Monte Carlo seq üencial e paralelo para equações diferenciais parciais hiperbólicas

Pedro Pablo Durand Lazo¹

1Colegiado do Curso de Matemática - Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas da Universidade Estadual do Oeste do Paraná

Caixa Postal 711 - 85819-110 - Cascavel - PR - Brasil

ppdurandlazo@gmail.com

Resumo. O estudo tem como objetivo fundamentar, formular e implementar compu-tacionalmente métodos Monte Carlo de resolução de equações diferenciais parciais de tipo hiperbólico. Nesta primeira parte, realiza-se a implemação computacional da forma seqüencial e se delinham as bases para a implementação computacional da forma paralela.

Palavras Chaves. Monte Carlo, Sequencial, Paralelo, Equação hiperbólica.

Introduc¸˜ao

A construção de métodos Monte Carlo para equações diferenciais parciais hiperbólicas não é uma tarefa fácil, como observa Michael Mascagni [3]. Observa que, para o caso hiperbólico, só em casos muito especiais tais como a equação de Burger e a equação do telégrafo foram resolvidos por métodos Monte Carlo. Neste trabalho, a partir da representação probabil´ıstica dada por Robert C. Dalang [1], desenvolvemos a forma seqüencial Monte Carlo para a equação da onda.

1. A equac¸˜ao do telegrafista

Um método Monte Carlo, em tanto simulação estat´ıstica, requer a construção de um mo-delo probabil´ıstico do sistema correspondente. É conhecido o fato que para o caso de sistemas determin´ısticos, o uso de uma analogia probabil´ıstica se faz necessária. Um exemplo classico desta construção é a desenvolvida por Marc Kac para a equação do telegrafista: ∂²u ∂t2 + 2a^∂u ∂t ^{= c} 2∂²u ∂x2 (1)

com condic¸˜oes iniciais:

u(x, 0) = f (x), ^∂u

A equação do telegrafista contém em diferentes casos limites tanto a equação da onda como a do calor: • Equação da onda: a → 0 • Equação do calor: a, c → ∞,2a c2 → 1 D

Para a = 0 e em dimensão 1 a solução exata é dada por: u(t, x) = ^{f (x + ct) + f (x − ct)}

2 ⁽³⁾

Se consideramos a como a probabilidade por unidade de tempo de um processo Poisson, ent˜ao

N (t) = número de eventos até t tem a distruibuição

P {N (t) = k} = exp(at)^(at)

Em qualquer dimensão, uma solução exata para a equação de onda pode ser trans-formada numa solução da equação do telegrafista substituindo t na equação de onda pelo tempo randomizadoRt 0(−1)N (τ )dτ e calculando a média. u(t, x) = ¹ 2Ê f x + Z t 0 c(−1)^{N (τ )}dτ + ¹ 2Ê f x − Z t 0 c(−1)^{N (τ )}dτ (4) Esta é a base do método Monte Carlo para a equação do telegrafista.

2. Outras equações de tipo hiperbólico

Uma larga classe de equac¸˜oes diferenciais parciais lineares da forma

Lu(t, x) = V (t, x)u(t, x) (5)

podem ser representadas, usando suas func¸˜oes de Green, na forma integral. u(t, x) = w(t, x) + Z t 0 ds Z IR^d

S(s, dy)V (t − s, x − y)u(t − s, x − y). (6) De maneira particular a equac¸˜ao da onda em IR^dpara d ≤ 3 tomando

L = ^∂ 2 ∂t2 − ¹ 24 e S(t, dy) =          1 21{|y|<t}dy se d = 1 1 2π√ t2−|y|21_{|y|<t}dy se d = 2 σ⁽²⁾_t (dy) 4πt se d = 3

onde σ_t⁽²⁾denota a área da superf´ıcie sobre ∂B(0, t). Para os três valores de d, S(t, IR^d) = t. As condições iniciais são

u(0, x) = f₀(x) ^∂

∂t^{u(0, x) = f}¹^(x) com f0, f1 : IR^d 7→ IR. Neste caso,

w(t, x) = ^∂

onde ∗ denota convolução. Procura-se para esta equação integral, cuja solução é solução da equação diferencial parcial determin´ıstica correspondente, uma representação proba-bil´ıstica. Um processo de construção desta representação fundamenta um método Monte Carlo e permite derivar seus algoritmos correspondentes.

Sob as seguintes hip´oteses acerca do n´ucleo S(t, dy):

(a) Para todo t > 0, S(t, dy) ´e uma medida com signo em IR^dtal que sup_{t∈[0,T ]}|S(t, dy)| < ∞ para todo T > 0

(b) Existe um processo mensur´avel ( ˜X_t, t > 0) tal que para cada t > 0: P [− ˜X_t∈ dx] = _|S(t,IR^|S(t,dx)|d)| prova-se que [1] u(t, x) = e^tE_x  w(t − τ_{N (t)}, X_τ_{N (t)}) N (t) Y i=1 h S(τ_i− τ_i−1, IR^d)V (t − τ_i, X_τ_i)ⁱ   (7)

é solução de (6). Para o caso da equação da onda, objeto de interesse para nosso propósito, toma-se ˜X_t = tΘ onde Θ₀ é escolhido segundo a probabildade uniforme sobre ∂B(0, 1).

3. Solução da equação da onda com termo potencial segundo Monte Carlo

De forma geral, a solução Monte Carlo de uma equação segue os seguintes passos:

• Estabelecimento das equações que descrevem um problema matemático ou f´ısico. Podendo tomar em conta as condições inicias ou de limite.

• Representação probabil´ıstica da equação ou da solução. Aqui encontram-se as maiores dificuldades. Esta etapa é essencial no processo e determina sua forma Monte Carlo.

• Construc¸˜ao dos algoritmos.

• Implementac¸˜ao computacional dos algoritmos.

Coonsideraremos, com fins ilustrativos, o caso d = 1. Assim, o problema fica da seguinte forma: ∂²u(t, x) ∂t2 −¹ 2 ∂²u(t, x) ∂x2 − = V (t, x)u(t, x) (8) u(0, x) = f₀(x) ^∂ ∂t^{u(0, x) = f}¹^(x) ⁽⁹⁾ Na forma integral: u(t, x) = w(t, x) + Z t 0 Z IR 1

2¹^{|y|<s}^{V (t − s, x − y)u(t − s, x − y)dyds.} ⁽¹⁰⁾ w(t, x) = ^∂

∂t^{(S(t) ∗ f}⁰^{)(x) + (S(t) ∗ f}¹^)(x) ⁽¹¹⁾

Fazendo as subtituições correspondentes, tem-se que a solução é dada por: u(t, x) = e^tE_x  w(t − τ_{N (t)}, X_τ_{N (t)}) N (t) Y i=1 [(τ_i− τ_i−1)V (t − τ_i, X_τ_i)]   (12)

Observe-se que X_t dá natureza probabil´ıstica e o método Monte Carlo deverá gerar a variável aleatória para incorporá-la na expressão. Consegue-se assim a forma seqüencial corespondente.

4. Implementac¸˜ao paralela

Como observam Y. Li e M. Mascagni [2], as aplicações Monte Carlo são computacional-mente intensas mas naturalcomputacional-mente paralelas. Consequentecomputacional-mente, elas podem ser efetiva-mente executados usando algum modelo de processamento concorrente.

1. Em MCMs pode assinar cada amostra estat´ıstica independente a um processador independente com essencialmente nenhuma comunicação do interprocessador.f 2. Com sistemas espaciais, os subdom´ınios espaciais (decomposição do dom´ınio)

podem ser usados, mas esquemas impl´ıcitos e circunstâncias globais exigirão uma comunicação considerável.

3. Em alguns casos soluções sobre o tempo são desejadas e a solução iterativa da trajetória inteira do tempo (métodos da continuação) pode ser distribu´ıda respeito dos pontos do tempo.

A implementação paralela requer uma análise dos últimos desenvolvimentos teóricos acerca do tema. Entre as diversas alternativas encontramos o Fast Multipole Method de Rokhlin-Greengard que poderia adaptar-se.

Referˆencias

[1] Robert C. Dalang et all. A feynman-kac-type formula for the deterministic and stochastic wave equations and other p.d.e.’s.

[2] Yaohang Li and Michael Mascagni. Analysis of large-scale grid-based monte carlo appli-cations. Department of Computer Science and School of Computational Science and Information Technology Florida State University.

[3] Michael Mascagni. Monte carlo methods for partial differential equations: An overview. Home Page: http : //www.cs.f su.edu/˜mascagni.

No documento XXII SEMANA ACADÊMICA DA MATEMÁTICA (páginas 113-116)