Momento angular. Momento de uma força

2

𝑚𝑣

_∞²

> 0.

Se bem que este resultado tenha sido demonstrado apenas para uma órbita circular, ele é válido para qualquer órbita fechada, sendo no caso geral a trajetória uma elipse com a massa M num dos focos.

Quando a energia mecânica dada pela equação [69] é positiva, o corpo tem energia suficiente para escapar à interação gravítica e atingir uma distância infinita com velocidade linear 𝑣_∞ = √^2𝐸𝑚

𝑚 . Neste caso a trajetória será uma hipérbole, sendo o exemplo mais familiar a trajetória de um cometa não-periódico em torno do Sol. Os cometas periódicos têm órbitas elípticas, por vezes de grande excentricidade.

Se, ao invés de se aproximar do Sistema Solar vindo do espaço exterior, como um cometa, um corpo for lançado da superfície da Terra com velocidade de lançamento 𝑣_𝑜, a equação [69] pode ainda ser usada para investigar que tipo de trajetória ele assume.

No caso em que ¹

2

𝑚𝑣

₀²

− 𝐺

^𝑀𝑚

𝑅_𝑇

> 0,

o corpo terá energia suficiente para escapar ao campo gravítico terrestre, ficando com velocidade 𝑣_∞= +√𝑣₀²−²_𝑅^𝐺𝑀 corpo em órbita em torno da Terra. O caso limite corresponde a uma órbita circular com raio igual ao raio da Terra, caso em que a velocidade linear em órbita terá que verificar a condição velocidade mínima de lançamento para que o corpo fique em órbita. O valor é 7.92x10³ ms^-1.

17. Momento angular. Momento de uma força.

No parágrafo anterior estudámos órbitas circulares, mas sabemos da astronomia que as órbitas fechadas são elípticas (sendo a circunferência um caso particular). Para

52

tratarmos o caso geral necessitamos introduzir uma outra grandeza física importante para a Mecânica: o momento angular, definido através da expressão

[71] 𝑙⃗ = 𝑚𝑟⃗x𝑣⃗

onde “x” indica o produto externo. A figura 30 ilustra os vários vetores envolvidos.

Figura 30 – Momento angular de um corpo. Os vetores 𝑟⃗ e 𝑣⃗ estão contidos no plano a tracejado, e o vetor 𝑙⃗ é perpendicular a esse plano (por definição de produto externo), sendo o seu sentido dado pela regra da mão direita.

Derivando a equação [71] podemos concluir qual a causa da variação do momento angular de um corpo:

𝑑𝑙⃗

𝑑𝑡= 𝑚𝑣⃗x𝑣⃗ + 𝑚𝑟⃗x𝑎⃗ = 𝑚𝑟⃗x𝑎⃗ = 𝑟⃗x𝐹⃗

A quantidade que surge do lado direito designa-se por momento da força 𝐹⃗ e será representada pela letra grega  (tau):

[72] 𝜏⃗ = 𝑟⃗x𝐹⃗

O resultado anterior pode ser reescrito na forma

[73] ^𝑑𝑙⃗

𝑑𝑡

= 𝜏⃗

Podemos concluir de imediato que sempre que o momento total das forças aplicadas a um corpo for nulo o momento angular do corpo mantém-se constante. Este enunciado constitui o teorema da conservação do momento angular.

m

53

Quando um corpo se move em órbita em torno de outro (suposto imóvel, com massa muito maior), a força atrativa passa sempre por um ponto fixo. Esta propriedade define aquilo que se chama uma força central. Resulta das propriedades do produto externo que o momento de uma força central (em relação ao ponto fixo) é nulo (verifique).

Concluímos portanto que um corpo a mover-se sob o efeito de uma força central mantém constante o seu momento angular.

A conservação do momento angular permite estudar a trajetória dos corpos celestes que se aproximam do campo gravítico da Terra e prever a eventualidade de uma colisão.

Considere-se a situação representada na figura 31: um bólide dirige-se para a vizinhança da Terra com velocidade v0 (antes de ser afetado pelo campo gravítico).

Caso não fosse desviado o bólide passaria a uma distância b, designada por “parâmetro de impacto”. Por efeito da atração gravítica o bólide aproxima-se da Terra, acabando por passar a uma distância d, com velocidade 𝑣_𝑚𝑎𝑥 (nesse ponto a energia potencial é mínima, e a conservação da energia mecânica exige que a velocidade seja máxima). A ocorrência de uma colisão – caso em que o bólide passa a ser um meteorito – depende da relação entre d e o raio da Terra: há colisão se d < RT , não há se d > RT. Os parâmetros v0 e b podem ser determinados por observações astronómicas, resta calcular d. A conservação da energia mecânica permite concluir que ¹

2𝑚𝑣₀² = ¹

2𝑚𝑣_𝑚𝑎𝑥² − 𝐺^𝑀𝑇𝑚

𝑑 (considerando que r é suficientemente grande para considerarmos que a energia potencial na posição inicial era nula). O módulo do momento angular à distância r é dado por 𝑚𝑟𝑣_𝑜𝑠𝑒𝑛𝜃 (verifique), mas 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑏, logo o momento angular tem módulo 𝑚𝑏𝑣_𝑜. Como a força é central esse módulo vai manter-se constante. No ponto de máxima aproximação a velocidade é perpendicular ao vetor posição, como mostra a geometria da figura, logo o módulo do momento angular será 𝑚𝑑𝑣_𝑚𝑎𝑥. A conservação simultânea do momento angular e da energia mecânica permite escrever o sistema

Órbita elíptica (tópico avançado)

A última propriedade pode ser aplicada ao estudo do movimento orbital, concluindo-se (após cálculos morosos que não concluindo-serão repetidos aqui) que a trajetória é dada em energia mecânica e o módulo do momento angular 𝑙 estão relacionados por

𝐸_𝑚 = 𝑙²

2𝑑²𝑚(1 − 1 𝜀²)

confirmando que numa órbita elíptica a energia mecânica é negativa.

54 1

2𝑚𝑣₀² =1

2𝑚𝑣_𝑚𝑎𝑥² − 𝐺𝑀_𝑇𝑚 𝑑 𝑚𝑏𝑣_𝑜 = 𝑚𝑑𝑣_𝑚𝑎𝑥

que ter por solução positiva

𝑑 = −𝐺𝑀_𝑇

𝑣₀² + √𝐺²𝑀_𝑇² 𝑣₀⁴ + 𝑏²

A comparação com o valor 𝑅_𝑇 = 6.36x10⁶𝑚 permite concluir se há ou não há colisão.

Se 𝑣_𝑜 = 40 𝑘𝑚𝑠⁻¹ (um valor razoável para a velocidade de um bólide), um parâmetro de impacto de 6600 km não será suficiente para evitar a colisão com a Terra, enquanto que para b=6700 km não haverá colisão (verifique).

Figura 31 – Bólide sob efeito do campo gravítico terrestre

18. Sistemas de partículas. Centro de massa. Corpo rígido.

18.1 Centro de massa

Até aqui temos focado a atenção no movimento de um corpo “sem volume”, o que em Mecânica se designa por ponto material. O resto do Universo tem sido “representado”

por uma força a que esse corpo fica sujeito devido às suas interações com outros corpos.

Contudo, em muitas situações estamos interessados em estudar o movimento de sistemas mais complexos, formados por vários corpos. Na verdade, a generalidade dos objetos com interesse são distribuições contínuas de massa num dado volume.

Designaremos esses sistemas complexos por sistemas de partículas.

55

Figura 32 – Sistema de partículas. O centro de massa encontra-se na vertical que passa pelo ponto de sustentação. A. Calder, Museum of Modern Art, Nova York A primeira consideração que podemos fazer a respeito de um sistema de partículas é que cada partícula constituinte vai estar sujeita a interações com o resto do sistema e com o exterior. Se numerarmos as partículas e usarmos o índice i para identificar uma partícula de massa 𝑚_𝑖, podemos afirmar que a sua aceleração verifica

𝑚_𝑖𝑎⃗_𝑖 = 𝐹⃗_𝑖^𝑖𝑛𝑡 + 𝐹⃗_𝑖^𝑒𝑥𝑡

onde separámos a força 𝐹⃗_𝑖^𝑖𝑛𝑡 resultante de todas as interações internas envolvendo a partícula i da força 𝐹⃗_𝑖^𝑒𝑥𝑡resultante das suas interações com o exterior. Se somarmos as expressões correspondentes à totalidade das partículas do sistema concluímos que

∑ 𝑚_𝑖𝑎⃗_𝑖

𝑁

𝑖=1

= ∑ 𝐹⃗_𝑖^𝑒𝑥𝑡

𝑁

𝑖=1

A ausência das forças internas no somatório da direita deve-se à lei da igualdade ação-reação (equação [55]). A força sobre a partícula i devida à sua interação com a partícula j é simétrica da força sobre a partícula j devida à sua interação com a partícula i, e quando somamos para a totalidade do sistema as forças internas cancelam-se duas a duas. Este facto está na base das propriedades de um ponto importante: o centro de massa do sistema, definido pelo vetor posição

[74]

𝑟⃗

_𝐶𝑀

=

^{∑𝑁𝑖=1𝑚𝑖𝑟⃗𝑖}

∑^𝑁_𝑖=1𝑚_𝑖

O denominador é a massa total do sistema, que representaremos por M. Por derivação da equação [74] obtemos

[75]

𝑣⃗

_𝐶𝑀

=

^{∑𝑁𝑖=1𝑚𝑖𝑣⃗⃗𝑖}

∑^𝑁_𝑖=1𝑚_𝑖

e

56

[76]

𝑎⃗

_𝐶𝑀

=

^{∑𝑁𝑖=1𝑚𝑖𝑎⃗⃗𝑖}

∑^𝑁_𝑖=1𝑚_𝑖

A última expressão permite concluir que

𝑀𝑎⃗

_𝐶𝑀

= ∑ 𝑚

_𝑖

𝑎⃗

_𝑖

𝑁

𝑖=1

= ∑

𝐹

⃗⃗

_𝑖^𝑒𝑥𝑡

𝑁

𝑖=1

(a última igualdade já tinha sido encontrada mais atrás). Este importante resultado, que reescreveremos na forma

[76]

𝑎⃗

_𝐶𝑀

=

¹

𝑀

∑

^𝑁_𝑖=1

𝐹⃗

_𝑖^𝑒𝑥𝑡

pode ser interpretado da seguinte forma: o centro de massa de um sistema de partículas move-se como uma única partícula com massa igual à massa total do sistema e que esteja sujeita à resultante das forças exteriores. Por outras palavras, as forças interiores não afetam o movimento do centro de massa. Esta propriedade do centro de massa é ilustrada na figura 33.

Figura 33 – Explosão de um projétil. As forças envolvidas na explosão do projétil são internas, e por isso não afetam o movimento do centro de massa do sistema formado pelos fragmentos, que continua a descrever a parábola da trajetória inicial.

Um tipo importante de sistema de partículas é designado por corpo rígido, bastando para tal que a distância entre quaisquer duas das partículas que o constituem se mantenha constante. Um tal sistema não se pode deformar e por conseguinte o seu movimento mais geral pode ser entendido como a combinação de uma translação com uma rotação¹⁸. A equação [76] mostra que o estudo da translação do centro de massa do sistema fica facilitado por podermos ignorar as forças internas. Podemos descrever completamente o movimento de um corpo rígido se indicarmos qual a translação do seu centro de massa e de que modo roda em torno do seu centro de massa.

18 O movimento mais geral de um corpo pode ser decomposto em translação, rotação e deformação. No caso do corpo rígido exclui-se a deformação impondo que as distâncias entre as partículas não variem.

57

Figura 34 – O movimento de um corpo rígido pode ser decomposto em translação do seu centro de massa e rotação em torno do seu centro de massa.

18.2 Momento de inércia. Eixos principais de inércia.

Quando um corpo rígido roda em torno de um eixo – admitiremos em face do que acima fica dito que o eixo passa pelo centro de massa do corpo – cada partícula descreve uma trajetória circular em torno desse eixo. Por exemplo, a mão direita do dervixe da figura 35 (suposto rígido) descreve uma circunferência de raio 𝑅_𝑖 com velocidade angular Ω⃗⃗⃗

(igual para todas as partículas) em torno do eixo vertical que passa pelo centro de massa, algures próximo do umbigo.

É útil obter uma expressão para o momento angular total do corpo rígido. Ainda com base no exemplo da figura 35, podemos constatar que a mão direita contribui para o momento angular em relação ao centro de massa com uma parcela

𝑙⃗_𝑖 = 𝑚_𝑖𝑟⃗⃗⃗x𝑣_𝑖 ⃗⃗⃗⃗ _𝑖

cujo módulo é 𝑚_𝑖𝑟_𝑖𝑣_𝑖 uma vez que os vetores 𝑟⃗⃗⃗ e 𝑣⃗ são perpendiculares. Podemos _𝑖 tirar partido do facto de que 𝑣_𝑖 = Ω𝑅_𝑖 e 𝑅_𝑖 = 𝑟_𝑖 𝑠𝑒𝑛𝜃_𝑖 , onde 𝜃_𝑖 é o ângulo entre 𝑟⃗⃗⃗ e o _𝑖 eixo de rotação, para concluir que |𝑙⃗_𝑖|𝑠𝑒𝑛𝜃_𝑖 = 𝑚_𝑖𝑅_𝑖²Ω. Esta expressão corresponde à projeção do vetor 𝑙⃗_𝑖 segundo a direção do eixo de rotação. Somando as contribuições de todas as “partículas” que formam o corpo, e representando por 𝐿_𝑧 a componente do momento angular total segundo a direção do eixo de rotação, será

𝐿_𝑧 = [∑ 𝑚_𝑖𝑅_𝑖²] Ω

A quantidade entre parênteses retos desempenha um papel fundamental no estudo da rotação de um corpo rígido, e designa-se por momento de inércia em relação ao eixo de rotação. Será representada por 𝐼_𝑧𝑧:

[77]

𝐼

_𝑧𝑧

= ∑ 𝑚

_𝑖

𝑅

_𝑖²

Pelo que ficou visto atrás, a projeção do momento angular total segundo o eixo de rotação pode ser calculada através de

[78]

𝐿

_𝑧

= 𝐼

_𝑧𝑧

Ω

58

Se o corpo tiver simetria axial em relação ao eixo de rotação (o que se verifica apenas aproximadamente no exemplo da figura 35) é fácil concluir que as contribuições para o momento angular se cancelam exceto na componente orientada segundo o eixo (verifique). Nesse caso, podemos escrever que

[79]

𝐿⃗⃗ = 𝐼

_𝑧𝑧

Ω ⃗⃗⃗

e dizemos que o eixo de rotação é um eixo principal de inércia do corpo.

Um tratamento mais elaborado do problema, que não será feito aqui, permite concluir que no caso geral em que o vetor velocidade angular é Ω⃗⃗⃗ = Ω_𝑥𝑢̂_𝑥+ Ω_𝑦𝑢̂_𝑦+ Ω_𝑧𝑢̂_𝑧 o momento angular vem dado por

Figura 35 – Dervixe rodopiante, uma técnica de meditação Sufi.

[80] 𝐿⃗⃗ = (𝐼_𝑥𝑥Ω_𝑥+ 𝐼_𝑥𝑦Ω_𝑦 + 𝐼_𝑥𝑧Ω_𝑧)𝑢̂_𝑥+ (𝐼_𝑦𝑥Ω_𝑥+ 𝐼_𝑦𝑦Ω_𝑦+ 𝐼_𝑦𝑧Ω_𝑧)𝑢̂_𝑦+ + (𝐼_𝑧𝑥Ω_𝑥+ 𝐼_𝑧𝑦Ω_𝑦+ 𝐼_𝑧𝑧Ω_𝑧)𝑢̂_𝑧

com

[80] 𝐼_𝑥𝑥 = ∑ 𝑚_𝑖(𝑦_𝑖²+ 𝑧_𝑖²); 𝐼_𝑦𝑦 = ∑ 𝑚_𝑖(𝑥_𝑖²+ 𝑧_𝑖²); 𝐼_𝑧𝑧 = ∑ 𝑚_𝑖(𝑥_𝑖²+ 𝑦_𝑖²)

𝐼_𝑥𝑦 = 𝐼_𝑦𝑥 = − ∑ 𝑚_𝑖𝑥_𝑖𝑦_𝑖; 𝐼_𝑥𝑧 = 𝐼_𝑧𝑥 = − ∑ 𝑚_𝑖𝑥_𝑖𝑧_𝑖 ; 𝐼_𝑦𝑧 = 𝐼_𝑧𝑦 = − ∑ 𝑚_𝑖𝑦_𝑖𝑧_𝑖 No seu conjunto, estas nove quantidades constituem o tensor de inércia do corpo. As quantidades com índices iguais são os momentos de inércia em relação aos três eixos do referencial (verifique). As quantidades com índices diferentes (𝐼_𝑥𝑦 etc) designam-se por produtos de inércia.

𝑣⃗

_𝑖

Ω⃗⃗⃗

𝑙⃗

_𝑖

59

Invocámos a simetria axial do corpo para explicar que por vezes a orientação do vetor

𝐿⃗⃗

coincide com a direção do eixo de rotação. Mas pode demonstrar-se que para qualquer corpo, mesmo sem nenhum tipo de simetria, é possível encontrar três direções no espaço que são eixos principais de inércia, e que essas direções são ortogonais entre si ¹⁹. Nesse referencial, o momento angular pode ser calculado através de

[81]

𝐿⃗⃗

_𝐸𝑃𝐼

= 𝐼

_𝑥𝑥

Ω

_𝑥

𝑢̂

_𝑥

+ 𝐼

_𝑦𝑦

Ω

_𝑦

𝑢̂

_𝑦

+ 𝐼

_𝑧𝑧

Ω

_𝑧

𝑢̂

_𝑧

Figura 36 – No shape too weird. Para qualquer corpo rígido é possível encontrar um sistema ortogonal de eixos principais de inércia.

18.3 Rotação de um corpo rígido. Aceleração angular. Energia cinética de rotação.

Munidos desta ferramenta que descreve a distribuição da massa de um sistema em torno do eixo de rotação, podemos aplicar a equação [73] para ver como varia o momento angular de um corpo rígido. Para a partícula i que entre na composição do sistema será

[82]

^{𝑑𝑙⃗⃗⃗𝑖}

𝑑𝑡

= 𝑟 ⃗⃗⃗x(𝐹⃗

_{𝑖 𝑖}^𝑖𝑛𝑡

+ 𝐹⃗

_𝑖^𝑒𝑥𝑡

)

e somando para todas as partículas obtém-se

𝑑𝐿⃗⃗

𝑑𝑡 = ∑ 𝑑𝑙 ⃗⃗⃗

_𝑖

𝑖

𝑑𝑡

= ∑ 𝑟 ⃗⃗⃗x𝐹⃗

_{𝑖 𝑖}^𝑒𝑥𝑡

𝑖

19 Trata-se do problema matemático de diagonalizar a matriz formada pelas nove quantidades definidas em [80]. Os três momentos de inércia nesse referencial são os valores próprios da matriz, e os eixos têm as direcções dos vetores próprios.

60

tendo novamente as forças internas desaparecido da expressão por causa da igualdade ação-reação. Concluímos assim que a derivada do momento angular total é igual ao momento total das forças exteriores:

[83] 𝑑𝐿⃗⃗

𝑑𝑡

= 𝜏⃗

^𝑒𝑥𝑡

Vamos agora focar a atenção no caso em que um corpo rígido roda em torno de um eixo principal de inércia. Substituindo a expressão [79] na equação anterior resulta (atendendo a que o momento de inércia é constante)

[84] 𝐼𝑑Ω^{⃗⃗⃗⃗⃗}

𝑑𝑡

= 𝜏

^{⃗⃗⃗𝑒𝑥𝑡}

onde I é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação. A grandeza 𝑑Ω⃗⃗⃗

𝑑𝑡 designa-se por aceleração angular. Se o momento das forças exteriores fôr nulo, a aceleração angular também será nula.

A situação será diferente se o corpo se deformar, variando o momento de inércia (já não será um corpo rígido!). Nesse caso a equação [83] leva a concluir que

𝑑𝐿⃗⃗

𝑑𝑡 = 𝑑

𝑑𝑡 [𝐼

_𝑧𝑧

Ω ⃗⃗⃗] = 𝐼

_𝑧𝑧

𝑑Ω ⃗⃗⃗

𝑑𝑡 + Ω ⃗⃗⃗ 𝑑𝐼

_𝑧𝑧

𝑑𝑡 = 𝜏⃗

^𝑒𝑥𝑡

Um caso interessante corresponde à situação em que o momento das forças exteriores é nulo: a conservação do momento angular implica que seja

𝐼

_𝑧𝑧^{𝑑Ω⃗⃗⃗}

𝑑𝑡

= −Ω ⃗⃗⃗

^{𝑑𝐼𝑧𝑧}

𝑑𝑡

,

o que mostra que uma diminuição do momento de inércia causará um aumento da velocidade angular. É o que acontece quando o dervixe da figura 35 aproxima os braços do corpo.

É útil notar o paralelismo formal que existe entre as equações relativas à translação e as relativas à rotação. As primeiras transformam-se nas segundas quando trocamos

“velocidade” por “velocidade angular,” “momento linear” por “momento angular”,

“massa” por “momento de inércia” e “força” por “momento da força” (exterior).

O paralelismo pode ser alargado para incluir a energia cinética de rotação. Quando o corpo gira com velocidade angular Ω⃗⃗⃗ cada partícula descreve uma trajetória circular a cujo raio chamámos 𝑅_𝑖 (ver figura 35), com velocidade linear 𝑣_𝑖 = Ω 𝑅_𝑖. A energia

61 translação do centro de massa e rotação em torno do centro de massa, a energia cinética será a soma de duas parcelas, cada uma correspondendo a uma faceta do movimento.

Com efeito, atendendo à equação [38] a velocidade da partícula i pode ser escrita na forma 𝑣⃗_𝑖 = 𝑣⃗_𝑖^′+ 𝑣⃗_𝐶𝑀, onde 𝑣⃗_𝑖^′ é a velocidade da partícula num referencial que se move com o centro de massa, e 𝑣⃗_𝐶𝑀 é a velocidade do centro de massa no referencial do observador. A energia cinética da partícula será portanto

𝐸_𝐶𝑖 = 1

Comparando o último somatório com a equação [75] verifica-se que, a menos de um fator M, ele é igual à velocidade do centro de massa no referencial que se move com o centro de massa. Tem portanto que ser nulo, e obtemos finalmente

𝐸_𝐶 = 1

2IΩ²+1 2𝑀𝑣_𝐶𝑀²

ou seja, a energia cinética total do corpo rígido é a soma da energia cinética de rotação em torno do centro de massa, 𝐸_𝐶^𝑟𝑜𝑡 = ¹

2IΩ², com a energia cinética de translação do centro de massa, 𝐸_𝐶^{𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠} = ¹

2𝑀𝑣_𝐶𝑀² .

18.4 – Teorema de Steiner (ou dos eixos paralelos).

Se conhecermos o momento de inércia de uma dada distribuição de massa em relação a um eixo que passa pelo seu centro de massa, podemos calcular facilmente o momento de inércia em relação a outro eixo que seja paralelo ao primeiro. Com base na figura

62

37, demonstraremos este resultado para um sistema bidimensional de partículas (mas o resultado é válido a três dimensões também). O momento de inércia do sistema em relação ao eixo Oy é ∑ 𝑚_{𝑖 𝑖}𝑥_𝑖², mas 𝑥_𝑖 = 𝑥_𝐶𝑀+ 𝑥_𝑖^′, sendo 𝑥_𝑖^′ a coordenada horizontal da massa 𝑚_𝑖 no referencial com origem no centro de massa. Resulta para o momento de inércia a expressão

𝐼_𝑦𝑦 = ∑ 𝑚_𝑖(𝑥_𝐶𝑀+ 𝑥_𝑖^′)²

𝑖

= 𝑥_𝐶𝑀² ∑ 𝑚_𝑖

𝑖

+ ∑ 𝑚_𝑖𝑥_𝑖^′2

𝑖

+ 2𝑥_𝐶𝑀∑ 𝑚_𝑖

𝑖

𝑥_𝑖^′

O segundo somatório é o momento de inércia do sistema em relação ao eixo que passa pelo centro de massa, e o terceiro somatório é nulo porque à parte um fator constante

∑ 𝑚_{𝑖 𝑖} é igual à coordenada do centro de massa no referencial do centro de massa (verifique). Como 𝑥_𝐶𝑀 é a distância entre os eixos Ox e Ox’, podemos concluir que o momento de inércia de um sistema de partículas em relação a um eixo arbitrário é igual à soma do momento de inércia em relação a um eixo paralelo ao primeiro e que passe pelo centro de massa do sistema com um termo dado por 𝑀𝑑², onde M é a massa total do sistema e d é a distância entre os dois eixos. Em resumo,

[84] 𝐼 = 𝐼_𝐶𝑀+ 𝑀𝑑²

Este resultado é conhecido como Teorema de Steiner.

Figura 37 – posição da partícula mi no referencial do centro de massa 𝑚_𝑖

𝑦

𝑦^′

𝑥

𝑥′

63

18.5 – Momento de inércia de uma distribuição contínua de massa

Em muitas situações práticas o sistema físico que é objeto de estudo é uma distribuição contínua de matéria.²⁰ Nestes casos, o formalismo anterior ainda se aplica, mas a partícula individual de massa mi deve ser trocada pela massa elementar 𝑑𝑚 = 𝜌𝑑𝑉, sendo 𝜌 a massa volúmica (massa por unidade de volume, não confundir com densidade) e 𝑑𝑉 o volume elementar²¹. Os somatórios deverão ser substituídos por integrais de volume estendidos ao volume do corpo. A equação [77] transforma-se em

[85] 𝐼_𝑧𝑧= ∫ 𝜌𝑅_𝑉 ²𝑑𝑉

etc. A figura 38 mostra o resultado deste cálculo para diversas formas homogéneas simples, em relação a um eixo que passe pelo centro de massa. A propriedade aditiva e o teorema de Steiner permitem calcular o momento de inércia de uma forma geométrica complexa que possa ser decomposta em formas simples.

Figura 38 – Momentos de inércia de alguns corpos rígidos

20 À escala microscópica esta noção deixa de fazer sentido, uma vez que toda a matéria é formada por partículas elementares, logo descontínua. Mas a generalidade dos fenómenos físicos macroscópicos que observamos no dia a dia pode ser explicada admitindo a continuidade da matéria.

21 À luz do que foi discutido na secção 1.4, se um sistema generalizado de coordenadas (𝑞₁, 𝑞₂, 𝑞₃) tem fatores de escala (ℎ1, ℎ2, ℎ3), o volume elementar é dado por 𝑑𝑉 = ℎ1ℎ2ℎ3𝑑𝑞1𝑑𝑞2𝑑𝑞3. Verifique que esse é o caso para as coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas.

64 Problema:

Calcular o momento de inércia de uma esfera homogénea em relação a um eixo que lhe é tangente.

Resolução:

Começaremos por calcular o momento de inércia da esfera em relação a um eixo vertical que passa pelo seu centro geométrico, que devido à simetria é também o seu centro de massa. A figura mostra que o elemento de volume 𝑑𝑉 se encontra à distância 𝑟𝑠𝑒𝑛(𝜃) do eixo, pelo que a sua contribuição para o momento de inércia será

𝑑𝐼 = 𝜌𝑑𝑉[𝑟𝑠𝑒𝑛(𝜃)]²

sendo 𝜌 a massa volúmica. Usando o facto de que em coordenadas esféricas o elemento de volume é dado por

𝑑𝑉 = 𝑟²𝑠𝑒𝑛(𝜃)𝑑𝑟𝑑𝜑𝑑𝜃 resulta que

𝑑𝐼 = 𝜌𝑟⁴𝑠𝑒𝑛⁴(𝜃)𝑑𝑟𝑑𝜑𝑑𝜃 e o momento de inércia total será

𝐼_𝐶𝑀 = 𝜌 ∭ 𝑟⁴𝑠𝑒𝑛⁴(𝜃)𝑑𝑟𝑑𝜑𝑑𝜃

𝜋 2𝜋 𝑅

0 0 0

= 2𝜋𝜌𝑅⁵

5 ∫ 𝑠𝑒𝑛⁴(𝜃)𝑑𝜃

𝜋

0

= 2 5(4

3𝜋𝑅³𝜌) 𝑅² (verifique), ou seja,

𝐼_𝐶𝑀 =2 5𝑀𝑅² Sendo 𝑀 = ⁴

3𝜋𝑅³𝜌 a massa total da esfera. Aplicando o teorema de Steiner e tendo em conta que a distância entre os eixos paralelos é igual a R, resulta finalmente

𝐼 = 𝐼_𝐶𝑀 + 𝑀𝑅² =7 5𝑀𝑅²

No documento APONTAMENTOS. para a Cadeira de MECÂNICA E ONDAS. dos cursos (páginas 51-64)