Neste capítulo faço uma abordagem ao que foi o Movimento da Matemática Moderna, os seus impulsionadores a nível internacional e nacional, as suas ideias e as perspectivas que apontaram para o ensino da Matemática, as influências que tiveram e os trabalhos desenvolvidos no contexto dessas perspectivas e as críticas que foram expressas sobre o MMM. Também abordo a forma como estas ideias se desenvolveram no Ensino Primário, tanto a nível nacional como a nível internacional.
Para isso dividi este capítulo em duas partes: o Movimento da Matemática Moderna a nível internacional e a nível nacional. Apesar de o capítulo estar dividido em duas partes, não deixei de explorar as intersecções que obviamente existem entre o Movimento internacional e o que ocorreu em Portugal neste contexto.
Na abordagem que faço ao que ocorreu com o MMM a nível internacional destaco as origens do Movimento, nomeadamente na Europa e nos Estados Unidos da América, as perspectivas resultantes do Seminário de Royaumont, que marcaram o desenvolvimento deste Movimento e realço também as influências que este Movimento teve no Ensino da Matemática ao nível do Primário. Dentro do contexto da Matemática Moderna surgiram outras experiências que influenciaram o Ensino da Matemática, também faço uma apreciação a essas experiências. Ainda nesta primeira parte do capítulo abordo as críticas que foram sendo feitas aos efeitos do Movimento da Matemática Moderna no ensino da Matemática, críticas essas que surgiram logo desde a fase inicial do Movimento. Para esta parte do trabalho baseio-me em alguns documentos de referência, como as actas do Seminário de Royaumont ou os trabalhos de Moon (1986), Howson (1984), Servais (1975), assim como no trabalho do professor Henrique Guimarães (2003 e 2006), em que este discute as perspectivas e orientações curriculares da Matemática Moderna.
Em relação à segunda parte do capítulo, em que analiso o desenvolvimento do Movimento da Matemática Moderna em Portugal, começo por destacar as primeiras influências do Movimento em Portugal e depois refiro a forma como o Movimento foi influenciar o ensino da Matemática no Primário. Também em Portugal surgiram críticas à forma como as ideias do Movimento foram aplicadas no ensino da Matemática. Neste capítulo faço também uma análise dessas críticas. Para esta segunda parte do capítulo
Capítulo IV - O Movimento da Matemática Moderna (MMM) e as reformas no ensino da Matemática
utilizei algumas informações que constam na cronologia de Matos (2004) e um trabalho de Célia Silva publicado em 2007. Em relação ao Movimento no Ensino Primário fiz uma abordagem que engloba essencialmente cinco perspectivas, o desenvolvimento do ensino da Matemática no Colégio Vasco da Gama, o trabalho desenvolvido no projecto de Iniciação de Professores à Didáctica das Matemáticas Modernas, do Centro de Investigação Pedagógica da Fundação Calouste Gulbenkian, o ensino da Matemática no Colégio da Torre, os cadernos de apontamentos de Didáctica Especial dos professores dos magistérios Primários e as influências do Movimento nos programas do Ensino Primário. Por isso os documentos analisados estão relacionados essencialmente com estas cinco perspectivas. São documentos relacionados com o Colégio Vasco da Gama, o Boletim Bibliográfico e Informativo do Centro de Investigação Pedagógica da Gulbenkian, o projecto educativo do Colégio da Torre, os cadernos de apontamentos de Didáctica Especial e os programas oficiais do Ensino Primário do período compreendido entre 1960 e meados da década de 1980.
O Movimento da Matemática Moderna a nível internacional
É de certa forma unânime que a reforma do ensino da Matemática, associada ao Movimento da Matemática Moderna, tem como marco essencial o Seminário de Royaumont, em 1959. No entanto, o percurso que levou a esse seminário, e às reformas que se seguiram, não parece ser consensual. De acordo com Malaty (s.d.), até ao ano lectivo de 1957/1958 a matemática escolar seria similar em quase todos os países. O lançamento do Sputnik em 1957, e a consequente reacção dos Estados Unidos da América (EUA), iriam marcar o início de uma diversidade na Educação Matemática. Nesse mesmo ano, o grupo School Mathematics Study Group (SMSG) liderado pelo professor Edward Begle da Universidade de Yale, começou a trabalhar em novos manuais, com novas propostas curriculares, baseadas no currículo de 1952, de um grupo de trabalho da Universidade de Illinois, que tinha o nome de “New mathematics curriculum” (Malaty, s.d.). Este autor (s.d.) defende que a palavra “new” só ganhou um verdadeiro significado após o lançamento do Sputnik, que fez não só os EUA reflectirem sobre o currículo proposto pelo grupo SMGS, como também levou este e outros países a pensarem em mudanças rápidas e radicais no ensino da Matemática.
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53 Kline (1976)13 refere que o descontentamento com o ensino da Matemática já vinha do início da década de 1950 e tinha origem nos fracos resultados dos alunos nesta disciplina. Este fraco desempenho na Matemática também tinha sido verificado durante a Segunda Guerra Mundial, com os militares a serem obrigados a organizar cursos para colmatar as lacunas observadas nesta área.
Segundo Kline (1976), embora se possam identificar vários factores que determinam os resultados do ensino, os vários grupos que organizaram a reforma centraram-se na melhoria do currículo como forma de melhorar o ensino da Matemática. Foi em 1952, que uma comissão presidida por Beberman, da Universidade de Illinois, começou a preparar um novo currículo de Matemática. Só em 1960, este currículo mais orientado para o Ensino Secundário14 foi posto em prática, em regime experimental. Como consequência, a comissão organizou um currículo para a escola elementar15 que, em conjunto com o currículo do secundário, foi mais tarde alargado a outras áreas geográficas.
Kline (1976), também destaca o lançamento do Sputnik, em 1957, como um marco no desenvolvimento do financiamento das ciências e da Matemática nos Estados Unidos da América, o que levou ao surgimento de uma nova série de projectos de organização de um novo currículo. Em 1958 a Sociedade Americana da Matemática lança a criação de um novo currículo para a Matemática, começando pelo Ensino Secundário e acabando depois por incluir o currículo de aritmética das escolas elementares. Kline (1976) destaca ainda outros projectos de renovação do currículo de Matemática nos Estados Unidos da América, como o Projecto Ball State e o Programa de Matemática de Grande Cleveland.
Em relação à ideia de que o movimento que lançou a modernização do ensino da Matemática teria origem nos EUA, Moon (1986), considera-a simplista, já que refere que as bases da Matemática Moderna se desenvolveram em paralelo na Europa e nos Estados Unidos da América, embora destaque algumas particularidades em cada um dos movimentos. Também a ideia divulgada, de que teria sido a reacção dos EUA ao lançamento do Sputnik a origem do Seminário de Royaumont, é refutada por este autor, referindo que os EUA apenas aproveitaram os recursos financeiros gerados pelo
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Neste trabalho foi utilizada a tradução brasileira deste livro, editada pela Ibrasa: O fracasso da Matemática Moderna. Mas o original Why Johny can´t add: The failure of the new math, de Morris Kline, é de 1973.
14 O Ensino Secundário aqui mencionado refere-se aproximadamente a alunos entre os 11 e os 18 anos. 15
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impacto do lançamento do Sputnik para compreender o que se estava a passar nos outros países, e, aproveitando este processo, fazer progredir a modernização do ensino da Matemática (Moon, 1986).
Segundo Guimarães (2003, citando Matos, 1988; Moon, 1986; NACOME, 1975), a organização deste seminário pela então Organização Europeia de Cooperação Económica (OECE) seria o culminar de um interesse na modernização do currículo da Matemática, que se tinha desenvolvido no período do pós-guerra e ao longo dos anos 50, paralelamente em vários países europeus e nos Estados Unidos da América.
Já durante os anos 50 se tinham realizado uma série de iniciativas que tinham em comum a intenção de modificar os currículos do ensino da matemática, a introdução de novas reorganizações curriculares e novos métodos de ensino (Matos, 1998; Moon, 1986; NACOME16, 1975 citados em Guimarães, 2003).
Para Revuz (1980), o movimento de renovação do ensino da Matemática processou-se em todos os países ocidentais. Para este autor, o movimento ter-se-á desenvolvido seguindo diversas modalidades, e com velocidades diferentes consoante os países.
Valente (2006) sugere que o Movimento da Matemática Moderna surge em meados do século XX, de um movimento internacional relacionado com o currículo de matemática e que tinha como pano de fundo os estudos da educação comparada do princípio do século, movimento este que pretendia uniformizar e expandir para diferentes países uma modificação radical no ensino da Matemática, baseada no cientificismo.
Perspectivas e orientações resultantes do Seminário de Royaumont
No seminário de Royaumont, realizado nos finais de 1959, no Cercle Culturel de Royaumont, em Asniéres-sur-Oise, França, que durou duas semanas, estiveram presentes cerca de 50 delegados de 18 países. A cada país participante foi pedido que enviasse três participantes, “um matemático eminente, um especialista em pedagogia da Matemática, ou uma pessoa do Ministério da Educação responsável pela disciplina de Matemática e um professor de Matemática reputado do Ensino Secundário.” (OECE, 1961, p.7).
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55 Em 1960, reuniu-se em Dubrovnik uma comissão de dezasseis elementos que, dando seguimento a algumas das conclusões gerais do Seminário de Royaumont, elabora as propostas de programas para os vários ciclos do Ensino Secundário. Essas propostas são reunidas no livro Un programme moderne de mathématiques por
lénseignement sécondaires, que é publicado em 1961 pela OECE (Guimarães, 2003).
Neste documento são enunciadas três finalidades para o Ensino da Matemática: o papel formativo de desenvolvimento das capacidades mentais e intelectuais do aluno; a preparação para o prosseguimento de estudos e o papel instrumental, tendo em vista a inserção na vida quotidiana e profissional. Para além disto, o ensino da Matemática é ainda concebido sob um duplo ponto de vista: o ensino geral e a formação de alunos especialmente dotados (Guimarães, 2003).
De acordo com Malaty (s.d.), o Seminário de Royaumont tem um papel especial na história da Educação Matemática. A primeira razão apontada por este autor, para a importância deste seminário, foi ter transformado a reforma da Matemática Nova, de uma reforma estritamente americana, num movimento de Educação Matemática que envolveu os países ocidentais (países OECE, mais os EUA e Canadá, mais tarde Organização para a Cooperação e Desenvolvimento Económico, OCDE). A segunda razão foi a polémica afirmação de Jean Dieudonné “Abaixo Euclides”. Malaty (s.d.) defende que o Seminário de Royaumont e o seu relatório de 1961 provocaram mudanças radicais na Educação Matemática dos países ocidentais, fazendo surgir duas grandes escolas de Educação Matemática, a escola de Leste, liderada pela então União Soviética, e a escola Ocidental, liderada pelos EUA. No entanto, este autor não desvaloriza o papel dos países europeus neste movimento, afirmando que este não é puramente americano e que a entrada dos países europeus teve um efeito notável.
Para Kline (1976), na reunião de Royaumont surgiram novos grupos internacionais que recomendaram uma reforma mais radical do ensino da Matemática e que aconselhavam o abandono total dos cursos conhecidos da Matemática, inclusive a geometria euclidiana. Esta recomendação surge devido ao desenvolvimento das tecnologias, computadores e das matemáticas abstractas como base das outras ciências. Desta reunião saem como novas matérias da Matemática, a lógica e a estrutura, sobressaindo a unidade da Matemática, vista como um todo e a utilização de uma nova linguagem (Kline, 1976). Para este autor (1976), desta conferência não surgiram novos grupos de currículos, mas as suas resoluções encorajaram novos desvios ao currículo tradicional.
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Na especificação da reforma elaborada pela OECE em 1961, a partir das conclusões do Seminário de Royaumont, existem algumas indicações de carácter metodológico. É referido em determinado ponto deste relatório que as situações concretas e familiares aos alunos poderiam ser utilizadas como introdução à teoria dos conjuntos. É também referido que os alunos deveriam ser implicados nas descobertas, utilizando exemplos como o conjunto de alunos na aula, o conjunto de dedos na mão. A observação e a experiência são apontadas como essenciais para o desenvolvimento da abstracção matemática (OECE, 1961).
Em relação às metodologias utilizadas no Ensino Primário, nomeadamente no ensino da Aritmética, este mesmo relatório refere que se deve valorizar a compreensão face à mecanização ou aos aspectos mais repetitivos ou rotineiros no ensino da Matemática. Também são valorizados aspectos como a aprendizagem por descoberta, a intuição e o rigor. Na sua intervenção no Seminário de Royaumont em 1959, Gustav Choquet (OECE, 1961) afirma que, em relação à mecanização, os alunos não deveriam ser mais sobrecarregados com longas multiplicações e divisões, valorizando, em contrapartida, os exercícios de cálculo mental simples, a estimação, a utilização da máquina de calcular e a ênfase nas operações e suas propriedades. A questão da utilização da máquina de calcular também é discutida, sendo recomendada a sua utilização para a realização de cálculos mais complexos, permitindo centrar o ensino nas operações e nas suas propriedades. Um outro aspecto focado e valorizado é a compreensão com o recurso a objectos materiais, nomeadamente o material de Cuisenaire e Botsch. De acordo com (Guimarães, 2003), nem todas as recomendações foram consensuais, nomeadamente no que se refere à utilização da máquina de calcular e à utilização de alguns materiais de concretização, fazendo-se um alerta para o uso abusivo de cubos, pauzinhos e coloridos.
Segundo Guimarães (2003), existe também nestas recomendações uma valorização do papel do aluno e da componente da descoberta na aprendizagem, sendo mais explícitas no programa de Dubrovnik do que nas intervenções de Royaumont. Neste mesmo programa é referido que as tarefas propostas não se devem limitar à aplicação de conhecimentos e que deve existir uma motivação para o interesse e desejo de investigação do aluno.
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57 Desenvolvimento do Movimento da Matemática Moderna
A segunda metade da década de 50, do séc. XX, assinala assim o início de uma reforma curricular, que irá ter influência no Ensino da Matemática um pouco por todo o mundo. A reforma não se limita ao campo curricular, mas também marca uma renovação nos métodos de ensino.
Segundo Matos (2005), um dos traços marcantes deste movimento é a preocupação com a renovação dos conteúdos, que se vai centrar nas estruturas que surgiam como a base da Matemática conhecida. Para a conceptualização contribuíram muito os trabalhos de unificação dos conhecimentos matemáticos, realizados por um grupo de matemáticos, principalmente franceses, que escreviam sob o nome de Nicolas Bourbaki, e que formavam uma instituição de referência (Boyer, 1974).
Guimarães (2003, citando Bourbaki, 1971) destaca três ideias chave na concepção bourbakista da Matemática: a unidade da Matemática, o método axiomático e o conceito de estrutura Matemática. Este autor destaca que, para o grupo bourbakista, a evolução interna da Matemática só tinha vindo acentuar a unidade das várias partes e a coerência de um núcleo central. Ainda de acordo com Guimarães (2003), para este grupo, a unidade da Matemática também era garantida pelo recurso ao método axiomático, que emergiria como o método da Matemática. Para além de conceberem a Matemática como uma ciência com um método próprio, o grupo bourbakista também vai evidenciar os objectivos próprios desta ciência, destacando-se a ideia da estrutura em Matemática. Nesta perspectiva, as estruturas são consideradas como as entidades básicas da Matemática, os únicos objectos desta ciência. O trabalho do matemático é apresentado não apenas como uma tarefa mecânica, mas sim guiado por uma “intuição especial”. Essa intuição resultaria da familiaridade que o matemático estabelece com as estruturas básicas, devido ao contacto prolongado e repetido com essas entidades, que se tornam tão reais como o mundo real. Estas estruturas não são apresentadas como imutáveis, já que o desenvolvimento da pesquisa em Matemática poderá levar à descoberta de novas estruturas. Este processo dinâmico de evolução da Matemática também estaria de acordo com o método axiomático, já que segundo os autores bourbakistas, este método não se coaduna com uma perspectiva estática da ciência (Guimarães, 2003).
Um outro traço do Movimento da Matemática Moderna, segundo Matos (2005), consistiu na tentativa de construir os currículos de acordo com os trabalhos de Piaget,
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que apresentariam estruturas operatórias próximas das estruturas bourbakistas do conhecimento matemático. De acordo com Guimarães (2003), Piaget defendeu a correspondência entre as estruturas matemáticas conhecidas, apresentadas por Bourbaki (estruturas algébricas, estruturas de ordem e estruturas topológicas) e as estruturas básicas da cognição, teorizadas por ele próprio. Piaget terá mesmo recomendado que essa relação entre as estruturas servisse de base à didáctica da matemática (Guimarães, 2003). Huete e Bravo (2006) sintetizam através do quadro seguinte a relação entre as estruturas de Piaget e as estruturas elementares propostas pelo grupo bourbakista.
Quadro – 2 - Correlação de operações concretas e “estruturas – mãe” em matemática. Operações concretas Estruturas elementares
Agrupamentos lógicos da classe Algébricas
Operações proposicionais Algébricas
Agrupamentos de relações De ordem
Operações proposicionais De ordem
Geometria espontânea Topológicas
(Huete & Bravo, 2006, p. 31)
Na reforma proposta a partir do Seminário Royaumont e especificada no documento produzido em 1961, Um programa moderno de Matemática para o Ensino
Secundário, os trabalhos de Jean Piaget assumiram um papel significativo (Guimarães,
2003). Este autor (2003) refere que essa visibilidade é notória nas declarações produzidas por Marshal Stone, que presidiu ao Seminário, ao destacar as pesquisas de Piaget e as suas aplicações à pedagogia. A intervenção de Gustav Choquet, sobre o ensino dos números e das operações, seguiu de perto as ideias de Piaget sobre a génese do número na criança, tendo mesmo citado o livro de Piaget La genése du nombre chez
l’enfant.
Os trabalhos de Piaget na área da psicologia, constituíram uma motivação adicional para que a reforma proposta em Royaumont tivesse um desenvolvimento no Ensino Primário, tendo estes trabalhos influenciado uma série de projectos. Esta influência não se limitou à Europa, chegando também aos EUA. O crescimento da influência da psicologia na reforma do ensino da Matemática provocou alguma
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59 preocupação e levou Dienes17 a ter que justificar e rebater essas preocupações (Moon, 1986).
Em relação às razões apontadas pelos promotores do Seminário de Royaumont, para a urgência das mudanças, Stone (1961, citado em Guimarães 2003) refere que estas se prendem com imperativos de natureza social, já que se entendia na época que cada vez mais os cidadãos necessitariam de conhecimentos elementares da Matemática, relacionados com o desenvolvimento da própria disciplina e com razões relacionadas com o progresso tecnológico. No relatório produzido a partir do Seminário (OECE, 1961) eram apontadas duas razões principais para a necessidade de uma análise sobre os conteúdos trabalhados no Ensino Secundário. Em primeiro lugar, um desenvolvimento muito rápido da Matemática pura naquela época, enquanto que os conteúdos trabalhados teriam já duzentos anos. Em segundo lugar, a importância que a Matemática tinha no desenvolvimento das outras ciências.
As conclusões gerais do Seminário (OECE, 1961) apresentam a reforma como imaginativa, desafiadora e revolucionária. Esta reforma era também considerada neste