XXII SEMANA ACADÊMICA DA MATEMÁTICA

Índice

O Paradoxo de Bertrand para um Experimento Probabilístico Geométrico . . . 1

Ideais Primos e Primitivos em Subanéis Admissíveis . . . 8

Análise de convergência do método espectral para equações integrais de Volterra . . . 15

Multicolinearidade em Modelos de Regressão . . . 25

Práticas Pedagógicas: JOGOS MATEMÁTICOS E O MULTIPLANO PARA AS SÉRIES INICIAIS Capacitação de Professores do Ensino Fundamental (1ª a 4ª séries) da Cidade de Quatipuru Pará . . . 35

Modelos Epidemiológicos Acoplados para a Dinâmica da Transmissão da Dengue . . . 38

Geometria Fractal No Ensino Fundamental e Médio. . . .48

Programação Linear com o Microsoft Excel . . . .58

Grafos e Mediana . . . 68

Um pouco da história da criptograa . . . .76

Código de barras . . . 82

Modelos Matemáticos da Dinâmica do HIV . . . 88

Uma abordagem histórico-matemática do Número PI . . . 98

O Número de Ouro e a Divina Proporção . . . 104

O Paradoxo de Bertrand para um Experimento

Probabilístico Geométrico

Amarildo de Vicente1

1Colegiado do Curso de Matemática – Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas da Universidade Estadual do Oeste do Paraná

Caixa Postal 711 – 85.819-110 – Cascavel – PR – Brasil amarildo@unioeste.br

Resumo. Este trabalho apresenta uma discussão sobre um problema proposto por um matemático francês, Joseph Bertrand, conhecido como paradoxo de Bertrand. O problema consiste em obter a probabilidade para que uma corda gerada aleatoriamente em um círculo de raio r = 1 tenha um comprimento C ≥



3 . Para este problema, três possíveis soluções distintas são apresentadas, o que a princípio parece contraditório. Todavia, o que se procura esclarecer é que tais soluções surgem por causa das diferentes interpretações feitas sobre o problema.

Palavras chaves. experimento geométrico, paradoxo de Bertrand, probabilidade.

1. Introdução

Ao se analisar um experimento para produzir entes geométricos de forma randômica, a interpretação da palavra “randômica” pode conduzir a diferentes soluções, quando a assunto é probabilidade. Bertrand apresentou em 1907 um problema que comprova esta afirmação [LARSON, OLDONI, 1981]. O problema que ele propôs consiste em determinar a probabilidade de que uma corda randômica de um círculo de raio unitário tenha um comprimento C maior ou igual a



3 . Este valor equivale às medidas dos lados de um triângulo equilátero inscrito no círculo citado, conforme pode ser visto na Figura 1 a seguir.

Embora este problema pareça a princípio apenas um quebra-cabeça matemático, ele tem diversas aplicações úteis. Em um contexto urbano, a circunferência do círculo pode ser interpretada como o lugar geométrico dos pontos por onde um helicóptero pode voar em um determinado espaço de tempo; o círculo pode ser visto como a região de alta poluição gerada por uma indústria; a corda pode representar ruas, estradas, redes de esgoto, rios, linhas de comunicação, estradas de ferro e assim por diante. A exigência de que a corda tenha pelo menos



3 unidades de comprimento pode se referir ao comprimento mínimo de um trecho da linha férrea que é apropriado como

amostragem para que se faça uma vistoria; pode representar a extensão do efeito da poluição gerada pela fábrica, etc.

Figura 1

2. Análise do problema

É possível apresentar três soluções aceitáveis para que se atenda aos propósitos do problema, conforme as análises feitas a seguir.

2.1. Análise da corda por meio de suas extremidades sobre a circunferência

Qualquer corda pode ser unicamente determinada pela interseção de seus pontos terminais com a circunferência. Suponhamos que, para gerar a corda, seja primeiramente produzido um deles, que será chamado origem e denotado por A, e depois o outro, que será denominado de extremidade e denotado por B. Suponhamos que estes pontos sejam gerados de forma aleatória e uniformemente distribuídos sobre a circunferência. Suponhamos que, ao gerar uma corda, um dos vértices de um triângulo equilátero inscrito no círculo esteja no ponto A (ver Figura 2).

Figura 2

Para que esta corda tenha um comprimento mínimo de



3 unidades de comprimento, o ponto B deve cair no arco que liga os outros dois vértices do triângulo. Este arco equivale à terça parte da circunferência. Assim, a probabilidade de que isso ocorra é 1/3. 3 _{r =1} 3 Origem da A B Extremidade

2.2. Análise da corda por meio do ponto de interseção com uma reta fixada, passando pela origem do círculo

O comprimento de qualquer corda depende de sua distância ao centro do círculo e não de sua direção. Podemos portanto assumir que elas serão geradas perpendicularmente a uma reta fixada, passando pelo centro do círculo. É claro então para gerar cordas randômicas basta gerar seus pontos de interseção com a reta citada. Vamos assumir que estes pontos sejam gerados de maneira uniforme em [0, 1]. Para uma corda ter um comprimento mínimo de



3 unidades de comprimento, a distância do ponto de interseção desta corda com a reta até o centro do círculo deve ser menor ou igual a 1/2, que é a metade do raio. Deste modo, a probabilidade de que isto ocorra é 1/2.

Figura 3

2.3. Análise da corda por meio do ponto de interseção com uma linha qualquer perpendicular à circunferência, passando pelo centro do círculo

Qualquer corda é unicamente determinada pelo seu ponto de interseção com uma linha perpendicular que passa pelo centro do círculo. Suponhamos que estes pontos de interseção sejam gerados de modo uniforme em todo o círculo (ver Figura 4).

Figura 4

Assim, a probabilidade p de que esta interseção esteja a uma distância r do centro do círculo é dada pelo quociente entre a área do círculo de raio r e a área do círculo de

3

Ponto de interseção

r Linha perpendicular

passando pelo centro

3 Corda perpendicula r à reta A B Reta

raio 1, ou seja, p = r²

1² = r². Para que a corda tenha comprimento mínimo



3 , seu ponto de interseção com a reta deve estar em um circunferência de raio r = 1/2 e a probabilidade de que isso ocorra é r² = 1/4.

3. Uma visão mais formal do problema

É importante frisar que as três soluções estão corretas, mas os experimentos analisados em caso são distintos. Um experimento é caraterizado pelo espaço amostral produzido e pela distribuição de probabilidade associada a este experimento. No caso em estudo, ver seção 1, cada segmento (corda) tem origem em A, o primeiro ponto escolhido ou gerado, e extremidade em B, o segundo ponto gerado. Seja um sistema ortogonal xOy fixado e θ, 0 ≤ θ ≤ 2π , a medida do ângulo entre o eixo x positivo e uma corda gerada, sendo a origem do sistema posicionado no ponto A (Figura 5).

Figura 5

Sendo r a distância da corda gerada até o centro do círculo, 0 ≤ r ≤ 1, então qualquer uma delas fica unicamente determinada quanto conhecemos r e θ. Assim, o espaço amostral E para os três casos analisados é o conjunto de todos pontos do retângulo E = [0, 1]x[0, 2π], ver Figura 6.

Figura 6

Uma vez que tal espaço amostral é único, o que difere são as funções de distribuição de probabilidade (fdp) para cada experimento. Para reanalisar cada caso, sejam R e Θ

duas variáveis aleatórias que assumem valores r e θ, respectivamente. Seja fR, Θ (r, θ) a

Corda gerada A B θ r x y O 2 π 1 1 /2 θ r Evento que correspondente ao comprimento da corda maior ou igual a 3

fdp conjunta de R e Θ sobre o espaçao amostral E. Devido à simetria da circunferência, pode-se concluir sem maiores dificuldades que Θ é uniformemente distribuída ente em [0, 2π]. Além disso, conhecer o valor de Θ não ajuda em nada a descobrir o valor de R, o que permite concluir que R e Θ são vaiáveis aleatórias independentes, [BUSSAB, MORETTIN, 2001]. Deste modo, a fdp conjunta fR, Θ (r, θ)

pode ser expressa como um produto das funções de densidade de probabilidades individuais marginais de R e Θ, isto é,

f _{R ,}r , = f_Rr  f_= 1

2  f Rr .

O último membro da igualdade se dever ao fato de Θ ser uniformemente distribuída em [0, 2π]. A próxima tarefa consiste em encontrar a fdp marginal para R. Ela é diferente para cada um dos três experimentos.

3.1. Primeiro caso (Análise da corda por meio de suas extremidades sobre a circunferência)

Notemos que para o comprimento de uma corda ser randômico, basta que apenas uma das extremidades seja gerada de forma aleatória. Deste modo, vamos fixar uma das extremidades, A, sobre um determinado ponto da circunferência, e produzir a outra, B, de forma aleatória, e uniformemente distribuída sobre a circunferência, ver Figura 6.

Figura 7

Sejam A e B os pontos de interseção da corda com a circunferência e φ,

0 ≤ φ ≤ π, a medida do ângulo AÔB, onde O é o centro do círculo. Sejam ainda r, a

distância da corda até o centro do círculo, e Φ uma variável aleatória que assume valores φ. Note-se que 0 ≤ φ ≤ π ⇒ 0 ≤ φ/2 ≤ π/2. Além disso, Φ é uma variável aleatória cujos valores são uniformemente distribuídos em [0, π]. Para encontrarmos a fdp de R, analisemos o seguinte:

r = cos (φ/2) ⇔φ/2 = cos-1_r.

Daí,

fR(r) ≡ P(R ≤ r) = P(cos (φ/2) ≤ r) = P(φ/2 ≥ cos-1r).

A inversão do sinal da última desigualdade se deve ao fato de que cos-1_{r é decrescente.}

Da última igualdade temos:

Corda gerada

A B

fR(r) ≡ 1− P(φ/2 ≤ cos-1r) = P(φ ≤ 2cos-1r) = 1 - FΦ( 2cos-1r),

onde FΦ(r) é a função de probabilidade acumulada (fda) de Φ. Como Φ é

uniformemente distribuída em [0, π], então sua fda é dada por F_=

{

1

 se 0≤≤

0 em caso contário Assim, sendo FR(r) a fda de R, então

FR(r) = 1 -

∫

₀ 2cos−1 r d =1−2 cos −1 r .

Agora, derivando em relação a r obtemos a fdp de R, isto é, fRr =

2





1−r2 0≤r ≤1

Logo, a fdp conjunta para R e Φ sobre o espaço amostral citado é f _{R , }r , = 1 2  2 



1−r2= 1 2



1−r2 0≤r≤1, 0≤≤.

A probabilidade p de que uma corda randômica exceda

_

_{3 unidades de comprimento} é igual à integral de fR,Φ(r, θ) no espaço amostral E correspondendo ao evento R ≤

1/2. Assim, p = P corda≥



3=

_∫

0 2

∫

₀1 /2 1 2



1−r2dr d =1/3 ,

conforme já havia sido apresentado na seção 1.

Nota: Este resultado pode ser obtido de modo mais simples diretamente da fda de R, isto é, p = F_R1 2=1− 2 cos −11 2 .

3.2. Segundo caso (Análise da corda por meio do ponto de interseção com uma reta fixada, passando pela origem do círculo)

Neste caso R é uniformemente distribuída em [0, 1]. Assim, fRr =

{

1 se 0≤r ≤1 0 em caso contário Daí, f_{R , }r ,  = 1 2  0≤r≤1, 0≤≤2 . Deste modo, p = P corda≥



3=

∫

₀2

∫

₀1 /2 1 2 dr d =1/ 2.

Este resultado coincide com aquele apresentado na seção 2 e pode ser obtido diretamente da fda de R, isto é, p = FR(1/2).

3.3. Terceiro caso (Análise da corda por meio do ponto de interseção com uma linha qualquer perpendicular à circunferência, passando pelo centro do círculo).

Neste caso, os pontos de interseção das cordas geradas com uma reta perpendicular passando pelo centro do círculo são uniformemente distribuídos sobre o círculo. Assim,

F_Rr  = P  R≤r = Área do círculo de raio r Área do círculo de raio1 = r

2_.

Logo, FRr  =

d

drFRr  = 2r.

Daí, a fdp conjunta de R e Θ sobre o espaço amostral E é f_{R ,}r ,  = 2r 2 = r , 0≤r≤1, 0≤≤2 . Portanto, P corda≥



3 = P  R≤1 2 =

∫

0 2 

∫

₀1/ 2_r drd  =1 4.

4. Conclusão

A unicidade da solução de um problema é um fato importante quando o assunto é matemática. Por este motivo, quando se fala em um experimento probabilístico envolvendo elementos geométricos, é preciso ter cuidado com a análise dos resultados obtidos neste experimento pois eles podem depender de sua interpretação.

5. Referências Bibliográficas

BUSSAB, W. O.; MORETTIN, P. A. Estatística Básica, 5a. Edição, Editora Atual, 2001. 320 p.

LARSON, R. C.; OLDONI, A. R. Urbans Operations Research. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, 1981. 572 p.

Ideais Primos e Primitivos em Suban´eis Admiss´ıveis

Edilson Soares Miranda1

1_{Colegiado do Curso de Matem´atica - Centro de Ciˆencias Exatas e Tecnol´ogicas da}

Universidade Estadual do Oeste do Paran´a Caixa Postal 711 - 85819-110 - Cascavel - PR - Brasil

mirandaes79@yahoo.com.br

Resumo. Muitas quest˜oes em aberto existem para an´eis de polinˆomios sobre an´eis n˜ao necessariamente comutativos. Em particular a conjectura de K¨othe, aberta h´a mais de setenta anos. Neste artigo caracterizamos completamente ideais primos e primitivos em certos suban´eis graduados de an´eis de polinˆomios, que chamamos de suban´eis admi-ss´ıveis. Ainda, estendemos alguns resultados relacionados com a conjectura de K¨othe.

Palavras Chaves. Polinˆomio, admiss´ıvel, primitivo, primo, anel.

1. Introduc¸˜ao

Existe uma famosa conjectura na teoria de an´eis nil, que atualmente ´e denominada como problema de K¨othe. Este problema foi introduzido por G. K ¨othe em 1930 e at´e

pre-sente momento continua em aberto. O problema de K¨othe pode ser formulado de v´arias maneiras elementares equivalentes. Sabemos que se I e J s˜ao ideais bilaterais nil de um anel R, ent˜ao I + J ´e um ideal nil de R. Por´em n˜ao ´e conhecida a resposta da seguinte quest˜ao:

Problema de K¨othe: A soma de dois ideais `a direita nil ´e tamb´em um ideal `a direita nil?

Na tentativa de solucionar este problema foram resolvidas v´arias quest˜oes na teoria de an´eis relacionadas com nilidade. Al´em disso foram encontradas v´arias reformulac¸˜oes para este problema. Por exemplo, Krempa em [2] mostrou que o problema de K¨othe tem soluc¸˜ao positiva se, e somente se, para cada anel nil R, o anel de polinˆomios R[x] ´e um anel radical de Jacobson.

Neste artigo descrevemos completamente os ideais primos de suban´eis ad-miss´ıveis de an´eis de polinˆomios. Isso foi feito para an´eis de polinˆomios usuais em [1]. Ainda, estudamos ideais primitivos `a direita (`a esquerda) de suban´eis admiss´ıveis e ob-tivemos duas equivalˆencias da conjectura de K¨othe.

2. Preliminares

Seja R um anel associativo, mas n˜ao necessariamente com identidade. Um ele-mento a de um anel R ´e nilpotente se an _{= 0, para algum inteiro n˜ao negativo n. Um anel}

R ´e nil se cada elemento de R ´e nilpotente.

Um ideal P de R ´e dito um ideal primo de R, se para quaisquer ideais I, J de R com IJ ⊆ P , ent˜ao I ⊆ P ou J ⊆ P . Um anel R ´e dito primo se (0) ´e um ideal primo de R.

Um ideal `a direita M de um anel R ´e dito um ideal modular `a direita em R, se existe um elemento b ∈ R tal que a − ba ∈ M para cada a ∈ R. Um ideal P de um anel

R ´e dito um ideal primitivo `a direita em R, se existe um ideal `a direita modular maximal M tal que

P = (M : R) = {r ∈ R | Rr ⊆ M}.

Pode-se mostrar facilmente que (M : R) ´e o maior ideal de R contido em M. Um anel R ´e dito primitivo `a direita se (0) ´e um ideal primitivo `a direita de R.

3. Ideais Primos em Suban´eis Admiss´ıveis

´E f´acil verificar que todo subanel de R[x] contendo R[x]x ´e da forma S + R[x]x, onde S ´e um subanel de R. Isso motiva a seguinte definic¸˜ao.

Definic¸˜ao 3.1 Seja R um anel qualquer. Um subconjunto T de R[x] ´e chamado admiss´ıvel

em x (ou simplesmente admiss´ıvel) se existe n ∈ N tal que

T = S0+ S1x + ... + Sn−1xn−1+ R[x]xn,

onde cada Si ´e um subgrupo aditivo de R com SiSj ⊆ Si+j para todo

i, j ∈ {0, 1, ..., n − 1} e com Sm = R se m ≥ n.

Claramente, T ´e um subanel de R[x], S0 ´e um subanel de R e cada Si ´e um S0

sub-bim´odulo de R.

O exemplo a seguir mostra que a contrac¸˜ao de um ideal primo de R[x] em S +

R[x]x nem sempre ´e um ideal primo de S + R[x]x.

Exemplo 3.2 Sejam R o anel de matrizes n × n sobre um corpo K e S o anel de matrizes

triangulares inferiores sobre K. Temos que P = R[x]x ´e um ideal primo de R[x], pois

(R[x]/P ) ' R e R ´e um anel primo. Por outro lado, P ∩ (S + R[x]x) n˜ao ´e um ideal primo de S + R[x]x, pois (S + R[x]x)/P ' S e S n˜ao ´e um anel primo.

Este exemplo mostra que o caso P ⊇ R[x]x ´e especial. Veremos que no caso contr´ario a contrac¸˜ao e extens˜ao de ideais primos estabelece uma correspondˆencia biun´ıvoca.

Para o caso do exemplo anterior a pr´oxima proposic¸˜ao mostra que os ideais primos de T contendo R[x]xn_{s˜ao determinados pelos ideais primos de S}

0.

Proposic¸˜ao 3.3 Seja P um ideal de T com R[x]xn _{⊆ P . Ent˜ao P ´e primo se, e somente}

se, P = (P ∩ S0) + S1x + ... + Sn−1xn−1+ R[x]xne P ∩ S0 ´e um ideal primo de S0.

Prova. Como SiSj ⊆ Si+j para cada i e j ∈ {0, 1, ..., n − 1}, ent˜ao Sn−1xn−1+ R[x]xn ´e um ideal de T . Al´em disso, (Sn−1xn−1+ R[x]xn)2 ⊆ R[x]xn⊆ P . Como P ´e um ideal primo de T , segue que Sn−1xn−1+ R[x]xn ⊆ P . Portanto Sn−1xn−1 ⊆ P . Continuando com o mesmo racioc´ınio chegaremos a que Sixi ⊆ P para cada i ∈ {1, ..., n − 1}. Ent˜ao

P = (P ∩ S0) + S1x + ... + Sn−1xn−1+ R[x]xn. Logo, (T /P ) ' (S0/(P ∩ S0)) ´e um

anel primo e segue que P ∩ S0 ´e um ideal primo de S0. A rec´ıproca segue do fato que

(T /P ) ' (S0/(P ∩ S0)). ¤

A pr´oxima proposic¸˜ao descreve completamente quando existe um ideal primo de

T n˜ao contendo R[x]xn_{. Al´em disso, ela ´e fundamental na prova dos principais resultados} deste trabalho.

Proposic¸˜ao 3.4 Seja P um ideal de T com R[x]xn _{* P . Ent˜ao P ´e primo se, e somente}

se, existe um ideal primo L de R[x] com R[x]x * L tal que L ∩ T = P .

Prova. Suponhamos que P seja um ideal primo de T com R[x]xn _{* P . Se T ´e um} anel primo , ent˜ao R[x] ´e um anel primo. De fato, sejam U, V ideais de R[x] tais que

UV = 0. Logo, Uxn _{e V x}n _{s˜ao ideais de T com Ux}n_{V x}n _{= 0. Ent˜ao Ux}n _{= 0 ou}

V xn_{= 0 da´ı U = 0 ou V = 0. Portanto R[x] ´e um anel primo. Isso mostra o caso P = 0.} Se P 6= 0, ent˜ao A = P + R[x]P + P R[x] + R[x]P R[x] ´e um ideal n˜ao nulo de R[x]. Como R[x]xn_{(A ∩ T )R[x]x}n _{⊆ R[x]x}n_AR[x]xn _{⊆ P , a hip´otese sobre P implica que}

A ∩ T = P . Pelo lema de Zorn, existe um ideal L de R[x] contendo P e maximal com

respeito a condic¸˜ao L ∩ T = P . Agora vamos mostrar que L ´e um ideal primo de R[x] que n˜ao cont´em R[x]x. De fato, sejam U, V ideais de R[x] tais que U ⊇ L, V ⊇ L e

UV ⊆ L. Ent˜ao (U ∩ T )(V ∩ T ) ⊆ L ∩ T = P . Logo, U ∩ T = P ou V ∩ T = P .

Da maximalidade de L seque que U = L ou V = L assim L ´e um ideal primo de R[x]. Se R[x]x ⊆ L, ent˜ao R[x]xn _{⊆ L ∩ T = P , absurdo. A rec´ıproca segue da definic¸˜ao de} ideais primos. ¤

Corol´ario 3.5 Seja P um ideal de T com R[x]xn _{* P . Se P ´e primo, ent˜ao existe um}

´unico ideal primo L de R[x] com R[x]x * L tal que L ∩ T = P .

Prova. Pela Proposic¸˜ao 3.4, existe um ideal primo L de R[x] com R[x]x * L tal que

L ∩ T = P . Para mostrar a unicidade, suponhamos que existe um ideal primo L1 de R[x]

com R[x]x * L1 tal que L1 ∩ T = P . Ent˜ao L1R[x]xn ⊆ L1∩ T = P = L ∩ T assim

L1 ⊆ L, pois L ´e um ideal primo de R[x]. Por outro lado, LR[x]xn ⊆ L ∩ T = P =

Corol´ario 3.6 (Going up) Sejam P0 ⊆ P1 ideais primos de T n˜ao contendo R[x]xn. Se

L0 ´e um ideal primo de R[x] tal que L0∩ T = P0, ent˜ao existe um ideal primo L1 ⊇ L0

de R[x] tal que L1 ∩ T = P1.

Prova. Pela Proposic¸˜ao 3.4, existe um ideal primo L1de R[x] tal que L1∩T = P1. Como

L0R[x]xn⊆ L0∩ T = P0 ⊆ P1 = L1∩ T e R[x]xn* L1, ent˜ao L0 ⊆ L1. ¤

Corol´ario 3.7 Existe uma correspondˆencia biun´ıvoca, via contrac¸˜ao, preservando ordem

entre :

(i) O conjunto de todos os ideais primos de R[x] n˜ao contendo R[x]x. (ii) O conjunto de todos os ideais primos de T n˜ao contendo R[x]xn_.

Prova. Consideremos a correspondˆencia que associa cada ideal primo L de R[x] n˜ao contendo R[x]x com o ideal primo L ∩ T de T . Claramente R[x]xn _{* L ∩ T . A} sobre-jetividade e a insobre-jetividade da correspondˆencia seguem respectivamente da Proposic¸˜ao 3.4 e do Corol´ario 3.5. Al´em disso, os Corol´arios 3.5 e 3.6 implicam que a correspondˆencia preserva ordem. ¤

O radical primo Nil∗(R) de um anel R ´e definido como a intersecc¸˜ao de todos os ideais primos de R. Conforme ([4], Teorema 10.19), Nil∗(R[x]) = Nil∗(R)[x].

A seguinte proposic¸˜ao estabelece relac¸˜oes entre os radicais primos de T e R[x]. Corol´ario 3.8 Para o anel T , Nil∗(T ) = Nil∗(R[x]) ∩ T .

Prova. Seja I um ideal primo de R. Se I = 0, ent˜ao R[x] e T s˜ao an´eis primos. Logo,

Nil∗(T ) = 0 = Nil∗(R[x]) ∩ T . Suponhamos que I 6= 0. Assim I[x] ´e um ideal primo de

R[x] n˜ao contendo R[x]x. Utilizando a Proposic¸˜ao 3.4 obtemos, I[x]∩T ´e um ideal primo

de T . Logo, Nil∗(T ) ⊆ I[x]∩T . Portanto Nil∗(T ) ⊆ Nil∗(R)[x]∩T = Nil∗(R[x])∩T . Para a outra inclus˜ao, seja f ∈ Nil∗(R[x]) ∩ T . Se f /∈ Nil∗(T ), ent˜ao existe um ideal P primo de T tal que f /∈ P . Pelo Corol´ario 10.4 em [4], H = T \P ´e um m-sistema

de T , isto ´e, para cada f1, f2 ∈ H existe um g ∈ T tal que f1gf2 ∈ H. Claramente H ´e um

m-sistema de R[x], pois H ⊆ T ⊆ R[x]. Como f ∈ H ∩ Nil∗(R[x]), ent˜ao a Proposic¸˜ao 4.20 em [7] implica que 0 ∈ H, absurdo. Portanto Nil∗(R[x]) ∩ T ⊆ Nil∗(T ), o que completa a prova. ¤

4. Ideais Primitivos em Suban´eis Admiss´ıveis

Os principais resultados desta sec¸˜ao caracterizam os ideais primitivos `a direita de T e generalizam alguns resultados em [5]. Analogamente podemos obter os mesmos resultados para ideais primitivos `a esquerda de T .

Lema 4.1 Seja U um ideal `a direita de T com R[x]xn_{* U. Ent˜ao U ´e um ideal modular}

maximal em T se, e somente se, existe um ideal `a direita V modular maximal de R[x] com R[x]x * V tal que V ∩ T = U.

Prova. Seja U um ideal modular maximal `a direita de T com R[x]xn _{* U. Logo existe}

g ∈ T tal que f − gf ∈ U, para cada f ∈ T . Pela maximalidade de U, U + R[x]xn _{= T .} Assim podemos escrever g = g1+ g2com g1 ∈ U e g2 ∈ R[x]xn.

Temos que f − gf = f − g1f − g2f ∈ U, para cada f ∈ T . Logo, f − g2f ∈ U, pois

g1f ∈ U. Assim podemos assumir que g ∈ R[x]xn. Vamos mostrar que (R[x]xn)2 * U.

De fato, se (R[x]xn₎2 _{⊆ U, ent˜ao gR[x]x}n_{⊆ U. Logo, R[x]x}n_{⊆ U, absurdo.}

Se (U + UR[x]) ∩ T = T , ent˜ao (R[x]xn₎2 _{⊆ (U + UR[x])R[x]x}n _{⊆ U, absurdo. Pela} maximalidade de U, (U + UR[x]) ∩ T = U.

Seja V um ideal `a direita de R[x] contendo U e maximal com respeito V ∩T = U. Primeiramente, vamos mostrar que V ´e um ideal `a direita modular de R[x].

Sejam f ∈ R[x] e H o ideal `a direita de R[x] gerado por f − gf , isto ´e

H = Z(f − gf ) + (f − gf )R[x]. Se (V + H) ∩ T = T , ent˜ao

(R[x]xn₎2 _{⊆ T R[x]x}n _{⊆ (V + H)R[x]x}n_{⊆ V R[x]x}n_{+ HR[x]x}n_{⊆ U.}

Isso contradiz o que mostramos acima. Logo, U ⊆ (V + H) ∩ T 6= T . A maximalidade de U implica que (V + H) ∩ T = U. Pela maximalidade de V temos, V + H = V assim

H ⊆ V . Portanto f − gf ∈ V , da´ı V ´e um ideal `a direita modular de R[x].

Agora vamos mostrar que V ´e um ideal `a direita maximal de R[x]. De fato, supon-hamos que J ´e um ideal `a direita de R[x] tal que V ⊆ J. Se J ∩ T = U, ent˜ao J = V , pois V ´e maximal no conjunto dos ideais com respeito V ∩ T = U. Se J ∩ T 6= U, ent˜ao a maximalidade de U implica que J ∩ T = T . Portanto R[x] = J, pois gR[x] ⊆ T ⊆ J e f − gf ∈ V ⊆ J para cada f ∈ R[x]. Conclu´ımos que V ´e um ideal `a direita modular maximal de R[x]. A rec´ıproca ´e an´aloga. ¤

O Exemplo 3.2 mostra que a contrac¸˜ao de um ideal primitivo `a direita de R[x] em

T nem sempre ´e um ideal primitivo `a direita de T .

Proposic¸˜ao 4.2 Seja P um ideal de T com R[x]xn _{* P . Ent˜ao P ´e um ideal primitivo `a}

direita de T se, e somente se, existe um ideal L de R[x] primitivo `a direita com R[x]x * L tal que L ∩ T = P .

Prova. Suponhamos que P seja um ideal primitivo `a direita de T com R[x]xn <sub>* P . Pela</sub> Proposic¸˜ao 3.4, existe um ideal primo L de R[x] com R[x]x * L tal que L ∩ T = P . Por hip´otese, existe um ideal `a direita modular maximal U de T tal que P ´e o maior ideal contido em U ou seja, P = (U : T ) = {f ∈ T | T f ⊆ U}.

Se R[x]xn _{⊆ U, ent˜ao R[x]x}n_{⊆ P , pois P + R[x]x}n _{´e um ideal de T contido em}

ideal `a direita maximal modular V de R[x] com R[x]x * V tal que V ∩ T = U. Portanto

L ∩ T = P ⊆ U = V ∩ T . Se V + L = R[x] ent˜ao,

R[x]R[x]xn ⊆ V R[x]xn+ LR[x]xn ⊆ (V ∩ T ) + (L ∩ T ) ⊆ V ∩ T = U.

Portanto T R[x]xn _{⊆ U e assim R[x]x}n_{⊆ P , absurdo. A maximalidade de V implica que}

L ⊆ V . Al´em disso, L ⊆ (V : R[x]) = {f ∈ R[x] | R[x]f ⊆ V }.

Seja f ∈ (V : R[x]). Por definic¸˜ao R[x]f ⊆ V com isso T f xn _{⊆ V ∩ T = U. Logo,}

f xn _{∈ (U : T ) = P ⊆ L. A Proposic¸˜ao 3.4 implica que f ∈ L. Portanto L = (V : R[x])} assim L ´e um ideal primitivo `a direita de R[x]. A rec´ıproca ´e an´aloga. ¤

Utilizando o Corol´ario 3.5 e a proposic¸˜ao anterior, obtemos o seguinte.

Corol´ario 4.3 Existe uma correspondˆencia biun´ıvoca, via contrac¸˜ao, preservando ordem

entre :

(i) O conjunto de todos os ideais primitivos `a direita L de R[x] com R[x]x * L. (ii) O conjunto de todos os ideais primitivos `a direita P de T tais que R[x]xn_{* P .}

O radical de Jacobson J(R) de um anel R ´e definido como a intersecc¸˜ao de todos os ideais primitivos `a direita de R. Um anel R ´e chamado anel radical de Jacobson se

J(R) = R. Conforme ([4], Teorema 5.10), J(R[x]) = (J(R[x]) ∩ R)[x].

A seguinte proposic¸˜ao estabelece relac¸˜oes entre os radicais de Jacobson de T e

R[x].

Proposic¸˜ao 4.4 Para o anel T temos, J(T ) = J(R[x]) ∩ T .

Prova. Seja P um ideal primitivo `a direita de T . Se R[x]xn <sub>* P , ent˜ao a Proposic¸˜ao</sub> 4.2 implica que existe um ideal primitivo `a direita L de R[x] com L ∩ T = P . Logo,

J(R[x]) ∩ T ⊆ L ∩ T = P .

Se R[x]xn_{⊆ P , ent˜ao P = P ∩ S}

0+ S1x + ... + Sn−1xn−1+ R[x]xn. Pelo Lema 5.10 em [4], J(R[x]) ∩ S0 ´e um ideal nil de S0. Logo, o Corol´ario 6.8 em [7] implica que

J(R[x]) ∩ S0 ⊆ J(S0). Portanto J(R[x]) ∩ S0 ⊆ J(S0) ⊆ P ∩ S0, pois P ∩ S0 ´e um ideal

primitivo `a direita de S0. Em ambos os casos J(R[x])xn e (J(R[x]) ∩ Si)xi est˜ao em P para cada i ∈ {0, ..., n − 1}. Ent˜ao J(R[x]) ∩ T ⊆ J(T ).

Para a outra inclus˜ao sejam f = a0 + a1x + ... + akxk ∈ J(T ) e L um ideal primitivo `a direita de R[x]. Se R[x]x * L, ent˜ao a Proposic¸˜ao 4.2 implica que L ∩ T ´e um ideal primitivo `a direita de T . Logo, J(T ) ⊆ L ∩ T . Assim J(T )x ⊆ Lx ⊆ L. Se R[x]x ⊆ L, ent˜ao L = L ∩ R + R[x]x assim J(T )x ⊆ R[x]x ⊆ L. Pelos casos acima, J(T )x ⊆ J(R[x]). Logo, f x ∈ J(T )x ⊆ J(R[x]) = (J(R[x]) ∩ R)[x]. Ent˜ao

ai ∈ J(R[x]) ∩ Sipara cada i ∈ {0, ..., n − 1} e aj ∈ J(R[x]) ∩ R, j ≥ n.

Portanto f ∈ (J(R[x]) ∩ R)[x] ∩ T = J(R[x]) ∩ T assim J(T ) ⊆ J(R[x]) ∩ T . Ent˜ao obtemos a igualdade desejada. ¤

Teorema 4.5 Seja R um anel nil. Ent˜ao T ´e um anel radical de Jacobson se, e somente

se, R[x] ´e um anel radical de Jacobson.

Prova. Suponhamos por contradic¸˜ao que T seja um anel radical de Jacobson e que R[x] n˜ao seja um anel radical de Jacobson. Logo, existe um ideal primitivo `a direita L de R[x]. A nilidade do anel R/(L ∩ R) implica que R[x]x * L. Da´ı a Proposic¸˜ao 4.2 implica que

L ∩ T ´e um ideal primitivo `a direita de T . Portanto T n˜ao ´e um anel radical de Jacobson,

absurdo. Reciprocamente, suponhamos por contradic¸˜ao que R[x] seja um anel radical de Jacobson e que T n˜ao seja um anel radical de Jacobson. Logo, existe um ideal primitivo `a direita P de T . A nilidade do anel S0/(P ∩S0) implica que R[x]xn* P . Pela Proposic¸˜ao

4.2, existe um ideal primitivo `a direita L de R[x] tal que L ∩ T = P . Assim R[x] n˜ao ´e um anel radical de Jacobson, absurdo. ¤

Utilizando o resultado de Krempa em [2] e o Teorema 4.5, obtemos a seguinte formulac¸˜ao equivalente do problema de K¨othe.

Corol´ario 4.6 A conjectura de K¨othe tem soluc¸˜ao positiva se, e somente se, para cada

anel nil R o anel T ´e um anel radical de Jacobson.

Conforme ([5], Corol´ario 2) o problema de K¨othe tem soluc¸˜ao positiva se, e so-mente se, para cada anel nil R o anel de polinˆomios R[x] n˜ao ´e um anel primitivo `a direita (esquerda). Deste resultado e a Proposic¸˜ao 4.2 temos a seguinte formulac¸˜ao equivalente do problema de K¨othe.

Corol´ario 4.7 O problema de K¨othe tem soluc¸˜ao positiva se, e somente se, para cada anel

nil R, T n˜ao ´e um anel primitivo `a direita.

Referˆencias

[1] Ferrero, M.; Prime and Principal Closed Ideals in Polynomial Rings. Journal of Algebra 134 (1990), 45-59.

[2] Krempa, J.; Logical Connections Among Some Open Problems in Non-commutative

Rings. Fund. Math. 76 (1972) 121-130.

[3] Krempa, J.; On Radical Properties of Polynomial Rings. Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. Sci. Math. Astron. Phys. 20 (1972) 545-548.

[4] Lam, T. Y.; A First Course in Noncommutative Rings. Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, New York, 1991.

[5] Smoktunowicz, A.; On Primitive Ideals in Polynomial Rings over Nil Rings. Algebras and Representation Theory (2005)8: 69-73.

[6] Watters, J.; Polynomial Extensions of Jacobson Rings. J. Algebra 36 (1975), 302-308. [7] McCoy, N. H.; The Theory of Rings. The Macmillan Conpany, New York, 1969.

ANÁLISE DE CONVERGÊNCIA DO MÉTODO

ESPECTRAL PARA EQUAÇÕES INTEGRAIS DE

VOLTERRA

.

Leonardo S. Guillermo Felipe1

1

Centro de Engenharias e Ciências Exatas da Universidade Estadual do Oeste do Paraná. Caixa Postal 520-85903-000-Toledo-Pr-Brasil

leogui27@yahoo.com.br

Resumo_{. O objetivo deste trabalho é discutir o método numérico espectral de} colocação-Legendre para as equações integrais de tipo Volterra. A análise do erro para o método proposto será realizado. Mostraremos que quando as funções núcleo e forçante são suficientemente suaves, a estimativa do erro numérico decresce exponencialmente. Testes numéricos foram realizados, os quais confirmam os resultados teóricos sobre a taxa exponencial de convergência do método numérico apresentado neste trabalho.

Palavras chaves_{. Equação integral de Volterra. Método espectral. Convergência.}

1. Introdução.

Consideremos a equação integral de Volterra de segunda espécie:

+

∫

x =

a k x s u s ds g x

x

u( ) ( , , ( )) ( ), x ∈[a,b] (1.0) onde u(s) é a incógnita, k e g são as funções núcleo e forçante, respectivamente.

Neste trabalho consideramos o caso em que a solução da equação (1.0) é suficientemente suave; neste caso, é conveniente considerar métodos numéricos de ordem elevada.

Na literatura existem vários métodos numéricos para aproximar a solução da equação integral (1.0), tais como, o método de Galerkin, colocação, integração produto, ver por exemplo [BRUNNER, HOUWEN, 1986] e referências relacionadas. No entanto, poucos são os trabalhos que discutem sobre a aproximação espectral para a solução da equação integral (1.0).

Os métodos espectrais podem ser considerados como um subconjunto do método dos elementos finitos nos quais as funções base são definidas globalmente, em oposição á abordagem utilizada no método dos elementos finitos, onde estas funções são válidas dentro do elemento, e nulas fora deles.

As principais aplicações dos métodos espectrais concentram-se na área de dinâmica dos fluídos, com ênfase na solução de problemas que envolvem turbulência e transição, previsão do tempo, aerodinâmica e dinâmica oceanográfica, [BOYD, 2000]. ]. Métodos numéricos de colocação e métodos do tipo integração produto para resolver equações integrais de Volterra multidimensional foram analisados por [BRUNNER, TANG, 1989] e [Mc KEE, TANG, DIOGO, 2000].

[ELNAGAR, KAZEMI, 1996], utilizou o método espectral-Chebyshev para aproximar a equação integral de Volterra-Hammerstein e [FUJIWARA, 2006], analisou numericamente o método espectral-Chebyshev para a solução da equação integral de primeira espécie de tipo Fredholm. Porém, não existe uma análise teórica rigorosa para justificar a ordem de convergência do método espectral.

É conhecido que a equação integral de tipo Fredholm comporta-se como um problema de valor na fronteira, ver por exemplo [DELVES, MOHAMMED, 1985]; consequentemente, métodos numéricos eficientes (como o método espectral) são utilizados para aproximar a solução para este tipo de problema. Não obstante, a equação integral de Volterra (1.0) comporta-se como um problema de valor inicial. Portanto, não é comum aplicar a aproximação espectral para as equações integrais de tipo Volterra. A razão disto é que a equação (1.0) é uma equação local, entanto que o método espectral utiliza funções bases globais. A maior dificuldade em aplicar o método espectral para a equação (1.0) é a implementação do método de modo que a exatidão da solução numérica possa, eventualmente, ser atingida.

O objetivo deste trabalho é desenvolver e aplicar o método numérico espectral para a solução da equação integral de Volterra (1.0). Além disso, faremos uma análise rigorosa do erro de aproximação, o qual constituirá o suporte teórico para justificar a taxa de convergência espectral para a equação integral (1.0). Testes numéricos são apresentados, os quais confirmam os resultados teóricos obtidos neste trabalho.

2. O Método de Colocação-Legendre

. Seja,

∫

− = ∈ − + x K x s u s ds g x x x u 1 ( , ) ( ) ( ), [ 1,1] ) ( (2.1) a equação integral linear de Volterra de segunda espécie.

Assumiremos, sem perda de generalidade, que a solução da equação (2.1) está no intervalo [-1,1].

Como pontos de colocação podemos considerar o conjunto de N+1 pontos N

i

x_i, 0≤ ≤ , de Gauss-Legendre ou Gauss-Radau ou Gauss-Lobatto.

Logo, para x =x_i a equação (2.1) fica,

∫

− = ≤ ≤ + xi i i i K x s u s ds g x i N x u 1 ( , ) ( ) ( ), 0 . ) ( (2.2)

A maior dificuldade em obter uma boa precisão de ordem elevada é calcular os termos da integral em (2.2). Em particular, para valores pequenos de x , existe pouca _i informação disponível para u(s). Para superar esta dificuldade, consideraremos o intervalo [-1, 1] em lugar de [-1, x ], e logo faremos uso das regras de quadratura para _i aproximar ditas integrais. Para este propósito, primeiramente, consideraremos uma transformação linear da forma seguinte,

, 1 1 2 1 2 1 ) , (x θ = +xθ+ x− − ≤θ ≤ s . (2.3)

Logo, (2.2) pode-se escrever como,

(

) (

)

∫

− − ≤ ≤ = + 1 1 , ( , ) ( , ) ( ), 0 ) (x K x s x u s x d g x i N u _{i i i} θ _i θ θ _i (2.4) onde,

(

)

(

, ( , )

)

2 1 ) , ( , _i θ i _{i i} θ i K x s x x x s x K = + − . (2.5)

Usando os N+1 pontos de Gauss para a fórmula de quadratura com {w_k} sendo os pesos de Legendre, temos,

(

x s x

) (

u s x

)

w g x i N K x u _{i i j i j j i} N j i +

∑

= ≤ ≤ = − 0 ), ( ) , ( ) , ( , ) ( 0 θ θ (2.6) onde o conjunto {θ_j}, 0≤ j≤ N coincide com os pontos de colocação {x_j}.

Agora representaremos u

(

s(x_i,θ_j)

)

usando u para _i 0≤i ≤N; isto é, a representação será em todos os nós. Assim, u será desenvolvido mediante os polinômios de interpolação de Lagrange,

∑

= ≈ N j j jF u u 0 ) ( ) (σ σ ,

onde F_j é a j-ésima função de Lagrange. Logo, a equação (2.6) fica,

(

x s x

) (

F s x

)

w g x i N K u u _i N j N j j j i j j i i j i = ≤ ≤      +

∑

∑

= = − 0 ), ( ) , ( ) , ( , 0 0 θ θ . (2.7)

Podemos observar em (2.7) que para aproximar u(x_i), precisamos da informação completa da solução de {u(x_j)}, 0≤ j≤i. Aqui, −1≤s(x_i,θ_j)≤x_i.Isto não é o mesmo que o método de colocação por integração produto; que, neste caso, é preciso da informação parcial-local de {u(x_j)} para i≤ j≤0 e {K(x_i,β_j)} onde −1≤β_j ≤x_i são os pontos de colocação. Aqui radica a importância deste trabalho; na próxima seção discutiremos a obtenção da taxa de aproximação espectral em lugar de uma ordem de aproximação algébrica para o esquema proposto (2.7).

2.1.Implementação do algoritmo de colocação espectral.

Se denotamos por T N N T N N u u u e g g x g x g x U =[ ₀, ₁,...., ] =[ ( ₀), ( ₁),..., ( )] , obtemos uma equação matricial da forma,

U_N +AU_N =F_N (2.8) onde a matriz A é dada por,

∑

(

) (

)

= − = N p p p i j p i i ij K x s x F s x w A 0 ) , ( ) , ( , θ θ .

Agora, discutiremos uma aproximação para F_j

(

s(x_i,θ_p)

)

. A idéia é expressar )

(s

F_j em termos das funções de Legendre,

∑

= = N p p j p j s L s F 0 , ( ) ) ( α (2.9) onde α_p,jpodem ser encontrados em [CANUTO, HUSSAINI, 2006] ,

_{p i i p j p} N i i j p j p _γ F x L x w L x γ α 1 ( ) ( ) ( )/ 0 , =

∑

= = (2.10) onde 1 0 2 2 1 ) ( − =       + = =

∑

L x w p N i i i p p γ para p <N (2.11) e 1 2 1 −       + = N N

γ para as fórmulas de Gauss e Gauss-Radau, e γ_N =2/N para a fórmula de Gauss-Lobato.

De (2.9) e (2.10) segue que,

∑

= = N p p p j p j s L x L s F 0 / ) ( ) ( ) ( γ (2.12) e junto com as fórmulas de recorrência para L_p(s), podem ser usadas para avaliar

(

( _i, _p)

)

j s x

F θ .

3.

Análise de convergência

.

Nesta seção discutiremos a convergência do método numérico para as equações integrais de Volterra (2.1).

Nosso objetivo é demonstrar que o método numérico proposto tem taxa de convergência exponencial.

LEMA 3.1.([CANUTO, HUSSAINI, 2006] Erro de integração na quadratura de Gauss).

Suponha que os pontos da fórmula de quadratura estão relacionados aos N+1 pontos de Gauss ou de Gauss-Radau ou Gauss-Lobato; com os pesos de Legendre usados para integrar o produto uφ, onde u∈Hm(I), I =(−1,1) para algum m≥1 e φ∈℘_N. Então existe uma constante C independente de N tal que,

1 _{, ( ) ( )} 1 ( ) ( ) ( , ) HmNI L2I m N CN u u dx x x u φ φ − − φ − − ≤

∫

(3.1) onde, 2 / 1 2 ) ( ) , min( ) ( ) ( , 2         =

∑

= − I L m N m j j I N m H u u , (3.2) e

∑

= = N j j j j N w u x x u 0 ) ( ) ( ) , ( φ φ . (3.3)

LEMA 3.2. ( [CANUTO, HUSSAINI, 2006] Estimativa para o erro de interpolação).

Suponha que u∈Hm(I) e denotemos por I_Nu os polinômios de interpolação associados com os N+1 pontos {x_j} de Gauss ou Gauss-Radau ou Gauss-Lobato; isto é,

∑

= = N i i i Nu u x F x I 0 ) ( ) ( (3.4) Então, ) ( ) ( , _ 2 I H m I L Nu CN u mN I u− ≤ − (3.5)

LEMA 3.3.([QU, WONG, 1988], Constante de Lebesgue para séries de Legendre). Assumamos que F_j(x) é o N -ésimo polinômio de interpolação de Lagrange associado com os pontos de Gauss ou Gauss-Radau ou Gauss-Lobatto. Então,

∑

= − ∈ = +Λ N j N j xmax( 1,1) ₀ F (x) 1 , (3.6) onde, 2 1/2 ₀ ( 1/2) 2 / 3 − Θ + + = Λ_N N B N π ,

onde B é uma constante limitada. ₀

LEMA 3.4. ( [Mc KEE, 1982], Desigualdade de Gronwall). Se a função integrável não negativa E(t) satisfaz,

∫

− + − < ≤ ≤C t E s ds G t t t E 1 1 ( ) ( ), 1 1 ) ( (3.7) onde G(t) é uma função integrável; então,

) ( ) (I L1I L CG E _∞ ≤ . (3.8) TEOREMA 1.

Seja u a solução exata da equação integral de Volterra (2.1), e suponha que

∑

= = N j j jF x u x U 0 ) ( ) ( , (3.9)

onde u é dado por (2.7) e _j F_j(x) é a j-ésima função básica de Lagrange associada com os pontos de Gauss {x_j} para 0≤ j ≤N. Se u∈Hm(I), então para m≥1, tem-se,

) ( ) ( ) ( 1 2 / 1 ) ( 2 , , )) . , ( , ( max I H m I L I H i i N i m I L mN N m u CN u x s x K CN U u − − ∞ − − ≤ ≤ − ₊ ≤ − . (3.10)

Para N suficientemente grande, onde s(x_i,θ) é definido por (2.5) e C é uma constante que independe de N .

Prova.

Com a notação de (3.3), temos,

∑

= − − =       N j j j j s N w x s x s x K s s x K 0 ) , ( )) , ( ( ) , ( , ( ) ( ), , ( φ θ φ θ .

Logo, o esquema numérico (2.7) pode-se escrever como, ( , ), ( ) ( ) ) , ( i s N i i K x s U s g x u  =      + − (3.11) de onde obtemos,

∫

− − ≤ ≤ + = + 1 1K(x ,s(x , ))U(s(x , )) d g(x ) I,1, para1 i N u_{i i i} θ _i θ θ _{i i} (3.12) onde,

(

)

∫

− − − = 1 1 ( , ) 1 , ( i, ( i, )) ( ( i, )) ( i, ), ( ) Ns i K x s x U s x d K x s U s I θ θ θ De (3.2), (2.2) e (2.4) segue que,

∫

− = + ≤ ≤ + xi i i i i K x s U s ds g x I para i N u 1 ( , ) ( ) ( ) ,1 1 (3.13)

Usando o Lema 3.1 obtemos,

) ( ) ( 1 , 2 , )) . , ( , ( I L I H i i m i CN sK x s x U I N m − − − ≤ (3.14) Multiplicando por F_j(x) em ambos os lados de (3.13) e somando de 0 até N , obtemos,

) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ₁ 1 1K x s u s ds I K x s s ds I g J x I x U _N x _N x = _N +      +       +

_∫

_∫

− − ε , (3.15)

onde U é definido por (3.9), o operador de interpolação I é definida por (3.4) , _N ε denota a função erro; isto é,

ε(x)=U(x)−u(x), para x∈[−1,1] e a função J₁(x) é definida por,

∑

= = N j j i F x I x J 0 1 , 1( ) ( ). De (3.15) e (2.1) segue que, ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ₁( ) 1K x s s ds I g J x I u g I x U _{N N} x = _N +      + − +

_∫

− ε , de onde obtemos, ( ) ( )( ) ( , ) ( ) ₁( ) 1K x s s ds J x I x u I u x _{N N} x =      + − +

_∫

− ε ε . Consequentemente, ( ) ( , ) ( ) ( ) ₂( ) ₃( ) 1K x s s ds J1 x J x J x x +

∫

x = + + − ε ε (3.16) onde, J₂(x)=I_Nu(x)−u(x) e

∫

∫

− −      − = x K x s s ds I_N x K x s s ds x J 1 1 3( ) ( , )ε( ) ( , )ε( ) .

Da desigualdade de Gronwall (Lema 3.4) segue que,

(

1 _{( )} 2 _{( )} 3 _{( )}

)

)

(I L1I L1 I L1 I

L∞ ≤C J + J + J

ε . (3.17) Usando (3.14) e o Lema 3.3, obtemos,

) ( 1 ) ( 1 1 2 I L I L C J J ≤

∑

= ∈ − ≤ ≤ − − ≤ N j j I x I L I H i i N i m x F U x s x K CN N m 0 ) ( ) ( 1 ( , ( ,.)) max ( ) max 2 , ≤ _{( )} ) ( 1 2 / 1 2 , )) . , ( , ( max _{L I} I H i i N i m U x s x K CN N m − − ≤ ≤ −

(

)

) ( ) ( 1 2 / 1 2 , .)) , ( , ( max I L L I H i i N i m _{K x s x u} CN N m + ≤ ∞ − − ≤ ≤ − _ε (3.18)

Usando o erro limitante para os polinômios de interpolação ( Lema, 3.2), obtemos,

) ( ) ( 2 ) ( 2 1 2 H , I m I L I L C J CN u mN J ≤ ≤ − − _(3.19) e ) ( 3 ) ( 3 1 2 I L I L C J J ≤ ) ( 1 1 2 ) ( ) , ( ) ( ) , ( I L x x x s s ds K x x x K CN

∫

− − ₊ ≤ ε ε ) ( 1 I L CN ∞ − ≤ ε (3.20) Da estimativa obtida acima junto com (3.17), resulta,

(

)

( ) 1 ) ( ) ( ) ( 1 2 / 1 ) ( 2 , , )) . , ( , ( max ) ( _{L L I} m _{H I L I} I H i i N i m I L CN K x s x u CN u CN x N m N m ∞ − ∞ − ∞ − − − ≤ ≤ − _{+ + +} ≤ ε ε ε (3.21) que leva a (3.10), sempre que N seja suficientemente grande. Isto completa a prova do Teorema.

4.

Resultados numéricos

.

Sem perda de generalidade, usaremos os pontos de Legendre-Gauss-Lobatto ( isto é, os zeros de L_{N +1}(x) ) como sendo os pontos de colocação. Para estes pontos, os pesos correspondentes são, j N x L x w j N j j ≤ ≤ − = + 0 , )] ( [ ) 1 ( 2 2 1 ' 2

Exemplo 4.1. Este exemplo está relacionado com a equação integral de Volterra de segunda espécie unidimensional (2.1), onde,

(

( 4) ( 4)

)

4 4 1 ) ( , ) , ( + − − + + + = = xs x xx x e e x e x g e s x K

A solução exata correspondente é dada por _u(x)=e4x_.

Para este exemplo temos usado o esquema numérico (2.7). Os erro numéricos para os vários valores de N são mostrados na Tabela 1 e Figura 1. Observa-se a convergência espectral esperada.

Tabela 1. Erros máximos para a equação integral linear unidimensional do Exemplo 4.1.

N Erro 6 3.66 E-01 8 1.88 E-02 10 6.57 E-04

12 1.65 E-05 14 3.11 E-07 16 4.57 E-09 18 5.37 E-11 20 5.19 E-13 22 5.68 E-14 24 4.26 E-14

Figura 1, Erros máximos para a equação integral linear unidimensional do exemplo 4.1

1.00E-16 1.00E-14 1.00E-12 1.00E-10 1.00E-08 1.00E-06 1.00E-04 1.00E-02 1.00E+00 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 N E r ro s

5. Conclusão.

Neste trabalho temos discutido um método numérico para a equação integral de Volterra baseado no método espectral. A contribuição mais importante deste trabalho é ter demonstrado de maneira rigorosa que os erros por aproximação espectral caem exponencialmente. Mais especificamente, temos provado que se a função núcleo e a solução da equação integral de Volterra são funções suaves, então os erros de aproximação, pelo método espectral,tem convergência exponencial; o qual, teoricamente, é garantido para este tipo de aproximação, [BOYD, 2000].

Este trabalho é um dos poucos que justifica teoricamente a taxa de convergência exponencial para equações integrais de Volterra. As ferramentas usadas para estabelecer as estimativas do erro são do tipo usadas em regras de quadratura para funções de interpolação.

Concluímos dizendo que a taxa de convergência estabelecido no Teorema 1 é

(

m

)

N −

Θ 1/2 _{conforme dado em (3.10), logo esta taxa não é ótima}

) (N−m Θ . A otimalidade pode ser obtida se a estimativa no Lema 3.3 puder ser melhorada. Uma

possibilidade de conseguir isto seria provando que, (1) ) ( 0 1 Θ =

∑

= _{L I} N j j F . Se isto for

verdade, então teríamos, ( )

) ( 1 1 m I L N

J =Θ − no resultado do Teorema 1, sendo, portanto, um resultado de convergência ótimo.

6.

_{Referências bibliográficas}

_.

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Multicolinearidade em Modelos de Regress˜ao

Simone A. Miloca1 _{, Paulo D. Conejo}2

1_{Colegiado do Curso de Matem´atica - Centro de Ciˆencias Exatas e Tecnol´ogicas da}

Universidade Estadual do Oeste do Paran´a Caixa Postal 711 - 85819-110 - Cascavel - PR - Brasil

smiloca@unioeste.br, pconejo@unioeste.br

Resumo. As t´ecnicas da an´alise multivariada de dados tˆem sido regularmente apli-cada em problemas de diversas ´areas. A escolha de uma determinada t´ecnica nor-malmente ´e determinada segundo os objetivos da investigac¸˜ao a ser realizada. Uma teoria abordada na an´alise multivariada de dados ´e a construc¸˜ao e validac¸˜ao de mo-delos de regress˜ao linear. Tais momo-delos surgem em problemas em que o interesse de estudo est´a em saber qual o comportamento das vari´aveis em quest˜ao e qual relac¸˜ao existente entre elas. Na construc¸˜ao de tais modelos, alguns pressupostos devem ser ve-rificados e um deles ´e a dependˆencia entre os regressores (vari´aveis independentes). Se tais dependˆencias forem fortes pode existir multicolinearidade, provocando efeitos nas estimativas dos coeficientes de regress˜ao e na aplicabilidade geral do modelo estimado. Este trabalho traz uma discuss˜ao inicial sobre o problema de multicolinearidade, apre-sentando atrav´es de um exemplo uma das formas de se detectar e solucionar (t´ecnica de An´alise Fatorial) o problema.

Palavras Chaves. multicolinearidade, an´alise fatorial, dependˆencia linear

1. Problema de Multicolinearidade em Modelos de Regress˜ao

A escolha de um determinado m´etodo multivariado ´e determinada segundo os objeti-vos da investigac¸˜ao a ser realizada, [9], [10], [12], [14], [13]. Uma teoria abordada na an´alise multivariada de dados ´e a construc¸˜ao e validac¸˜ao de modelos de regress˜ao linear. Tais modelos surgem em problemas em que o interesse de estudo est´a em saber qual o comportamento das vari´aveis em quest˜ao e qual relac¸˜ao existente entre elas. Deseja-se construir um modelo matem´atico que melhor represente tal relacionamento.

Quando se tem pares de observac¸˜oes de duas vari´aveis, ´e poss´ıvel avaliar o rela-cionamento entre elas fazendo-se um gr´afico de dispers˜ao e assim, indicar como seria o modelo matem´atico. Em muitos problemas, os modelos a serem constru´ıdos s˜ao lineares. A teoria de Regress˜ao Linear ´e importante principalmente quando se tem duas ou mais vari´aveis envolvidas no problema (tanto na vari´avel resposta quanto nas covari´aveis).

Yn×1= Xn×pBp×1+ n×1

onde,

• Y ´e o vetor das n observac¸˜oes (vari´avel dependente). • X ´e a matriz das vari´aveis independentes.

•  ´e a matriz dos erros aleat´orios e representa a influˆencia de outros fatores n˜ao considerados no modelo, bem como os erros de medic¸˜ao da vari´avel resposta Y. Em geral ´e suposto que  ≈ N (0, σ2), ou seja, os erros experimentais s˜ao inde-pendentes e normalmente distribu´ıdos.

• B ´e a matriz dos coeficientes desconhecidos do modelo que devem ser estimados. O que se espera em tais modelos, ´e encontrar dependˆencias entre a vari´avel res-posta Yie os regressores Xj. Em tais problemas, deve-se fazer uma avaliac¸˜ao das suposic¸˜oes

exigidas para aplicac¸˜ao do modelo. Segundo HAIR [14] existem diversos fatores que po-dem influenciar na busca do melhor modelo de regress˜ao. Neste sentido, algumas etapas devem ser seguidas, a primeira delas ´e a especificac¸˜ao dos objetivos da an´alise de re-gress˜ao, que inclui a selec¸˜ao das vari´aveis dependentes e independentes. A segunda etapa inclui determinac¸˜ao do tamanho da amostra. A seguir, as suposic¸˜oes inerentes `a an´alise de regress˜ao (normalidade, linearidade, homocesdasticidade e independˆencia dos termos de erro) devem ser testadas para as vari´aveis individuais e se todas forem atendidas, o modelo dever´a ser estimado. Ap´os obtenc¸˜ao dos resultados, faz-se an´alises diagn´osticas no sentido de verificar se o modelo geral atende `as suposic¸˜oes de regress˜ao e que ne-nhuma observac¸˜ao tenha influˆencia excessiva sobre os dados. A pr´oxima etapa ´e interpre-tar a vari´avel estat´ıstica de regress˜ao e examinar o papel de cada vari´avel independente na previs˜ao da medida dependente. Por fim, os resultados s˜ao validados para garantir generalizac¸˜ao para a populac¸˜ao. Nas referˆencias [9] e [14] pode-se encontrar informac¸˜oes sobre cada uma dessas etapas.

O enfoque deste trabalho est´a centrado em um aspecto a ser considerado na pri-meira destas etapas. Trata-se de discutir a selec¸˜ao de vari´aveis. Uma vari´avel indepen-dente adicional pode melhorar a previs˜ao da vari´avel depenindepen-dente, essa melhoria est´a rela-cionada n˜ao somente com a correlac¸˜ao existente com a vari´avel dependente, mas tamb´em com a correlac¸˜ao desta vari´avel com as demais vari´aveis independentes existentes no modelo. Assim, deve-se investigar se existe dependˆencias entre os regressores Xj. Em

situac¸˜oes onde essas dependˆencias forem fortes, dizemos que existe multicolinearidade. A multicolinearidade refere-se `a correlac¸˜ao entre trˆes ou mais vari´aveis independentes. O que precisa ser feito ´e procurar vari´aveis independentes que tenham baixa multicolineari-dade com as outras vari´aveis independentes, mas tamb´em apresentem correlac¸˜oes eleva-das com a vari´avel dependente. Segundo HAIR (2005), al´em dos efeitos na explicac¸˜ao, a multicolinearidade pode ter s´erios efeitos nas estimativas dos coeficientes de regress˜ao e na aplicabilidade geral do modelo estimado.

Algumas indicac¸˜oes da presenc¸a de multicolinearidade s˜ao: 1. valores altos do coeficiente de correlac¸˜ao;

2. grandes alterac¸˜oes nas estimativas dos coeficientes de regress˜ao, quando uma vari´avel independente for adicionada ou retirada do modelo, ou quando uma observac¸˜ao for alterada ou eliminada;

3. a rejeic¸˜ao da hip´otese Ho : β1 = β2 = ... = βk = 0, mas nenhuma rejeic¸˜ao

das hip´oteses Ho : βi = 0, i = 1, 2, ..., k, sobre os coeficientes individuais de

4. obtenc¸˜ao de estimativas para os coeficientes de regress˜ao com sinais alg´ebricos contr´arios `aqueles que seriam esperados a partir de conhecimentos te´oricos dis-pon´ıveis ou de experiˆencias anteriores sobre o fenˆomeno estudado e

5. obtenc¸˜ao de intervalos de confianc¸a com elevadas amplitudes para os coeficientes de regress˜ao, associados a vari´aveis independentes importantes.

A presenc¸a de multicolinearidade pode ser detectada de v´arias maneiras. Duas medidas mais comumente utilizadas s˜ao o valor de tolerˆancia ou seu inverso, chamada fatores de inflac¸˜ao da variˆancia (VIF) definido pela equac¸˜ao F ( bβj) = _1−R12

j. ´E uma medida do grau em que cada vari´avel independente ´e explicada pelas demais vari´aveis independentes. Quanto maior for o fator de inflac¸˜ao da variˆancia, mais severa ser´a a multicolinearidade. Sugerem-se [9] e [14] que se qualquer fator de inflac¸˜ao da variˆancia exceder 10, ent˜ao a multicolinearidade causar´a efeitos nos coeficientes de regress˜ao. Ou-tros autores sugerem que os fatores de inflac¸˜ao da variˆancia n˜ao devem exceder 4 ou 5, isso depender´a do conhecimento te´orico do pesquisador sobre o assunto estudado.

V´arias medidas tˆem sido propostas para resolver o problema de multicolineari-dade.

Hair [14] destaca as seguintes:

• excluir uma ou mais vari´aveis independentes altamente correlacionadas e identi-ficar outras vari´aveis independentes para ajudar na previs˜ao. Esse procedimento deve ser feito com cautela pois, neste caso, h´a o descarte de informac¸˜oes, contida nas vari´aveis removidas;

• usar o modelo com vari´aveis independentes altamente correlacionadas apenas para previs˜ao, ou seja, n˜ao interpretar os coeficientes de regress˜ao;

• usar as correlac¸˜oes simples entre cada vari´avel independente e a dependente para compreender a relac¸˜ao entre vari´aveis independentes e dependente e

• usar um m´etodo mais sofisticado de an´alise como a regres˜ao Bayesiana (ou um caso especial - regress˜ao ridge) ou a regress˜ao sobre componentes principais para obter um modelo que reflita mais claramente os efeitos simples das vari´aveis in-dependentes.

Segundo Aranha [13], o problema de multicolinearidade pode ser contornado utilizando-se a An´alise de Componentes Principais (ACP), que transforma os Xj em

com-ponentes ortogonais (n˜ao correlacionados) que s˜ao utilizados como vari´aveis explicativas da regress˜ao. O problema que pode ocorrer com esta pr´atica est´a na dificuldade de inter-pretar o significado dos componentes e por consequˆencia, dificuldade de interpretac¸˜ao dos coeficientes de regress˜ao. Comenta ainda que os escores fatoriais, obtidos atrav´es de ou-tra t´ecnica denominada An´alise Fatorial, podem ser utilizados como vari´aveis de interesse em modelos de regress˜ao, sendo esta pr´atica realizada com cautela, devido principalmente a interpetac¸˜ao dos chamados fatores.

Outro autor, Alpert apud Hair [14], escreve um artigo abordando quest˜oes refe-rentes ao modelo de regress˜ao e sugere, como forma de reduc¸˜ao do n´umero de vari´aveis independentes, a t´ecnica de An´alise Fatorial.

Neste contexto, a proposta deste trabalho ´e apresentar a t´ecnica de An´alise Fatorial bem como um exemplo ilustrativo, utilizando-se dados de um modelo de regress˜ao cujas vari´aveis independentes apresentam multicolinearidade.

2. An´alise Fatorial

A An´alise Fatorial (AF) ´e uma t´ecnica da an´alise multivariada que tem por objetivo ex-plicar a correlac¸˜ao entre um conjunto grande de vari´aveis aleat´orias em termos de um conjunto de poucas vari´aveis aleat´orias n˜ao observ´aveis chamadas fatores.

As vari´aveis aleat´orias observadas s˜ao agrupadas de acordo com suas correlac¸˜oes. Dentro de um grupo as vari´aveis aleat´orias s˜ao altamente correlacionadas entre si e de um grupo para outro as correlac¸˜oes s˜ao baixas.

A id´eia central ´e condensar a informac¸˜ao contida em diversas vari´aveis originais em um conjunto menor (fatores) com pequena perda de informac¸˜ao, com a vantagem de n˜ao haver correlac¸˜ao entre os fatores e eles estarem nas direc¸˜oes de maior variabilidade.

O modelo fatorial ortogonal ´e

Xp×1= µp×1+ Lp×mFm×1+ εp×1

onde,

• X = (x1, x2, ..., xp)t ´e um vetor aleat´orio,

• µi ´e a m´edia da i-´esima vari´avel,

• εi ´e o i-´esimo erro ou fator espec´ıfico,

• Fj ´e o j-´esimo fator comum, e

• lij ´e o peso ou carregamento na i-´esima vari´avel xido j-´esimo fator Fj

sendo,

• F e ε independentes;

• E(F ) = 0 e Cov(F ) = Im×me

• E(ε) = 0, Cov(ε) = ψ, onde ψ ´e uma matriz diagonal com variˆancia espec´ıfica ψi na diagonal principal.

Postula-se que X ´e LD de algumas vari´aveis aleat´orias n˜ao observ´aveis F1, ..., Fm e p

fontes de variac¸˜ao εi, ..., εp

Proposic¸˜ao 1 A estrutura para o modelo fatorial ortogonal satisfaz: 1. Cov(X) = LL0+ ψ, ou V ar(Xi) = l2i1+ ... + l 2 im+ ψi Cov(Xi, Xk) = li1lk1+ ... + limlkm 2. Cov(X, F ) = L, ou Cov(Xi, Fj) = lij Observac¸˜oes:

• hi2 = l2i1+...+lim2 ´e denominada comunalidade espec´ıfica e ´e a porc¸˜ao da variˆancia

da vari´avel xi que ´e distribu´ıda pelos m fatores comuns.

• ψi ´e denominada variˆancia espec´ıfica e ´e a porc¸˜ao da variˆancia V ar(Xi) devida

ao fator espec´ıfico. Logo, pode-se escrever

V ar(Xi) = hi2+ ψi = σi2 = σii.

• A exigˆencia m ≤ p implica que a estrutura dos dados (fatores comuns) n˜ao ´e mais complicada do que aquela para os dados observados. Se fosse, n˜ao haveria o que se ganhar com a AF.

• lij ´e a covariˆancia da i-´esima vari´avel Xi com o j-´esimo fator comum Fj. Se a

matriz de correlac¸˜ao for usada, ent˜ao lij ser´a o coeficiente de correlac¸˜ao entre a

2.1. M´etodos de Estimac¸˜ao

O modelo fatorial ortogonal procura representar adequadamente os dados com um pe-queno n´umero de fatores n˜ao observ´aveis. A matriz de covariˆancia S ´e um estimador da matriz populacional Σ desconhecida. Se em determinado problema, os elementos fora da diagonal de S s˜ao pequenos, ou equivalentemente, os elementos fora da diagonal da ma-triz de correlac¸˜ao R s˜ao essencialmente nulos, ent˜ao as vari´aveis n˜ao s˜ao correlacionadas e portanto a an´alise fatorial n˜ao ser´a ´util ao problema. Agora, se Σ desvia significativa-mente de uma matriz diagonal, ent˜ao o modelo fatorial pode ser utilizado, e o problema inicial ´e fazer uma estimac¸˜ao dos carregamentos fatoriais lij e as variˆancias espec´ıficas

ψi. Os m´etodos mais populares s˜ao: o m´etodo das componentes principais e o m´etodo de

m´axima verossimilhanc¸a. A seguir descreve-se o m´etodo das componentes principais. Seja S a matriz de covariˆancia amostral e (λ1, e1), (λ2, e2), · · · , (λp, ep) os pares

de autovalores e autovetores de S, sendo λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λp. Seja m ≤ p o n´umero de

fatores comuns. A matriz de pesos (ou cargas) estimadas, dos fatores lij ´e dada por

L = CD 1 2 λ onde Cp×p =        e11 e12 · · · e1n e21 e22 · · · e2n e31 e32 · · · e3n .. . ... . .. ... ep1 ep2 · · · epp        e D 1 2 λ =      √ λ1 0 · · · 0 0 √λ2 · · · 0 .. . ... . .. ... 0 0 · · · pλp     

A obtenc¸˜ao de tais matrizes deve-se ao teorema da decomposic¸˜ao espectral, que permite escrever a matriz de covariˆancia Σ (que normalmente ´e estimada e denotada an-teriormente por S) na forma

Σ = P ΛP0

onde P ´e uma matriz de autovetores e Λ ´e uma matriz diagonal de autovalores, ou seja, Σ = λ1e1e01+ λ2e2e02+ · · · + λpepe0p

que na forma matricial fatorada fica

Σ = [e1 p λ1... · · ·...eppλp]    √ λ1e01 .. . pλpe0p    Escreve-se Σ = LL0

O que ocorre no modelo que queremos ´e explicar a estrutura de covariˆancia em termos de poucos fatores, ou seja, tomando m ≤ p. Desta forma exclui-se a contribuic¸˜ao de λm+1em+1e0m+1+ · · · + λpepe0pe toma-se a aproximac¸˜ao Σ = [e1 p λ1... · · ·...em p λm]    √ λ1e01 .. . √ λme0m   = Lp×mL 0 m×p Observac¸˜oes:

• as variˆancias espec´ıficas ψ s˜ao dadas pelos elementos da diagonal principal da matriz Σ − LL0, e

• na aplicac¸˜ao deste modelo costuma-se subtrair de cada observac¸˜ao X1, ..., xn a

m´edia amostral para que as observac¸˜oes fiquem centradas no mesmo ponto. Tamb´em ´e usual padronizar as vari´aveis

Zj =     x_√ij−x1 s11 .. . xpj−xp √ spp    

Tal soluc¸˜ao pode ser rotacionada para a obtenc¸˜ao de uma estrutura mais simples, na qual a interpretac¸˜ao dos fatores seja bem mais vis´ıvel e simplificada. Isto pode ser feito por diversos m´etodos sendo os mais utilizados, o m´etodo Varimax ou Varimax Normal, [9].

Quanto a escolha do n´umero de fatores comuns, dentre os crit´erios utilizados, pode-se citar:

1. o n´umero de fatores m ´e igual ao n´umero de autovalores de R (matriz de correlac¸˜ao), maiores do que 1 (um) (crit´erio de Kaiser), e

2. o n´umero de fatores m ´e escolhido de acordo com o percentual da variˆancia expli-cada sendo,

• λj

tr(S) quando a an´alise ´e feita a partir de S, e

• λj

p quando a an´alise ´e feita a partir da matriz de correlac¸˜ao

3. Exemplo

Para exemplificar a t´ecnica de An´alise Fatorial, sup˜oe-se que se deseja construir um modelo de regress˜ao para tentar explicar o relacionamento entre uma vari´avel resposta y=prec¸o e um conjunto de vari´aveis explicativas dadas por ´ındices (vari´aveis quantitati-vas) de qualidade industrial do trigo ([4], [3]), obtidos atrav´es de testes espec´ıficos reali-zados em laborat´orios. Os dados para an´alise foram extra´ıdos de [7], perfazendo um total de 7 vari´aveis explicativas (w, pl, fn, gs, gu, aa e est), cada uma contendo 18 informac¸˜oes, que podem ser vistas como 18 lotes.

Uma id´eia inicial ´e optar por um modelo do tipo