ITULO
4
Modelos Matem´aticos
4.1 Introduc~ao
No Captulo 2 vimos que um modelo matematico e de nido em termos de equac~oes diferenciais que descrevem quantitativamente o comportamento de um determinado objeto, obtidas a partir de hipoteses simpli cadoras sobre o comportamento do obje-to. Neste Captulo, desenvolveremos alguns modelos matematicos baseados na teoria da mec^anica do contnuo para o problema fundamental descrito no Captulo 1. As equac~oes da teoria nos permitir~ao predizer quais os campos de deslocamentos, defor-mac~oes e tens~oes de um corpo solido submetidoa ac~aoestatica de forcas externas.
A formulac~ao de nossos modelos matematicos sera primeiramente fundamentada nasuposic~aode quea materia quecomp~oeoscorpossolidossejadestitudade espacos vazios. Admitiremos, tambem, que todas as func~oes matematicas utilizadasna teoria sejamcontnuas, exceto, possivelmente, em numero nito de pontos ouem superfcies internasqueseparamregi~oesdecontinuidade. Denominaremosestematerialhipotetico demeiocontnuo, oucontinuum. Ahipotesedacontinuidadeeaprimeirasimpli cac~ao considerada namodelagemmatematica doproblema fundamental.
Continuidade Ummaterialecontnuosepreenchecompletamenteoespaco que ocupa, sem vazios, e suas propriedades puderem ser descritas porfunc~oes contnuas.
O conceito de meio contnuo nos permite de nir tens~ao em um ponto, um lugar geometrico noespaco que n~ao ocupa volume algum. De niremostens~aona Sec~ao 4.2, fundamentados apenas nahipotese dacontinuidade. NaSec~ao 4.3apresentaremosum resumodacinematicadapartculaeosconceitosde deformac~oes,osquaiss~aobaseados nodeslocamento relativoentre aspartculasque constituem um corpo. Posteriormen-te, restringiremos nossa discuss~ao somente a solidos que apresentam pequenos deslo-camentosepequenas deformac~oes. NaSec~ao4.4derivaremosasequac~oes de equilbrio estatico de um solido, escritas emtermos de tens~oes e de forcas externas aplicadasno volume do corpo. Na Sec~ao 4.5 de niremos as relac~oes entre tens~oes e deformac~oes
Nosso primeiro modelo matematico para o problema fundamental sera formulado na Sec~ao 4.6, a partir das equac~oes de equilbrio, das equac~oes de deformac~ao e da lei de Hooke generalizada. Apresentaremos uma soluc~ao analtica domodelo para corpos de dimens~ao in nita sujeitos a um carregamento unitario concentrado, denominada soluc~ao fundamental de Kelvin. Essa soluc~ao sera util no Captulo 5. Na Sec~ao 4.7 de niremosasequac~oesdos modelossimpli cadosdemembranaseplacasdelgadasque utilizaremos na analise numerica de cascas.
4.2 Tens~oes
Consideremos um corpo contnuo qualquer que, em um determinado instante t 0
= 0 de tempo, ocupa um volume V
0
no espaco, delimitadopor uma superfcie S 0
, e sobre o qual atuam forcas externas como mostrado naFigura 4.1(a). Devido aatuac~ao das forcas externas, as partculas do corpo sofrem uma modi cac~ao de sua posic~ao inicial e passam a ocupar, em um instante qualquer t apos a aplicac~ao das forcas, novas posic~oes que de nem acon gurac~ao deformadado corpo. Nacon gurac~aodeformada, conforme indicado na Figura 4.1(b), o corpo ocupa um volume V, delimitado por uma superfcieS. Vamos suporque, nessa nova con gurac~ao, o corpo se encontre em equilbrio estatico. Comecaremos nossa discuss~ao sobre tens~ao classi cando as forcas que atuam sobreo corpoemduas categorias: forcas de volume eforcas de superfcie.
bdV dV S 0 bdV 0 dV 0 S V 0 dS 0 (b) t (a)t 0 =0 pdS 0 dS pdS V
Figura4.1: Corpo em equilbrioestatico.
Forcas de volume s~ao forcas que atuam sobre elementos de volume ou de massa do interior de um corpo, como, por exemplo, a forca da gravidade. Denotaremos a forcade volumepor unidadede volume queatua sobre um elementode volumedV do domnio de um corpo por b. Em um instante qualquer de tempo, a forca de volume que atua sobre um volume nito V de um corpo sera
Z V bdV =i k Z V b k dV: (4.1)
Um dos postulados fundamentais da mec^anica do contnuo, baseado unicamente na hipotese dacontinuidade,eque o limite
lim V!0
B V
=b; (4.2)
no ponto, ou seja, podemos considerar, por exemplo, elementos de esfera, cubo ou qualquer outro volumecuja dimens~aotenda azero.
Forcas de superfcies~aoforcas de contato que atuamsobre elementosde superfcie do contorno de um corpo. Denotaremos a forca de superfcie por unidade de area que atua sobre um elemento in nitesimal dS do contorno de um corpo p. Em um instante qualquer de tempo, a forca de superfcie que atua sobre uma porc~ao nita S dasuperfciede um corposera
Z S pdS =i k Z S p k dS: (4.3)
Umpostuladosimilaraquelede nidopelaEquac~ao (4.2)podeserderivadodade nic~ao de forcade superfcie. Consideremos uma forca P atuando sobre o elemento S da superfcie S de um volume V, como mostrado na Figura 4.2. A superfcie S separa
Q
P n
S V
Figura 4.2: Forca P nasuperfcieS.
duasporc~oesde umcorposeccionadoporum planode nidopelovetor normalnepelo ponto Q, sendo o volume V uma dessas porc~oes, tomada arbitrariamente. A forca P representa aac~ao interna exercidaentre asduas porc~oes docorpo. Opostuladoe que olimite lim S!0 P S =p (4.4)
existe sobre a superfcie S, no ponto Q, e e independente do elemento de superfcie considerado. A forca de superfcie p, ou tens~ao, de ne a intensidade da resultante dasforcas (supostas continuamentedistribudasnasuperfcie)porunidadede areaque atuam em um plano com normal n, no ponto Q. A determinac~ao do limite (4.4) e baseada na suposic~ao de que este limite e dependente da orientac~ao da normal n da superfcieque passa pelopontoQ, comoilustrado naFigura4.3.
A express~ao para o vetor de tens~ao em um ponto Q da superfcie de um corpo, segundouma direc~aoqualquerde nida porumanormaln, pode serobtidaapartirdos vetoresde tens~ao,nopontoQ,sobreplanosperpendicularesaoseixoscoordenados. Os componentesCartesianosdessesvetoresde nem oscomponentes Cartesianosdotensor de tens~oes de Cauchy no ponto Q, os quais podem ser organizados matricialmente como []= 2 4 xx xy xz yx yy yz zx zy zz 3 5 ou []= 2 4 11 12 13 21 22 23 31 32 33 3 5 ; (4.5) onde ij = p (i) j
P n Q S 00 S 0 S
Figura4.3: A tens~aoem um pontodepende da normalaoponto.
a direc~ao de atuac~ao, considerada positiva no sentido positivo do eixo coordenado correspondente. Os componentes
ii
representam os componentes normais de tens~ao; os componentes
ij
, i6=j, representam oscomponentes de cisalhamentode tens~ao,ou cortantes. x 2 x 1 22 32 31 x 3 33 21 12 23 13 11
Figura4.4: Componentes Cartesianosdo tensor de tens~oes de Cauchy.
Otensordetens~oesdeCauchy,quandon~aohamomentosdevolume[72],esimetrico, ou seja, ij = ji : (4.6)
A express~ao (4.6) pode ser obtida a partir da considerac~ao de equilbrio de um para-leleppedo elementar de nido emtorno de um ponto Q, onde as forcas de volume s~ao desconsideradas porque representam um in nitesimo de ordem superior emrelac~ao as forcas de superfcie [117]. Os momentos devidos a n~ao uniformidade de distribuic~ao das tens~oes normais tambem s~ao desconsiderados, por representarem in nitesimos de ordem superior em relac~aoaqueles devidos as tens~oes cortantes.
pon-porc~aodesse corpotambemdeve estar emequilbrio. Consideremos,ent~ao,um tetrae-dro \muito pequeno" extrado docorpo em considerac~ao, aoredor do ponto Q, como mostradonaFigura4.5. Este tetraedroedenominadotetraedrode Cauchy,sendo com-posto portr^esfacesperpendiculares aos eixoscoordenados,cujas normaisapontamno sentido negativodesses eixos, e por uma faceinclinada, de nida por um vetor normal n. O equilbrio em cada direc~ao pode ser expresso a partir das forcas que atuam no
x 2 x 1 x 3 A C Q B x 1 x 2 x 3 A S S 1 S 3 V h N S 2 C Q B N p (3) S 3 bV n n p (1) S 1 p (2) S 2 pS
Figura 4.5: Tetraedro de Cauchy. tetraedro,
1
Figura4.5(b). Nolimite,quandoo tamanhodotetraedro tendeazero,sua altura h tambem tende a zero, Figura 4.5(a), o efeito da forca de volume anula-se e obtemos[57,72, 117] p=p (1) n 1 +p (2) n 2 +p (3) n 3 ; (4.7) ou p=n; p i = ji n j em notac~aoindicial: (4.8)
AEquac~ao (4.8)echamadatransformac~aode tens~aode Cauchy,erelacionaos compo-nentes dovetor de tens~aoemumpontodeum planode normaln comoscomponentes dotensor de tens~oes no ponto.
4.2.1 Tens~oes Principais
Conhecido o estado de tens~oes em determinado ponto,e sempre possvel escolhermos um conjunto especial de eixos que passam atraves do ponto tal que os componentes de cisalhamento do tensor de tens~oes, tomado em relac~ao ao sistema de coordenadas de nido por esses eixos, sejamnulos. Esses eixoss~ao denominadoseixos principaisou direc~oesprincipais. Ovetordetens~aosobreumplanoperpendicularaumeixoprincipal e normal ao plano. Os tr^es planos que passam atraves do ponto, perpendiculares aos
1
tr^es eixos principais, s~ao chamados planos principais e os componentes normais de tens~ao sobre os planos principais, denotados por
1 ,
2 e
3
, s~ao chamados tens~oes principais. As direc~oes e tens~oes principais em um ponto Q de um corpo podem ser determinadas como segue.
Sejav um vetor unitarioem uma das direc~oes principais, aindadesconhecidas, e o tensor de tens~oes de Cauchy em Q. Como n~ao ha tens~oes de cisalhamento em um plano perpendicular av,o vetor de tens~ao peparalelo av,ou seja,
p i
=v i
: (4.9)
Usando a transformac~aode tens~ao de Cauchy, Equac~ao (4.8), emsua formaindicial,e a express~ao (1.12) dodelta de Kronecker naEquac~ao (4.9), obtemos
( ji Æ ji )v j =0; (4.10) ou, matricialmente, v ([] I)=0; (4.11)
ondeIeamatrizidentidade. AEquac~ao(4.10)representaumsistemade tr^esequac~oes lineareshomog^eneascujasincognitass~aooscossenosdiretores v
1 ,v 2 ev 3 de v,osquais tambem devem satisfazer
v i
v i
=1: (4.12)
Osistema(4.11)admitesoluc~aon~ao-trivialseodeterminantedamatrizdoscoe cientes ezero, j ji Æ ji j=0;: (4.13)
As razesdaEquac~ao(4.13),denominadaequac~ao caracterstica,s~aoastens~oes princi-pais procuradas e correspondem aos autovalores damatriz []. Os autovetores de [] correspondemas direc~oes principaisem Q.
As tens~oes principais s~aoquantidades fsicas que n~ao dependem dosistema de co-ordenadas noqualos componentes de tens~ao foraminicialmentetomados, sendo, por-tanto, invariantes doestado de tens~ao.
4.3 Deformac~oes
Na Sec~ao 4.2, vimos que, quando submetido a um sistema de forcas de volume e de superfcie, um corpo assume uma con gurac~ao deformada caracterizada por uma modi cac~ao da posic~ao inicial das partculas que o constituem. A modi cac~ao da posic~ao de uma partcula e denominada deslocamento da partcula. A descric~ao da deformac~ao de um corpo e de nida em termos do campo de deslocamentos associado a cada partcula do corpo em um instante de tempo t. Essa descric~ao, baseada na cinematica classica n~ao relativstica, requer o conhecimento de onde o corpo esta no instantet ede onde ocorpo estava antes dadeformac~ao,no instante t
0 =0.
1. Descric~ao material. As variaveis independentes s~ao a partcula X e o tempo t. A equac~aox=x(X;t) de ne simbolicamenteaposic~aox ocupadapelapartcula X notempot.
2. Descric~ao referencial. As variaveis independentes s~ao a posic~ao X da partcula X em uma con gurac~ao de refer^encia e o tempo t. Quando a con gurac~ao de refer^enciaeacon gurac~aoinicialem t
0
=0(correspondenteaoestadoanteriora aplicac~aodas forcas de volume ede superfcie,ouaoestadoindeformado),a des-cric~aoreferenciale tambemchamada de descric~ao Lagrangeanadomovimento.
2 3. Descric~aoespacial. Asvariaveisindependentess~aoaposic~aoatualxocupadapela
partculaX notempot eotempot. Adescric~aoespaciale tambem chamadade descric~ao Eulerianado movimento.
4. Descric~ao relativa. As variaveisindependentes s~aoaposic~aoatual xdapartcula X e um tempo variavel (de nido quando a partcula ocupava outra posic~ao diferentede x). (N~aoutilizaremosadescric~aorelativaemnossasdiscuss~oes sobre deformac~ao. Veja, por exemplo, MALVERN [72] para maioresdetalhes.)
As descric~oes do movimento mais interessantes para os nossos propositos s~ao as descric~oes referencial e espacial. Consideraremos como con gurac~ao de refer^encia a con gurac~aode nida notempot
0
=0 (descric~aoLagrangeanadomovimento)e toma-remos a posic~ao de refer^encia X da partcula X como um identi cador da partcula. Portanto, o termo \x e o lugar ocupado no tempo t pela partcula X" signi ca, na verdade, que \x e o lugar ocupado no tempo t pela partcula que ocupa a posic~ao X nacon gurac~ao de refer^encia". Simbolicamente,
x=x(X;t)=x i (X 1 ;X 2 ;X 3 ;t); (4.14) onde X=(X 1 ;X 2 ;X 3
) s~aoas coordenadas materiaisda partcula.
Na Equac~ao (4.14), a posic~ao onde a partcula esta e de nida em termos de onde apartcula estava. Emumadescric~aoEulerianao movimentoedescritoemtermosda posic~ao noespaco ocupado pelapartcula X no tempo t,
X=X(x;t)=X i (x 1 ;x 2 ;x 3 ;t); (4.15) onde x = (x 1 ;x 2 ;x 3
) s~ao as coordenadas espaciais da partcula. Na Equac~ao (4.15) a posic~ao onde a partcula estava e de nida em termos de onde a partcula esta. Em-bora as coordenadas espacial e materialpossam ser medidasemrelac~aoa sistemasde coordenadasdistintos,usualmenteomesmosistemaderefer^enciaparaxeXeutilizado. As de nic~oes de deformac~ao s~ao baseadas em medidas quantitativas de certos ti-pos de deslocamentos relativos entre partculas vizinhas. Consideremos, ent~ao, uma partcula X que ocupa uma posic~ao X em relac~ao a con gurac~ao de refer^encia, Figu-ra4.6. Portanto,Xea posic~aoonde apartculaX estavaemt
0
=0. Apos aaplicac~ao deforcasexternas,apartculapassaaocuparaposic~aox. Portanto,xeaposic~aoonde a partcula X esta no instante t. u e o deslocamento da partcula X de sua posic~ao inicial X paraa posic~aocorrente x.
2
dV t 0 =0 dS u n 0 x t n dS 0 dX X 2 ;x 2 X 1 ;x 1 X 3 ;x 3 dx X u+du dV 0
Figura 4.6: Cinematicada partcula.
As deformac~oes podem ser de nidas em termos da con gurac~ao n~ao deformada, usualmentechamadaformulac~aoLagrangeana,eemtermosdacon gurac~aodeformada, chamadaformulac~aoEulereana. UsandoaEquac~ao (4.14),arelac~aoentredxedXpode ser escrita como
dx=FdX= @x @X dX; (4.16) ondeF ij = @x i @Xj
s~aooscomponentesdotensor degradientesdedeformac~aoFemrelac~ao
a con gurac~aon~aodeformada. OtensorFrelacionauma\ bra" dXdomaterialantes da deformac~ao com uma \ bra" dx depois da deformac~ao. (Embora os componentes do tensor de gradientes de deformac~aosejam nitos, considera-se, na Equac~ao (4.16), a deformac~aode uma vizinhanca in nitesimal da partcula X. Usualmente, podemos interpretar dx como aposic~aoocupadapelo materialdeformadodX).
A determinac~ao docampo de deformac~oes de um corpopode ser efetuada a partir da diferenca dos quadrados dos comprimentos in nitesimais das bras antes e depois da deformac~ao,Figura4.7.
dX 3 dX 2 dx 1 dx 3 dX 1 dx 2 u+du u dL dL 0 x X
Figura 4.7: Deformac~ao de um elementode linha in nitesimal. Na formulac~ao Lagrangeanaas seguintes relac~oes s~aovalidas [72]:
dL 2 dL 2 0 =2dXEdX; ou dL 2 dL 2 =2dX i E ij dX j : (4.17)
Na formulac~aoEuleriana, temos dL 2 dL 2 0 =2dxE dx; ou dL 2 dL 2 0 =2dx i E ij dx j : (4.18) Nasequac~oes acima,Eeotensorde deformac~oes deGreen-LagrangeeE
eotensor de deformac~oes de Almansi, ouEuleriano. Esses tensores s~aode nidos, respectivamente, pelas express~oes (veja, por exemplo, KANE [57, pagina 110])
E ij = 1 2 @u i @X j + @u j @X i + @u k @X i @u k @X j (4.19) e E ij = 1 2 @u i @x j + @u j @x i @u k @x i @u k @x j : (4.20)
A partir da Equac~ao(4.16) e de sua relac~ao inversa podemos escrever os tensores de deformac~aoEe E como E= 1 2 [F T F 1] e E = 1 2 [1 (F 1 ) T F 1 ]; (4.21)
com componentes Cartesianos dados por E ij = 1 2 @x k @X i @x k @X j Æ ij e E ij = 1 2 Æ ij @X k @x i @X k @x j : (4.22) A unica suposic~ao que admitimosate o momento, e a partir da qual as de nic~oes apresentadas nesse Captulo foram fundamentadas, foi a hipotese da continuidade. Portanto,asequac~oes de tens~oes edeformac~oes desenvolvidas ate aquis~aogerais e in-dependentes domeiocontnuoconsiderado. Introduziremos agorauma novahipotese.
Pequenos deslocamentos, pequenas deformac ~
oes. Quando sub-metidos a forcas de volume e de superfcie, os corpos apresentar~ao pequenos deslocamentose pequenasdeformac~oes.
Esta hipotese, determinada na pratica pelas condic~oes de utilizac~ao de estrutu-ras civis, simpli ca consideravalmente nossos modelos matematicos. Se as derivadas parciais dos deslocamentos u
i
em relac~ao as coordenadas materiais X i
s~ao todas pe-quenas quando comparadas com a unidade, os quadrados e produtos dessas derivadas podem ser desconsiderados quandocomparados com ostermoslineares. Considerando a hipotese anterior, as Equac~oes (4.19) e (4.20) podem ser simpli cadamente escritas como ij = 1 2 @u i @X j + @u j @X i (4.23) e ij = 1 2 @u i @x + @u j @x ; (4.24)
onde E foi trocado por para denotar pequenas deformac~oes. Alem disso, podemos ignorar asdistinc~oes entre asformulac~oes Lagrangeanae Eulerianaeescrevero tensor de pequenas deformac~oes como
ij = 1 2 (u i;j +u j;i ): (4.25)
Na teoria linearizada da elasticidade, a Equac~ao(4.25) e usualmente obtida como segue. SejamduaspartculasvizinhasX
P eX
Q
,mostradasnaFigura4.8. O(pequeno) deslocamento relativo de X Q emrelac~aoa X P e du=u XQ u XP : (4.26)
O deslocamento relativo unitario e du=dL, onde dL e o comprimento da \ bra"
in-X P u+du du X Q u
Figura4.8: Deslocamentorelativo entre duas partculas. nitesimalrepresentada pelo vetor dX =X
P X Q . Os componentes retangulares de du s~ao du i dL = @u i @X j dX j dL (4.27) (somatorio emj), ou 2 6 6 6 6 4 du x dL du y dL du z dL 3 7 7 7 7 5 = 2 6 6 6 6 4 @u x @X @u x @Y @u x @Z @u y @X @u y @Y @u y @Z @u z @X @u z @Y @u z @Z 3 7 7 7 7 5 2 6 6 6 6 4 dX dL dY dL dZ dL 3 7 7 7 7 5 : (4.28)
A Equac~ao (4.28)pode ser escritacomo du dL =ur n ou du dL =J u n; (4.29)
onde n e o vetor unitario nadirec~ao de dX. A matriz quadrada J u
e chamada matriz de deslocamentorelativounitario. PodemosescreverJ
u
comoasomadeduasmatrizes, uma simetrica e outra anti-simetrica. Chamaremos a parte simetrica de J de [] e a
parte anti-simetrica de [!]. As express~oes s~ao [ ]= 2 6 6 6 6 6 6 4 @u x @X 1 2 @u x @Y + @u y @X 1 2 @u x @Z + @u z @X 1 2 @u y @X + @u x @Y @u y @Y 1 2 @u y @Z + @u z @Y 1 2 @u z @X + @u x @Z 1 2 @u z @Y + @u y @Z @u z @Z 3 7 7 7 7 7 7 5 = 1 2 ur + ! ru ; (4.30) e [!]= 2 6 6 6 6 6 6 4 0 1 2 @u x @Y @u y @X 1 2 @u x @Z @u z @X 1 2 @u y @X @u x @Y 0 1 2 @u y @Z @u z @Y 1 2 @u z @X @u x @Z 1 2 @u z @Y @u y @Z 0 3 7 7 7 7 7 7 5 ! = 1 2 ur ! ru : (4.31)
Otensor eo tensorde pequenas deformac~oes, como antes. Otensor ! e o tensorde pequenas rotac~oes do campo de deslocamentos in nitesimaisu.
4.4 Equac~oes de Equilbrio
O conceito de equilbrio utilizado para derivar a transformac~ao de tens~ao de Cauchy, Equac~ao (4.8),tambempode ser aplicadopara derivar umarelac~aofundamentalentre as derivadas espaciais dos componentes de tens~ao. Considerando o equilbrio estatico docorpoda Figura4.1, podemos escrever, a partirdas Equac~oes (4.1) e(4.3),
Z V bdV + Z S pdS =0: (4.32)
Podemos transformar a integral de superfcie da Equac~ao(4.32) em uma integral de volume,primeiroaplicandoatransformac~aodetens~aodeCauchye,segundo,utilizando o teoremadadiverg^encia,
Z S p i dS = Z S ji n j dS = Z V @ ji @x j dV: (4.33)
Combinando asEquac~oes (4.32) e (4.33), obtemos aequac~ao de equilbrio Z V @ ji @x j dV + Z V b i dV =0; (4.34) ou @ ji @x +b i =0: (4.35)
(Essa equac~ao e uma express~ao particular, para ocaso de equilbrio estatico, do