Modelos Matemáticos

Os modelos matemáticos são normalmente utilizados como ferramentas úteis como comple- mento de um método criação de soluções, mas não são pensados para a sua resolução completa.

Modelos baseados em NFP Uma das formas de modelar o problema de Nesting é através de Modelos de Programação Inteira (MIP). Estes modelos representam as restrições de sobreposição entre peças deste tipo de problemas através de variáveis binárias, onde estas variáveis identificam a validação das restrições impostas. Estas restrições aumentam fatorialmente com o número de peças irregulares. As restrições de posicionamento dentro do layout são baseadas no IFP, e crescem linearmente com o número de peças a colocar.

Fiscetti e Luzzy [30] definiram no seu modelo MIP um novo conceito que consistia em dividir o espaço exterior ao NFP de uma peça, inicialmente altamente não-convexo, segundo os seus vértices. Após a divisão, forma-se um conjunto de espaços convexos, necessários para a sua representação linear.

Toledo et al [20] apresentou um modelo MIP aplicado a variáveis de decisão binárias associa- das a pontos do padrão de corte de posições discretas (Dotted Board) e para cada tipo de peça. A colocação de uma peça no padrão de corte associa um ponto de referência como identificação da peça. Os conceitos de NFP e IFP são utilizados segundos os critérios padrão. A representação de uma peça no padrão de corte é identificada com o valor da unidade na grelha discreta. Com este modelo foi possível atingir soluções ótimas com 16 a 56 peças, dependendo dos tipos de peças utilizados.

Algoritmo de Compactação O modelo de compactação é usado para melhorar configura- ções de peças aplicando um conjunto de movimentos contínuos a peças, atingindo configurações que são soluções locais ótimas. Numa configuração compacta, as posições relativas das peças são mantidas, e não existem rotações. Este método pressupõe layout’s iniciais, que são analisados de uma perspetiva de relação de posicionamento entre peças baseado em No-Fit Polygon.

A compactação resolve o problema de Nesting através de programação linear, com o objetivo de minimizar o comprimento do padrão de corte, em que as restrições representam os limites de

2.3 Componente Combinatória 19

sobreposição, como na Figura2.15. Gomes e Oliveira [9] referem que o garante de não existir nenhuma sobreposição implica que em cada peça, no caso de ser convexa, é a existência de pelo menos uma aresta de uma peça tenha o ponto de referência Rj de outra peça à sua direita.

Figura 2.15: Limites de posicionamento entre duas peças (adaptado de Bennel e Oliveira [8])

De forma a entender melhor o conceito, na Figura 2.15estão representadas duas peças, i e j, em que os limites de sobreposição são representados por 3 retas sobrepostas a 3 arestas do NFPi j, sobre a peça i. Pela Figura2.15é evidente que em qualquer ponto na direção indicada

pelas setas das retas afiança que a peça j não se sobrepõe a i. Como foi referido anteriormente, com a informação de apenas uma destas retas nunca ter sido sobreposta na direção contrária ao representado na Figura2.16, satisfazia a condição de não-sobreposição.

O modelo de compactação melhora um layout imprimindo forças nas peças de forma a mi- nimizar os espaços entre peças. Sobreposições não são permitidas e não existem alterações das posições relativas entre peças. Este modelo necessita de um layout inicial, que é avaliado através dos NFP’s entre as peças. Para cada par de peças, apenas uma restrição, que avalia se o ponto de referência se encontra dentro do NFP entre o par, é necessária para garantir admissibilidade. Após garantir admissibilidade para todo o layout é executada a compactação através de um modelo linear de programação, que pode ser observado na Figura2.16.

Figura 2.16: Exemplo de funcionamento do modelo de compactação (adaptado de Gomes e Oli- veira [9])

20 Revisão Bibliográfica: Problemas de Nesting

Outras restrições são utilizadas para diferentes propósitos, como distância máxima de movi- mento de uma peça (Milenkovic et al [31] e Bennell e Dowsland [7]), garantir que as peças se encontram todas no interior do padrão de corte.

Após se garantir que é um padrão de corte admissível, procede-se à compactação. Depois analisa-se se existe mais algum espaço para compactação, e repete-se o processo até não ser dete- tado mais espaço para melhoramento.

A função objetivo é definida com finalidades análogas, sendo pela minimização da diferença entre o inicio e o fim do padrão de corte (Stoyan et al [32]), ou a minimização do padrão de corte (Bennell e Dowsland [7]). Uma das vantagens da utilização deste modelo é a diminuição do comprimento do padrão de corte utilizado. Este modelo foi utilizado por Gomes e Oliveira [9], como complemento ao arrefecimento simulado, e por Bennel e Dowsland [7] com a Pesquisa Tabu.

Algoritmo de Separação Baseado no modelo de compactação, é possível desenvolver outro modelo de programação linear, o modelo de separação. Este serve para remover alguma impratica- bilidade da configuração de peças (sobreposições), movendo as peças que estão a sobrepor-se para uma posição admissível, como na Figura2.17. Os algoritmos de separação também são utilizados para resolver casos de peças fora do padrão de corte. Assim como no caso de compactação, não são admissíveis "saltos"entre peças.

Figura 2.17: Exemplo de funcionamento do modelo de separação (adaptado de Gomes e Oliveira [9])

Os algoritmos de separação são muitas vezes utilizados para corrigir sobreposições causadas pelo modelo de compactação, que supostamente deviam ser inexistentes. No entanto, de forma a coligar os pontos fortes dos dois métodos, por vezes são criadas variáveis que detetam a exis- tência de sobreposições ou saída do padrão de corte. Assim, a compactação junta as peças com a possibilidade de existirem sobreposições, que são detetadas pela variável que por sua vez ativam a utilização da separação das peças. Assim como o modelo de compactação, o modelo de sepa- ração inicialmente procura situações de sobreposição ou saída do padrão de corte. De seguida, é executado o modelo de separação, e por fim, se não estiverem resolvidas todas as situações de inadmissibilidade, o processo é repetido.

Bennel e Dowsland [7] resolveram os problemas de sobreposição relaxando as restrições de sobreposição, diminuindo a distância que as peças tinham de se mover para cumprir a restrição.

2.3 Componente Combinatória 21

Gomes e Oliveira [9] relaxaram estas restrições criando uma variável "dummy" que tinha como função minimizar o efeito da sobreposição na função objetivo.