Confinamento Geodésico clássico em espaço produto distorcido

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA – UFPB

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA NATUREZA – CCEN

COORDENAÇÃO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA – CPGF

Dissertação de Mestrado

Con…namento Geodésico clássico em espaço produto

distorcido

Lucio Fabio Pereira da Silva

João Pessoa - Paraíba - Brasil

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA – UFPB

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA NATUREZA – CCEN

COORDENAÇÃO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA – CPGF

Con…namento Geodésico clássico em espaço

produto distorcido

Lucio Fabio Pereira da Silva

Dissertação de mestrado apresentada à Coordenação do Programa de Pós-graduação em Física da Universidade Federal da Paraíba(UFPB) como parte dos requisitos para a obtenção do grau de Mestre em Física.

Orientador: Dr. Carlos Augusto Romero Filho

João Pessoa - Paraíba - Brasil

S586c Silva, Lucio Fabio Pereira da.

Confinamento Geodésico clássico em espaço produto distorcido / Lucio Fábio Pereira da Silva. - - João Pessoa: [s.n.], 2008.

94 f.: il.

Orientador: Carlos Augusto Romero Filho.

Dissertação (Mestrado) – UFPB/CCEN.

1.Física. 2.Movimentos Geodésicos. 3.Equações Geodésicas..

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA – UFPB

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA NATUREZA – CCEN

COORDENAÇÃO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA – CPGF

Con…namento Geodésico clássico em espaço

produto distorcido

Lucio Fabio Pereira da Silva

Banca Examinadora:

Dr. Carlos Augusto Romero Filho

Dr. Jorge Herbert Soares de Lira (UFC) Dr. Valdir Barbosa Bezerra (UFPB) Dr. Janilo Santos (Suplente-UFRN)

Dr. Joel Batista da Fonseca Neto (Suplente-UFPB)

João Pessoa - Paraíba - Brasil

Conte do

Resumo iv

Abstract v

Agradecimentos vi

1 Introdução 1

2 Prolegômenos Matemáticos 7

2. Imersões . . . 6

2.2 Subvariedades . . . 2.3 Variedade-produto . . . 2.4 Folheações . . . 9

2.5 Variedades semi-riemannianas . . . 22

2.5. Conexões a…ns . . . 24

2.5.2 Geodésicas emvariedades semi-riemannianas . . . 29

2.5.3 Curvatura intrínseca . . . 33

2.5.4 Subvariedades semi-riemannianas . . . 36

2.5.5 Conexão induzida . . . 3

2.5.6 A segunda forma fundamental . . . 39

2.5. Subvariedades totalmentegeodésicas . . . 4

Produto de variedades semi-riemannianas

Espaço produto distorcido

Movimento no hiperespaço

orça etra em espaço produto distorcido Con…namento do moimento no espaçotempo tetradimensional Con…namento ia potencial eetio análise do moimentoeodésico nas proimidades do espaçotempo

para uma codimensão n = 1 0 nálisequalitatia do moimento naquinta dimensão

Moimento eodésico pentadimensional de partculas maciças nas imediaçes de uma ipersupercie tetradimensional O moimento de ótons nas proimidades de uma ipersupercie do

tipo tempo 8

Moimento de partculas nas proimidades da suariedadeM

4 _com

M =Rn

F M4 0

Conclusão

A Apêndices

istemas autnomos

Estailidade de um sistema autnomo Classi…cação dos pontos de equilrio dos sistemas autnomos

no plano

istemas não lineares 80

Lista de Figuras

lustração da de…nição ! Base do espaço tan"ente em p2M #

$ol%eação

!

& Transporte paralelo se"undo uma cone'ão riemanniana ( ) lustração da se"unda *orma *undamental &! # +spaço produto distorcido &, & L= 1

/:erde; e L= 0 / :ermel%o

; )<

& = ponto de e>uil?@rio E no caso ondef(l0)>0 ,& &# Cs part?culas entram e saem inde…nidamente da

%ipersuper

*?cie (l=

l0) sto dá ori"em a um mecanismo dequasi-con…namento ,) && Quando f

00_(l

0) < 0 o ponto de e>uil?@rio é um ponto de sela Neste caso o con…namento é altamente instá:el Cúnica e'ceção corresponD dende às lin%asAE eBEG ao lon

"o das>uais part?culas são atra?das de :olta para a*ol%a ,, &) Retrato de *ase do mo

:imento de

*Htons em presença de simetria Z2 com uma *unção f(l) monotJnica crescente para l 0 e f(l) ! 1 >uandol ! 1 ,< &, Retrato de*ase correspondente ao caso ondef(l)é um*unção monotJnica

decrescente para l 0 Nessa con

juntura f(l)! 1

>uando l ! 1 (! C Retratos de *ase está:eis t?picos (K C Retratos de *ase instá:eis t?picos (<

Resumo

Lesta dissertação nosso oMPetiUo principal é estudar os moUimentosWeodésiX cos clássicos de partYculasXteste com massa de repouso nãoXnula e Z[tons em espaço produto distorcido pentaXdimensional\ Mostramos ]ue é possYUel oMter um]uadro Weral destes moUimentos^ utili_ando o desacoplamento ]ue acontece em tal espaço^ entre os moUimentos na]uinta dimensão e o moUimento nas

`iper Xsuper

Z Ycies \

aste artiZ Ycio nos permite utili_ar a análise do espaço de Zase para inUestiWar o possYUel con…namento de partYculas e Z [tons em `iper

Xsuper

Z Ycies em espaço produto dis X torcido pentaXdimensional\ csando tal análise encontramos uma Zorma de ]uasiX con…namento^ o]ual é oscilat

[rio e neutramente está Uel\

d importância de um tal con…namento está no Zato de ser puramente deUido aos eZeitos WraUitacionais clásX sicos^ sem a necessidade de mecanismos de con…namento do tipoXMrana\

d se Wuir estendemos este procedimento para estudar os moUimentos Weodésicos clássicos de partYculas teste de massa de repouso não

Xnula e

Z[tons no caso mais

Weral de um espaço de produtoXdistorcido com (3 + 1 +n) dimensees\ LoUamente^ uma caracX terYstica importante destes espaços é

]ue eles permitem um desacoplamento natural entre os moUimentos no espaçoXtempo (3 + 1) dimensional e o moUimento nas diX mensees eitras\

csando este desacoplamento mais uma

Ue_ e empreWando a análise do espaço deZase^inUestiWamos as condiçees para]ue`aPa con…namento de partYcuX las eZ [tons para na su

MUariedade espaçoXtempo\

dlém de pro Uer in

Zormação relati Ua ao moUimento deZ [tons^ mostramos tamMém^]ue estes moUimentos não dependem doUalor da curUatura eitr

Ynseca \

kMtemos as condiç

eesWerais para o con…namento deWeodésicas no caso de uma Uariedade semiXriemanniana^ como tamMém estaMeleX cemos as condiçees para a estaMilidade de tal con…namento\

Abstract

ln tmis dissertation our main onoectipe is to study tme classical reodesic motions os nontero rest mass test particles and pmotons in …peudimensional warped product spaces{ |e smowtmat it is possinle to ontain areneral picture os tmese mou tions} usinr tme natural decouplinr tmat occurs in sucmspaces netween tme motions in tme …stm dimension and tme motion in tme mypersursaces{ ~mis splittinr allows tme use os pmase space analysis in order to inpestirate tme possinle con…nement os particles and pmotons to mypersur

saces in … pe

udimensional warped product spaces{ sinr sucm analysis} we …nd a nopel sorm os €uasiucon…nement wmicm is oscillatory and neutrally stanle{ ~me importance os sucma con…nement is tmat it is purely due to tme classical rrapitational e¤ects} witmout re€uirinr tme presence os nrane–type con…nement mecmanisms

{ |e t

men etend tmis procedure to study tme classicalreo u desic motions os nontero rest mass test particles and pmotons in tme more reneral case os a (3 + 1 +n) dimensional warped product spaces{

‚rain} an important seature os tmese spaces is tmat tmey allowa natural decouplinrnetween tme motions in tme (3 + 1) dimensional spacetime and tmose in tme etra n dimensions{ sinr tmis decouplinr once more and employinr pmase space analysis we inpestirate tme conditions sor con…nement os particles and p

motons to tme(3 + 1) spacetime sunu manisold{ ln addition to propidinr insormation rerardinr tme motion os pmotons} we also s

mo w t

mat tmese motions are not constrained ny tme palue o s t

Agradecimentos

ƒ„radeço a a…uda prestimosa de meu orientador Dr† Carlos ‡omero pela paciˆncia e atenção com‰ue sempre me acolŠeu†

ƒ„radeço aos‹roŒessores da‹sŽ „raduação emsica da‘‹’pela“aliosa aprendi”a„em‰ue ti“e†

ƒo Dr† •d

„ar Madri”pela oportunidade de cola

—oração em outros tra—alŠos e por sua ami”ade†

ƒos meus ami„os erdinand˜ Denis˜ Márcio a —l

cio˜ ™ansen e Marco ƒuŽ relŠo a„radeço aŒorça os conselŠos˜ a…udas˜ aušlios e incenti“os†

ƒos ami„os ›Šia

„o Caram

ˆs e œeliton pelas

“aliosas correç

es e su „est

es a esse tra—alŠo†

Introdução ž

Capítulo

Introdução

Não se devem admitir mais causas às coisas da natureza que aquelas que forem tanto verdadeiras quanto su…cientes para explicar sua aparência.

Ÿ ir ¡saac ¢e£ton¥ ¦rinc§pios Matemáticos da¨iloso…a ¢atural©

Certas partes da ª §sica te«rica alcançaram um patamar deduti¬o ­ue pos® si¯ilita uma cadeia l

«°ica de ar

°umentos±

­ue partem de determinadas premissas aceitas± até conse­ü²ncias aparentemente muito remotas e a¯stratas± mediante de® duç³es puramente matemáticas¥ ¡sto comparece principalmente no­ue di´respeito a relati¬idade°eral±a­ual± preceitua­ue a°ra¬itação é uma maniªestação da pr«pria estrutura°eométrica do espaço-tempo¥ Com essa teoria µinstein¶·¸ inau°urou uma importante re¬olução no pensamento cient§…co de sua época¥ ¹o°o± um no¬o e am® ¯icioso paradi°ma re¬er¯erou nas denodadas mentes de ª §sicos e matemáticos± ­ue não tardaram a suscitar a se°uinte ­uestãoº Será possível geometrizar as demais

interações da matéria? ¡sto é± serão as outras ªorças ªundamentais da nature´a conse­ü²ncias de certa estrutura°eométrica e»istente em nosso uni¬erso¼ Concita® dos pela ½perªeição estética½proporcionada pela °eometrodin¾mica

¿

± al°uns te«ri® À

ÁÂ ÃÄ ÅÃtroÆÇ ÈÉÅÇÊËremeteÌ Í idéias deÎÏÇ ÐordÑ ÒÃÓemÔ870, em uma conferência na

Cam-bridge Philosophical Society, intituladaSobre a teoria espacial da matéria, a…rmou que: "pequenas

porções do espaço são análogas às colinas numa superfície predominantemente plana(...) e esta

propriedade de curvatura ou distorção se transmite permanentemente de uma porção do espaço à

outra na maneira das ondas. A variação da curvatura do espaço é o que realmente acontece quando

Introdução Õ

cos acometeramÖse de outra pretensão ainda mais alti×aØ essa por sua ×eÙØ ×iria a ser denominada teoria geométrica do tudoÚ Ûessa ousada teoria

Ø a matéria tamÖ Üém maniÝestarÖseÖia da Þeometria do espaçoÖtempoÚ ßrente a esse desa…oØ muitas Ýoram as correntes te

ãricas äue se destacaram em

Üusca de tal teoria

Ø di×ersas idéias erÞueramÖse até entusiasticamenteØ mas loÞo entiÜiaramÖse perante as imÖ placá×eis o

Üståncias pr

ãprias a conciliaç

æes coerentes das teorias

äue descre×em as interaçæes da natureÙaÚ ContudoØuma classe distinta de teorias proporciona imporÖ tantes a×anços na direção da uni…cação

Ú Ûessas teorias suÜsome Öse a e

çistència de dimensæes eçtras como alternati×a para oÜter a uni…caçãoÚ

ém ×erdadeØ a estrutura do cosmo pode ser em sua

Ýorma ëa

Üsoluta ë Ø dramaticamente dessemelìante a äualäuer aÜstração äue possamos imaÞinarÚ ÛeÖ nìuma teoria

Ýîsica con

ìecida deli Üera

äue ìa

ïa somente très dimensæes espaciaisÚ éntãoØ é raÙoá×el äue uma ilação cienti…ca conduÙida com de×ida cautelaØ possa constituir um caminìo ×alido para elucidar essa äuestãoØ desde äueØ antes de äualÖ äuer coisaØreconìeçamos as dimensæes eçtras comoìipãtese e não como certeÙaØno maisØ se

Þue

Öse na maneira usual do método cienti…co Ú

ßaçamos aäuiØalÞuns reconìecimentos de méritosÚ émðñòñØöÚMin÷oøs÷iùÕû indicouØäue um considerá×el

Þan

ìo em ele

Þåncia e praticidade na relati

×idade espeÖ cial eçternaÖseäuando consideramos o tempo uma dimensão adicionalØsuÜstituindo assim o conceito de espaço newtoniano por um no×o conceitoý o de espaço-tempoÚ þessaltemos uma de suasÝrasesý

[...], por que há de o matemático perturbar-se com a abstração um pouco maior proveniente de o número de eixos passar a quatro?

ÿÝato é äueØ

ïá seÝa Ùia

55anos äue a

Ýorma de pensar dos matemáticos ìa×ia se modi…cado peremptoriamenteÚ ÿ autor dessa proeÙaÝoi o perspicaÙ matemático alemão Bernìard þiemannØ sucessor de Carl Gauss na Uni×ersidade de GöttinÞenÚ þiemannù3û ìa×ia não sã estendido a Þeometria diÝerencial de Gauss para espaços com dimensæes maiores

Ø como tam

Üém Þenerali

Ùado as

Þeometrias não

Öeuclidianas Ú

A Þenial idéia de Min÷oøs÷i re×elouÖse Ýundamental para outras teoriasØ soÜretudo

além de talvari 1

Introdução

para a teoria da relatiidade geral originando um noo tipo de geometria na qual a "distância" entre dois pontos não é mais de…nidamente positi

a .

Na relatiidade geral proposta porlbertinstein ageometria passa a ser lorentziana e a graitação entre os corpos deixa de ser conce

bida como uma "força

física" passando a ser considerada como uma propriedade geométrica do espaço -tempo.

O enredo das dimensões extras na Física aançou sob o ânimo de Gunnar Nordstrm em seu trabalho publicado em

94[4] com a intenção de uni…car a graitação e o eletromagnetismo. Nordstrm propôs a existência de uma dimensão extra espacial; todaia ele não oi aortunado em sua tentatia proaelmente por estar a lidar com uma teoria escalar degraitação[] "deeituosa"a saber a teoria degraitação de Mie

. "al

ha"deNordstrm

não comprometeucinco anos mais tardea teoria deKaluza[6](quedecertopossuía o mesmo …misto éa uni…cação da graitação e o eletromagnetismo)tendo emistaque essa teoriajá estaa alicerçada nas equações de insteinaliadas ao postulado da existência de uma dimensão extra do tipo espaço munida de uma condição cilíndrica

.

identemente uma condição desta natureza se reeste de um caráter ad hoc o que acabou por torná-la menos "apra

zíel

"aos esp

íritos mais rigorosos da época .

m926OskarKlein introduziuários apereiçoamentos na teoria deKaluza[7] declarandoque aquinta dimensão estaa enrolada sobre si mesma. Na terminologia matemática diz-se que essas dimensões são compactas. Reside aía gênese da teoria deKaluza-Klein

.

teoria original de Kaluza-Klein seriu de modelo para noas tentatias de uni…cação[8] ainda mais ousadas

que isaam incorporar as demais interações da Natureza a saber a interação nuclear orte e a interação nuclear raca. ma dessas tentatiaschamada de teoria daSupergraidade[9] propõe uma extensão da relatiidadegeral para onze dimensões

;contudoesta teoria reelou-se insatisatória por uma série de di…culdades matemáticas[9].

Sucederam-se então outras propostas de uni…cação. m 968 o ísico Gabriele Veneziano implementou uma teoria a qual oi denominadateoria das

Introdução *

percordas+ admitindo /ue a estrutura topol0:ica do uni<erso está repleta de min=s> culos o?@etosCda ordem do comprimento dePlancD(10

33_cm)

G cHamados de cordas + cu@os diIerentes modos de <i?ração estão associados aos <ários n=meros /uLnticos /ue caracteriMam as partQculas elementaresT Xsta era uma teoria de…nida em YZ dimens\esT

Xm^_`*osIQsicos

aoHnccHwar

Me Mic

Hael Greend^lmprodu

Miram os primeiros resultados con<incentes de /ue a teoria de supercordas poderia ser a solução para o pro?lema da uni…cação

+além de contemplar uma teoria/u

Lntica da

:ra<itaçãod^^mT po entanto+a teoria de supercordas necessita de um n=mero de onMe dimens\es para o espaço>tempo+ além de eristirem+ pelo menos+cinco

Iormulaç\es diIerentes d^YmT

Xm ^ __s+ Xduard titten mostrou /ue é possQ<el considerar as di<ersas Iormulaç\es da teoria de supercordas como aspectos diIerentes de uma teoria su

?>

@acente ainda mais Iundamental+ e /ue tam?ém postula um espaço>tempo de onMe dimens\esT pessa teoria+ os o?@etos dinLmicos são cHamados de d-branasd^um, das /uais as cordas são casos particularesT titten cHamou essa teoria de Teoria M Co yMy<em de ymembranayGd^YmT

{ma das/uest\es suscitadas pelas teorias de uni…cação diMrespeitoàraMão da interação :ra<itacional ser tão

Iraca em relação

às outras tr |s

T Xsta /uestão Iundamental …cou conHecida como oproblema da hierarquiaT {ma alternati<a inte> ressante para resol<er essa/uestão+ad<eio de se procurarem as relaç\es entre a inten> sidade da Iorça :ra<itacional e as intensidades das demais Iorças+le<ando em conta as dimens\es e

rtras compactas+ de tal modo/ue a yconstante gravitacionaly de<e> ria le<ar em conta estas dimens\esT Xssa teoria Ioi proposta por }rDani>~ammed+ Dimopoulos e D<alid^sm no …nal do século + e rece

?eu o nome de braneworld C mundo>?ranaG, /ue por sua <eM+ ad<o:a /ue tanto a matéria como as Iorças não> :ra<itacionais estão con…nadas no espaço>tempo tetradimensional+en/uanto aIorça :ra<itacional pode se propa:ar atra<és de um espaço de dimensão superior conHecido na literatura comobulkd^Ym€ isto si:ni…ca/ue a:ra<itação é peculiarmente di

Ierente das demais interaç\esT

Introdução ‚

proposto no …nal do século ƒƒ por „isa …andall† da ‡niˆersidade de ‰rinceton e …aman

Šundrum

†da‡niˆersidade de

‹oston ŒŽ†

Œ ‘ ’ssa teoria al ˆitra

“ue nosso uniˆerso é uma”ipersuper•–cie tetradimensional imersa em um espaço—tempo maior† de cinco dimens˜es™bulkš‘ ›parentemente promissor†o modelo de…andall

—Šundrum surœiu como alternatiˆa† enˆolˆendo uma nica dimensão ežtra† “ue tamŸém pre— tende resolˆer o pro

Ÿlema de”ierar“uiaŒ  ‘ ¡este modelo a constante cosmol¢œica pentadimensional impede “ue a œraˆitação se propaœue liˆremente nas dimens˜es ežtras‘

¡o in–cio dos anos £¤ uma noˆa ˆersão não—compacta da teoria de ¥alu¦a— ¥lein •oi suœerida pelo •–sico inœl

§s ‰aul ¨esson† da ‡niˆersidade de ¨aterloo† no Canadá e colaŸoradores‘ ¡o cenário proposto por ¨esson† c”amado teoria Espaço-Tempo-Matéria

™Š©Mšª matéria e campo œra

ˆitacional estão uni…cados naœeometria do”iperespaço‘ ’m outras palaˆras†essa teoria ežplica as propriedades e a ežist§ncia da matéria em nosso mundo—Ÿrana a partir de um aparente ˆa¦io pentadimensionalŒ « da–† a teoria ser •re“üentemente re•erida na literatura como

teoria da matéria induzidaŒ¬† Œ  ‘

› teoria de ¨esson e o modelo de …andall—Šundrum são ežemplos do “ue se conˆencionou c

”amar na literatura de teorias de imersão‘ Com e•eito † para

“ue estas teorias se­am consistentes†se•a¦necessário“ue este­am ex leges†isto 醓ue se œaranta a oŸserˆ®ncia dos teoremas de imersãoŒ  ‘ › teoria de ¨esson assenta—se soŸre o©eorema de CampŸell—MaœaardŒ ¤†Œ £ ‘ ’ste†por suaˆe¦†não se aplica ao modelo de …andall

—Šundrum‘

‰ara prosse

œuir com teorias de imersão mais œerais “ue a de¨esson†o teorema de CampŸell não seria mais satis•at¢rio†seria necessário œenerali¦á—lo‘ Šucedeu—se então suaœenerali¦ação por C‘

…omero e

¯‘Da”ia

Œ  †Œ ‘

‡ma peculiaridade inerente °s teorias de ¨esson e ao modelo de …andall— Šundrum†é“ue a din®mica das part–culas no espaço pentadimensional leˆa ao surœi— mento de uma ±aceleração an²mala±no espaço—tempo tetradimensional†œeralmente denominadaquinta força ou força extra Œ  ³†Œ ´‘

Introdução ·

conceito de um espaço produto distorcido¸oi introdu¹ido porºis»op e¼½¾eill¿ÀÁÂÃ Ä Åinculação com a relatiÅidadeÆeral

¸oi¸eita primeiro porºeem Ç

È»ric»Çe

ÉoÊell

Ç¿À·ÂÇ¿ÀËÂ

Ìue c»amaram atenção para o¸ato deÅárias soluçÍes das eÌuaçÍes de campo deÈinÎ stein serem ÈÉD semiÎriemannianas

à Èm

¿ÀÏ ºeem e È»ric» …¹eram importantes aÅanços eÐplorando este tipo de estruturaà Èm ¿ÀÑ ¼½¾eill leÅou esta lin»a de deÎ senÅolÅimento a uma conclusão naturalÇ eleÅando o ÈÉD a um papel central

à Äo lonÆo desses anosÇ esse tipo especial deÅariedade di¸erenciáÅelÅem despertando um consideráÅel interesse na literatura da Matemática e daÒÓsica

Prolegômenos Matemáticos Ô

Capítulo 2

Proleg menos Matem ticos

A glória da geometria é que desses poucos princípios, oriundos de fora, seja capaz de produzir tantas coisas. Portanto, a geometria baseia-se na prática mecânica, e nada mais é do que aquela parte da mecânica universal que propõe com rigor a arte de medir.

ÕÖir ×saac ØeÙtonÚ ÛrincÜpios Matemáticos da Ýiloso…a ØaturalÞ

ß oáãetiäo destes proleåæmenos é çornecer a áase matemática necessária para èue o leitor possa compreender o conceito de espaço produto distorcidoë Com este …mÚ serão introduìidos os conceitos de äariedade diçerenciáäelÚ suáäariedadesÚ çolîeaçïesÚ coneðão e åeodésicaÚ áem como as de…niçïes dos tensores de torção e curäaturaë ñ partir daÜÚ seráÚ entãoÚ considerada uma métrica e mostraròseòá èue a mesma induìdeçorma÷nica uma coneðão a ela compatÜäelë ßconceito de seåunda çorma çundamental tamáém merecerá uma certa atençãoÚpostoèue em termos dele é enunciado o teorema da totalidade åeodésica de uma suáäariedadeë østeÚpor sua äeìÚ será aèui analisado para um espaço produto distorcido lorentìianoë

Ûodemos diìer èue o conceito de variedade diferenciável é sine qua non ù

para estender os métodos do cálculo diçerencial a espaços maisåeraisèue oR

n

ë øste conceito suråe para åeneraliìar o conceito de superçÜcie diçerenciáäel e apresentaòse como a desiånação matematicamente precisa da palaära ûespaçoûýþÿ]ë øssa copiosa aáranåência o aloca distintamente entre os mais importantes conceitos daåeometriaë

1

Prolegômenos Matemáticos 8

Em conse üncia de uma consideração inerente ao caráter de nossos conheci -mentos da natureza,defato,é indissolúvel a concatenação entre afísica egeometria, esta primeira, apresenta-se como a cincia das relações contingentes

2

da natureza, a segunda, por sua vez, e

xprime os conecti

vos destas relações . Em

verdade, a im -portância da geometria diferencial para a física teórica reside na possibilidade de estabelecer sistemas de correlação uniformes,nos termos dos uais, as relações con

-tingentes dosfatores das teoriasfísicas possam ser expressas. Isso permite encontrar estruturas básicas semel

hantes em áreas muito distintas da física

.

Na intenção de encontrar as e uações ue determinam a dinâmica de um dado fen

ômeno

físico, como também, na busca das condições su…cientes, se não necessárias, para garantir ue os enunciados das teorias tenham signi…cado inde -pendente do sistema de coordenadas, acaba

-se por estatuir uma relação dicotômica substancial entre a geometria e a dinâmica ue se ueira analisar. E na maneira usual de se proceder, primeiramente decide-se …xar a geometria e, em conse ün -cia dessa escolha, o tipo de dinâmica ue ela comporta. Por outro lado, também poder-se-ia partir de certos conceitos din

âmicos e veri…car, com isto,se a geometria poderá ser determinada. De ual uer maneira,esta adjunção de dinâmica e geome -tria exi

ge sobretudo ue a natureza da estrutura geométrica do sistemafísico a ser descrito, tenha ue ser postuladaa priori. De um modo ou de outro,claro está, ue essa estruturageométrica deverá ser su…cientemente abastada para ue assim possa albergar a dinâmica em uestão. Neste contexto, decorre ue a geometrização de um dadofen

ômeno implica

,prima facie 3

,propor uma estrutura diferenciável a uma variedade.

e faz conveniente, a ui, inserir as principais terminologias e propriedades admitidas neste estudo. No intuito de assegurar uma melhor contextualização em -preenderemos neste capítulo uma conceitualização "formal" das noções básicas de geometria diferencial, mas, assumimos a despretensão de esgotar a ui esse assunto, podendo o leitor ávido por mais detal

hes encontrar

formidáveis asserções em

[,[.

Didas coisas e dos acontecimentosue se conce uer um dos aspectos da sua

!i como podendo ser ou não s#não tr ndo em si a r a da sua stnci$ %

Prolegômenos Matemáticos 9

'm nosso primeiro contato)dese*amos introdu+ir as noç/es0ásicas da4eome5 tria em6ariedades di7erenciá6eis

)estas por sua 6e

+

:ão de nortearàs;ue posterior 5 mente se …+erem necessárias ao escopo da nossa a0orda4em< Éimportante ressaltar) ;ue em todo esse tra

0al :o

) as

6ariedades di7erenciá6eis consideradas sempre serão supostas comoHausdor¤e com0ase enumerá6el< =Di7erenciá6el=si4ni…cará =de classeC1

=)e

;uando …

+ermosM

n_{=M para indicar uma}

6ariedade di7erenciá6el )n indicará a dimensão deM< Utili+aremos tam0ém a con6enção de'instein);ue im5 plica na omissão do somat>rio

)

;uando um?ndice é repetido duas6e

+es num mesmo termo de uma e;uação)entende5se;ue:á uma somat>ria em todos os6alores desses ?ndices<

De…nição @ Uma variedade diferenciável n-dimensional é um conjunto M munido

de uma família f(U ; ' )g tal que:

1. Cada ' : U Rn _{! M é um mapeamento injetor de abertos U de R}n _em

M, e denominado uma parametrização deM.

2. [' (U ) =M.

3. SeW =' (U )\' (U )6=;, a aplicação' 1 _{' é um difeomor…smo}A

entre os abertos ' 1_{(W) e '} 1_{(W), contidos em R}n_.

4. A família A =f(U ; ' )g é denominada atlas de M e deve ser maximal em relação às condições anteriores.

O atlas f(U ; ' )g tam0ém denominado estrutura diferenciável) indu+ de 7orma natural uma topolo4ia em M) de…nindo5se;ueW M éaberto se '

1_{(W \}

' (U) Rn _{é a}

0erto para todo 2 f0;1; :::; ng< De 7ato) se4ue de B1C ;ue M e ; são a0ertos< Ds condiç/es relati6asàunião eàinterseção …nita de a0ertos decorrem das relaç/es

' 1([U ) =[' 1(U );

F

Prolegômenos Matemáticos TV

' 1(\U ) =\' 1(U );

WiXuraYZT\ ^lustração da de…niçãoT

_idéia por trás do conceito de`ariedade diierenciá`el é a de um espaçokue pode ser cur`o e possuir topolo

Xias complicadaslmas

kue localmente se assemel ma ao Rn

Z Dessaiormalas condiçneso1pro3pdaDetniçãou Xarantemkue toda`ariedade pode ser mapeada mediante cartas (U ; ' )l desde

kue cartas distintas possam ser transiormadas uma na outra kuando sowrepostasZ y prop{sito da condição o4) é e`itar kue dois espaços ekui`alentes

l munidos de atlas di

ierentes

l …Xurem como `ariedades distintasZ

De aXora em diantel

kuando nos reierirmos a uman

r`ariedade di

ierenciá`el l oiaremos indicando porM

n

l o |ndicen indicando a dimensão de MZ _Xora

ia

}rse necessário estender a noção de di

ierencia

wilidade

~s aplicaç nes entre`ariedadesZ

Detnição 2 SejamM

n _eBm _{variedades diferenciáveis. Uma aplicaçãof :M !B}

é dita diferenciável em p 2 M se dada uma carta ' : U Rm _{! N em f(p)}

Prolegômenos Matemáticos 

aplicação ' 1 _{f :U R}n _!Rm _{é diferenciável em} 1

(p). A aplicação f é

diferenciável em um aberto deM se é diferenciável em todos os pontos desse aberto.

De€nição  Sejam M e B duas variedades diferenciáveis e : M ! B uma

aplicação bijetora. Diz-se que é um difeomor…smo entre M e B se e 1 _são

diferenciáveis.

‚ssimƒ notemos„ue a de…nição de †ariedade di‡erenciá†el é dada de‡orma a independer da escolˆa de coordenadas locais particulares‰ Šsse caráter ine‹orá†elƒ imprime uma †iŒorosa aranŒŽncia a este ‡ormalismo‰ Com e‡eitoƒ comparece a„ui o conceito de co†arincia Œeral ouƒ mais simpli…cadamenteƒ podemos dier „ue as leis da ‡‘sicaƒ uma †e e‹pressas neste ‡ormalismoƒ ˆão de se ‡aer imutá†eis so o ’u‘o de oser†adores di†ersos‰

‚ di‡erenciailidade de uma †ariedade dota“a de uma estrutura su…ciente“ mente‡értil para podermos de…nir umŒrande n”mero de o’etos Œeométricos como• cur†asƒ ‡unç–esƒ †etores tanŒentesƒ camposƒ tensoresƒ etc‰

De€nição — Sejam p 2 M e f : M ! R função diferenciável de…nida em M,

com D(M) sendo o conjunto de todas as funções diferenciáveis de M em R _{. O}

vetor tangente aM no ponto p é uma aplicação v :D(M) !R_{, tal que}

Condição de linearidade: v(af +bg) =av(f) +bv(g),

Regra de Leibniz: v(f g) =v(f)g(p) +f(p)v(g) para a; b2R _{e f; g} 2D(M).

De€nição ˜ Sendo M uma variedade diferenciável, então uma aplicação c : t 2

I = ] ; [ ! M é chamada de cur†a‰ Dizemos que a curva c é diferenciável em

02 I se existir uma carta local (U; ') de M em torno de p =c(0) tal que a curva

c'(t) =' 1 c:I !Rm seja diferenciável na origem. O †etor tanŒenteà cur†a

c emt = 0 é a função c0_{(0) :D(M) !R dada por}

c0_{(0)f =} d(f c)

dt jt=0 ,f 2D(M):

Um †etor tanŒenteempé o vetor tangente emt= 0 de alguma curva c: ] ; [ !

Prolegômenos Matemáticos ™š

›e escolœermos um sistema de coordenadas locais ' :U ! M

n _{em p =}

' (0)podemos ežprimir aŸunção f e a cur a cnesta parametri¡ação por

f ' (q) =f(x1; :::; xn); q= (x1; :::; xn)2U ;

e

' 1 c(t) = (x1(t); :::; xn(t));

respecti amente¢ £ortanto restrin¥imos f a c¢ ¦§temos

c0(0) = d(f c)

dt jt=0 = d dtf(x

1_{(t); :::; x}n_(t))j

t=0 = ¨š¢™©

=

n

X

i=1

_

xi(0) @f

@xi = n

X

i=1

_

xi(0) @

@xi

0

!

f:

ª poss« el mostrar ¬ue o conceito de tan¥­ncia entre cur as não depende da carta local escolœida e ainda ¬ue a noção de tan¥­ncia entre cur as de…ne uma relação de e¬ui al­ncia¢ ®o entanto por ora nos§asta a de…nição acima¯°°±¢

M

i

x

∂

∂ j

x

∂ ∂

i

x

j

x n

R

ϕ

p

²i¥uraš¢š³ ´ase do espaço tan¥ente em p2M¢

Deµnição ¶ Seja M uma variedade diferenciável e Tp(M) o espaço tangente em

p 2 M. O conjunto T M = f(p; v);p 2 M; v 2 Tp(M))g denomina-se …brado

Prolegômenos Matemáticos ·¸

¹ste é o espaço de con…ºuraç»es no¼ual tra½al¾amos em mec¿nica analiticaÁ Âma aplicação diÃerenciáÄel entre duasÄariedades induÅuma transÃormação linear entre os espaços tanºentes respectiÄosÆ

DeÇnição È Seja :M !N uma aplicação diferenciável. Denominamos diÃerenÊ cial de em p2M à transformação linear dp :TpM !T (p)N de…nida por:

d p(v)(f) v(f );

onde f :M ! R é qualquer função diferenciável de…nida numa vizinhança de p.

Ëe (U; x

1_{; :::; x}n_{) é um sistema de coordenadas em p e (V; y}1_{; :::; y}m_{) é um}

sistema de coordenadas em (p)Ì o½temos d

p @x@ijp =

m

P

j=1

@(yj ₎

@xi jp

@

@yj ₍p)Á Í matriÅ das deriÄadas parciais

@(yj ₎

@xi c¾amamosmatriz jacobiana da transÃormação em relação aos sistemas de coordenadas escol¾idosÁ

Âma classe de entidades ºeométricas importantes de…nidas em M é a dos campos ÄetoriaisÁ ¹ste conceito está implicitamente liºado Î diÃerencia½ilidade de

MÌ sendoÌ um campo Äetorial um operador diÃerencialÁ Ïodemos assim usar este Ãato para de…nir um campo Äetorial de um modo independente das coordenadas

Á

DeÇnição 8 Um campo vetorial X em uma variedade diferenciável M é uma

aplicação do tipo

p2M 7 !Xp 2TpM:

Um campo vetorialX atua nas funçõesD(M)da seguinte maneira: (Xf)(p) = Xpf.

Dizemos que X é diferenciável se Xf 2D(M) para todo f 2D(M). Denotaremos

por$_(M) o espaço dos campos vetoriais diferenciáveis em_M. Cada campo vetorial

é uma aplicação R _{linear de D(M) em D(M), isto é:}

X(f g) =gXf +f Xg:

Inversamente, toda aplicação com esta propriedade é um campo vetorial diferen-ciável. Denotemos por$_(M)o conjunto dos campos vetoriais diferenciáveis em_M.

De certo pode-se escrever em um dado sistema de coordenadas locais

X(p) =

n

X

i=1

Xi(p) @

Prolegômenos Matemáticos ÓÔ

onde cadaai :U !Ré umaÕunção em U e

@

@xi é a Öase associada a' ×

i= 1; :::; nØ

Lema Ù Dados dois campos vetoriais X e Y em M, existe um único campo de

vetores de M, denotado por [X; Y] e chamado colcÚete, tal que para todo f 2D(M)

temos[X; Y]f =X(Y f) Y(Xf).

Prova. Ûasta determinar uma ÜÝnicaÞ eßpressão local de um campo com esta propriedadeØ De Õato× seX =

P

i

Xi @

@xi eY =

P

j

Yj @

@xj são eßpressáes locais de

X eY num sistema de coordenadas (U; ') deM× temosã

X(Y f) = X X

j

Yj @f

@xj

!

=X

ij

Xi@Y j

@xi

@f @xj +

X

ij

@2_f

@xi_@xj: ÜäØåÞ æor outro lado

×

Y(Xf) = Y X

i

Xi@f @xi

!

=X

ij

Yj@X

i

@xj

@f @xj +

X _@2_f

@xi@xj

Ø

æortanto×

[X; Y] = Xi@Yj

@xi Y j@Xi

@xj

@ @xj

ÜäØÔ Þ

de…ne um campo soÖre M:

Deçnição è SejaM uma variedade diferenciável ep2M. O espaçoTpM

denomina-se espaço tangente a M em p. O dual TpM é denominado espaço cotangente a M

emp e seus elementos são chamados de1-formas.

Teorema Ù SejaM uma variedaden-dimensional. Os conjuntos

@

@xi :i= 1; :::; n

(via isomor…smo) e fdxj _{:j = 1; :::; ng são bases duais para T}

pM e TpM,

respecti-vamente, denominadas bases locais de coordenadas( ou canônicas).

Prova. Da De…nição Ô decorre éue o conëunto

@

@xi :i= 1; :::; n é Öase para TpMØ ìeëa aîoradf 2T

pMØ De…nido por

df(v) =vf

2RComo a dimensão deTpM é …nita×a a…rmação deéue o conëuntofdx

j _{:j = 1; :::; ng}

é umaÖase de T

pM decorre da eéuação Ü äØÓÞ× Õaïendoðsef =x

j _{e v =} @ @xiØ ñ dual T

Prolegômenos Matemáticos ö÷

Teorema 2 Seja M uma variedade diferenciável. Existe, associada a cada ponto p2M, uma única álgebra linear, gerada pelos espaços TpM e TpM.

Prova. ø eùistûncia e unicidade de uma álýeþra ýerada por um espaço linear é demonstrada de ÿorma construtiva no Capítulo 4 da reÿerûncia [38]. ø álýeþra assinalada acima denomina-se álýeþra tensorial e cada elemento seu,deýrau

(r; s), denominado tensor de ordem(r; s), corresponde a uma aplicação multilinear

T :TpM ::: TpM

| {z }

r

TpM ::: TpM

| {z }

s

!R: (2.÷)

OConjunto dos tensores de ordem (r; s) será denotado por T

r

s(M). Dados os tensores T 2 Tr

s(M) e S 2 Tqp(M), o produto de T por S na álýeþra tensorial, denominado produto tensorial,é o tensor T S 2T

r+p

s+q(M) dado por

T S(w1; :::; wr; :::; wr+p; X1; :::; Xs; :::; Xs+q) =

=T(w1; :::; wr_{; X}

1; :::; Xs)S(wr+1; :::; wr+p; Xs+1; :::; Xs+q);

onde wi _2T

pM ; i= 1; :::; r+p;e Xj 2TpM; j = 1; :::; s+q:

Teorema O conjunto dos elementos de grau (r; s) constitui um espaço linear de

dimensãonr+s_{, cuja base é dada por elementos da formae}

i1 ::: eir e

j_{1 ::: ejs},

onde feik :ik = 1; :::; ng é base de TpM e fe j

l :j_l = 1; :::; ng é base de T_pM . Em

particular, D T0

0(M),TpM T01(M) e TpM T10(M).

Decorre da de…nição de variedade que todos os tensores estão de…nidos a menos de mudança de coordenadas, ou seja, diÿeomor…smos que transÿormam as componentesquando a þase coordenada deT

r

s(M)muda.

Oteorema acimaýaranteque tensores são oþjetos pontuais,mas todo tensor pode ser estendido a uma vizinhança de um ponto. Com eÿeito, é conseqüûncia da topologia induzida pelas cartas que toda variedade é localmente coneùa, pois sempre eùiste uma vizinhança aþerta emp2M homeomorÿa a um aþerto doR

n

Prolegômenos Matemáticos 16

2.

Imers

es

As propriedades da diferencial de uma aplicação entre ariedades carac teriam os predicados locais da aplicação A seguinte de…nição distingue os tipos principais de aplicaçes diferenciáeis:

De…nição 0 Seja :M1 !M2 uma aplicação diferenciável.

(a) diz-se uma imersão se dp : TpM1 ! T (p)M2 é injetiva, para todo o

p2M1;

(b) se é uma imersão e além disso, é um homeomor…smo sobre (M1) M2,

onde (M1) tem a topologia induzida por M2, diz-se que é um mergulho.

(c) diz-se umasubmersão sedp :TpM1 !T (p)M2 é sobrejetiva, para todo

o p2M1;

(d) diz-se um étale5

se dp :TpM1 !T (p)M2 é um isomor…smo para todo

o p2M1.

As imerses submerses e étales possuem formas canônicas locais Todas elas são casos particulares de um teorema geral denominado teorema do posto. posto de uma transformação linear T entre dois espaços etoriais A e B é a dimensão de sua imagem isto é o número máximo de etores de sua base ou euialentemente o número máximo de colunas linearmente independentes de uma matridessa transformaçãoT Enunciaremos agora o teorema do posto:

Teorema Seja : M1 ! M2 uma aplicação diferenciável e p 2 M1. Se a

aplicação dp : TpM1 ! T (p)M2 tem posto constante r, para todo o ponto q na

vizinhaça de p, então existem coordenadas locais (U; ) = (U; x1_{; :::; x}n_{) centradas}

emp e coordenadas locais(V; ) = (V; y1_{; :::; y}m_{) centradas em (p), tais que:}

1_(x1_{; :::; x}n

) = (x1; :::; xr;0; :::;0):

Aui omitiremos a proa deste teorema

para não onerar desnecessariamente nossa exposição Para maiores esclarecimentos consultar

V sto uma etale não e mais ue uma aplicaçãoue é simultaneamente uma imersão e

Prolegômenos Matemáticos 7

2.2 Subvariedades

Denição Sendo : M

n _{! M}n+m _{uma imersão. Então, para cada p 2 M,}

existe uma vizinhança U M de ptal que (U) M é umasubvariedade de M.

Denição 2 Sendo :M

n+m _!Mn _{uma submersão. Então para todo p2M, a}

…bra 1(p) = p é uma subvariedade de M e um vetor tangente deM a alguma p, p2M, é chamado vetor vertical da submersão.

!ara simpli…car a notação" #uando nos re$erirmos a su%&ariedade o$aremos identi…cando U com (U) e cada&etor v 2TpM"q 2U" comd q(v)2T (q)M'

2.

Variedade-produto

+m primeira instância"trataremos a#ui de sa%er"se o produto cartesiano de duas ou mais &ariedades di$erenciá&eis é" por sua &e/" uma &ariedade di$erenciá&el' Iniciemos por analisar a se0uinte proposição9

Proposição Sejam M1 e M2 duas variedades diferenciáveis, e A=f(U ; ' )g e

B = f(V ; )g seus respectivos atlas. Temos que M1 M2 é uma variedade, com

atlas dado por A B =f(U V ; ' )g

;al resultado decorre imediatamente do$ato do produto cartesiano de con< =untos a%ertos de um espaço euclidiano ser um con=unto a%erto" e do produto cartesiano de aplicaç>es di$erenciá&eis ser di$erenciá&el' Com e$eito" c?amemos por variedade-produtoa&ariedade resultante do produto de uma ou mais&ariedades" atendendo é claro" ao enunciado da proposição acima'

Utili/ando um sistema de coordenadas produto em (p; q) 2 M1 M2 com

p2M1 e q 2M2 não é di$@cil con$erir#ue9 (a) Bs pro

=eç

>es naturais 9

: M1 M2 !M1 en&iando (p; q) para p"

Prolegômenos Matemáticos CD

são suFmersGesH

(b) Jara cada(p; q)2M1 M2 …KoLas MolNas

M1 q = f(r; q)2M1 M2 :r 2M1gLMolNa QerticalL

p M2 = f(p; b)2M1 M2 :b2M2gL MolNaNoriRontalL

são suFQariedade de M1 M2H (c) Jara cada(p; q)

j(M1 q) é um diMeomor…smo de M1 q emM1H j(p M2) é um diMeomor…smo de p M2 emM2

Ss espaços tanWentes

T(p;q)M1 T(p;q)(M1 q) e T(p;q)M2 T(p;q)(p M2)

são suFespaços do espaço tanWente de M1 M2 em(p; q)H

Lema 2 T(p;q)(M1 M2) é a soma direta dos subespaços T(p;q)M1 e T(p;q)M2. Isso

quer dizer, que cada elemento z de T(p;q)(M1 M2) tem uma expressão única, tal

que:

z=u+v onde u2T(p;q)M1 e v 2T(p;q)M1:

Prova. Como jp M2 é constanteL d (p;q) : T(p;q)M2 ! Tp(M1) é uma aplicação nulaH XntretantoL d (p;q) : T(p;q)(M1) é um isomor…smo de T(p;q)M1 em

Tp(M1)H YssimT(p;q)(M1)\T(p;q)(M2) = ?H Sresultado seWue então comoT(p;q)(M1) de dimensão m e T(p;q)(M2) de dimensão n são suFespaços de T(p;q)(M1 M2) de dimensão m+nL entãoZ

T(p;q)(M1 M2) =TpM1 TqM2H

De\nição ^_ Se f 2D(M1), o levantamento de f para M1 M2 é:

~

Prolegômenos Matemáticos `a

Dednição ei Sev 2TpM1 eq 2M2, então a levantamentov~de v emp para(p; q)

é o único vetor em T(p;q)M1 tal que

d (~v) =v.

Dednição ek Se X 2 $(M1) a levantamento de X para $(M1 M2) é o campo

vetorial_X~ _{denominadolevantamento vertical deX, cujo valor em cada (p; q)é o}

levantamento deXp para(p; q). Assim o levantamento deX 2$(M1)para M1 M2

é o único elemento de $_{(M1 M2)} que se relaciona com _X e se relaciona

com o campo vetorial nulo em M2.

Dednição el SeV 2$(M2)a levantamento deV paraM1 M2 é o campo vetorial

~

V denominado levantamento horizonatal de V, cujo valor em cada (p; q) é o levantamento deVq para(p; q). Assim o levantamento deV 2$(M2)para M1 M2

é o único elemento de$_{(M1 M2)}que se relaciona com_V e se relaciona com

o campo vetorial nulo em M1.

Denominaremos porL(M1)o connunto dos levantamentos horizontais e por L(M2) o connunto dos levantamento verticaiso

Corolário e 1. Se X;~ Y~ 2 L(M1), então, [ ~X;Y~] =

^

[X; Y] 2 L(M1), e

similar-mente para L(M2).

2. Se _X~ _{2 L(M1) e V}~ _{2 L(M2), o [ ~X;V}~_{] = [X; V] = 0.}

Prova. p`r Decorre diretamente da linearidade da operação levantamento

(~)optruode ser wacilmente demonstrada usandoyse uma{ase coordenadao

Mais adiante mostraremos outras propriedades importantes desse tipo esy pecial de|ariedadeo

2.

Folheaç

es

Prolegômenos Matemáticos „†

De‡nição ˆ‰ A familia z = fL : 2 I 2 R de subconjuntos conexos de uma

variedade Mn _{é uma folheação de dimensãok se:}

S

L =Mn_,

6

= =)L TL =;,

para qualquer pontop2M existe um sistema de coordenadas local(Up; 'p), tal

que p2Up e '(Up)

T

L 6=;, para algum L , de tal forma que ' 1_(U

p \L )

é da forma

Ac = (x1; :::; xk)2' 1(Up) :xv+1 =cv+1; :::; xk=ck Š„‹Œ

e ci 2R é constante.

Žiura „‹‘ Žol’eação

“ortanto”uma•ol’eaçãon dimensional de uma–ariedade di•erenciá–elM

n

é”arosso modo”uma decomposição deM em su—–ariedades cone˜as de dimensãok c’amadas•ol’as” as™uais se alomeram localmente como os su—conšuntos de R

n ₌

Rn k _Rk

” com as coordenadas (x

k+1_{; :::; x}n_{) constantes}

‹

Prolegômenos Matemáticos  ¡

¢e£a : M ! B uma su¤mersão¥ ¦ela §orma local das su¤mers¨es© as componentes coneªas de

1_(q)

© onde q 2 B© §ormam uma §ol

«eação de M ¥

¬sta §ol«eação tem codimensão i­ual ® dimensão de B¥ ¯este caso© as §ol«as são todas °ariedades mer

Prolegômenos Matemáticos ±±

2.

Variedades semi-riemannianas

³primeira coisa´ue umµa¶itante de uma·ariedade semi¸rimanniana¹com alºuma curiosidade pela ºeometria¹ tal·e» ´ueira sa¶er é como medir a dist¼ncia entre dois pontos em seu mundo¸·ariedade½

¾·identemente¹ao tentar medir dist¼ncias em seuhabitat o¿aria de maneira não necessariamente iºual a umµa¶itante doR

n

½ Àal discrep¼ncia decorre da noção de métrica´ue caracteri»a sua ·ariedade½

DeÁnição Â8 Uma métrica semi-riemanniana g de classe C

k _{em uma variedade}

diferenciável M de dimensãon é de…nida como sendo um campo tensorial de classe Ck_{, do tipo (0;2), simétrica e não-degenerada, isto é, uma correspondência que}

associa à cada ponto p de M uma forma bilinear g tal que: g : TpM TpM ! R,

satisfazendo as seguintes propriedades:

g(v; w) =g(w; v),8 v; w2TpM;

se g(v; w) = 0, 8 w2TpM, então v é um vetor nulo.

ÃeÄa ' : U R

n _{! M um sistema de coordenadas locais em torno de p}

¹ com' (x1; :::; xn) = p2' (U) e _@x@i _p uma ¶ase coordenada em TpM

½

¾stão

g(v; w) = g @ @xi(p);

@

@xj(p) v i

wjjp =gijviwjjp

comv; w2TpM½

Åode¸se mostrar´uegij(x

1_{; :::; x}n_)são

¿unçÆes de¿erenciá·eis emU½ Çemos ´ueg(;)é o produto interno usual a menos da condição de ser positi·amente de…nido

½

³s ¿unçÆes gij são as componentes do campo tensorial g¹ em um dado sis¸ tema de coordendas locais ' :U Rn _!M

½

Prolegômenos Matemáticos ÌÍ

DeÎnição ÏÐ Dizemos que a assinaturade uma métrica g semi-riemanniana é o

número s (0 s n) de autovalores positivos da matriz gij .

DeÎnição 20 Uma métrica g é dita riemanniana se n=s.

ÑotemosÒue essa de…nição eÒuiÓale a diÔerÒue a mesma é positiÓaÕde…nidaÖ DeÎnição 2Ï Uma métrica g semi-riemanniana é dita lorentziana se n = 1.

DeÎnição 22 Seja v 2 TpM vetor não-nulo. Então v pertence a uma das três

classes distintas:

g(v; v)>0; v é do tipo "tempo".

g(v; v)<0; v é do tipo "espaço". g(v; v) = 0; v é do tipo "luz".

×e a métrica é nãoÕdeØenerada e contÙnuaÚ os Óetores do tipo luÔ de TpM Ûormam em cada ponto de M um duplo Ücone ÜÝo cone de luzÞ o Òual separa os Óetores do tipo tempo dos do tipo espaçoÖ

ßsta separação pro Óã a

äestrutura causalånessa ÓariedadeÖ

Prolegômenos Matemáticos çè

2.

.

Conex

es a

ns

ïumaðariedade diñerenciáðel ineòiste intrinsecamente a noção de paralelismo ö

entreðetores de…nidos em pontos diñerentes

÷ øara suplantar esta de…ciùnciaûpodemos lançar mão do conceito de coneòão a…m e a partir dela construir uma reýraþue perÿ mita estabelecer uma certa noção de paralelismo÷

Aconeòão a…m em umaðariedade diñerenciáðel correspondeàintrodução de uma estrutura adicionalþue independe conceitualmente da métrica÷ Com eñeitoû se aðariedade dispõe de uma coneòão a…mûpossui uma estrutura potencialmenteñértil þue l

he con

ñere a possibilidade de estabelecer a noção de deriðada coðariante û

þue por suaðezû será o substrato deðárias das de…nições posterioresû como ýeodésicas e curðatura÷

De…nição 23 Seja uma aplicação f : M ! R denominamos gradiente de f um

campo vetorial gradf em M de…nido por:

g(gradf(p); v) =dfp(v) (ç÷7)

Com p2M; v 2TpM.

De…nição 24 Uma conexão a…mrem uma variedade diferenciávelM é uma

apli-cação

r:$_(M) $_(M)!$_(M)

que se indica por (X; Y)! rr XY e que satisfaz as seguintes propriedades:

rf X+gYZ =frXZ +grYZ

rX(Y +Z) =rXY +rXZ

rX(f Y) = frXY +X(f)Y, onde f,g 2D(M)

6

Foi L C t em 1 quem transpô o conceito de " o de etores paralelos " ao

l de uma cura merg la no espaço no espaço eg l para o caso eralio de uma

ariedade d iá eln-imeln Contgo iadmitindo a priori uma métrica riemaniana

Prolegômenos Matemáticos 25

Podemos expressar uma conexão a…m via uma carta (U; ' ) de M. Mais precisamente, se X,Y 2 $(M), então, usando esse sistema de coordenadas; X =

Xi @

@xi e Y =Y

j @

@xj. Se denotarmos

@

@xi por @i e se ré uma conexão a…m soreM, teremosrXY escrito na seuinteforma:

rXY =rXi_@

iY =X

i_r @i(Y

j

@j) =XiYjr@i@j+X

i

@j(Yj)@j:

Se escrevermos aindar@

i@j =

k

ij@k onde as funçes

k

ij devem ser diferenciáveis, teremos a expressão

rXY = XiYj ijk +X(Yk) @k 2.8 o ue sini…ca ue rXY em um ponto p de M depende de X

i_(p)

, Y

j_{(p) e das}

derivadas X(Y

k_{) deY}k _{na direção deX}

.

noção de cone

xão fornece

, portanto, uma maneira de deri

var vetores na direção de vetores.

Precisamos, aora, introduir o conceito de derivada covariante de um campo vetorial X 2 $(M) ao lono de uma curva em particular. Para esse …m, consideremos, então, a seuinte proposição:

Denição 2 EstandoM

n _{munida de uma conexão a…mr, existe então uma única}

correspondência que associa a um campo vetorial X de…nido ao longo de uma curva

(t)um outro campo vetorial DX

dt ao longo de (t), denominado derivada covariante

de X ao longo de (t), tal que:

D

dt(X+Y) = DX

dt + DY

dt D

dt(f X) = df dtX+f

DX

dt , onde X =X(t)é uma campo vetorial de…nido em (t)

e f 2D(M) restrita ao longo de (t);

Se Y 2$_(M), isto é _{Y(t) =Y( (t))}, então DY

dt =rd_dt Y.

Prolegômenos Matemáticos !

De#nição 2$ Dizemos que X de…nido ao longo de (t) é paralelo se a deri%ada co%ariante

DX

dt de X ao longo de , for nula.

Proposição 2 Ou ainda pode-se dizer que X foi transportado paralelamente ao

longo de .

&eja o se'mento ([t0; t1])* ondet0; t1 2I+ Tomamos então uma%i/in0ança coordenada ' (U) de um sistema de coordenadas ' : U Rn _{! M em torno}

de (I)+ &eja '

1_{( (t)) = (x}1_{(t); :::; x}n_{(t)) a e}

9pressão local de (t) e seja X =

Xi @

@xi (t0)+

Da de…nição de deri%ada co%ariante temos<

DX dt =

D dt X

i

@i =

dXi

dt @i+X

iD@i

dt + = +>? e ainda@ue<

D@i

dt =rddt@j =r(dxidt@i)@j =

dxi

dt r@i@j* i; j = 1; :::; n: = +BD? portanto*

DX dt =

dXi

dt @i+X

idxi

dt r@i@j: = +BB? Con%enientemente escre%emosr@

i@j =

k

ij@k*e*trocandojporkna primeira soma* oGtemos

DX dt =

dXk

dt +X

jdxi

dt

k

ij @k = 0 = +B ? Hs e

@uaç Ies

= +B ?nos le%am a um sistema de n e@uaç

Ies diJerenciais para

Xk(t)*

dXk dt + k ijX jdx i

dt = 0 = +BK?

Da teoria das e@uaçIes diJerenciais saGemos @ue = +BK? por ser uma MDO linear*possui uma Qnica solução satisJa/endo a condição inicial X

k

(t0) =X k 0+

Conexão de Levi-Civita

Mesmo após termos de…nido o conceito de cone9ão a…m em uma %ariedade diJerenciá

%el

* notamos a e 9ist

ência de certa ar

Gitrariedade @uanto a esse conceito +

Prolegômenos Matemáticos UV

Wue por sua XeY nos permite medir o comprimento de XetoresZ \inda necessitamos esta^elecer a maneira pela

Wual se darão as relaç

_es entre estes dois conceitos Z

`e optarmos por uma coneaão tal Wue o produto escalar dos campos Xetoriais X e Y de…nido por g(X; Y) se mantenca constante ao transportarmos os Xetores paralelad mente (r X = 0e r Y = 0)e ao lonko de uma curXa eesta é denominada coneaão de me

Xi –Ci

Xita ou

oiemanniana Z

pam^ém decorrerá daí

Wue a cone

aão de me Xi

– CiXita estará completamente determinada emXirtude do eatraordinário teorema de me

Xi –Ci

XitaZ

rikura UZsu

pransporte paralelo sekundo uma coneaão riemanniana

Dewnição 2y Seja M uma variedade semi-riemanniana munida de uma conexão

a…m r e uma métrica g . r é dita compatíXelcom g, se

rXg(Y; Z) = g(rXY; Z) +g(Y;rXZ); para todo X; Y; Z 2$(M): {UZ|s} Dewnição 28 Seja M uma variedade diferenciável com uma conexão a…m r. A

aplicação T :$_(M) $_(M)!$_(M)dada por: _{T(X; Y) = rXY rYX [X; Y]},

é chamada de torsão.

Teorema ~ (meXidCiXita) Dada uma variedade semi-riemanniana(M; g)existe uma

única conexão r, chamada de conexão de meXidCiXita, tal que:

Prolegômenos Matemáticos €

r é compatível com a métrica.

Prova. ‚sando ƒ€„†‡ˆ podemos escre‰er as seŠuintes iŠualdades‹

X[g(Y; Z)] = g(rXY; Z) +g(Y;rXZ); ƒ €„ †Œˆ

Y[g(Z; X)] =g(rYZ; X) +g(Z;rYX); ƒ €„ †ˆ

Z[g(X; Y)] = g(rZX; Y) +g(X;rZY); ƒ €„ †Žˆ omando ƒ€„ †Œˆ com ƒ€„ †ˆ e sutraindo o resultado de ƒ€„†Žˆ c‘eŠamos ’ seŠuinte e“uação‹

2g(rXY; Z) = X[g(Y; Z)] +Y[g(X; Z)] Z[g(X; Y)] + ƒ €„ † ˆ

+g([X; Y]; Z) +g([Z; X]; Y) +g([Z; Y]; X): ƒ €„ †”ˆ

•ssa é a e“uação de—os˜ul™ “ue indica “uer está unicamente determinada porg „

šamém podemos escre

‰er con‰enientemente

2g(rXY; Z) = F(X; Y; Z) ƒ €„ €›ˆ onde

F(X; Y; Z) = X[g(Y; Z)] +Y[g(X; Z)] Z[g(X; Y)] + +g([X; Y]; Z) +g([Z; X]; Y) +g([Z; Y]; X):

œconeão determinada pelo teorema acima é denominadaconexão de

Levi-Civita„

žor …m™podemos epressar a e“uação acima em um sistema de coordenadas

(U; ' )„

ustituindo ƒ €„‡ˆ e ƒ €„ˆ em ƒ€„†ˆ apŸs alŠumas manipulaç es seŠue¡se “ue‹

l ijglk =

1 2

@

@xigjk +

@ @xjgki

@

Prolegômenos Matemáticos ¢£

¤u ainda¥tendo em¦ista§ue a matri¨(glk)admite uma in¦ersa(g

lk₎

¥temos©

m ij =

1 2g

km @

@xigjk+

@ @xjgki

@

@xkgij ª¢«¢¢¬ ­e§uaçãoª¢«¢¢¬é a e®pressão¯á°em con±ecida dos símbolos de Christo¤el

de segunda espécie«

2.

.2 Geod

sicas em variedades semi-riemannianas

­ importância das ³eodésicas sur³e atra¦és da lei se³undo a §ual uma part´cula §ue não este

¯a su¯eita a constriç

µes mo¦e¶se em uma

³eodésica

« ·recisa¶ mente ³eodésicas são as cur¦as nas §uais o transporte paralelo mantém o ¦etor constantemente tan³ente¸ cur

¦a durante todo o deslocamento paralelo«

De¹nição 2º Uma curva : I 2 R ! M em uma variedade diferenciável M

munida de uma conexão a…m r é dita uma ³eodésica¥ se para todo t2I temos

rd dt

d

dt = 0 ª¢«¢»¬

.

¼amos a³ora determinar a e®pressão da e§uaçãord

dt

d

dt = 0 em um sistema

de coordenadas« ·ara isto¥ tomemos um sistema de coordenadas locais (U; ' ) em torno de (t0) emU« ­ssim¥

(t) = (x1(t); :::; xn_(t)):

­³ora¥ ½açamos uso da de…nição de ³eodésica¥ isto é¥

rd dt d dt = d dt( dxk

dt ) + dxi

dt dxj

dt

k

ij @k = 0

·ortanto¥ temos©

d2_xk

dt2 +

k ij

dxi

dt dxj

dt = 0« ª¢«¢¾¬ ­e§uaçãoª¢«¢¾¬ constitui um pro°lema de¦alor inicial¥com dados iniciais

Prolegômenos Matemáticos ÀÁ

em princÂpio solÃÄelÅ posto Æue o teorema da eÇistÈncia e da unicidade da teoria de eÆuaç

Ées diÊerenciais ordinárias assim o ËaranteÌ Íntuiti

Äamente podemos di Îer ÆueÆuando nos deslocamos soÏre umaËeodésica caminÐamos ao lonËo da Ñmesma

direçãoÑÌ

Òeste sentidoÅas

Ëeodésicas sãoËeneraliÎaçÉes das linÐas retas do espaço euclidianoÌ

DeÄido ao carácter lorent

Îiano de M

Å podemos

ÊaÎer uma distinção entre trÈs classes de ËeodésicasÌ Óão elas as Ëeodésicas temporaisÅ nulas e espaciaisÌ ContudoÅ deÄido

Ô Ñestrutura causal

ÑÅ somente as duas primeiras poderão serÄir para a descrição do moÄimento de partÂculasÌ

Õodemos então caracteri

Îar um caminÐo num espaço

Ötempo como sendo uma Ëeodésica se eÇiste uma parametriÎaçãoÅ tal Æue os Äetores tanËentes Ô curÄa correspondente constituem um campo deÄetores paralelos ao lon

Ëo da cur Äa

Ì

Proposição × Seja uma reparametrização (s)da geodésica~(t(s))pelo parâmetro

a…m t =as+b, onde a; b2R_{. Então} (s) é uma geodésica.

Prova. ÓuponÐamos Æue de…nimos ~(t) = (s) com t = as +b e a; b constantesÌ ØÇpressando a eÆuação deËeodésica num sistema de coordenadasfx

k_g

Å temosÙ

d2_xk

dt2 +

k ij dxi dt dxj dt = ds dt d ds( dxk ds ds dt) +

k ij dxi dt dxj dt ( ds dt) 2

=a2(d

2_xk

ds2 +

k ij

dxi

ds dxj

ds ) = 0;

oÆue implica

d2_xk

ds2 +

k ij

dxi

ds dxj

ds = 0Ì ÚÛÌÛÜÝ

Þutra propriedade interessante é a seËuinteÅ como o Äetor tanËente a uma Ëeodésica (t)Åv = _Åé transportado paralelamente a si prßprioÅtemÖseÆueÙ rvv =

0Ì ão

Ëo temos Ù

rvg(v; v) =

=g(rvv; v) +g(v;rvv) = 0

Prolegômenos Matemáticos äå

æodaçiaè o çalor da contante K pode alterarëse por reparametriìação da îeodésicaï De ðato

è ða

ìendo ~(s) = (at +b)è decorre

ñue v~ =

v

a eè portantoè

g(~v;~v) = _aK2ï æoda curça reîular em M para a ñual o transporte paralelo de seu çetor tan

îente em relação a se proprio

è admite uma reparametriìação

ñue o torna compatòçel com ö÷ï÷äø denominaëse pregeodésicaï ùm çerdadeè proçaëse ûäüý ñue toda curça re

îular emM talñue rd

ds

d

ds =f(s) d

dsè ö÷ï÷þø

é uma preîeodésicaï

De sorte ñue em um sistema de coordenadas locais ' (x

1_{; :::; x}n_{) em M a}

primeira inteîral deö÷ï÷äø éÿ

gij

dxi

d dxj

d =K; ö÷ï÷8ø

ùm umaçariedadeM lorentìiana asîeodésicas são classi…cadas seîundo a seîuinte de…niçãoÿ

De…nição 30 Quanto às geodésicas em uma variedade lorentziana, distinguimos

três situações:

1. Quando K > 0 é uma geodésica temporal e existe uma parametrização tal que

g(v; v) =gij

dxi

d dxj

d = 1;

2. QuandoK = 0 é uma geodésica nula ou tipo luz e existe uma parametrização

tal que

g(v; v) =gij

dxi

d dxj

d = 0;

3. Finalmente, quando K < 0 é uma geodésica espacial e existe uma parame-trização tal que

g(v; v) =gij

dxi

d dxj

Prolegômenos Matemáticos 2

De forma resumida podemos dizer, que sempre é possivel reparametrizar uma geodédica de modo a termos

gij

dxi

ds dxj

ds =K; (2.29)

ondeK = 0; 1:

Partículas materiais

(massa de repouso não nula) descrevem tra

jetórias de tipo tempo,isto é,comK = 1,enquantoque as partículas sem massa(isto é,fótons, grávitons) descrevem trajetórias de tipo-luz, isto é, com K = 0. Trajetórias com

K = 1 não têm realidade física, uma vez que um movimento reprentado por elas violaria a casualidade.

É interessante notar que o comprimento de arco das geodésicas do tipo -tempo é interpretado como o -tempo próprio medido no referencial da partícula. Geodésicas do tipo-luz não podem ser parametrizadas pelo comprimento de arco, mas admitem parâmetros a…ns.

Usando os métodosvariacionais as equações de geodésica podem ser conse -bidas de maneira diferente.

Denição 1 Sejam(M; g)variedade semi-riemanniana e umafunção potencial

r diferenciável (r 2) : M ! R_{. Denominamos} Lagragiana uma aplicação L:T M !R _{tal que} L (p;v) = 1₂g(v; v)jp (p) ou seja, dL= 0.

Seja L :T M !R

, uma função diferenciável no …

brado tangente de M .

A curva emM é um extremo deLcontantoque,para umaquantidade su…ciente de sistemas de coordenadas(x1_{; :::; x}n_{;x_}1_{; :::;x_}n₎

que cubramT M a seguinte equação é valida:

d ds

@L @x_i(

0_{) =} @L

@xi(

0_{) para i= 1; :::; n}

. (2. 0)

Para variedade semi-riemanniana M, consideremos L : T M ! R como sendo L(v) = 1₂g(v; v). Em termos das coordenadas, L=

1 2gijx_

i_{x_}j_{+ (x)}

.

As equações de Euler resultantes são:

d ds gij

dxj ds = 1 2 @gjk @xi dxj ds dxk ds + 1 2 @

Prolegômenos Matemáticos

gij

d2_xj

ds2 +

@gij @xk 1 2 @gjk @xi dxj ds dxk ds = @ @xi

Notemos a ora ue usando propriedades de simetria nos indices j e k o se undo termo em tamém pode ser escrito como

@gij @xk 1 2 @gjk @xi dxj ds dxk ds = 1 2 @gij

@xk +

@gik @xj @gjk @xi dxj ds dxk ds

conseüentemente

gij

d2_xj

ds2 +

1 2

@gij

@xk +

@gik @xj @gjk @xi dxj ds dxk ds = @ @xi

aplicando gli _{em toda e}

uação teremos

d2_xi

ds2 +

1 2g

li @gij

@xr +

@gik @xj @gjk @xk dxj ds dxk

ds = g

li@

@xi

e tendo em conta …nalmente

d2_xl

ds2 +

1 2 l jk dxj ds dxk

ds = g

li@

@xi

ssim uando (x) = 0 recuperamos a euação 4 isso é

d2_xl

ds2 +

1 2 l jk dxj ds dxk

ds = 0

2.

.

Curvatura intrínseca

Consideremos uma cura (t) M e suponhamos ue partimos de um pontope transportamos paralelamente oetor X ao lon o dessa cura re ressando ao ponto inicial

ntão o

teremos oetor X

ueem eralserá dierente do campo inicial e consideramos a ora outra cura (s) M ue passe tamém por p e transportarmos X ao lon o da noa cura

o

teremos X~

Prolegômenos Matemáticos

Denição 2 A curvatura R de uma variedade semi-riemanniana M é uma

apli-cação R :$_(M) $_(M) $_(M)!$_(M) dada por :

R(X; Y; Z) =rYrXZ rXrYZ+r[X;Y]Z: ma e … ados X; Y 2 $(M)! podemos considerar o operador curatura

R(X; Y) dado porR(X; Y) :$_(M)!$_(M)! tal"ueR(X; Y)Z =R(X; Y; Z)

#e$aM =R

n

!e indi

"uemos porZ

i _{= (z}1_{; :::; z}n_{);as componentes do campo}

Z nas coordenadas naturais do Rn

%&teremos assim (rXZ)

i _{= (Xz}1_{; :::Xz}n₎

!

(rYrXZ)i = (Y Xz1; :::; Y Xz1)!o "ue implica "ue

R(X; Y; Z) = rYrXZ rXrYZ+r[X;Y]Z = 0: 'odemos! portanto!pensar emR como uma maneira de medir o"uantoM dei a de ser euclidiana

Lema O tensor de curvaturaRsatifaz as igualdades abaixo para todosX; Y; Z; W 2

$_(M) e _{f; h2D(M)}

R(f X+hY; Z) = f R(X; Z) +hR(Y; Z)

R(X; f Y +hZ) =f R(X; Y) +hR(X; Z)

R(X; Y)(f Z+hW) =f R(X; Y)Z+hR(X; Y)W

Prova. * demonstração do lema acima é uma aplicação imediata da de…nição e das propriedades da cone ão a…m

Proposição + Seja (M; g) uma variedade semi-riemanniana com uma conexão r

de Levi-Civita um sistema de coordenadas locais em p 2 M. Então Rijkl

g(R(Xi; Xj)Xk; Xl) tem a forma:

Rijkl=gsi

@ s jk

@xi

@ s ik

@xj

+f r jk

s ir

r ik

s jrg :

Prova. sando a&ase coordenada@i =

@

@xi!decorre da comutatiidade das deriadas parciais

"ue [@i; @j] = 0

'ortanto decorre "ue

/

Prolegômenos Matemáticos 67

=r@j(

l

ik@l) r@i(

l jk@l)

= @

l ik

@xj @l+ l ik

r jl@r

@ l jk

@xi @l l jk

r il@r

! = @ l ik @xj @ l jk

@xi + ( r

ik ljr rjk lir)

!

@l:

Ve;amos< a=ora< dois resultados importantes<para os>uais<entretanto<pre? sentaremos demonstraç@esB

Proposição C Para todoX; Y; Z 2$(M), temos ,

R(X; Y)Z +R(Y; Z)X+R(Z; X)Y = 0;

(Primeira identidade de Bianchi).

Proposição D Para todoT; W; X; Y; Z 2$(M)

rTg(R(X; Y)Z; W) +rZg(R(X; Y)W; T) +rWg(R(X; Y)T; Z) = 0

(Segunda identidade de Bianchi).

Da contração não?nula do tensor curFatura deGiemann decorre de sua um outro tensor denominado tensor de Ricci< >ue de…niremos a se=uirH

DeInição JJ Seja R a curvatura de Riemann de…nida em uma variedade

semi-riemanniana (M; g), com uma fEmg uma base ortonornal de TpM . Teremos que:

1. O tensor de Gicci emp2M está de…nido como

Ricp(X) =

X

m

R(X; Em)Em KLH67M

2. A curFatura deGicci em p2M está de…nida como

Ricp(X; Y) =

X

m

g(R(X; Em)Y; Em), KLH6QM

3. O escalar de curFatura Rp está de…nido como

Rp(X; X) =

X

m