2L-CVRP
Neste capítulo são apresentados dois modelos matemáticos para o 2L-CVRP. Primeira- mente, a Seção3.1 exibe uma reformulação do Modelo de Fluxo de Veículo, proposta por
Iori et al. [2007]. Em seguida, a Seção 3.2 apresenta um modelo de Particionamento de
Conjuntos, que é usado nos algoritmos baseados em Geração de Colunas desta dissertação. Os detalhes destes modelos são explicados nos itens a seguir.
3.1
Modelo de Fluxo de Veículo
Os Modelos de Fluxo de Veículo são os modelos mais usados para as versões básicas do VRP. Suas variáveis de decisão são inteiras e representam o número de vezes que cada arco ou aresta do grafo é utilizado pelos veículos. Particularmente, esses modelos são escolhidos para os casos em que o custo da solução pode ser expresso pela soma dos custos dos arcos ou arestas associados.
Dado um grafo G = (V, E), V representa o conjunto de vértices e E o conjunto de arestas. A reformulação de Iori et al. [2007] do Modelo de Fluxo de Veículo utiliza variáveis binárias zij, para cada (i, j) ∈ E, tal que uma variável assume o valor 1 se e
somente se um veículo passa pela aresta (i, j). Além disso, dado um subconjunto de clientes S, r(S) representa o número mínimo de veículos necessário para atendê-lo e δ(S) denota o conjunto de arestas com uma extremidade em S e outra em V \ S. Para simplificar a notação, δ(i) é usado no lugar de δ({i}), tal que i ∈ V . Por outro lado, dada uma rota viável (S, σ), E(S, σ) denota o conjunto de arestas dessa rota. Já Σ(S) denota a coleção de sequências σ tal que (S, σ) é uma rota viável e S é um subconjunto de clientes. O modelo resultante é:
16 Capítulo 3. Modelos Matemáticos para o 2L-CVRP min X (i,j)∈E cijzij (3.1) s.a X (i,j)∈δ(i) zij = 2 ∀i ∈ V \ {0} (3.2) X (i,j)∈δ(0) zij = 2K (3.3) X (i,j)∈δ(S) zij ≥ 2r(S) ∀S ⊆ V \ {0}, S 6= ∅ (3.4) X (i,j)∈E(S,σ) zij ≤ |S| − 1 ∀(S, σ) tal que σ /∈ Σ(S) (3.5) zij ∈ {0, 1} ∀(i, j) ∈ E (3.6)
As restrições de grau 3.2 e 3.3 definem o número de arestas incidentes nos vértices cli- entes e no depósito, respectivamente. As restrições 3.4, conhecidas como capacity-cut constraints (CCCs), são responsáveis, juntamente com as restrições de grau, por manter a conectividade e a viabilidade da solução no que diz respeito às capacidades em peso e área dos veículos. De fato, asCCCs estipulam que cada corte (S, V \ S), definido por um subconjunto S de clientes, seja cruzado por um número de arestas não inferior a r(S). No caso do 2L-CVRP, para r(S) ser calculado é necessário a resolução de um 2BPP
com restrições adicionais que garantem que os itens do mesmo cliente estejam no mesmo compartimento. Por envolver a resolução de um problema N P-difícil, r(S) é substituído por um limite inferior simples r′(S). O valor usado é apresentado na Equação 3.7.
r′(S) = max P i∈Sdi D , P i∈Sai A (3.7) As restrições 3.5, conhecidas como infeasible-path constraints (IPCs), são responsáveis por garantir a viabilidade do carregamento dos veículos. Dada uma rota inviável (S, σ), tais restrições proíbem que essa seja usada, por meio do impedimento de que todas suas arestas sejam selecionadas ao mesmo tempo. Finalmente, as restrições 3.6 impõem que todas as variáveis são binárias, o que implica que todas as rotas devem ter ao menos dois clientes.
Devido ao fato de conter as grandes famílias de restrições 3.4 e 3.5, a resolução do Modelo de Fluxo de Veículo se dá através da utilização de um algoritmo BC. A princí- pio, com esse método, não é necessário incluir todas essas restrições explicitamente no modelo, porém, ao longo da execução do mesmo, as restrições violadas devem ser expli- citadas. Enquanto houverem restrições violadas, procedimentos denominados algoritmos de separação devem identificá-las e explicitá-las. O BC encontra uma solução final para o problema quando esses procedimentos não identificam mais nenhuma restrição violada.
3.2. Modelo de Particionamento de Conjuntos 17
3.2
Modelo de Particionamento de Conjuntos
A formulação de Particionamento de Conjuntos (SP, do inglês set-partitioning) para o
VRP foi proposta por Balinski & Quandt [1964]. Cada variável de decisão dessa formu- lação representa uma rota viável para o problema, e o conjunto de todas essas variáveis representa todas as rotas viáveis existentes. Dessa forma, tem-se um número exponencial de variáveis. O fato do modelo ter somente variáveis que representam rotas viáveis faz com que essa formulação detenha, normalmente, limites de relaxação linear mais apertados que a formulação apresentada na Seção anterior.
Nesta dissertação, a mesma formulação proposta por Balinski & Quandt [1964] é utilizada, pois as restrições adicionais do 2L-CVRP são tratadas apenas no momento da geração das rotas. Portanto, o modelo pode ser definido da mesma forma. Seja R o conjunto de todas as rotas viáveis para o 2L-CVRP. Para cada rota r ∈ R, tem-se dois parâmetros definidos: αir e cr. O primeiro assume o valor 1 se a rota r visita o cliente
i ∈ V \ {0} ou o valor 0 caso contrário. Já o último, representa o custo total de r. Por fim, λr é a variável binária de decisão que indica pelo valor 1 se uma rota é utilizada na
solução ou por 0 caso contrário. A solução doSPconsiste em selecionar K rotas de custo mínimo de tal forma que cada cliente seja visitado exatamente por uma rota. O modelo é apresentado a seguir: minX r∈R crλr (3.8) s.aX r∈R αirλr= 1 ∀i ∈ V \ {0} (3.9) X r∈R λr = K (3.10) λr ∈ {0, 1} ∀r ∈ R (3.11)
As restrições 3.9 impõem que cada cliente i deve ser visitado exatamente uma vez pelas rotas, enquanto a restrição 3.10 exige que K rotas sejam selecionadas. Para que seja permitido o uso de menos que K rotas, basta substituir o sinal de igualdade da restrição
3.10 pelo sinal de menor ou igual. Finalmente, as restrições 3.11 garantem que todas as variáveis são binárias.
Assim como o Modelo de Fluxo de Veículo, o modelo apresentado nesta Seção representa uma formulação não compacta. Nesse caso, porém, o número de variáveis que é exponencial. Apesar de existir uma formulação compacta para o CVRP, onde a família exponencial de restrições de eliminação de subciclo é substituída por restrições de Miller-Tucker-Zemlin (Miller et al. [1960]), para o 2L-CVRP ainda não foi encontrada na literatura.
18 Capítulo 3. Modelos Matemáticos para o 2L-CVRP
estratégia baseada em CG. O algoritmo de CG é capaz de obter um limite inferior para a solução ótima do SP através da resolução da relaxação linear do mesmo. Inicialmente, o método necessita apenas de uma solução básica para o problema relaxado e, ao longo de sua execução, novas colunas são geradas implicitamente pela resolução de um sub- problema de precificação. Para a resolução exata do problema inteiro, faz-se necessária a utilização do método BP, que equivale a um método BB onde cada nó da árvore de enumeração é resolvido por uma CG.