Modelos de redes

Nesta seção, será apresentada uma breve descrição de alguns modelos que se propõem a descrever o crescimento e a estrutura de uma rede, destacando as respectivas propriedades.

Redes aleatórias

Dois matemáticos húngaros, Erdös e Rényi, fizeram uso da aleatoriedade para tentar resolver problemas provenientes do mundo dos grafos atentando à questão da quantidade de arestas existentes no grafo [23]. Diferentemente dos grafos regulares, nos quais os vértices possuem o mesmo número de arestas, a premissa do modelo aleatório é igualitária de outra forma: todas as possíveis arestas têm a mesma chance de serem criadas. Seguindo este pensamento, ao inserir conexões aleatoriamente em uma rede, eventualmente alguns nós obterão mais conexões que outros.

Considerando uma rede grande, apesar da localização absolutamente aleatória das conexões, quase todos os nós terão aproximadamente o mesmo número de conexões, seguindo uma distribuição Normal. Por conveniência e simplicidade, adota-se

Capítulo 2 - Definição de conceitos 31 a distribuição de Poisson [8] que é uma aproximação da distribuição Normal e depende apenas do grau médio da rede. A equação de Poisson segue descrita abaixo:

onde indica a proporção dos nós no grafo que possuem grau , e é o grau médio da rede.

Portanto o universo aleatório de Erdös e Rényi é dominado pelas médias, característica que está ilustrada na Figura 2.16, que mostra a distribuição de grau para o modelo aleatório.

Figura 2-16 – Distribuição de grau para redes aleatórias.

Para exemplificar este modelo, suponhamos uma sociedade virtual cujas conexões sociais tenham sido geradas pelo modelo de Erdös e Rényi. A distribuição de Poisson estabelece que muitas destas pessoas possuirão, aproximadamente, o mesmo número de amigos ou conhecidos, e também que será exponencialmente raro encontrar alguém que se desvie consideravelmente da média para mais ou menos conexões. Ou seja, a teoria aleatória prediz que, ao alocarmos conexões sociais ao acaso, chegaremos a uma sociedade relativamente uniforme.

Sociedades e outras redes do mundo real, por outro lado, apresentam outras características que não podem ser explicadas pelo modelo de Erdös e Rényi, como, por exemplo, a existência de nós hubs que concentram um número de conexões maior que a média, e por esta razão são comumente responsáveis pela intermediação entre nós [24]. Assim, o modelo aleatório pode ser utilizado para descrever determinados tipos de rede, como por exemplo, redes de jogos de azar. Mas, não é o tipo ideal para modelar algumas redes complexas, tais como, sociedades humanas, economia e células

Capítulo 2 - Definição de conceitos 32 biológicas. As estruturas destas redes podem conter outras informações a serem consideradas, e que podem ajudar no seu entendimento.

Redes de mundo pequeno

Duncan Watts, durante seu doutorado, se deparou com uma questão fundamental para entender como os grilos sincronizavam seus ruídos "cri-cris". Para responder esta dúvida, Watts percebeu que seria necessário compreender a estrutura de organização entre os grilos. Assim, visando entender possíveis tendências de agrupamento das partes em um sistema, Watts introduziu, juntamente com seu orientador Steven Strogatz, o conceito de coeficiente de clusterização para mensurar os quão localmente conectados estão os elementos de uma rede [19].

Considerando uma rede social entre amigos e conhecidos, o coeficiente de clusterização informa o grau de coesão entre os indivíduos desta rede, no qual um valor próximo de um indica que todos seus amigos também são amigos uns dos outros. Por outro lado, um valor próximo de zero indica que apenas você é o responsável por agregar este vínculo de amizades, ou seja, os outros indivíduos não se importam com a companhia uns dos outros. Assim, o coeficiente de clusterização para um nó, ou clusterização local, pode ser definido pela razão entre o número efetivo de conexões entre seus vizinhos próximos e o número máximo possível de conexões considerando estes vizinhos.

(2.1)

onde é o número atual de conexões entre os vizinhos do nó , e é o número máximo possível. Já o coeficiente de clusterização médio ou global, é a média do valor de para todos os nós em uma rede, conforme equação abaixo:

(2.2)

O coeficiente de clusterização (ou transitividade) quantifica a presença de triângulos na rede (conjuntos de três vértices conectados uns aos outros).

Apesar de a alta clusterização ser uma característica importante dos relacionamentos humanos - indivíduos tendem a se associar com pessoas com as quais

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compartilham contatos -, em uma sociedade existem também conexões diretas com outros nós mais “distantes” [19]. Este tipo de conexão encurta distâncias em uma rede, proporcionando à rede um pequeno valor para a média do tamanho dos menores caminhos entre quaisquer pares de vértices, quando comparado ao tamanho total da rede. Este efeito é denominado de mundo pequeno (“small world”) [19].

O modelo de Watts e Strogatz se relaciona fortemente com os estudos de Stanley Milgram sobre a associação entre pessoas [25]. Nesse experimento, determinadas pessoas deveriam fazer cartas chegarem a alguns indivíduos alvos, utilizando para isso amigos e conhecidos como transmissores das cartas. O resultado mostrou que, em média, as cartas que completaram seu destino, passaram por seis pessoas, um valor pequeno se comparado ao número de conexões sociais destas pessoas e também a quantidade de pessoas no planeta [18],[25]. Para explicar essa pequena distância, é possível destacar o fato de que algumas pessoas possuem parentes e amigos que não vivem em lugares próximos, de modo que estas conexões funcionam como atalhos entre indivíduos que se encontram regiões geograficamente distantes.

A grande descoberta de Watts e Strogatz é que, considerando um grafo inicial regular e com alta clusterização, a adição de poucas conexões com nós mais distantes já é suficiente para reduzir drasticamente a separação média entre os nós. Como são poucas, essas conexões não alteram significativamente o coeficiente de clusterização da rede, que, assim, é denominada rede de mundo pequeno. A Figura 2.17, a seguir, ilustra alguns exemplos dos modelos de rede regular, mundo pequeno e aleatório [8].

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Rede livre de escala ou lei de potência

Quase ao mesmo tempo em que Watts e Strogatz propunham as redes de mundo pequeno, Réka Albert e Albert-László Barabási introduziram um novo modelo, denominado rede livre de escala [26]. A grande percepção de Albert e Barabási é que as redes do mundo real raramente são estáticas, de modo que este modelo permite a criação de novos nós e conexões ao decorrer do tempo. Ainda no mesmo raciocínio, comparando este modelo com os de Erdös-Rényi e Watts-Strogatz, existe uma diferença baseada no fato de que estes dois consideram os nós da rede como iguais, ou seja, a probabilidade de obter conexões é a mesma. Por outro lado, Albert-Barabási sugere que nós que já possuem mais conexões têm uma probabilidade maior de se conectarem a novos nós [8].

A partir da análise de redes do mundo real, Albert e Barabási verificaram que o número de conexões dos nós de redes como redes sociais de atores e autores, redes elétricas e redes de hyperlinks na web [8] seguem distribuições em lei de potência, ao contrário da Poisson prevista para redes totalmente aleatórias. O caráter distintivo da lei de potência não é apenas que existam muitos eventos pequenos, mas sim que estes coexistam com eventos de grande magnitude. Em redes, esta distribuição de conexões implica que grande parte dos nós possui um pequeno número de conexões, enquanto que um pequeno número de nós possui muitas conexões (os quais são chamados de hubs), algo não explicado pelos modelos anteriores.

A lei de potência tem a seguinte relação entre dois escalares x e y, conforme a função:

(2.3)

onde, a é uma constante de proporcionalidade e k a constante de expoente.

O modelo Albert-Barabási, no âmbito de análise da distribuição de graus em uma rede, traz um valor fixo para o grau do expoente negativo igual a três, assim a distribuição de graus em uma rede segue por _{. A Figura 2.16, apresentada}

anteriormente, a curva em forma de sino que representa uma distribuição aleatória de graus, na qual o pico é a média. Já a Figura 2.18 abaixo, mostra a distribuição de graus para o modelo livre de escala [9].

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Figura 2-18 – Distribuição de grau para redes livre de escala.

Assim, Albert e Barabási propuseram um modelo capaz de gerar redes nas quais os graus seguem a distribuição livre de escala [8]. Este modelo, chamado de modelo livre de escala, é composto por dois mecanismos fundamentais:

1. Crescimento: a cada período dado é adicionado um novo nó à rede. Esta etapa enfatiza que as redes se compõem por um nó de cada vez, ilustrado pela Figura 2.19 a abaixo.

Figura 2-19 – Exemplo do crescimento da rede.

2. Conexão preferencial: a probabilidade de um novo nó se associar com outro na rede é proporcional ao número de conexões do nó já existente na rede, ou seja, um nó A já existente na rede com o dobro de conexões de outro nó B, também existente, possui o dobro de chances de ser o escolhido pelo novo nó C para estabelecer uma nova conexão. Esta definição é dada pela equação abaixo, onde é o grau do nó i:

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