Movimento no hiperespaço

Capítulo

Movimento no hiperespaço

Quanto mais compreendemos o mundo físico e penetramos nas leis da natureza, mais nos parece que o mundo físico se evapora e nos resta apenas a matemática. Quanto mais aprofundamos o conhecimento das leis da física, mais somos conduzidos a este mundo da matemática e dos conceitos matemáticos.

Sir Roer Penrose OGrande oPeueno e a MenteHumana

Omodelo deRandallSundrum e outras teoriasKaluaKlein nãocompactas

como STM emora possam estatuir dimensões extras por motiações distintas

conrontamse com desa…os semelhantes De um ponto deista teórico elas deem

predier eeitos oseráeis das dimensões extras De um ponto deista experimen

tal o assuntoital é a descoerta deenômenos anômalosue poderíamos associarà

existncia de dimensões extras Um possíel modo de testar as consenciasísicas

adindas da existncia de dimensões extras é examinar a dinâmica de partículas

teste m suma pretendese procurar anomalias no unierso em 4D Por isso o

moimentoeodésico emariedades5D e suariedades4D tem sido um assunto de

inestiações intensias[2] Resultados importantes emeriram ao reduiremse as

euações deeodésicas em5D Constatouseue o moimento lire em5D é oser ado em4D como estando sumetido a uma aceleração anômalaTamém concluise ue ao se moer liremente nohiperespaçobulk uma partícula pode ser con…nada

Movimento no Hiperespaço 

terá impressão ue moese em 4D  assunto central ue consideramos é a na

ture a do mecanismo de con…namento e se tal mecanismo temualuer propriedade

o!seráel

No cenário de

!ranas con…namento está

el de campos de matéria é poss"el

a n"el u#ntico se learmos em conta interação com um campo escalar $48% &m

um cenário puramente clássico'no entanto' se*ará necessário dispor de mecanismos

de con…namento+eodésico de*orma a restrin+ir part"culas maciças a moerse so!re /ipersuper

*"cies de maneira estáel

6rocuramos determinar em ue condiç9es a estrutura +eométrica de um

bulk espaço produto distorcido semiriemanniano pode con…nar tal moimento

Consideremos as euaç9es de +eodésicas no /iperespaço n dimensional ;n = m + 4)



<endo o espaço

tempo umaariedade lorent iana tetradimensionalM

4

e estando ele imerso em um/iperespaço;bulk= B

n

F M4' com métrica distorcida'

ou se>a' uma espaço produto distorcido' comB

n _{munido de uma estrutura rieman}



niana A uestão aui >á suscitada' e apresentada ao lon+o do tra!al/o' em a ser

propriamente o moimento +eodésico ;uanto? uestão do con…namento=

@m ponto interessante é ue a B*orça eCtraB desaparece se = 0 Neste

caso' +eodésicas emM 4 _{serão automaticamente} +eodésicas deB n FM4 isso proDm

do teorema F da totalidade +eodésica de uma su!ariedade 6orém' deemos

o!serarue = 0 é su…ciente'mas não condição necessária paraue uma+eodésica

particular emM4 _tam

!ém se>á uma +eodésica no/iperespaço

G

.

I

Força extra em espaço produto distorcido

A euação (2) da proposição JL indica ue o moimento +eodésico no

bulk é perce!ido nas*ol/as/ori ontais;espaçotempo=como uma pre+eodésica'isso

é' o moimento das part"culas con…nadas a essas *ol/as' está acometido de uma

aceleração anMmala' ue depende da*unção de distorção

Nas teorias *"sicas ue consideram o unierso como uma /ipersuper*"cie

tetradimensional 4 imersa em um espaço produto distorcido pentadimensional M5

o moimento das part"culas são curas no espaço M

5

Movimento no Hiperespaço VW

nadas Xs YiperZsuper\^cie

4

_ ` esse respeitoa podemos cesperarc due os e\eitos do

moeimento em cinco dimensies apareçam em

duatro dimens

ies como uma

\orça ekZ

tra capalde a\etar o moeimento de part^culas no espaçoZtempo usual_ msse assunto

tem sido ineesti

nado recentemente em opWra adui tamsém alnuns resultados cr^ticos

encontrados emoptr_

uaçamoswpor coneeniyncia de notação{as se

nuintes implementaç

ies ade…nição |8} M = B

n

F M4 eF : Bn! R é dada por efaadotamos tamsém métrica g com

assinatura (+; ; :::; )_ `ssima wW_W{anora considerada emM tornarZseZá}

ds2 = e2f (y)h dx dx kabdyadyb; wt_~{

ondeaos^ndicesnrenos re\eremZseXs coordenadas do espaçoZtempo M

4 _{e os}

latinosXs coordenadas deB

n

dueapor suaeelasupomos se dotada de uma estrutura

riemanniana_

meoduemos anora a proposição~V} ma curea = ( ; ) em M = M

m

F Mn é uma neodésica sea e somente

sea 00₌ 2 F d(F ) ds 0 _emM4_: wt_p{ 00_{= g(} 0 ; 0)F grad F em Bn; wt_W{

Consideremos um sistema de coordenadas emMataldue} Z= (x

1_{; :::; x}4_{; y}1_{; :::; y}n_):

` eduaçãoneodésica emM é dada por}

dZA d 2 + A BC dZB d dZA d = 0; wt_t{

onde é um par€metro a…m_ `ps certa manipulação alnésrica cYenamos a }

d2_x d 2 + (4) dx d dx d = ; wt_V{ onde = _abdy a d dyb d 2 b dx d dyb d

Movimento no Hiperespaço ‚ƒ e d2_ya d 2 + (n) a bc dyb d dyc d = a „ †ƒ‡ˆ‰ onde a = dx d dx d 2 b dx d dyb d

Š‹identemente†ƒ‡‚‰e†ƒ‡ˆ‰são as transcriçŒes de†ƒ‡‰e†ƒ‡Ž‰neste sistema

de coordenadas‡

upomos aora‘ueM pode ser’ol“eado por uma’am”lia de su•‹ariedades

de…nida por n e‘uaç Œes y a _{= y}a o =constante‡ – eometria de M 4 _é „ então„ deter—

minada pela métrica indu˜ida

ds2 = g (x; yo1; :::; y n

o)dx dx :

De modo‘ue as‘uantidades

(4)

‘ue aparecem no lado™es‘uerda de†ƒ‡‚‰podem

ser identi…cadas com os s”m•olos de C“risto¤el associados ™ métrica indu˜ida nas ’ol“as da’oliação de…nida acima‡

Conse‘šentemente as‘uantidades e

a _redu ˜em—se„ respecti‹amente„ a› = 0 e a = f;ae2fh _x _x

onde f;a = _@y@fa„ e denotamos com ponto a deri‹ada com respeito ao parœmetro

a…m‡ am•ém estamos usando a notação f

;a _{= k}ab_f

;b‡ žotemos ‘ue se o ’ator de

distorçãof ’or constante„as e‘uaçŒes†ƒ‡ƒ‰‘ue descre‹em aseodésicas do produto

distorcido M separam—se—a nas e‘uaçŒes de eodésicas totalmente desacopladas das

duas su•‹ariedades M

4 _{e B}n

„ con’orme ™ proposição Ÿ ‡ žo‹amente ’a˜endo uso

de† ‡ ¡‰ da mesma maneira‘ue anteriormente„ teremos para a métrica†ƒ‡¢‰

e2fh _x _x kab_ya_yb = K‡ †ƒ‡£‰

Desse modo„ temos ‘ue as e‘uaçŒes †ƒ‡‚‰ e †ƒ‡ˆ‰ tornare—se—ão repecti‹a—

mente

•

x +(4) _{_x _x = 2f}

Movimento no Hiperespaço ¦¦

•

ya+ abc_y b

_yc = f;a(K + kbc_yb_yc): §¨©ª«

¬s e­uaç®es acima constituem um sistema de e­uaç®es di¯erenciais de se° ±unda ordem­ue² por sua³e´²pode ser resol³ido²em princµpio² sef = f (y

1_{; :::; y}n₎

¯or con¶ecida©

·

.2 Con

¸

namento do movimento no espaço-tempo

tetradimensional

¹esta seção deseºamos in³esti±ar a possi»ilidade de con…namento de partµcu°

las maciças e ¯¼tons na ³ariedade espaço°tempo M

4

© ½m outras pala³ras² nosso

o»ºeti³o a­ui é encontrar as condiç®es matemáticas ­ue de³em ser satis¯eitas pelo ¯ator de distorção f para ±eodésicas do tipo tempo e nulas …­uem aprisonadas

em M4

© ¾ teorema ¿ nos ad³erte ­ue uma su»³ariedade M

4 _{de uma}

³ariedade

semi°riemanianaM é totalmente±eodésica se²e somente se²toda±eodésica deM

4 _é

tam»ém uma±eodésica emM²isto é²a su»³ariedadeM

4 _{é totalmente}

±eodésica se²

e somente se² todas as componentes da cur³aturas eÀtrµnsecas de M

4 _{se anulam}

© Áe

a ±eometria de M é lorent´iana² se M

4 _{é totalmente um}

»µlica² então² como iremos

mostrar nesta seção²o teorema continua ³álido² mas² re¯ere°se apenas Âs ±eodésicas

tipo°tempo e tipo°espaço² posto ­ue as ±eodésicas nulas por nature´a ºá são ±eo°

désicas de am»os os espaços independentemente do ³alor da cur³atura eÀtrµnseca© ½m ³erdade² iremos mostrar ­ue o con…namento de ±eodésicas nulas não depende

do ³alor da cur³atura eÀtrµnseca© De um ponto de ³ista ¯µsico parece ser muito

interessante ­ue os ¯eiÀes de lu´ §¯otons« não Ãpercebamà a cur³atura eÀtrµnseca do

espaço°tempo© ½ste¯ato é uma ±enerali´ação do resultado apontado na seção Ä.Å

no­ual o caso de imers®es de ¶ipersuper¯µcies de codimensão um são estudados© Æamos retornar Âs e­uaç®es§ ¨©Ç« e§¨©ª«© Áeºa uma ±eodésica tipo°tempo §ou tipo°espaço« da su»³ariedade M

4 © Èma³e´ ­ue 2 M 4 _de ³emos ter _y a _{= 0} ² e

assim § ¨©Ç« é identicamente satis¯eita© ¬±ora se f

;a_(y1

0; :::; y0n) = 0² então§¨©ª«tam° »ém ³ale©Éor outro lado² se ­ual­uer ±eodésica de M com e­uaç®es paramétri°

cas (x = x ( ); ya _{= y}a

0) é uma ±eodésica de M

4

Movimento no Hiperespaço ÊË

f;a_(y1

0; :::; y0n) = 0Ì Íamos aÎora considerar o Ïalor da curÏatura eÐtrÑnseca Òou curÓ Ïatura normal ÔdeM 4 Ì DeÒÕÌÖÔÏemos ×ue os ÏetoresN(a)= @ @ya daØase coordenada n @ @x ; @ @ya o

são normais ÙsuØÏariedadeM

4

Ì ÚeÛa uma curÏa de M

4 _com

Ïetor tanÎente dado por

V = dx

d ; 0 : ÒÕÌÖÜÔ

Ý curÏatura normal de M

4

Þ em um ponto p 2 M

4

Þ na direção deN(a) é dada pelo

produto interno HN(a)= g N(a); DV d ÒÕÌÖÖÔ empÞonde DV

d é a deriÏada coÏariante de V com respeito

Ù cone

Ðão deßeÏiÓCiÏita

determinada por gÌ Ýpás calcular

DV d de ÒÕÌÖÔ ãacilmente mostramos×ue Ha= g @ @ya; DV d = kab b _x _x = fae2fh _x _x ÒÕÌÖäÔ

ÝssimÞ os coe…cientes da curÏatura normal

Ha= Ha _x _x ÒÕÌÖåÔ

são dados por

Ha = fae2fh : ÒÕÌÖÕÔ

Claro está ×ue H a = 0 se

Þ e somente seÞ fa = 0Ì

æortanto

Þ em Ïista do eÐposto

acimaÞeÐatamente o×ue diçoTeoremaè concluÑmos o seÎuinteé geodésicas do tipo

tempo ou do tipo espaço podem ser con…nadas na subvariedade M4_{, se e somente se}

a curvatura extrínseca de M4 _{se anula.}

ë interessante analisar o ×ue acontece com

asÎeodésicas nulasÌ

ìma Ïeç ×ue aÎora K = 0 se a curÏa é uma Îeodésica nula de M

4

então as e×uaçîes

ÒÕÌïÔ e ÒÕÌðÔ nos in

ãormam ×ue tamØém é uma

Îeodésica de

MÞ independentemente do Ïalor de faÞ e então independentemente dosÏalores das

curÏaturas normais de M

4

Ì

ñ

.

ò

Con

ö

namento via potencial e

÷

etivo

ìma análise do moÏimento nas dimensîes eÐtras tamØém pode ser ÏiaØiÓ

Movimento no Hiperespaço øù

um potencial eúetiûo V = V (y)ý þara ÿeneralidade nesta seção suporemos que a

métricak de Bn _{é riemanniana} (positi ûo -de…nida )ý Assim, considerando (4ý1) dS2 = e2fh dx dx kabdyadyb, (4ý1ø)

as equações ÿeodésicas para a parte extra são dadas por

d _ya d 1 2kbc_y b _yc f;ae2fh dx d dx d = 0ý (4ý16) Tendo emûista a equação (4ýù)

e2fh dx d dx d kab dya d dyb d = K (4ý1ù)

temos então, que o moûimento nas dimensões extras é descrito pelas equações

d _ya d 1 2kbc_y b _yc f;a K kbc_yb_yc = 0 (4ý18)

þodemos encontrar a primeira inteÿral da equação (4ý1 8) multiplicando-a

por2 _ye2f ý De úato,obtemos 2e2f _yad _ya d 1 2_y a_k bc_yb_yc 2 _yae2ff;a K kbc_yb_yc = 0ý

þodemos assim escreûâ-la como:

e2f d d kbc_y b_{_y}c ₊de2f d kbc_y b_{_y}c _Kde2f d = 0, …nalmente, teremos e2f kbc_yb_yc = C Ke2f;

podemos ainda sem perda deÿeneralidade suporquef (0; :::; 0) = 0,e com isto termo

C = _y₀2+ K onde _y2

0 kbc_y0i _y j

0 está relacionado com a enerÿia cinética inicial correspondente

ao moûimento na direção extraý Assim, a Laÿranÿiana do moûimento …ca assim

representada:

L = e2f kbc_yb_yc = _y20 V (y) (4ý19)

comV (y) representando um potencial eúetiûo dado por:

V = K(e2f ₁₎

Movimento no Hiperespaço 5

Considerando
uekab é uma métrica riemanniana podemos deduzir
ue o

movimento estará delimitado caso eista solução para a e

uação V (y) = _y

2

0. Con

tudodelimitado não
uer dizer con…nado
uando lidamos com espaço de codimen

são maior. Con…namento implica o retorno cont

ínuo da partícula à hipersuperfí

cie. Para analisar a eistência do con…namento precisamos de informaçes sore a

métricakab.

Por simplicidade consideremos o caso particular em
ue M = M

4 _B2

.

onde o ageometria deN

2 _{é caracteri}

zada pelo se

guinte elemento de lin ha



dl2 _{= u}2_(r)(dr2_{+ r}2_d 2₎

 .20

Oviamente r está relacionado com a distncia dos pontos em relação à hiper

superfície e a função u(r) mede o "afastamento" em relação à métrica euclidiana. Oservemos
ue a única restrição a esta métrica é o fato de
ue ela depende da

coordenada etra. De

fato toda métrica semi

riemanniana idimensional e con for



malmente plana e pode ser escrita na forma  .20[50]. dmitimos tamém
ue

f = f (r). Com efeitotemos
ue a e
uação de movimento  . …ca

e2f_u2 _{_r}2_{+ r}2_{_}2 _{= _y}2

0 V (r) :

Da e
uação de movimento  . para  otemos a seguinte constante de movi

mento

u2r2_ = L = constante.

Deste modo a e
uação para o mo

vimento radial se redu z a

e2fu2_r2 = _y₀2 V (r) + L2 e

2f

u2_r2


ui L está relacionado ao momento angular do movimento em torno da

suvariedadeM

4

.

 eistência de estados ligados depende do comportamento do potencial

efeti vo

Vef f = V (r) + L2

e2f

u2_r2

Podemos deduzir algumas propriedadesgerais do movimento. Estamos ad

Movimento no Hiperespaço 

contrário a métrica induida no espaçotempo M

4 _{não seria}

em de…nida ssim

o termo dominante do potencialVef f para r ! 0 é L2 e

2f

u2_r2 ! 1  rimeira conclusão…sicamenteóia

 partcula não retornará a ipersurpercie se L 6= 0 podendo estar num

estado liado ou não araL = 0

 o potencial Vef f será con…nante

para ualueralor de _y

2 0 se f (r) ! 1 assintoticamente uando (r ! 1) odemos  a ora

 analisar um caso particular encontrado na literatura !#

emue as unç$esf (r) e u(r) são e%plicitamente dadas por

e2f = c 2_{+ ar}2 c2_{+ r}2 u2 = c 4 (c2 _{+ r}2₎2:

Neste caso o potencial eetio tem a seuinteorma

Vef f = K

c2 _{+ ar}2

c2_{+ r}2 1 + L

2(c2+ ar2)(c2+ r2)

c4_r2

&potencial Vef f será con…nante para os casos a > 1 e L = 0 inda neste

casose%iste um limite de eneria cinética inicial acima daual a partcula escapará

para o in…nito  er …ura'!

Fi ura

'! L = 1

erde e L = 0 ermel o

Movimento no Hiperespaço *+

/

.

/

A an

á

lise do movimento geod

é

sico nas proxi-

midades do espaço-tempo para uma co-dimensão

No documento Confinamento Geodésico clássico em espaço produto distorcido (páginas 61-70)