Modelos Micromecânicos

A iniciação de microtrincas e o crescimento de trincas curtas é um dos aspectos mais importantes na pesquisa sobre fadiga. A partir de trabalhos experimentais verificou- se que elas podem se formar a partir da nucleação em BDP na superfície do material. Se uma BDP estiver favoravelmente orientada e localizada em uma área de tensão elevada, o início da trinca a partir dela torna-se muito provável. Para baixos valores de tensão, barreiras microestruturais influenciam fortemente o comportamento de propagação dessas trincas. À nível microestrutural, a tensão localtrês varia de grão para grão, uma vez que a resposta de tensão/deformação de um único cristal não é isotrópica. Essa falta de homogeneidade de tensão causada pelo desalinhamento da orientação dos grãos não pode ser desprezada. Outro fator de grande influência relacionado a microestrutura é o tamanho do grão. Em geral, os materiais de grão fino apresentam maior vida na iniciação do que os materiais de granulação grossa (GLODEZ; SORI; KRAMBERGER, 2013).

O modelo que considera as características microestruturais do material, como tamanho e orientação, sobre o comportamento de iniciação e crescimento de trincas curtas foi proposto por Navarro e Rios (1988). Outro modelo frequentemente utilizado foi proposto por Tanaka e Mura (1981), que considera que a vida de iniciação de um microtrinca por fadiga se deve ao acúmulo de discordâncias em BDP em grãos favoravelmente orientados. Alguns trabalhos presentes na literatura que aplicaram esses modelos são apresentados nas seções 3.1.1 e 3.1.2.

3.1.1 Modelo do Tanaka e Mura

Um modelo frequentemente proposto para descrever a fase de iniciação em componentes metálicos é o modelo de previsão desenvolvido por Tanaka e Mura, nomeado nessa pesquisa por Modelo T M.

Tanaka e Mura (1981) derivaram um modelo teórico baseado na microestrutura para explicar o mecanismo de iniciação de microtrincas por fadiga. De acordo com o modelo, uma microtrinca é iniciada em função do acúmulo de dipolos de deslocamentos irreversíveis em duas camadas adjacentes em uma BDP durante o carregamento cíclico. O fluxo plástico cíclico no interior dessa BDP foi modelado por meio de discordâncias com sinais contrários movendo-se em duas camadas próximas.

Conforme Tanaka e Mura (1981) a BDP formada em um grão favoravelmente orientado na superfície do material é o local preferencial para a iniciação de trincas a altos ciclos em metais policristalinos. Esse processo de iniciação é representado na Figura 10, onde h é a altura da BDP, D é o tamanho do grão e d metade deste tamanho.

Figura 10 – Representação da BDP em um grão

Fonte: autoria própria.

A BDP estende-se de x = −d a x = d. Os pontos −d e d são os limites (fronteiras) do grão, onde o movimento de deslocamento é bloqueado.

Tanaka e Mura (1981) consideram a iniciação do ponto de vista do balanço de energia. Segundo esse critério, o número de ciclos de tensão para o início de uma microtrinca da ordem do tamanho do grão é definido como o ciclo em que a energia de deformação acumulada se torna igual a energia de superfície e as camadas de dipolos de deslocamento podem ser transformadas em uma superfície livre (TANAKA; MURA, 1981; TANAKA; MURA, 1982).

A fase de iniciação da microtrinca na BDP é então definida como o número de ciclos de tensão Ni quando a seguinte condição de balanço de energia é satisfeita

(TANAKA; MURA, 1981; TANAKA; MURA, 1982; MURA; NAKASONE, 1990; CHAN, 2003):

Ni∆U = DWs (3.1)

Onde Ws é a energia de fratura específica para uma área unitária ao longo da banda de deslizamento e ∆U o incremento de energia de deformação armazenada nos dipolos de deslocamento a cada ciclo de carregamento (para frente e para trás).

Representando os acúmulos de deslocamentos em termos de discordâncias continuamente distribuídas, Tanaka e Mura (1981), demostraram que a mudança na energia de deformação armazenada ∆U por unidade de espessura a cada ciclo é dada pela equação 3.2.

∆U = πD 2

(1 − ν)(∆τ − 2k)2

8G (3.2)

Sendo G o módulo de cisalhamento, ν o coeficiente de Poisson, ∆τ a variação de tensão cisalhante no ciclo de carregamento e k a tensão de atrito, que é considerada dupla devido ao efeito cíclico do carregamento.

Ao considerar ∆U na equação 3.1, o número de ciclos para o início de uma microtrinca ao longo da BDP foi definido conforme a equação 3.3:

Ni =

8GWs

Dπ(1 − ν)(∆τ − 2k)2 (3.3)

A equação 3.3 relaciona o nível de tensão efetivo (∆τ − 2k), no local onde a iniciação ocorre, e o comprimento da banda de deslizamento D com o número de ciclos

Ni para iniciar a microtrinca. Desta forma, o modelo proposto por Tanaka e Mura (1981), descreve a relação inversa entre a fase de iniciação Ni de uma microtrinca e o tamanho do grão D. O tamanho dessa microtrinca, no entanto, não é determinado.

Com base nessa limitação de previsão, Chan (2003) estendeu o modelo de Tanaka e Mura (1981) para incluir parâmetros de tamanho de trinca para o caso de fadiga uniaxial. O modelo obtido foi então aplicado para prever o tamanho da microtrinca na iniciação em ligas metálicas e comparado com dados experimentais.

O tamanho da trinca foi incorporado na equação 3.3 considerando o comporta- mento da energia livre para a sua formação. Conforme MURA e NAKASONE (1990) a alteração de energia livre (∆G) associada à nucleação de uma microtrinca por fadiga em um duplo acúmulo de dipolos de deslocamento é dada pela equação 3.4. Essa energia livre corresponde a energia útil do sistema que é utilizada para realizar trabalho.

∆G = −Ue− Um+ 2aγs (3.4)

Onde Ue corresponde à energia de deformação elástica armazenada nos dipolos de deslocamento, Um é a energia de deformação elástica liberada devido a abertura da

trinca durante o processo de iniciação, a é a metade do comprimento da microtrinca originada na BDP e γsé a sua energia de superfície. Essa mudança de energia varia com o número de ciclos, conforme representado esquematicamente na Figura 39e.

Figura 11 – Representação do balanço de energia

Fonte: adaptado de Chan (2003).

Inicialmente a variação é positiva (∆G > 0), indicando que há uma barreira de energia para que a iniciação ocorra. A variação de energia atinge um valor máximo em ∂∆G/∂N = 0, o que indica que a estrutura de dipolos de deslocamento e a microtrinca incipiente estão energeticamente em quase equilíbrio e conforme MURA e NAKASONE (1990), é nesta condição que a microtrinca é iniciada e o número de ciclos correspondente é definido como o número de ciclos Ni.

De acordo com Chan (2003), quando ∂∆G/∂N = 0, a variação de energia livre ainda é positiva e a iniciação não ocorre de forma espontânea, mas deve superar a barreira da energia de superfície.

Conforme Chan (2003), nem todos os dipolos de deslocamento contribuem para a formação da microtrinca, pelo menos não imediatamente no seu início; desta forma, a iniciação é considerada como ocorrendo apenas em uma porção da BDP, a qual Chan (2003) atribuiu um comprimento de 2a.

A energia de deformação equivalente no interior desta microtrinca incipiente, a ser liberada para a sua iniciação, foi definida como aUeq/D, onde Ueq é a energia de deformação armazenada nos dipolos de deslocamento da BDP equivalente. Dessa forma, o máximo valor da energia livre ocorre quando a seguinte igualdade é satisfeita (ver Figura 39e):

Ueq= 2Dγs (3.5)

equação 3.5, Chan (2003) derivou uma expressão para calcular o comprimento a da microtrinca, quando ∂∆G/∂N = 0, conforme equação 3.6:

a = 0.005 D h 2γ s G  (3.6) Chan (2003) aplicou essa equação para prever o tamanho da microtrinca para dois tipos de aço. No entanto, os valores obtidos foram cerca de cinco vezes menores do que os verificados experimentalmente. Chan (2003) atribui essa discrepância ao uso de apenas γs como valor de energia a ser superado para que a iniciação ocorra, o que não reflete o trabalho plástico dissipado durante o deslizamento cíclico ao longo da BDP.

Para determinar o número de ciclos Ni, Chan (2003) impôs que a iniciação depende da condição de Ws = γs e obteve a equação 3.7 para determinar o número de ciclos necessários para iniciar uma microtrinca de comprimento 2a. Nessa equação a faixa de tensão aplicada ∆σ está relacionada a faixa de tensão de cisalhamento ∆τ , no plano de deslizamento, pelo fator de Taylor (M ). Esse fator é uma relação da quantidade de deformação por cisalhamento que é necessária para produzir certa deformação por tração.

(∆σ − 2Mk)Niα = " 8M2 G2 λπ(1 − ν) #0.5 h D ! c D 0.5 (3.7) Conforme Chan (2003), o termo 2Mk, presente na equação 3.7 representa o limite de fadiga abaixo do qual a iniciação não ocorre. Chan (2003) aplicou esse modelo para determinar a curva da vida de iniciação de várias ligas estruturais. Porém, a curva calculada não apresentou bons resultados, sendo que de forma geral o modelo subestimou o limite de fadiga.

Chan (2003), obteve ainda uma expressão para determinar a taxa de crescimento

da/dN da microtrinca em relação ao ciclo de carregamento N :

da dN = " λπ(1 − ν) 8M2 # " ∆σ − 2Mk G # D3 h2 ! (3.8) Essa equação foi aplicada para prever o crescimento de microtrincas em ligas metálicas e quando comparada a dados experimentais, a taxa de crescimento prevista pelo modelo mostrou boa concordância apenas quando o tamanho da microtrinca era maior do que o tamanho do grão.

Em uma abordagem diferente à dada por Chan (2003), Brückner-Foit e Huang (2006), avaliaram o efeito da presença de microtrincas, originadas em ciclos anteriores, na iniciação de novas microtrincas. Para isso, desenvolveram um modelo que simulou a iniciação de microtrincas em BDP considerando a variação do tamanho e orientação do grão por meio de Tesselação de Voronoi.

Em seu modelo, Brückner-Foit e Huang (2006) definiram que a BDP com o maior comprimento e que passasse pelo centro de cada grão eram os potenciais caminhos para a iniciação. De acordo com esse critério a BDP mais longa retornaria o menor valor de Ni para o modelo T M. Por meio do método dos mlementos finitos as tensões ao longo desse comprimento foram determinadas e um valor ∆τ médio foi utilizado para o cálculo de Ni.

Brückner-Foit e Huang (2006) observaram que quando uma microtrinca iniciava em um grão, o campo de tensões por ela gerado afetava os grãos vizinhos. Ao com- pararem o modelo numérico e análises de MEV da superfície do material verificaram que no início do carregamento cíclico elas ocorriam dispersas e se formavam em grãos maiores e favoravelmente orientados e que apresentavam os maiores valores de tensão de cisalhamento. Porém após novos ciclos, as microtrincas de grãos individuais começaram a se aproximar, causando ainda mais concentração de tensão local e am- plificando a probabilidade de novas microtrincas se formarem próximas às já existentes. Segundo esses autores, a vida de iniciação foi definida pela soma dos Ni de cada uma dessas microtrincas. Porém, nesse trabalho, não foi considerado a coalescência (união) entre as microtrincas.

Glodez, Sori e Kramberger (2013) verificaram comportamento semelhante ao simular a iniciação de uma microtrinca em um grão de martensita, porém, observa- ram que a influência do seu campo de tensões fez com que uma nova microtrinca fosse nucleada longe do centro no grão vizinho, e próxima a extremidade da primeira. Conforme GLODEZ et al. (2010), considerar esse efeito permite que a coalescência entre microtrincas ocorra de forma mais fácil do que considerar a nucleação a partir do centro do grão, como foi proposto por Brückner-Foit e Huang (2006), quando se avalia a propagação em vários grãos.

Outra limitação apontada por GLODEZ et al. (2010) na aplicação do modelo T M é o uso de uma tensão de cisalhamento média ao longo de toda a BDP para determinar a nucleação, pois se esse valor de tensão, no grão vizinho ao que já possui uma microtrinca, estiver abaixo do valor 2k, a nucleação não irá ocorrer. Jezernik, Glodež e Kramberger (2008) já haviam verificado essa limitação em estudos anteriores, onde esse efeito foi mais pronunciado para fadiga de altos ciclos.

Com base nas limitações observadas, GLODEZ et al. (2010) adaptaram o modelo

T M para simular numericamente a iniciação em um aço martensítico, onde cristais de

martensita com uma mesma orientação e espaçadas uniformemente, foram modeladas no interior de grãos de austenita simulados por Tesselação de Voronoi, as quais seriam locais potenciais para a nucleação. A coalescência foi considerada e as microtrincas foram estendidas ao longo das fronteiras do grão e, para incluir os efeitos da concen- tração de tensão, modelaram o crescimento da microtrinca de forma segmentada ao longo da BDP.

Nesta adaptação do modelo T M, GLODEZ et al. (2010), fizeram uso de um modelo multi-escala, onde um modelo global representava uma chapa com um furo central submetida a um nível de tensão σ e um micro modelo foi considerado no local de concentração de tensão e onde a iniciação era esperada.

De acordo com o critério de coalescência adotado por GLODEZ et al. (2010), sempre que uma nova microtrinca era introduzida no modelo, todas as combinações possíveis entre as microtrincas existentes e a nova microtrinca iniciada em uma das BDP do grão adjacente eram analisadas. Sempre que a tensão média ao longo de uma linha reta entre elas superava a tensão de escoamento do material, uma trinca era então estendida ao longo dessa linha, transformando duas microtrincas em uma única trinca.

GLODEZ et al. (2010) considerou a iniciação ocorrendo de forma segmentada. Essa consideração permitiu o crescimento da microtrinca em uma BDP mesmo que ∆τ médio estivesse abaixo do valor 2k, pois agora era necessário apenas que a tensão de cisalhamento média ao longo do segmento superasse esse valor o que também permitiu incluir os efeitos locais de concentração de tensões.

Para determinar o número de ciclos para cada segmento GLODEZ et al. (2010) proporam um algoritmo com base no balanço de energia. Este algoritmo tinha como finalidade rastrear os segmentos das BDP que apresentavam a menor quantidade de ciclos necessários para que uma microtrinca se iniciasse. Após identificado, uma microtrinca era introduzida nesse segmento e o campo de tensões de todo o modelo era recalculado. O processo era repetido até que um dado tamanho de trinca fosse alcançado. A vida à fadiga da chapa analisada resultou da soma dos ciclos gastos para inserir todos os segmentos de microtrincas.

Bozic et al. (2014) em um trabalho que buscou avaliar a influência de tensões residuais de soldagem em painéis enrijecidos ampliaram o modelo proposto por GLO- DEZ et al. (2010) e introduziram a determinação da tensão de atrito k por meio de Simulação Dinâmica Molecular (SDM).Uma deformação cíclica, a uma taxa constante, foi aplicada em determinada direção em um cuboide de átomos de ferro, onde uma carga e descarga foi repetida continuamente. Eles observaram que durante a apli- cação cíclica um plano de deslizamento contínuo se formou e durante o avanço do carregamento deslocamentos plásticos foram alí iniciados. Um algoritmo de extração de deslocamento, que detecta superfícies defeituosas, foi utilizado para obter essas informações.

As simulações foram feitas com a intenção de forçar a nucleação de deslocamen- tos e estudar a plasticidade formada. Os deslocamentos começaram a ocorrer quando uma deformação plástica irrevesível deu início. Bozic et al. (2014) analisaram as oscila- ções de tensão de cisalhamento ao longo do tempo. O menor valor de tensão, para a qual ocorreu um deslocamento, foi identificado como o valor de k, que corresponde a

mínima tensão necessária para mover uma discordância, e que foi utilizado por Bozic et al. (2014) em seu modelo.

Wang, Pidaparti e Palakal (2001), Wang et al. (2002) e Wang et al. (2016) de- rivaram uma nova expressão para o cálculo de Ni a partir do modelo T M, na qual variáveis como ∆σ, E e ∆Kth foram consideradas. Essas modificações se basearam nos estudos de Irwin (1957), que correlacionou a taxa de energia liberada na fratura à abordagem de fator de intensidade de tensão e balanço de energia de Griffith. A variável k também foi modificada, pois conforme MURA e NAKASONE (1990), esse valor de tensão corresponde a metade do limite de fadiga, isto é, nenhuma trinca pode ser iniciada em faixas de tensão inferiores a 2k.

Para considerar o valor de ∆σ na equação do modelo T M, uma relação entre ∆σ e ∆τ foi utilizada: ∆τ = √ 2 3 ! ∆σ (3.9)

Para a determinação de k, o limite de fadiga para o caso uniaxial foi relacionado ao limite de fadiga 2k da mesma forma.

k = 1 2 " √ 2 3 ! σ_DR # (3.10) Onde σR

D é o limite de fadiga para o caso uniaxial para uma certa razão de tensões

R.

O valor de ∆K, na equação 2.8 derivada por Irwin, foi substituído por ∆Kth. E a energia de fratura Ws foi então determinada conforme a equação 3.11, sendo E o módulo de elasticidade:

Ws= ∆K2

th

E (3.11)

O número de ciclos Ni para a iniciação de uma microtrinca ao longo de uma BDP de comprimento D pôde ser determinado pela equação 3.12 (WANG; PIDAPARTI; PALAKAL, 2001; WANG et al., 2002; WANG et al., 2016).

Ni = 9∆K2 thG DπE(1 − ν)(∆σ − σR D)2 (3.12) Kichel (2019) aplicou essa modificação para prever os ciclos de vida à fadiga para a fase de iniciação de barras de aço TQ, TF e TR. Para isso, Kichel (2019) considerou um tamanho médio para os grãos e modelou a sua estrutura por Tesselação de Voronoi. De forma estocástica, e considerando a iniciação em um único grão, determinou os ciclos para a iniciação. Os diferentes tipos de microestruturas das barras foram considerados: grãos de ferrita para barras TQ e TF e de austenita para barras TR. O cálculo do limite de fadiga ∆σR

D foi feito em função das propriedades mecânicas, aspectos geométricos e da rugosidade da superfície das barras.

3.1.2 Navarro e De Los Rios

Navarro e Rios (1987) desenvolveram um modelo para descrever a fase de iniciação de microtrincas considerando a interação entre a ponta da trinca e barreiras microestruturais, como o contorno dos grãos. Esse modelo, nominado nesta pesquisa como modelo N − R, assume que as discordâncias em bandas de deslizamento são limitadas a permanecer em seu plano original de deslizamento e se acumulam quando bloqueados por esses limites (NAVARRO; RIOS, 1987; NAVARRO; RIOS, 1988; NAVARRO; RIOS, 1988; NAVARRO; RIOS, 1992).

Essa interação produz perturbações na taxa de crescimento da trinca, que apare- cem como períodos intermitentes de alta e baixa taxa de crescimento (BOLINGBROKE; KING, 1986). Esse comportamento pode ser descrito pelo seguinte mecanismo: uma trinca recém iniciada, em um grão favoravelmente orientado, cresce pelo mecanismo de cisalhamento ao longo de uma BDP que é restringida pelo contorno do grão. Como essa taxa de crescimento depende do grau de plasticidade à frente da trinca, isto é, a distância da ponta até a barreira mais próxima, a taxa, inicialmente, será alta, mas diminuirá a um valor mínimo à medida que a trinca se aproximar do contorno do grão (NAVARRO; RIOS, 1988).

Se o valor da tensão aplicada for menor que o limite de fadiga do material, o crescimento da trinca será interrompido ao atingir esse contorno. Porém, se for maior que esse valor, a concentração de tensão à frente da zona plástica bloqueada é considerada suficientemente alta para iniciar o deslizamento no próximo grão. A zona plástica então aumenta rapidamente seu tamanho cobrindo toda a extensão deste grão e, consequentemente, a taxa de crescimento aumenta para um novo máximo (TAIRA; TANAKA; NAKAI, 1978; TAIRA; TANAKA; HOSHINA, 1979; NAVARRO; RIOS, 1988). O processo de crescimento, desaceleração e aceleração se repete por vários grãos até que a fase de iniciação seja concluída, onde um período de aumento monotônico na taxa de crescimento é verificado (NAVARRO; RIOS, 1987).

O mecanismo descrito é a base do modelo N − R, que considera que a taxa de crescimento de uma trinca nucleada intergranularmente é proporcional ao deslocamento plástico de sua ponta. Como hipótese, Navarro e Rios (1987) assumiram que quando o deslizamento é iniciado em um grão, o grão inteiro sofre deslizamento.

Inicialmente, no modelo N − R, foi considerado discordâncias infinitesimais dis- tribuídas em duas zonas: a trinca a (metade do seu comprimento) e a zona plástica c (NAVARRO; RIOS, 1987; NAVARRO; RIOS, 1988), como mostrado na Figura 12a. O papel da barreira foi modelado limitando-se a extremidade da zona plástica no contorno do grão (c = D/2), onde D é o diâmetro do grão.

A limitação desse modelo inicial era a consideração de que um nível infinito de tensão é suportado pelo contorno do grão, o que não reflete a situação física real da

Figura 12 – Representação modelo de duas e três zonas (a) Modelo de duas zonas (b)Modelo de três zonas

Fonte: adaptado de Rocha, Bruehwiler e Nussbaumer (2015b).

propagação de uma trinca. Dessa forma, Navarro e Rios (1992) ampliaram o modelo considerando uma pequena zona adicional de comprimento r0 << D para representar a interface entre grãos ou fases vizinhas, conforme a Figura 12b. r0 representa a distância média entre o fim de uma BDP no plano da trinca e a BDP no próximo grão. Essa nova consideração eliminou a singularidade do campo de tensão associado à distribuição das discordâncias que havia no modelo anterior. O sistema de três zonas foi considerado mais realista fisicamente, pois a zona plástica é bloqueada pelo contorno do grão e permanece bloqueada até que a tensão na terceira zona, o limite do grão, atinja um nível crítico de discordâncias acumuladas para atravessá-la (NAVARRO; RIOS, 1992).

No modelo N −R, a taxa de propagação da trinca é proporcional ao deslocamento plástico ao longo da BDP e é dada por (NAVARRO; RIOS, 1987):

da

dN = f φ (3.13)

Onde N é o número de ciclos, f é a fração de discordâncias à frente da ponta da trinca que contribui para o seu crescimento e φ é o deslocamento plástico. O fator f varia de 0 a 1 e depende da tensão aplicada, sendo que os menores valores são obtidos