O que s˜ao Modelos?

ITULO

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O que s˜ao Modelos?

2.1 Introduc~ao

NoCaptulo 1,procuramosjusticar queoscamposde deslocamentos, de deformac~oes e de tens~oes de um solido so podem ser aproximadamente determinados atraves de representac~oessimplicadasdaestruturaedocomportamentodessesolido. Chamamos essas representac~oes simplicadasde modelos.

Modelos Modelos s~ao representac~oes das caractersticas principais de uma entidade concreta ou abstrata, construdas com o proposito de permitir a vi-sualizac~ao e a compreens~ao da estrutura e docomportamento da entidade.

Naliteratura, encontramosconceitos similaresparamodelos. M 

ANTYL 

A[74], por exemplo, deneum modelo como sendo

\umobjetoconstrudoarticialmentequetornaaobservac~aodeoutro obje-tomais facil. Para tornara observac~aopossvel, modelos fsicos de objetos tridimensionais tais como edifcios, naves e carros, usualmente comparti-lham asdimens~oes relativase aapar^enciageral do objeto fsico correspon-dente, mas n~aoo tamanho. ( ::: ) Modelos matematicos, amplamente uti-lizados emvarios campos da ci^encia e engenharia, representam algunsdos aspectos comportamentais de fen^omenos modelados em termos de dados numericos e equac~oes."

VAN DAM e SKILAR [38] armamque

\modelos quantitativos comuns em ci^encias e engenharia s~ao usualmente expressos como sistemas de equac~oes e o modelador, experimentalmente, variaosvaloresdas variaveisindependentes, coecientes e expoentes. Mui-tasvezes, os modelossimplicam averdadeira estrutura oufuncionamento daentidademodelada,paratornaromodelomaisfacilde visualizar,ou pa-raaquelesmodelosrepresentadosporsistemasdeequac~oes, tornaromodelo

Nesse Captulo faremos uma discuss~ao generalizada sobre modelos em engenharia de estruturas, especicamente sobre modelos computacionais. Um modelo computa-cional e um modelo cuja estrutura pode ser armazenada em memoria de computador e cujocomportamentopode ser determinadoatravesde um programa de computador, ou aplicac~ao de modelagem. Na Sec~ao 2.2, trataremos da modelagem geometrica de estruturas. Na Sec~ao 2.3, discutiremos o processo de modelagem matematica de um problema fsico,particularmenteo problemafundamental. NaSec~ao 2.4, abordaremos a modelagemmec^anica. Na Sec~ao2.5, caracterizaremosa estruturae afuncionalidade de um sistema computacionalde modelagem.

Exemplo

Para ilustrarmosnossas discuss~oes de modelagemgeometrica,matematicaemec^anica, vamos considerar, como exemplo, o solido mostrado na Figura 2.1, denido por um volumeeumasuperfcie . Nosso objetivoedeterminarocomportamentodoobjeto antes de sua construc~ao,ouseja,osdeslocamentos,deformac~oes etens~oes emqualquer pontodo solido, quando submetido aos carregamentos indicados nagura.

Figura2.1: Qualeo comportamento desse solido?

2.2 Modelagem Geometrica

A modelagem geometrica envolve o uso do computador para auxiliar a criac~ao, ma-nipulac~ao, manutenc~ao e analises de representac~oes da forma geometrica de objetos bidimensionais etridimensionais. Podemosdistinguirdiferentes formas de modelagem geometrica.

 Modelagem o-de-arame. A representac~ao de objetoseefetuada atravesde ares-tas e pontossobreasuperfciedoobjeto. Arepresentac~ao o-de-aramedosolido da Figura 2.1 e denida por oito pontos, os \cantos" da estrutura, e por doze arestasretasqueunemessespontos. Arepresentac~aon~aonospermite,por exem-plo, a remoc~aodas linhas escondidas da gura. N~ao podemos determinar quais arestas est~ao \escondidas" por alguma superfcie porque, simplesmente, n~ao ha no modelo quaisquer informac~oes sobre as superfcies queconstituem o solido.  Modelagem de superfcies. A representac~ao de objetos e baseada na descric~ao

o solido da Figura 2.1e representado por seis faces planas, sendo cada face de-nida por quatro pontos. A representac~ao permite o emprego de tecnicas mais sosticadas de gerac~ao de imagens, mas usualmente n~ao oferece dados sucien-tes para vericac~ao da integridade do modelo. Por exemplo, podemos armar, prontamente, que um conjuntode seis facesrepresentam um objeto solido?  Modelagem de solidos. A representac~ao contem, explcita ou implicitamente,

in-formac~oesarespeitodofechoeconectividadedos volumesde formassolidas. Um modelo de solidos, diferentementedos modelosde superfcie, nos permite distin-guir a regi~ao de espaco do interior de um volume da regi~ao de espaco exterior, possibilitando aanalise de propriedades de massa doobjeto sendo representado, tais como centro de gravidade e momentos de inercia. O modelo de solidos do exemplodaFigura2.1podeserdenidoporseisfacesplanaseoitovertices,como antes, mais um conjunto de informac~oes sobre aadjac^enciadesses componentes. Esse conjunto de informac~oes e necessario para garantir, por exemplo, que em cada uma das doze arestas do modelo incidam sempre duas faces, de tal modo queoconjuntode facesdomodelorepresente asuperfcie de . Ummodelode solidosedito ser uma representac~aode variedade de dimens~ao 2,ou2-manifold. (Explicaremos oque e uma representac~ao de variedade de dimens~ao2 aseguir.)  Modelagem geometrica n~ao-manifold. Esse tipo de modelagem remove muitas dasrestric~oes associadascomamodelagemde solidos 2-manifoldporqueengloba todasascapacidadesdastr^esformasdemodelagemvistasanteriormenteemuma representac~ao unicada, estendendoo domniode representac~ao de objetos. Em uma representac~ao de variedade de dimens~ao 2, ou 2-manifold(manifold para abreviar),cada pontosobre asuperfciedosolidoebidimensional,ouseja,cada ponto tem uma vizinhanca homeomorca a um disco bidimensional. Em outras palavras, a superfcie, mesmo que exista no espaco tridimensional, e \plana" quando examinada proxima a uma area sucientemente pequena em torno de qualquer ponto dado. O objeto de nosso exemplo e manifold. Usaremos o termo n~ao-manifold em modelagem geometrica quando nos referirmos asituac~oes topologicasque n~aos~ao manifold, como ilustradopelo solido daFigura2.2.

Figura2.2: Exemplo de solido n~ao-manifold.

Observe que na aresta que une os dois blocos incidem quatro faces. Como uma aresta, teoricamente, so possui uma dimens~ao, esse solido n~aopode existir no mundo real. No entanto, em muitos modelos de engenharia temos exatamente essa situac~ao,

2.2.1 Geometria e Topologia

Podemos considerarque ageometriarepresenta essencialmentetodas asinformac~oes a respeito daformageometricade um objetoea precisalocalizac~aoespacialde todos os seus componentes.

DeacordocomWEILER [127],topologiae,\pordenic~ao,umaabstrac~ao, um sub-conjunto de todas as informac~oes geometricas de um objeto. Mais formalmente, um conjunto de propriedades invariantes em relac~ao a determinado conjunto de transfor-mac~oes geometricas." A invari^ancia dessas propriedades em relac~ao a transformac~oes implica queaspropriedadesrepresentadas pelatopologian~aoinclueminformac~oes que possam ser modicadas pelas transformac~oes. Portanto, n~ao temos todas as infor-mac~oesgeometricasnatopologia. Atopologiaeumainformac~aogeometricaincompleta que pode ser teoricamentederivada da especicac~ao geometricacompleta.

Consideremos o solido prismatico da Figura 2.1. Se aplicarmos ao solido trans-lac~oes ou rotac~oes arbitrarias, ou seja, movimentos de corpo rgido, o objeto mudara de posic~ao, mas continuara sendo um prisma. Ainda teremos cada ponto sendo com-partilhado portr^esarestas, cadaaresta sendocompartilhadaporduas faces, cada face conectada com outra de modo a formar a superfcie externa do solido. Dizemos que nosso objetoetopologicamenteequivalenteaumcubo,istoe,possuioitovertices,doze arestas e seis faces apropriadamenteconectados.

Nocontexto damodelagemgeometrica,utilizaremoso termotopologiacomo signi-cado derelac~oes deadjac^enciaentre elementos topologicostaiscomovertices,arestas e faces. Umarelac~aode adjac^encia ea adjac^encia, em termos de proximidade fsica e ordem, de um grupo de elementos topologicos de um tipo ao redor de um unico ele-mento topologico de outro tipo. Um exemplo de relac~ao de adjac^encia e o grupo de arestas incidentes em um verticede um modelo manifold.

Aseguir,veremosalgumasalternativasdemodelagemgeometricadeobjetos, discu-tindo, comumpoucomaisde detalhes,algunsaspectosde modelosdesolidosbaseados emrepresentac~oesporfronteira. Antes,porem,veremosoqueeumahierarquiaem mo-delos geometricos. No Captulo 3 deniremos as representac~oes geometricas de nossos modelos estruturais.

2.2.2 Hierarquias em Modelos Geometricos

Os modelos geometricosmuitas vezes t^emuma estrutura hierarquica induzidaporum processo de construc~ao \bottom-up": componentes s~aousadoscomo blocos basicos pa-ra criar entidades mais complexas, as quais, por sua vez, s~ao usadas para construc~ao de outras entidades, de nvel ainda mais alto. Em grandes sistemas, no entanto, hie-rarquias raramente s~ao construdas estritamente \bottom-up" ou \top-down"; o que interessarealmentee ahierarquia nal en~aoo processo de construc~ao.

No caso incomum em que cada objeto e includo apenas uma vez em um objeto de nvel mais alto, a hierarquia pode ser simbolizada como uma arvore, cujos nos representam os objetos e asarestas representam asrelac~oes de inclus~ao entre objetos. Nos casos mais comuns de objetos includos multiplas vezes, a hierarquia e melhor simbolizada por um grafo dirigido acclico (GDA). A estrutura simplicada de um edifcio pode ser utilizada como exemplo de uma hierarquia de objetos. A Figura 2.3

viga

laje estaca

fundac~oes

vigavigaviga placa estaca estaca estaca

pilar pilar pilar pilar " " " " " " b b b b b b J J J          b b b b b b S S S S     pavimento-tipo b b b b b b e e e e % % % % cobertura edifcio E E E E E E E E E E E        c c c c viga laje ???? A A AAU placa pilar ???? pavimento-tipo     = estaca ???? fundac~oes cobertura edifcio Q Q Q Q Q Q s C C C C C C C C C C C W (a)  Arvore (b)GDA      

Figura2.3: Hierarquia dos componentes de uma estrutura simples.

Aestruturadoexemploecompostapelasestruturasdefundac~oes, pavimento-tipoe cobertura. Asfundac~oes, porsuavez, s~aodenidas porquatroestacas,eo pavimento-tipo, por quatro pilares e uma laje, constituda por uma placa apoiada em quatro vigas.

Para simplicar a tarefa de construir objetos complexos (e seus modelos), comu-mente utilizamos componentes at^omicos especcos a aplicac~ao como blocos basicos de construc~ao. Em 2D, estes componentes s~ao, geralmente, desenhados a partir de representac~oes das formas de conjuntos denidos de smbolos. Estas formas, por sua vez, s~ao compostas de primitivos geometricos tais como linhas, ret^angulos, polgonos, arcos de elipse e de circunfer^encia e assim por diante. Em 3D, os blocos basicos de construc~aopodem ser formas taiscomocilindros,paraleleppedos,esferas, pir^amidese superfcies de revoluc~ao. Estas formas 3D podem ser denidas emtermos de primiti-vos baseadas em polgonos 3D; neste caso, superfcies curvas devem ser aproximadas por faces poligonais, com alguma perda de resoluc~ao. Alternativamente, em sistemas avancados de modelagemque manipulamdiretamentesuperfcies evolumes genericos, formas como superfcies parametricas polinomiais e solidos como cilindros, esferas e cones, s~ao eles propriosprimitivosgeometricos, denidos analiticamentesem perda de resoluc~ao. VAN DAN, em FOLEY[38], usa otermo objeto

1

\paraaquelescomponentes 2D e3Dques~aodenidosemseus proprios sis-temasde coordenadasde modelagem,emtermosde primitivosgeometricos e objetos de nvel mais baixo e que, frequentemente, possuem n~ao apenas dados geometricos,mas tambem dadosde aplicac~aoassociados."

Uma hierarquia,portanto,e criadapara uma variedade de propositos:

 construir objetoscomplexos de maneiramodular, tipicamentepor inst^ancias re-petitivas de blocos basicos de construc~ao, que variam em atributos geometricos ede apar^encia;

 proporcionareconomiadearmazenamento,sendosucientearmazenarapenas re-fer^enciasaobjetosques~aousadosrepetitivamente,aoinvesdacompletadenic~ao do objeto;

 permitir facil propagac~ao de modicac~oes, uma vez que uma mudanca na de-nic~aodealgumblocobasicoeautomaticamentepropagadapara todos osobjetos de mais altonvelque usam talbloco.

Atualmente,variossistemasdePOO, taiscomoSmalltalk[47],est~aocadavez mais sendo utilizados para codicar a hierarquia de modelos e armazenar informac~oes de modelagempara osobjetosgeometricosemaplicativoscompugracos[75].

2.2.3 Modelagem de Solidos

A modelagem de solidos [74] e um ramo da modelagem geometrica que enfatiza a aplicac~aogeraldemodelosapartirdacriac~aoderepresentac~oes\completas"deobjetos solidos, istoe,representac~oes que s~aoadequadas para responder quest~oes geometricas arbitrarias de maneiraalgortmica,sem a ajuda dousuario.

Oobjetivode aplicac~aogeralseparaamodelagemde solidosdeoutrostiposde mo-delosgeometricos,destinadosaalgunspropositosespeciais. Modelosgracos destinam-se a descrever odesenho de um objeto aoinvesdo proprio objeto, constituindo-se em colec~oes n~ao estruturadas de elementos de uma imagem, ou possuindo alguma estru-tura interna para auxiliar, por exemplo, em operac~oes de processamento de imagens. Modelos de superfcie fornecem informac~oes detalhadas sobre uma superfcie curva, mas geralmente n~ao possuem informac~oes sucientes para determinac~ao de todas as propriedades geometricas doobjetodelimitadopela superfcie.

Aexig^enciade aplicac~aogeralrequeralgumaspropriedadesdosmodelosde solidos, obtidas a partir de uma vis~ao mais rigorosa de modelagem[96]. Essa vis~ao e baseada na distinc~aoentre tr^es nveis de modelagem,conforme aFigura 2.4.

Objetos Fsicos Objetos Matematicos Representac~oes

-Mundo Universo Matematico

-Figura2.4: Uma vis~aoem tr^es nveis de modelagem.

1. Objetos Fsicos. Atraves de modelos, intencionamos descobrir algumas coisas a respeitodomundorealtridimensional,emboran~aopossamosperceberumobjeto real em sua total complexidade eem seus detalhes microscopicos e muito menos representar todos seus aspectos em um computador.

2. ObjetosMatematicos. Devemos,portanto,adotarumaidealizac~aoapropriadados objetos fsicos reais de interesse. Estes objetos idealizados devem possuir uma conex~ao clara com o mundo real e serem simples o bastante tal que possamos

3. Representac~oes. O passo nal da atividade de modelagem e atribuir ao objeto matematico uma representac~ao que seja conveniente para manipulac~ao compu-tacional. Uma denic~ao formal de representac~ao, bem como maiores detalhes a respeito de modelos matematicos de solidos, suas caractersticas e propriedades, podem ser encontrados emM



ANTYL  A [74].

REQUICHA [96] listaalgumaspropriedadesdesejaveis emesquemas de representac~ao de solidos:

 O domnio de representac~ao necessita ser amplo o suciente para permitir que um conjuntoconveniente de objetosfsicos possa ser representado.

 A representac~ao precisa ser, idealmente, n~ao-ambgua; n~ao deve haver duvida sobreoqueestasendorepresentado eumadadarepresentac~aodevecorresponder aum esomenteum solido. Umarepresentac~aon~ao-ambguaedita ser completa, ouintegral.

 Uma representac~aoe unica se puder ser usada para codicar qualquer solido de somente uma maneira. Se uma representac~ao garante a imparidade, operac~oes taiscomo oteste de igualdade de objetoss~ao executadas mais facilmente.  Uma representac~ao exata permite que um objeto seja representado sem

aproxi-mac~oes.

 Idealmente, um esquema de representac~ao deve tornar impossvel a criac~ao de uma representac~ao invalida (isto e, que n~ao corresponda a um solido), bem co-mo fornecer ferramentas para criar adequadamente uma representac~ao valida, tipicamentecom a ajuda de um sistemainterativo de modelagemde solidos.  Objetossolidosdevemmanter fechosobrotac~aoe translac~ao: aaplicac~aodetais

operac~oes sobre objetosvalidosdeve produzir apenas objetosvalidos.  A representac~ao deve ser compactapara poupar espaco e,nalmente,

 Uma representac~ao deve permitir o uso de algoritmosecientes para gerac~aode imagens e para computac~ao das propriedades fsicas e comportamentais deseja-das.

Alem das diculdades impostas por tais propriedades, existem muitos aspectos praticos quetornam a construc~ao de um modeladorde solidos uma tarefa n~ao-trivial, como se pode observar pela analise dos componentes funcionais de um modelador, Figura2.5.

Inicialmente, os objetos s~ao descritos para o modelador em termos de uma lin-guagemde descric~ao, baseada nos conceitos de modelagemavaliados nomodeladorde solidos, textualmente ou, de prefer^encia, atraves de uma interface interativa graca com o usuario. As descric~oes dos objetos s~ao, emseguida, traduzidas para seobter as representac~oes internas armazenadas pelomodelador. A relac~ao entre a linguagem de descric~ao easrepresentac~oes internasn~aonecessitaser direta: asrepresentac~oes inter-naspodemempregarconceitosde modelagemdiferentes daquelesdadescric~aooriginal. Alemdisso, um modeladorde solidos pode disporde diversas linguagensde descric~ao,

Modelagem Alg1 Resultados Alg2 Algn -6 Descric~ao -Modelador deSolidos

Sistema Geometrico Quest~oes Geometricas

-

-Representac~ao

Figura2.5: Componentes funcionaisde um modeladorde solidos.

Omodeladordeve possuir interfaces paracomunicac~aocom outrosmodulos. Estas interfaces s~ao usadaspara transmitirinformac~oes para varios algoritmosou, eventual-mente, ate mesmo os modelos solidos completos para outros sistemas de analise. O modelador tambem deve incluir facilidades para armazenamento das descric~oes dos objetos eoutros dados, embases de dados permanentes.

Aplicac~ao geral signica capacidade de fornecer, algoritmicamente, respostas para quest~oes tpicas em aplicac~oes de engenharia, taiscomo:

1. Qual e a apar^encia doobjeto?

2. Qual e o peso, area supercial, volume, etc. doobjeto? 3. O objeto intercepta algum outro?

4. O objeto possui resist^encia sucientepara suportar determinado carregamento? 5. Comooobjetopodeserconstrudocomcertosprocessosconstrutivosdisponveis?

O resultado de uma quest~ao geometrica pode ser uma imagem, um numero sim-ples ouuma constante booleana,bemcomo um outro modelo de solido que representa o resultado de um calculo, como a quest~ao \qual e a deformac~ao produzida por es-te carregamento aplicado ao objeto?" Claramente, e importante que um modelador geometrico inclua facilidades para modelar n~ao apenas objetos fsicos, mas tambem efeitos de processos fsicos aplicadosa eles. Naturalmente, omodeladordeveria ser ca-paz de aplicarrepetidamentetaisoperac~oes aos resultados de operac~oes anteriores,ou seja, asoperac~oes nomodeladordeveriamconstituir um sistemafechado, garantindo a manutenc~ao daexatid~ao dos modelos fundamentais.

A seguir, resumimos alguns esquemas de representac~ao de solidos mais utilizados atualmente. Formalismos e propriedades detalhadas sobre tais esquemas podem ser

Representac~ao de Solidos

Osesquemas de representac~ao de solidos podem ser divididos emtr^esgrandes classes:  Modelos de decomposic~ao representam o conjunto de pontos de um solido como uma colec~aode objetossimples, apartir de uma colec~aoxa de tiposde objetos primitivos, combinados com uma operac~ao simples de \colagem". Inst^ancia de primitivos, enumerac~ao exaustiva, esquemas de subdivis~ao de espaco e decompo-sic~ao em celulass~aoexemplos de modelos de decomposic~ao.

 Modelos construtivos representam o conjunto de pontos de um solido como uma combinac~ao de conjuntos primitivos de pontos. Cada um destes primitivos e representado comoumainst^anciadeum tipodesolidoprimitivoeosmodelos