No-Fit Polygon

O No-Fit Polygon corresponde a um método mais utilizado nos problemas de Nesting, porque por um lado partilha a precisão da trigonomia direta, no entanto aliado a métodos de pesquisa é capaz de encontrar melhores posicionamentos para o conjunto de peças. Este melhor posiciona- mento deve-se à facilidade de usar o No-Fit Polygon com heurísticas e modelos matemáticos de posicionamento, estudados nas próximas sub-secções.

Embora tivessem existido precursores do conceito, como Art[23], que definiu a forma de en- velope que correspondia ao conjunto de posições sem sobreposição entre duas peças, os primeiros autores a utilizar o No-Fit Polygon foram Albano e Sappupo[24] que o utilizaram aliado com um método de simplificação de complexidade dos polígonos, e Mahadevan[21] a aplicar o algoritmo do No-Fit Polygon utilizando a técnica de deslizamento. Este algoritmo tem a função de lidar com sobreposições entre peças irregulares a serem colocadas no padrão de corte. A técnica utilizada para a criação do NFP de B em relação a A, segundo Mahadevan[21], identificado como NFPAB

é o polígono que resulta de uma operação de deslize. Este deslize era representado com a ajuda de um ponto de referência, localizado no polígono orbital, B, que criava um polígono, como o apresentado na Figura2.8.

Figura 2.8: Exemplo de um No-Fit Polygon (NFPAB) (adaptado de Junior et al [5])

Após criado o o No-Fit Polygon, é possível inferir que se o ponto de referência de B se encon- trar no interior do NFPAB, os polígonos estão sobrepostos, se o ponto de referência se encontrar no

contorno do NFP, os polígonos estão em contacto. Por fim, se o ponto de referência se encontrar fora do NFP, os polígonos não estão em contacto, e evidentemente não se sobrepõem. Este teste de sobreposição é executado usando a função-D, em que o ponto de referência é testado com as arestas do NFPAB.

Sliding Algorithm Mahadevan [21] foi responsável por apresentar uma descrição detalhada de um algoritmo para a geração de NFP’s, o esquema de deslizamento. Este algoritmo definia dois pontos de referência, um no polígono fixo, o vértice com a coordenada no eixo dos Y mais baixa, e outro no polígono móvel, o vértice com a coordenada no eixo dos Y maior. A sequência de

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deslizamento pelos restantes vértices iria seguir a ordem anti-horária. Usava informação da com- binação de vértices e arestas que iriam ser percorridos e distância, retirada a partir da função-D. Também utilizando a função-D se representava a aresta a ser percorrida a partir da linha reta da função, e o ponto da função-D representa o vértice do polígono fixo, indicando o fim do desliza- mento para essa aresta. O polígono criado pelo percurso do ponto de referência correspondia ao NFP entre as duas peças. Nas concavidades, a função-D é utilizada para detetar a máxima distân- cia de deslizamento possível sem haver sobreposição entre os polígonos, através de projeções das arestas do polígono deslizante e as interseções detetadas entre as projeções e as arestas do polí- gono fixo. A grande desvantagem deste algoritmo é a inabilidade de representar os buracos num NFP, assim como alguns tipos de concavidades apresentarem dificuldades, como por exemplo se a concavidade for capaz de englobar a peça deslizante, mas com uma entrada estreita.

Figura 2.9: Sliding Algorithm de Whitwell [6] (adaptado de Bennel e Oliveira [2])

Whitwell [6] apresentou um novo método capaz de criar NFPs com buracos através do sli- ding algorithm (representado na Figura 2.9). A primeira fase do método era semelhante à de Mahadevan[21], orbitando à volta do polígono fixo para criar um NFP, com uma alteração, as arestas que são atravessadas pelo polígono móvel são assinaladas. No fim deste processo, todas as arestas que não foram assinaladas eram exploradas de forma a perceber se existia a possibilidade de criar um NFP a partir destas arestas. Para ser possível o polígono orbital deslizar pelas arestas não assinaladas, um teste de admissibilidade, relacionado com o posicionamento do vértice desli- zante em relação à aresta não assinalada é utilizado. Depois de encontrada uma aresta compatível, são investigadas sobreposições, e resolvidas através de translações, no caso de existirem. Este método é aplicado até não haver mais arestas não assinaladas por avaliar. A desvantagem deste método é o aumento da exigência computacional com o aumento da complexidade das peças.

Slope Diagrams Os Slope Diagrams correspondem a um modelo análogo ao Sliding Algo- rithmque utiliza as arestas de cada polígono e as suas orientações para criar o polígono NFPAB

ordenando as arestas por inclinação. Quando ambas as formas são convexas o NFP é simples de calcular, utilizando um algoritmo semelhante ao de Cuninghame-Green [25]. Começando de um vértice qualquer do polígono, e percorrendo o polígono, são representadas arestas como vetores. Os vetores são colocados num referencial, centrados na origem (0,0) com a sua direção, sentido e magnitude originais. Orientam-se os vetores da peça A na direção anti-horária, e B na direção ho- rária. Os vetores dos dois polígonos são aglomerados no mesmo referencial, sendo depois criado

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o NFPABcomo pode ser observado na Figura2.10.

Figura 2.10: Slope Diagram (adaptado de Bennel[7])

Quando uma ou ambas as peças são não-convexas, o método não funciona. Este facto pode ser observado na Figura 2.11, em que as arestas do polígonos ficam ordenadas por declive, mas devido à presença de uma concavidade não mantém a ordem das arestas.

Figura 2.11: Slope Diagram (adaptado de Bennel[7])

Um dos métodos utilizados representar peças com concavidades é a decomposição das peças em polígonos convexos. Os sub-NFP’s resultantes são facilmente criados e unidos. No entanto, a criação destes polígonos tem de ser executada com objetivo de criar apenas os polígonos ne- cessários. Isto é essencial porque quantos mais polígonos maior é a exigência computacional do processo de criação de sub-NFP’s. Um dos métodos para circundar este problema consiste na decomposição dos objetos não convexos em vários polígonos com a mesma forma, como visto em Li e Milenkovic [26].

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Somas de Minkowski A construção de NFP, primeiro sugerida por Stoyan e Ponomarenko [27], pode ser executada baseando-se no conceito da soma de Minkowski. Considerando A e B como dois conjuntos de vetores, é a soma de todos os vetores em A com B. A soma de Minkowski é representada por:

S= AMB= {a + b|a ∈ A, b ∈ B} (2.2) No entanto, para esta equação fazer sentido dentro do contexto de NFP, a equação a ser usada é a diferença de Minkowski, que resulta na mudança de sinal de B para -B.

Abordagem de Ghosh Ghosh baseou-se no trabalho anteriormente realizado por Cuninghame- Green [25], também ele usou slope diagrams, para a aplicação da soma de Minkowski. Este criava diagramas circulares, um para cada polígono, em que cada ponto na circunferência representava os ângulos e direção dos vértices. Uma vez que esta é a aplicação da soma de Minkowski para a criação de NFP, o polígono A representa-se com os vértices ordenados como o polígono original, e o polígono B invertido. Este método pode aplicar-se a peças convexas da mesma forma que o método de Cunninghame-Green[25].

Figura 2.12: Representação de Ghosh para polígonos não-convexos (adaptado de Bennel[7]) No entanto, é na aplicação a peças não-convexas que este método se apresenta útil, sendo que nas concavidades o método se processa da seguinte forma: aquando da criação dos diagramas de declives, os vértices do polígono convexo que têm arestas que coincidem com arestas do polígono não-convexo são adicionadas ao NFP final com sinal positivo na entrada da concavidade e negativo na sua saída. Este método é sempre possível se apenas um dos polígonos for não-convexo. Se ambos forem, as coordenadas das concavidades não podem coincidir, para o método funcionar. De seguida apenas se somam os vértices de ambos os diagramas e obtém-se um diagrama final a partir do qual se cria o NFP final.

Bennel [7] conduziu alterações ao método de Ghosh de forma a suprir as suas lacunas, no- meadamente o facto de não ser possível duas concavidades de dois polígonos A e B interagirem. Para este efeito, introduziu a noção de substituir as concavidades de um dos polígonos (B), por

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arestas dummy, criando um polígono convexo denominado na sua obra de conv(B). De seguida, aplicando o método de Ghosh, cria o NFP Aconv(b). Por fim são substituídas no NFP as arestas dummypelas suas arestas iniciais.

Bennel [7] melhorou este método com algumas alterações, em que em vez de substituir as arestas por dummy’s de B, dividia os polígonos em arestas pertencentes a concavidades e ares- tas convexas. Daí criou os diagramas de declive entre o grupo de arestas côncavas de B com o polígono A, e o mesmo processo para as arestas convexas. Finalizado o processo juntam-se os diagramas de cada grupo num único NFP, de onde resultam algumas interseções interiores ao NFP que tem de ser eliminadas.

Decomposição Convexa Watson e Tobias [28] decompuseram um polígono em vários po- lígonos convexos através de divisões entre vértices côncavos. Bennel e Oliveira [2] demonstrou esta prática, como na Figura2.13. Depois de separados os polígonos, criam-se os NFP de cada um dos novos polígonos, são combinados num só NFP. Neste ponto é preciso resolver sobreposições entre NFP’s dos polígonos constituintes.

Figura 2.13: Representação de Decomposição Convexa (adaptado de Bennel e Oliveira [2])

Este processo retira complexidade à criação dos NFP’s, no entanto isto traz desvantagens, por- que aumenta a exigência computacional na divisão em polígonos e união dos respetivos NFP’s. Isto é agravado com um maior o número de polígonos criados na divisão, assim como a presença de buracos. Os buracos podem também criar problemas na interseção dos NFP’s, porque não é claro se a sobreposição é criada por um buraco ou não. Agarwal et al. [29] investigaram diferen- tes métodos de decomposição de polígonos, como triangulação, decomposição ótima e heurística.

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Consideraram que embora os tempos criação de NFP fossem menores, os requisitos computaci- onais destes não compensam. A triangulação criava demasiados polígonos o que aumentava os tempos computacionais do processo geral. Heurísticas que aproximavam a decomposição ótima representavam o melhor balanço entre exigência e tempo computacional.

Decomposição em Estrela Li e Milenkovic [26] definiram um polígono em forma de estrela se existir um ponto, k (kernel, que se traduz para núcleo) a partir do qual qualquer outro ponto P, dentro do polígono, ao criar uma reta kp esta esteja completamente contida dentro do polígono. Demonstraram também que com a diferença de Minkowski é possível criar um NFP, também em forma de estrela, que estes referem ser computacionalmente mais simples de criar que um polígono simples.

Inner-fit Rectangle O IFR, um conceito intrinsecamente relacionado com NFP, representa o conjunto de pontos admissíveis da colocação de um polígono dentro de um polígono maior (nos problemas de Nesting tipicamente o padrão de corte). Como foi falado anteriormente, esta é uma das condições essenciais para a criação de um padrão de corte admissível. Também se utiliza a nomenclatura de IFP,Inner-fit Polygon, que identifica qualquer polígono, que seja usado como padrão de corte, não só com o formato de um retângulo. O IFR assegura que todas as peças são colocadas dentro do padrão de corte. Por exemplo, no caso da Figura2.14, a zona a branco corresponde a todas as posições admissíveis para o ponto RB, e por conseguinte para a peça B.

Figura 2.14: IFR da peça B (adaptado de Bennel e Oliveira [2])

Deve ser mencionado que os NFP’s e IFR podem ser computados offline, porque apenas de- pendem do formato das peças e não dos lugares ocupados pelas peças no padrão de corte. Quando orientações diferentes são permitidas, é necessário calcular o NFP para cada par de orientações diferentes e um IFR para cada uma delas.

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