sob o modelo com t-Student nas equações de observação e estrutural. . . 125 4.17 Resumo a posteriori das escalas φij, por unidade j dentro de cada grupo i, com

linhas cont´ınuas representando os intervalos de 95% de credibilidade e c´ırculos fechados as medianas, sob diferentes especificações para ν (St-t(2), Geweke e Reference). As linhas pontilhadas verticais dividem os indiv´ıduos de cada grupo. Resultados sob o modelo com t-Student nas equações de observação e estrutural. . . 126 4.18 Resumo a posteriori das escalas λi, por grupo i, com linhas cont´ınuas

represen-tando os intervalos de 95% de credibilidade e c´ırculos fechados as medianas, sob diferentes especificações para ν (St-t(2), Geweke e Reference). Resultados sob o modelo com t-Student nas equações de observação e estrutural. . . 127 4.19 Pesos ao longo de 5 semanas para os 30 ratos. Linhas pontilhadas destacam as

duas s´eries mais discrepantes. . . 128 4.20 Resumo a posteriori das escalas λi por rato i, sob os modelos Normal (N),

Reference (R) e Geweke com λ = 0, 05 (G). Linhas cont´ınuas representam os intervalos de 95% de credibilidade e os c´ırculos fechados representam as m´edias.133 4.21 Resumo a posteriori da m´edia global dos pesos (α), do efeito global das idades

(β), do intercepto no instante do nascimento (α0) e da variˆancia observacional

(σ2_{) sob os modelos Normal (N), Reference (R) e Geweke com λ = 0, 05}

(G). Linhas cont´ınuas representam os intervalos de 95% de credibilidade, os c´ırculos fechados representam as m´edias e as linhas tracejadas representam os valores m´edios das estimativas sob o modelo Normal . . . 134

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Cap´ıtulo 1

Introduc¸˜ao

Tecnologias modernas de aquisição de dados geram grandes conjuntos de dados coletando várias medidas que descrevem, por exemplo, na área biomédica: atividades cerebrais, de teci-dos ou de células. Recentemente, o desenvolvimento de aplicações computacionais no campo das ciências da vida, em particular para os ambientes cl´ınicos e biomédicos, também ganhou uma atenção crescente devido aos resultados promissores no tratamento de pacientes. De fato, as potenciais aplicações no campo biomédico incluem a construção de regras de diagnóstico ou de prognóstico e, em geral, isto é quase imposs´ıvel sem a ajuda de técnicas estat´ısticas e de computação eficientes.

Aplicações biomédicas utilizando técnicas de estat´ıstica multivariada formam uma área de interesse importante que tem sido investigada por vários pesquisadores cient´ıficos. Sinais biomédicos se originam a partir de uma variedade de fontes, tais como sinais bioelétricos, bi-oacústicos, biomecânicos, bioqu´ımicos e biomagnéticos. Em vários experimentos estes sinais surgem através de um processo naturalmente descrito como funcional, embora os registros se-jam de dados discretos ao longo do tempo e, assim, o conjunto de dados é dito ser funcional. Como uma série temporal é um conjunto de observações ordenadas ao longo do tempo, estes dados observados podem ser tratados como séries temporais. De fato, é uma prática comum na pesquisa biomédica realizar registros de múltiplas séries temporais e isso é especialmente verdadeiro para eletro- ou magneto-encefalografia (Kamiński et al., 2005) e estudos de imagem térmica infravermelha - IR - (Merla et al., 2002a). O registro do estado do paciente em con-juntos de dados multivariados é, assim, um procedimento padrão diário da vida cl´ınica. Uma

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tarefa importante para analisar esses dados é extrair a informação essencial representativa dos processos biológicos ou biof´ısicos subjacentes. No entanto, não existe uma única abordagem que pode ser considerada de modo uniforme como sendo a solução mais apropriada para um problema espec´ıfico. A escolha da abordagem é geralmente ditada pelo objetivo do estudo, se é a obtenção de previsões dos sinais, estimação de tendências ou aumento do conhecimento cient´ıfico dos mecanismos subjacentes. Em qualquer caso, seja qual for a escolha para a mode-lagem dos dados dispon´ıveis, devem haver critérios derivados dos próprios dados para julgar o que é a dinâmica inerente e quais são as contribuições de fatores externos e ru´ıdos nos dados. Nas formulações dos nossos modelos, vamos mostrar que podemos cuidar desses aspectos para a análise estat´ıstica.

O foco deste trabalho é a modelagem de dados com estrutura hierárquica (aninhada). Neste contexto, temos interesse em dados que representam fam´ılias de séries temporais biomédicas e que compartilham um forte relacionamento f´ısico. A necessidade do estudo de séries observa-das ocorre em vários problemas médicos e psico-fisiológicos. Um exemplo clássico é na área de cardiologia, onde os sinais de eletrocardiograma de pacientes diferentes são classificados a fim de ver se determinado tipo de pacientes têm um padrão diferente de um grupo de controle saudável (HC), por exemplo, pacientes com histórico de alguma doença. Outros estudos de caso podem ser encontrados, por exemplo, em Fontanella et al. (2012) e Ramsay e Silverman (2002).

A modelagem de múltiplas séries requer manejo adequado a fim de se obter resultados apropriados. Por exemplo, o estudo de cada sinal separadamente e, portanto, negligenciando a estrutura de covariância subjacente “completa”(ou seja, as interdependências dentro e entre as séries temporais) dos dados, pode levar a resultados que podem ser mal interpretados. Por outro lado, uma análise simultânea de todos os sinais pode proporcionar uma visão melhor das relações entre as fontes investigadas a partir das quais as séries se originam e também permite estimativas de propriedades ao n´ıvel individual. Existem várias caracter´ısticas que devem ser consideradas na modelagem de fam´ılias de séries. Aquelas que são relevantes para o nosso trabalho são as seguintes:

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b) estimação das séries individuais dos dados com ru´ıdos; c) caracterização de padrões de variabilidade entre as séries; d) caracterização da hierarquia aninhada das séries;

e) modelagem da correlação para cada série e entre as séries.

O desenvolvimento teórico dos últimos três pontos representam uma parte metodológica importante do nosso trabalho. Em geral, a estimação de matrizes de covariância constitui um problema dif´ıcil e isto não é uma exceção no nosso estudo, onde também consideramos o problema adicional de parametrizar a matriz de covariâncias para múltiplos sinais dentro de um indiv´ıduo. Diferentemente de vários outros estudos, consideramos a modelagem de um conjunto de sinais replicados com uma estrutura hierárquica e que também são correlacionados no n´ıvel mais alto da hierarquia.

Devido a natureza destas séries, podemos considerá-las amostras de funções/curvas, ou seja, dados funcionais. Vários estudos na literatura padrão de análise de dados funcionais, dis-cutidos por exemplo em Ramsay e Silverman (2005), utilizam combinações lineares de splines para descrever funções suaves do tempo. Aplicações mais recentes são também fornecidas por Behseta et al. (2005) e Baladandayuthapani et al. (2008), com o último propondo um modelo baseado em splines, que permite a modelagem da correlação espacial entre funções. Entre-tanto, o uso de splines requer a fixação do número e da localização dos nós. Stone et al. (1997) e Smith e Kohn (1996) fornecem soluções para a seleção dos nós com uma única curva, mas para nosso caso, com múltiplas curvas, seria necessário estender estas técnicas. Botts e Dani-els (2008) sugerem o uso de métodos de Monte Carlo via cadeias de Markov (MCMC) com saltos revers´ıveis que, na prática, tornam a abordagem computacionalmente intensiva. Neste contexto, Ferreira e Sanyal (2014) estendem os algoritmos de MCMC evolucionários, que são mais eficientes em modelos multiparamétricos, para uma nova classe chamada por eles de não-homogênea a partir de ideias destes algoritmos e de simulated annealing. Estes autores aplicam o método em um problema de regressão não paramétrica, novamente para uma única curva, descrito por um processo gaussiano com função média sendo uma combinação linear de B-splines cúbicos para estimar o número e as localizações dos nós.

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Por outro lado, as séries de dados também podem ser consideradas séries temporais (dis-cretas) ao longo do tempo. Neste contexto, encontramos na literatura padrão de séries tem-porais, apresentada por exemplo em West e Harrison (1997), várias abordagens através dos modelos dinâmicos que são ferramentas poderosas e flex´ıveis para capturar diferentes estru-turas de correlação temporal das séries de dados. Gamerman e Migon (1993) propõem para observações univariadas uma nova classe de modelos dinâmicos normais que assumem hi-erarquia sobre os estados do processo, conhecidos como os modelos hierárquicos dinâmicos. Considerando observações na forma matricial, ? estendem esses modelos que possibilitam uma análise conjunta de várias séries temporais multivariadas. Além disso, adicionando a hipótese de correlação espacial e permitindo que coeficientes e interceptos possam variar no tempo e espaço, Paez et al. (2008) exploram uma parametrização eficiente para estimar as matrizes de covariâncias. Shaddick e Wakefield (2002) modelam a relação espacial e temporal entre po-luentes através de um modelo linear dinâmico espaço-temporal com hierarquia mas não nos estados. Bortot et al. (2010) propõem um modelo dinâmico para modelar medidas temporais da duração do ciclo menstrual completo de uma mulher individualmente e, a fim de capturar variabilidades entre as mulheres e permitir o compartilhamento de informações, cada processo individual é incorporado em um sistema multivariado no qual os parâmetros do modelo variam ao longo dos indiv´ıduos. Neste caso, a hierarquia também não é nos parâmetros de estado.

Em geral, em problemas que envolvem dados hierárquicos temos interesse nas estimações individuais e nas estimações por grupo. Por exemplo, considere um problema genérico no qual temos n grupos cada um com ni observações, para i = 1, · · · , n. Podemos ter interesse em

obter estimativas para as m´edias por unidade j, j = 1, · · · , ni, e por grupo i, i = 1, · · · , n.

A presença de poss´ıveis dados discrepantes e/ou grupos discrepantes pode influenciar nestas estimativas se negligenciarmos esta hipótese na formulação do modelo. Neste contexto, mo-delos robustos representam uma poderosa ferramenta e, em momo-delos hierárquicos, podemos assumir uma distribuição robusta nos diferentes n´ıveis da hierarquia de acordo com o pro-blema explorado (West, 1984). Uma distribuição robusta simétrica importante e, em geral, aplicada é a t-Student cujo parâmetro de graus de liberdade determina o peso das caudas da distribuição. Alternativamente, a classe de distribuições exponencial potência, também conhe-cida como normal generalizada, é simétrica, acomoda observações discrepantes e depende de

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três parametros assim como a t-Student. Essa última pode ser escrita como uma mistura dis-creta das distribuições normal e gama, enquanto que para escrever a distribuição exponencial potência como uma mistura de normal combinamos com distribuições estáveis (West, 1984).

1.1 Modelos Hier´arquicos

Modelos hierárquicos, ou multin´ıveis, surgem em diversas situações devido a natureza ine-rente dos dados e da aplicação em si, sendo úteis quando há informação em difeine-rentes n´ıveis das unidades observacionais. Segundo Gelman et al. (1995), em problemas que envolvem vários parâmetros relacionados entre si, a distribuição de probabilidade conjunta destes parâmetros deve refletir a dependência entre eles. Em um modelo hierárquico, é poss´ıvel ter permutabili-dade em cada n´ıvel das unipermutabili-dades.

Exemplos práticos são conjuntos de dados de indiv´ıduos que são acompanhados por um per´ıodo de tempo para o estudo de medicação ou doença, e de estações monitoradoras de dados climáticos, que podem ser divididos em grupos que podem ser subdivididos ainda algumas vezes, dependendo do estudo. Vários outros exemplos são apresentados em Migon et al. (2008) e Gelman et al. (1995).

Baseados na idéia de permutabilidade de distribuições, Lindley e Smith (1972) formaliza-ram o desenvolvimento de uma estrutura hierárquica para a distribuição a priori do vetor pa-ramétrico do modelo. A distribuição a priori é assumida ser permutável e, assim, pode ser des-crita por uma mistura de distribuições independentes e identicamente distribu´ıdas. Neste con-texto, modelam-se as observações condicionalmente a certos parâmetros, e assume-se uma es-trutura probabil´ıstica para estes parâmetros em termos de outras quantidades, os hiperparâmetros. E, se ainda se mostrar necessário, assume-se também uma estrutura para estes hiperparâmetros, obtendo-se um modelo de três n´ıveis de hierarquia. Além disto, pode-se fazer extensões para qualquer número de n´ıveis que for necessário. Portanto, para a especificação da distribuição a prioriprimeiro estabelecemos os n´ıveis e, depois atribu´ımos distribuições condicionais para cada n´ıvel.

Uma classe importante de modelos hierárquicos é formada pelos modelos hierárquicos li-neares. O termo linear caracteriza estruturas de dependências lineares entre os diferentes n´ıveis

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da hierarquia.

1.2 Motivac¸˜ao

Este trabalho é motivado pelo estudo do chamado Fenômeno de Raynaud - FR. Este é um distúrbio vasospástico parox´ıstico, de pequenas artérias, artérias pré-capilares e shunts artério-venosos das extremidades, tipicamente induzidos por exposição ao frio e estresse emocional (Belch, 2005). FR pode ser classificado como primário (PRP), sem nenhum distúrbio pa-tológico identificável subjacente, e secundário, geralmente associado a uma doença do tecido conjuntivo, o uso de certas drogas, ou a exposição a agentes tóxicos (Block e Sequeira, 2001). FR secundário é frequentemente associado com esclerose sistêmica (SS). Neste caso, o FR pode preceder o aparecimento de outros sintomas e sinais da doença por vários anos (Belch, 2005). Estudos epidemiológicos apontam a importância de um diagnóstico diferencial precoce e adequado para distinguir as diferentes formas do FR (Belch, 2005).

Estudos de imagens infravermelhas térmicas têm sido amplamente utilizados para tentar diferenciar FR primário do secundário, frequentemente em combinação com o monitoramento da resposta do dedo a um estresse térmico controlado. Desde que a temperatura cutânea de-pende da perfusão de sangue local e propriedades térmicas do tecido, imagens infravermelhas térmicas fornecem informação indireta importante sobre a circulação, propriedades térmicas e funcionalidade termoregulatória do tecido cutâneo (Merla et al., 2002a). Em geral, tais informações são extra´ıdas das séries de reaquecimento/reperfusão - ver Seção 1.2.2. Alguns au-tores, por exemplo Merla et al. (2002a), Mariotti et al. (2009), Anderson et al. (2007) e Murray et al. (2009), utilizam recursos simples destas séries (como, por exemplo, a área sob a curva e a temperatura máxima) como covariáveis em análises de discriminantes ou modelo de regressão log´ıstica para fins de classificação. Entretanto, nenhum destes estudos fornecem informação espec´ıfica sobre mecanismos subjacentes do Fenômeno de Raynaud e em algumas situações o problema é também simplificado por apenas considerar pacientes doentes e saudáveis, ao invés de diferenciar doentes PRP e doentes SS. Aretusi et al. (2011) propõem uma classificação su-pervisionada das imagens infravermelhas térmicas através de técnicas de análise discriminante linear (passo a passo) sobre um número grande de caracter´ısticas extra´ıdas dessas imagens.

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Essas técnicas também são exploradas por Ippoliti et al. (2014), que ainda tratam do problema de singularidade da matriz de covariâncias de cada grupo que possui alta dimensão.

Neste trabalho propomos duas abordagens distintas ao problema do FR. Uma modela-gem por um processo gaussiano hierárquico que é capaz de descrever a natureza funcional hierárquica dos dados. A outra é feita por um modelo hierárquico dinâmico normal que supõe os dados temporalmente discretizados mas também é capaz de descrever a estrutura hierárquica dos dados. Mostraremos que ambas as abordagens são capazes de sintetizar as dinâmicas das séries de reaquecimento, tanto para indiv´ıduos isolados quanto para os três grupos. Além disso, vários dos parâmetros estimados dos modelos possuem interpretação direta e são úteis para des-crever caracter´ısticas espec´ıficas do FR. Através da distribuição preditiva também predizemos o grupo de um novo indiv´ıduo em uma das três classes consideradas aqui. Inspirados por este problema de diferenciação entre os grupos, investigamos modelos hierárquicos robustos no sentido de acomodar observações discrepantes e poss´ıveis mudanças estruturais com grupos discrepantes. Neste contexto, também exploramos distribuições a priori de referência para os graus de liberdade da distribuição t-Student sob diversos modelos hierárquicos.

Observe que, embora grande parte da nossa discussão seja baseada na análise do fenômeno de Raynaud, a metodologia é aplicável para modelar quaisquer dados onde as observações aparecem com uma estrutura hierárquica e são inerentemente correlacionadas.

1.2.1 Imagem Infravermelha T´ermica

Os dados para este estudo foram fornecidos pelo Laboratório de Imagem Infravermelha Funcional - Instituto para Tecnologia Biomédica Avançada (ITAB), na Escola de Medicina da G. d’Annunzio University, Chieti, Itália. O estudo foi aprovado pelos Conselhos de Revisão Institucional e Comitês de Ética local e todos os participantes deram o seu consentimento in-formando por escrito. Os dados brutos consistem de vetores de temperaturas das pontas dos dedos documentando a recuperação térmica a partir de um estresse térmico/frio padronizado de ambas as mãos (Merla et al., 2002b). Especificamente, as medidas referem-se a pacientes dos três grupos: 20 indiv´ıduos saudáveis (grupo de controle), 24 indiv´ıduos no caso primário, e 28 indiv´ıduos com esclerose sistêmica. Os pacientes são classificados de acordo com os critérios

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do American College of Rheumatology e critérios padrão de exclusão (Merla et al., 2002a). Pacientes são submetidos a imagens infravermelhas térmicas depois de observadas as regras normais de preparação para o teste (Merla et al., 2002b). Imagens infravermelhas térmicas de alta resolução são adquiridas a cada 30 segundos para o monitoramento da resposta ao estresse térmico. A aquisição das imagens começa 2,5 minutos antes do est´ımulo térmico e termina 20 minutos depois. As imagens são adquiridas usando uma câmera térmica digital 14-bit (FLIR SC3000 QWIP, Suécia). O estresse térmico consiste em uma imersão por dois minutos das mãos em uma água fria (10◦C), usando luvas de plástico finas. No final do experimento, para cada indiv´ıduo, uma sequência temporal de 46 imagens de valores de temperatura é disponibi-lizado. Na próxima Seção descrevemos como essas imagens obtidas foram processadas para a obtenção de curvas temporais.

1.2.2 Processamento dos Dados

Uma dificuldade que é encontrada pela comparação de 46 imagens de uma mão de um indiv´ıduo é que as caracter´ısticas principais ocorrem em diferentes pontos no tempo; portanto para cada indiv´ıduo as mãos precisam ser registradas no tempo antes da análise ser realizada. O procedimento que seguimos para o alinhamento consiste nos três passos seguintes: 1) para cada tempo t, o contorno das mãos é identificado pela segmentação da imagem; 2) o contorno é sintetizado por uma coleção de k pontos, chamados marcos. Em cada tempo t, denotamos por Yt, a matriz de coordenadas cartesianas da configuração dos k marcos em 2 dimensões,

assim Yt ∈ R2; 3) todas as configurações, Yt, t = 2, . . . , 46, são alinhadas ao “modelo”(ou

seja a primeira configurac¸˜ao) Y1, minimizando a soma de quadrados Procrustes

S Y1, Yt = inf

ξ,Ξ

kY1− YtΞ − 1kξ>k2

onde Ξ é um elemento de SO(2), o grupo de rotações no plano, ξ é um parâmetro de translação correspondente ao vetor de k valores, e 1k um vetor de dimensão k de 1’s. Essencialmente,

as configurações Yt, t = 2, . . . , 46, são comparadas com a primeira, Y1, sob transformações

do corpo r´ıgido. Para uma introdução aos métodos Procrustes em análise de forma veja por exemplo, Dryden e Mardia (1998), Cap´ıtulo 5.

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Após o registro da imagem, a região da ponta de cada dedo é considerada como a região de interesse para produzir um sinal unidimensional de valores de temperaturas. Em cada ponto no tempo t, o sinal unidimensional é obtido como uma média dos valores para os pixels naquela região. Este procedimento gera uma matriz de dados brutos de 720 curvas, cada uma repre-sentando o processo de reaquecimento de um dedo. A figura 1.1 fornece uma representação pictórica destas curvas de reaquecimento para todos os dedos de todos os indiv´ıduos, separadas em três painéis sendo um para cada grupo.

HC tempo (min) T emper atur a (ºC) 0 10 22.5 10 20 30 40 PRP tempo (min) 0 10 22.5 SS tempo (min) 0 10 22.5

Figura 1.1: Dinâmicas das curvas de reaquecimento por grupo para todos os dedos de todos os indiv´ıduos na amostra. Painel à esquerda: indiv´ıduos do grupo saudável (HC). Painel do meio: indiv´ıduos do grupo no caso primário (PRP). Painel à direita: indiv´ıduos do grupo com esclerose sistêmica (SS).

A partir da Figura 1.1 é evidente que a aplicação de um estresse térmico determina uma queda de temperatura imediata do estado estacionário estável (ou seja, a temperatura basal). Em seguida, a partir do sexto tempo parece que as dinâmicas das curvas de reaquecimento são bastante diferentes de dedo para dedo e, principalmente de grupo para grupo.

Na Figura 1.2 mostramos as médias das temperaturas (para todos os tempos e dedos) de cada indiv´ıduo. Podemos observar claramente que pode haver alguns problemas de confusão entre os grupos. O processo de reaquecimento, de fato, não parece homogêneo em geral, e isso coloca um problema desafiador de modelagem.

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●● ● ●● ● ● ● ● ●● ● ●●●●●●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●●● ● ● ● ● ● ●● ● ●● ● ● ● ●● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● Indivíduos T emper atur a média (ºC) HC PRP SS 0 10 20 30 40 50 60 70 15 25 35

Figura 1.2: Temperatura m´edia atrav´es do tempo e dedos para cada um dos 72 indiv´ıduos.

1.3 Organizac¸˜ao do Texto

Este texto está organizado da seguinte forma. No Cap´ıtulo 2, propomos uma modelagem por um processo gaussiano hierárquico com K funções bases splines na estrutura de média do processo para descrever os dados de temperatura dos pacientes submetidos ao experimento des-crito na Seção 1.2. Nesta modelagem, tratamos os dados observados como dado funcional ao longo do tempo. Neste sentido, começamos o Cap´ıtulo 2 introduzindo os conceitos básicos na literatura de dados funcionais e apresentamos as funções bases splines polinomiais que são am-plamente utilizadas para a representação de dados de natureza funcional e que serão exploradas neste trabalho. Em seguida, definimos os processos gaussianos que também serão utilizados nesta modelagem. O interesse consiste em descrever as curvas temporais de cada dedo, de cada indiv´ıduo, pertencente a cada grupo de estudo (sadio, doente no caso primário e doente com esclerose sistêmica). Desta forma, permitimos correlações ao longo do tempo através do uso de uma função de correlação temporal, correlações entre as curvas de temperaturas dos dedos de cada mão de um indiv´ıduo e entre as mãos através de uma estrutura de covariância válida. Comparamos diferentes variações do modelo em termos da estrutura de covariância e através de critérios de seleção, escolhemos o “melhor” modelo entre os ajustados e, discutimos os resultados alcançados através deste modelo. Embora a modelagem seja feita focando os dados de reaquecimento, a modelagem não é restrita a este conjunto de dados.

Fundamentados na relação entre a suavização por splines polinomiais, os processos gaussi-anos e os modelos dinâmicos, no Cap´ıtulo 3 modelamos o mesmo conjunto de dados através de um modelo hierárquico dinâmico normal que supõe os dados discretizados ao longo do tempo.

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Neste caso, a estrutura temporal é imposta pela própria dinâmica do modelo podendo abranger diferentes estruturas de dependência temporal. Além disto, também permitimos estruturas de correlação entre as séries dos diferentes dedos de uma mão e entre as mãos através de matrizes de covariâncias similares àquelas adotadas no Cap´ıtulo 2. Assim como no Cap´ıtulo 2, selecio-namos um modelo dentre vários através de critérios de seleção e apresentamos seus resultados, discutindo suas interpretações e comparando com os resultados obtidos no Cap´ıtulo 2.

Finalmente, no Cap´ıtulo 4, discutimos a hipótese de robustez em modelos hierárquicos assumindo-se a distribuição t-Student para a modelagem dos erros em diferentes n´ıveis. A estimação do parâmetro de graus de liberdade da t-Student é uma tarefa desafiadora e, por isto, propomos o uso de distribuições a priori de referência para refletir nosso grau de conhe-cimento a priori sobre este parâmetro. Neste contexto, como não são dispon´ıveis na litera-tura distribuições a priori de referência para os graus de liberdade da t-Student em modelos hierárquicos, derivamos tais distribuições sob modelos hierárquicos com um único n´ıvel assu-mindo a t-Student (i) na equação de observação, (ii) na equação estrutural e, (iii) em ambas as equações, a partir de diferentes parametrizações de cada um destes modelos. Um estudo simulado foi realizado para explorarmos algumas propriedades frequentistas das distribuições a prioriencontradas neste Cap´ıtulo comparadas com outras distribuições a priori para os graus de liberdade conhecidas na literatura. Aplicamos as distribuições a priori de referência encon-tradas em dois conjuntos de dados reais retirados de West (1984) e de Gelfand et al. (1990), e discutimos seus resultados.

Em todo este texto, Np(D, E) representa uma distribuição normal de dimensão p com vetor

de média D e matriz de covariância E, IG(a, b) representa a distribuição gama invertida com média b/(a − 1) e variância b2/[(a − 1)2(a − 2)], G(a, b) representa a distribuição gama com média a/b e variância a/b2_{, U nif orme[x}

1, x2] representa a distribuic¸˜ao uniforme no intervalo

real [x1, x2], I[a,b](x) representa a função indicadora para uma variável aleatória x, a qual é 1

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Cap´ıtulo 2

Modelagem Funcional de Sinais

Biom´edicos com Estrutura Hier´arquica

Neste Cap´ıtulo, propomos uma modelagem por um processo gaussiano hierárquico que é capaz de descrever a estrutura hierárquica dos dados descritos na Seção 1.2 e, que considera os dados observados como sendo de natureza funcional. Desta forma, consideramos que as medidas observadas são amostras das curvas de temperatura de cada dedo, de cada indiv´ıduo, ao longo do tempo. A fim de capturar o comportamento das curvas ao longo do tempo, utili-zamos funções bases B-splines na estrutura de média do processo. Nesta modelagem também permitimos que estas curvas possuam correlações temporais e, entre si, através de diferentes estruturas de covariância válidas.

Este Cap´ıtulo está organizado da seguinte forma. Na Seção 2.1, discutimos sobre análise de dados funcionais e, na Seção 2.2, apresentamos os splines polinomiais e as funções bases B-splines que serão exploradas na modelagem deste Cap´ıtulo. Os processos gaussianos são apresentados na Seção 2.3. Na Seção 2.4, apresentamos a equivalência entre os splines po-linomiais e os processos gaussianos. O modelo funcional hierárquico proposto está descrito na Seção 2.5, assim como o detalhadamento das especificações da hierarquia e a matriz de covariâncias considerados para capturar a estrutura dos dados. Ainda nesta Seção, apresenta-mos os critérios de comparação de modelos utilizados para selecionar o melhor modelo dentre aqueles que serão descritos na Seção 2.6. A análise do conjunto de dados descrito em 1.2 e a interpretação dos resultados também são apresentadas na Seção 2.6, enquanto que, a Seção

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2.7, conclui esta proposta com uma discuss˜ao.

2.1 Dados Funcionais

Segundo Ramsay e Silverman (2005), dados funcionais geralmente são observados discre-tamente, embora sua estrutura inerente seja funcional. A observação de uma função yi é um

conjunto de Ni pares (tij, yij), para j = 1, · · · , Ni. Assim, yi n˜ao ´e observada em todo o

seu dom´ınio, que é um conjunto não-enumerável de pontos, mas assume-se que existe uma função dando origem aos dados observados. Em geral, a construção das funções originais a partir dos dados observados pode ocorrer separada ou independentemente para cada função i. A hipótese de suavidade é geralmente considerada já que, sem esta hipótese, não poder´ıamos utilizar alguma técnica de análise multivariada. A suavidade de uma função está relacionada ao número de derivadas cont´ınuas que esta função possui. Em várias aplicações, o interesse consiste na estimativa da função e de um certo número de suas derivadas. Entretanto, os da-dos observada-dos podem não refletir o grau de suavidade da função original devido a erros de medição. Assumindo-se que as observações não possuem erros de medição, o processo utili-zado para representar os dados de forma funcional é a interpolação, caso contrário, utiliza-se a suavização.

Um método amplamente utilizado para a representação de funções é a combinação linear de funções bases. Este método permite flexibilidade suficiente e fornece uma eficiência compu-tacional para o ajuste de grandes conjuntos de dados. Além disto, podemos reduzir o problema de buscar uma função em um espaço com dimensão infinita a um espaço com dimensão fi-nita. Uma base de funções para um espaço é um conjunto de funções conhecidas fk que são

linearmente independentes e, que permitem uma aproximação razoável a uma dada função deste espaço através de uma combinação linear de um número suficientemente grande, K ∈ Z (inteiro positivo), destas funções bases. Isto é, podemos expandir uma função y como

y(t) =

K

X

k=1

βkfk(t), (2.1)

tais que βk, para k = 1, · · · , K são os coeficientes da expansão. A escolha do número K de

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esperando-se refletir o grau de suavidade e de repreesperando-sentação das curvas de dados. Dependendo do número de funções bases utilizadas na expansão, podemos obter uma interpolação ou uma suavização. Em geral, quando K é igual ao número de dados observados discretamente, te-mos uma interpolação. Exemplos de bases de funções são sistemas de monômios, de séries de Fourier, exponencial, polinomial, splines, ondaletas, entre outras.

Neste trabalho, utilizamos funções B-splines que formam uma base para o espaço vetorial dos splines polinomiais. Na próxima Seção apresentamos os splines polinomiais e as bases B-splines.

2.2 Splines Polinomiais

Uma função spline s pode ser definida como um polinômio por partes que são ligadas por nós ξ1, ξ2, · · · , ξK de forma que a função seja cont´ınua, possua um certo número de

de-rivadas cont´ınuas e, possivelmente, satisfaça algumas condições de fronteiras (Wahba, 2000). Uma importante caracter´ıstica dos splines polinomiais consiste em, simultaneamente, preser-var a flexibilidade dos polinômios por partes e alcançar certo grau de suavidade global, com sua ordem de aproximação não dependendo do grau do polinômio (Schumaker, 1981). Uma definição mais formal segue abaixo.

Definic¸˜ao 2.2.1. Sejam a = ξ0 < ξ1 < · · · ξK < ξK+1 = b e ∆ = {ξ0, ξ1, · · · , ξK+1}. O

con-junto∆ particiona o intervalo [a, b] em K +1 subintervalos, [ξi, ξi+1), para i = 0, 1, · · · , K −1

e [ξK, ξK+1]. Um spline univariado de ordem m ∈ Z+ com n´os nos pontos ξ1, ξ2, · · · , ξK ´e

uma func¸˜ao da forma s(x) = m−1 X i=0 θixi+ K X k=1 δk(x − ξk)m−1+ , parax ∈ [a, b] (2.2)

tais que(t)+ = max{0, t} e os coeficientes θ0, θ1, · · · , θm−1,δ1, δ2, · · · , δKs˜ao n´umeros reais.

O espaço formado pelas funções da forma (2.2) é o espaço de splines polinomiais de or-dem m e nós nos pontos ξ1, ξ2, · · · , ξK. O grau de um spline de ordem m é igual a m − 1.

Segundo Schumaker (1981), splines polinomiais possuem várias caracter´ısticas interessantes: são funções relativamente suaves; de fácil armazenamento, manipulação e avaliação compu-tacional; são espaços com bases muito convenientes; toda função cont´ınua no intervalo [a, b]

(37)

pode ser arbitrariamente bem aproximada por splines polinomiais com a ordem m fixada, for-necido um número suficiente de nós; splines de ordem baixa são muito flex´ıveis, e não exibem as oscilações geralmente associadas aos polinômios. Bases splines são geralmente preferidas para representar funções e dados funcionais não periódicos.

Schumaker (1981) mostra que o espaço dos splines polinomiais de ordem m e nós nos pontos ξ1, ξ2, · · · , ξK é um espaço vetorial com dimensão finita. Portanto, este espaço admite

uma base de funções que o gera. Uma base de funções amplamente utilizada em aplicações e que fornece eficiência computacional e estabilidade numérica é formada pelos B-splines.

Para definirmos os B-splines, introduziremos o conceito de diferenc¸as divididas apresen-tado em de Boor (2001).

Definição 2.2.2. A k-ésima diferença dividida de uma função f nos pontos ξi, · · · , ξi+k é o

coeficiente dexk_{do polinˆomio p(x) de ordem k +1 que coincide com f nos pontos ξ}

i, · · · , ξi+k,

e é denotada por [ξi, · · · , ξi+k]f . Aqui, dizemos que um polinômio p coincide com a função g

se para todo pontoξ∗ que ocorren vezes na sequˆencia ξ, vale que pi−1_(ξ∗_{) = g}i−1_(ξ∗_{), para}

i = 1, · · · , n.

Se o polinômio de ordem i, pi, coincide com a função f em ξ1, · · · , ξi, para i = k e

i = k + 1, ent˜ao podemos escrever

pk+1(x) = pk(x) + (x − ξ1) · · · (x − ξk)[ξ1, · · · , ξk]f,

logo, pk+1(x) − pk(x) ´e um polinˆomio de ordem k + 1 e pk+1(x) − pk(x) = (x − ξ1) · · · (x −

ξk)[ξ1, · · · , ξk]f . Diferenças divididas podem ser usadas para estabelecer a interpolação

poli-nomial de Newton, obtendo-se

pn(x) = p1(x) + (p2(x) − p1(x)) + (p3(x) − p2(x)) + · · · + (pn(x) − pn−1(x)),

com p1(x) = [ξ1]f, (p2(x) − p1(x)) = (x − ξ1)[ξ1, ξ2]f , (p3(x) − p2(x)) = (x − ξ1)(x −

ξ2)[ξ1, ξ2, ξ3]f, · · · , (pn(x) − pn−1(x)) = (x − ξ1) · · · (x − ξn−1)[ξ1, · · · , ξn]f .

Segue abaixo a definição de B-spline baseada na construção feita em de Boor (2001). Definição 2.2.3. Seja ξ = {ξi} uma sequência não decrescente (finita ou infinita). O i-ésimo

B-spline (normalizado) de ordemm para a sequência de nós ξ é definido por

(38)

tal que[ξi, · · · , ξi+m](· − x)m−1+ representa que am-ésima diferença dividida da função (ξ −

x)m−1₊ é função somente de ξ, fixando x.

Chamamos o B-spline definido acima de normalizado pois R_−∞∞ Bm

i (x) = 1, que ´e

garan-tido pelo termo (ξi+m− ξi).

Schumaker (1981) também mostra que um spline polinomial s de ordem m e nós nos pontos ξ1, ξ2, · · · , ξKpossui uma única expansão por B-splines normalizados. Devido a esta unicidade

de representação, para o armazenamento de uma função s basta armazenar seus coeficientes. A eficiência computacional também é garantida pela propriedade de suporte compacto que diz que a função base B-spline de ordem m é positiva em não mais do que m intervalos, portanto, para calcular s basta calcular uma soma envolvendo m dos B-splines.

Wahba (1983) mostra que chegamos a um paradoxo se o espaço das funções onde deseja-mos escolher a função de regressão tiver dimensão infinita. Desta forma, a fim de solucionar este problema, podemos considerar um espaço com dimensão finita. E, neste contexto, a ex-pansão por K funções bases B-splines torna-se apelativa (Green e Silverman, 1994).

2.3 Processos Gaussianos

Definição 2.3.1. Um processo gaussiano é uma coleção de variáveis aleatórias tais que qual-quer número finito destas variáveis possuam distribuição conjunta normal multivariada.

Um processo gaussiano f é completamente especificado pelas funções de média m(.) e de covariância c(., .). Neste caso, usaremos a notação

f (.) ∼ PG(m(.), c(., .)).

A função de covariância de um processo gaussiano exerce um papel fundamental sobre as hipóteses assumidas pelo modelo. Dado um conjunto de pontos {x1, x2, · · · , xn}, uma função

de covariˆancia c(., .) define uma matriz de covariˆancia C com entradas C(xi, xj) = cov(f (xi),

f (xj)) = c(xi, xj) para todo i, j = 1, · · · , n. Toda matriz de covariˆancias induzida por uma

função de covariância válida é também válida. A condição de validade de uma função de covariância é que ela seja positiva definida, isto é, se para quaisquer n ∈ Z+ e ci ∈ R, i =

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1, · · · , n, vale que X i,j cicjC(xi, xj) > 0, comP i,jcicjC(xi, xj) = 0 ⇔ ci = 0, ∀i.

Wahba (1978) demonstrou que o método de suavização por splines polinomiais é equi-valente a estimação bayesiana sob uma distribuição a priori gaussiana. Descrevemos este resultado na próxima Seção.

2.4 Equivalência entre Suavização por Splines Polinomiais e

Processos Gaussianos

Uma abordagem muito comum de problemas com dados funcionais é a suavização por splines polinomiais. Apresentamos a seguir a equivalência entre os processos gaussianos e a suavização por splines polinomiais, que é um resultado derivado em Wahba (1978).

Suponha que Y1, · · · , Yn são observações nos pontos x1 < · · · < xn. Dada uma função

suave f desconhecida, assuma o modelo de regress˜ao para i = 1, · · · , n

yi = f (xi) + i, i ∼ N(0, σ2), (2.4)

tais que os erros são independentes. O objetivo é estimar a função de regressão f a partir dos dados observados. Neste contexto, suponha ainda que f possua derivada segunda cont´ınua e de quadrado integrável, então um critério para obtermos esta estimativa é minimizar a soma penalizada dos quadrados que é definida por

SP Q(f ) = n X i=1 [Yi− f (xi)]2+ λ Z b a [f00(x)]2dx, (2.5) com parâmetro de suavização λ. O termo de penalidade por rugosidade λR_ab[f00(x)]2_{dx garante}

que n˜ao ´e apenas levado em conta a bondade de ajuste aos dados quantificada pelo termo da soma dos quadrados dos res´ıduosPn

i=1[Yi− f (xi)]2, mas também a suavidade (variação local)

que é medida pela curvatura da função em cada x. O parâmetro de suavização λ representa a ponderação entre os dois critérios. Schoenberg (1964) mostra que a função que minimiza SP Q(f ) é uma função spline cúbico (spline polinomial de ordem 4).

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Wahba (1978) mostra que esta função spline é uma estimativa bayesiana para f supondo-se uma distribuição a priori “parcialmente difusa”, que é dada pela solução da equação diferencial estocástica d2f (x) dx2 = λ −1/2 σdW (x) dx , para x > x1, (2.6) tal que W (x) é um processo de Wiener padrão (movimento Browniano) com W (x1) = 0, e para

todo i e x, W (x) é independente de i. E, a condição inicial para x = x1são (f (x1), f

0

(x1))0 ∼

Normal(0, kI2), que com k → ∞ torna-se difusa. Assim, a função spline cúbica ˆf que

mini-miza a expressão em (2.5) é o limite, quando k → ∞, da média a posteriori de f , isto é, ˆ

f (t) = lim

k→∞E[f (t) | y1, · · · , yn].

Este resultado demonstrado por Wahba (1978) estabelece uma relação entre métodos de suavização por splines e a abordagem bayesiana sob esta distribuição a priori, pois ambas as formulações resultam em um mesmo spline polinomial cúbico. Na verdade, Wahba (1978) mostra esta equivalência para um spline polinomial de grau 2m − 1, tal que m é o número de derivadas requerido para a função f na SP Q.

Como ambas as funções de densidade, na escala logar´ıtmica, a priori e a posteriori para f dependem de f de forma quadrática, então elas são processos gaussianos. Segundo Green e Silverman (1994), como a distribuição a priori é invariante sob à soma de uma função linear ou constante de seu argumento, uma maneira de escrevê-la é

f (x) = A + Bx + λ−1/2 Z x

0

W (s)ds,

onde A e B têm distribuição uniforme imprópria sobre os reais. Além disso, é poss´ıvel mostrar que a distribuição a posteriori conjunta de f (x1), · · · , f (xn) é uma normal multivariada com

matriz de covariâncias igual a σ2A(σ2λ), onde a matriz A(σ2λ) é tal que o spline, que é solução do problema de suavização, depende linearmente dos dados Y através de A(σ2_{λ)Y. Green e}

Silverman (1994) discutem detalhadamente esta matriz que mapeia o vetor de observac¸˜oes Yi

para seus valores preditos ˆf (xi).

Neste contexto, ambas as ferramentas estat´ısticas, suavização por splines e processos gaus-sianos, podem ser equivalentes para a descrição de dados consideradas as especificações pecu-liares de cada processo de modelagem e estimação. Assim, utilizaremos processos gaussianos