Nú leo e imagem

Denição 5.21. Sejam

E

′

espaços ve toriais sobre

K

e seja

ϕ

uma apli- açãolinear de

E

′

Chama-se nú leo de

ϕ

,e representa-se por

Nuc ϕ

(ou

Ker ϕ

), ao sub on- juntode

E

denido por:

Nuc ϕ ={u ∈ E : ϕ(u) = 0E′} = ϕ−1({0_E′}) .

Chama-se imagem de

ϕ

, e representa-se por

Im ϕ

,ao sub onjunto de

E

′

denido por:

Im ϕ =_{{ϕ(u) : u ∈ E} = ϕ(E).}

Proposição 5.22. Sejam

E

′

espaços ve toriais sobre

K

e seja

ϕ

uma apli açãolinearde

E

′

.Então:

(a)

Nuc ϕ

éumsubespaçove torialde

E

; (b)

Im ϕ

éum subespaço ve torialde

E

′

Demonstração. Prove-se(a).

(i) Como

ϕ(0E) = 0E′

,então

0E

∈ Nuc ϕ

;

(ii) Sejam

u, v

∈ Nuc ϕ

α, β

∈ K

. Então

ϕ(u) = 0E′

ϕ(v) = 0E′

. Logo, omo

ϕ

éapli açãolinear,

ϕ(αu + βv) = αϕ(u) + βϕ(v) = α0E′+ β0_E′

= 0_E′.

Donde

αu + βv∈ Nuc ϕ

Também sepodia provar(a) atendendo aque

ϕ

−1₍

{0E′}) = Nuc ϕ

{0E′}

é umsubespaçove torialde

E

′

,peloTeorema5.18. Ademonstraçãode(b) a omoexer í io.

Exemplo 5.23. Considere aapli ação linear

ϕ :R

3 −→ R2

tal que, paratodo

(x, y, z)_{∈ R}3

ϕ(x, y, z) = (x + 2z, y− z)

.Então onú leode

ϕ

Nuc ϕ =_{{(x, y, z) ∈ R}3: ϕ(x, y, z) = (0, 0)_}

=_{{(x, y, z) ∈ R}3: (x + 2z, y_{− z) = (0, 0)}.}

Ora

(x + 2z, y_{− z) = (0, 0) ⇔}

x + 2z = 0

y_{− z = 0}

⇔

x =_−2z

y = z

Logo

Nuc ϕ ={(−2z, z, z) : z ∈ R}

.Aimagem de

ϕ

Im ϕ =_{{ϕ(x, y, z) : (x, y, z) ∈ R}3

}

=_{{(x + 2z, y − z) : x, y, z ∈ R}}

=_{{(x, 0) + (0, y) + (2z, −z) : x, y, z ∈ R}}

={x(1, 0) + y(0, 1) + z(2, −1) : x, y, z ∈ R}

=_{h(1, 0), (0, 1), (2, −1)i = R}2

(prove!)

Exer í io 5.24. Considereaapli açãolinear

φ : P2[x]−→ P3[x]

tal que

φ(ax2+ bx + c) = (c + b)x3+ ax2,

paratodo

ax

2_{+ bx + c}_{∈ P}

2[x]

. Determine

Nuc φ

Im φ

Proposição 5.25. Sejam

E

′

espaços ve toriais sobre

K

e seja

ϕ

uma apli ação linear de

E

′

. Seja ainda

v

′

∈ E′

. Se existe

v

∈ E

tal que

ϕ(v) = v′

então

ϕ−1₍

{v′

}) = v + Nuc ϕ.

Demonstração. Defa to,

ϕ−1({v′

}) = {u ∈ E : ϕ(u) = v′

}

=_{{u ∈ E : ϕ(u) = ϕ(v)}}

={u ∈ E : ϕ(u − v) = 0E′}

=_{{u ∈ E : u − v ∈ Nuc ϕ}}

=_{{u ∈ E : u − v = w, w ∈ Nuc ϕ}}

={v + w : w ∈ Nuc ϕ}

= v + Nuc ϕ.

Exemplos5.26. 1. Seja

ϕ :R

3 −→ R2

uma apli açãolinear denidapor

ϕ(x, y, z) = (x + y, z),

paratodo

(x, y, z)∈ R

3

Seja

(0, 1, 2)

∈ R

3

e determine-se o onjunto de ve tores de

R

3

om a

mesma imagem por

ϕ

que

(0, 1, 2)

, isto é, uja imagem por

ϕ

é ove tor

ϕ(0, 1, 2) = (1, 2)

(ouseja, determine-se

ϕ

−1₍

{(1, 2)})

).Tem-se

Nuc ϕ =_{{(x, y, z) ∈ R}3: ϕ(x, y, z) = (0, 0),_}

ouseja,

x + y = 0

z = 0

⇔

y =_−x

z = 0

Logo

Nuc ϕ ={(x, −x, 0) : x ∈ R}

.Con lui-seentão que

ϕ−1({(1, 2)}) = (0, 1, 2) + {(x, −x, 0) : x ∈ R}

=_{{(x, 1 − x, 2) : x ∈ R}.}

2. Seja

ϕ : P2[x]−→ P3[x]

tal que

ϕ(ax

2_{+ bx + c) = b + (c + a)x + ax}3

,para

todo

ax

2_{+ bx + c}

∈ P2[x]

.Determine-seo onjuntodepolinómios de

P2[x]

ujaimagem por

ϕ

−1 + 2x

3

, ouseja,

ϕ

−1

{−1 + 2x3

}

. Atendendo aque

ϕ(−2 − x + 2x

2_{) =}

−1 + 2x3

Nuc ϕ ={0P

2[x]}

(verique!), tem-se

ϕ−1

_{−1 + 2x}3 =

_{−2 − x + 2x}2+_{0P2[x]} =

−2 − x + 2x2 .

Exer í io 5.27. Seja

ϕ : P2[x]

−→ P1[x]

uma apli ação linear denida por

ϕ(ax2_{+bx+c) = ax+b}

,paratodo

ax

2_+bx+c

∈ P2[x]

.Determine

ϕ

−1₍

{5x − 1})

. Proposição 5.28. Sejam

E

′

espaços ve toriais sobre

K

tais que

E

tem dimensão nita.Seja

B = (e1, e2, . . . , en)

umabaseordenadade

E

esejaainda

ϕ

umaapli ação linear de

E

′

.Então

Im ϕ =_hϕ(e1), ϕ(e2), . . . , ϕ(en)i.

Demonstração. Para mostrar a igualdade entre os dois onjuntos tem de se

mostrarasduasin lusões:

(i)

hϕ(e1), ϕ(e2), . . . , ϕ(en)i ⊆ Im ϕ

(ii)

Im ϕ⊆ hϕ(e1), ϕ(e2), . . . , ϕ(en)i

Prove-se(i).Estain lusãoéóbvia.Defa to,seja

u∈ hϕ(e1), ϕ(e2), . . . , ϕ(en)i

. Entãoexistemes alares

α1, α2, . . . , αn

∈ K

taisque

u = α1ϕ(e1) + α2ϕ(e2) +· · · + αnϕ(en).

Como

ϕ(ei)∈ Im ϕ

, para todo

i

∈ {1, . . . , n}

, (justique!) e

Im ϕ

é subespaço ve torialde

E

′

,então

u∈ Im ϕ

Prove-se(ii).Seja

v∈ Im ϕ

.Entãoexiste

u∈ E

talque

v = ϕ(u)

.Poroutro lado, omo

B

ébasede

E

,existem es alares

α1, α2, . . . , αn∈ K

taisque

u = α1e1+ α2e2+· · · + αnen

e,portanto,

v = ϕ(u) = ϕ(α1e1+ α2e2+· · · + αnen)

= α1ϕ(e1) + α2ϕ(e2) +· · · + αnϕ(en)

oqueequivaleadizerque

v∈ hϕ(e1), ϕ(e2), . . . , ϕ(en)i

Observação5.29. Como

Im ϕ

ésubespaçove torialde

E

′

,então

dim(Im ϕ)_{≤ dim(E}′)

e, analogamente, omo

Nuc ϕ

ésubespaço ve torialde

E

,então

Exemplo 5.30. Seja

ϕ : P1[x]−→ R

3

umaapli açãolineardenida por

ϕ(ax + b) = (b + a, a, 2b),

∀ax + b ∈ P1[x].

Sabendoque

B = (1 + x, x)

éuma basede

P1[x]

,determine-se

Im ϕ

Im ϕ =_{hϕ(1 + x), ϕ(x)i}

=h(2, 1, 2), (1, 1, 0)i

={(x, y, z) ∈ R3_{: z = 2x}

− 2y}.

(verique!) Denição 5.31. Sejam

E

′

espaços ve toriais sobre

K

tais que

E

tem dimensãonita.Seja ainda

ϕ

umaapli açãolinearde

E

′

.Àdimensãode

Nuc ϕ

hama-senulidade de

ϕ

,erepresenta-sepor

nϕ

,eàdimensãode

Im ϕ

hama-se ara terísti a de

ϕ

,erepresenta-sepor

cϕ

Exemplo5.32. Seja

ϕ :R

3_{−→ R}2

denidapor

ϕ(x, y, z) = (x + y + z, 2x− y)

, para todo

(x, y, z)

∈ R

3

. Determine-se a nulidade e a ara terísti a de

ϕ

. O nú leode

ϕ

é:

Nuc ϕ ={(x, y, z) ∈ R3_{: ϕ(x, y, z) = (0, 0)}

}

=_{{(x, y, z) ∈ R}3: (x + y + z, 2x_{− y) = (0, 0)}.}

Ora

(x + y + z, 2x− y) = (0, 0) ⇔

x + y + z = 0

2x_{− y = 0}

⇔

z =_−3x

y = 2x

Logo

Nuc ϕ =_{{(x, 2x, −3x) : x ∈ R} = {x(1, 2, 3) : x ∈ R} = h(1, 2, 3)i.}

Como

(1, 2, 3)6= (0, 0, 0)

on lui-sequeoúni ogeradorde

Nuc ϕ

élinearmente independente.Assim,

B = ((1, 2, 3))

é umabasede

Nuc ϕ

e, portanto,

nϕ= 1

Aimagem de

ϕ

Im ϕ =_{{ϕ(x, y, z) : (x, y, z) ∈ R}3_}

={(x + y + z, 2x − y) : x, y, z ∈ R}

=_{{x(1, 2) + y(1, −1) + z(1, 0) : x, y, z ∈ R}}

=_{h(1, 2), (1, 1), (1, 0)i = R}2_.

_{(justif ique!)}

Logo

cϕ= 2

Exer í io 5.33. Considere a apli ação linear

φ :

R

3 −→ R4

denida por

φ(x, y, z) = (x− z, 0, y + 2z, x − y + z)

, para todo

(x, y, z)

∈ R

3

. Determine anulidade e a ara terísti ade

φ

Opróximoresultadoapresenta uma ondiçãone essáriaesu iente para a

inje tividadedeuma apli açãolinear,usandoonú leodessaapli açãolinear.

Proposição5.34. Sejam

E

′

espaçosve toriaissobre

K

.Sejaainda

ϕ

uma apli ação linear de

E

′

. A apli ação

ϕ

é um monomorsmo se e só se

Nuc ϕ =_{0E}

Demonstração. (

⇒

)Suponha-seque

ϕ

éinje tivaeseja

u∈ Nuc ϕ

. Então

u_{∈ Nuc ϕ ⇒ ϕ(u) = 0}E′

pordenição de

Nuc ϕ

⇒ ϕ(u) = ϕ(0E)

pelaspropriedadesdeapli açãolinear

⇒ u = 0E

pois

ϕ

éinje tiva

.

Logo

Nuc ϕ ={0E}

(

⇐

)Suponha-seagoraque

Nuc ϕ ={0E}

.Prove-seque,paratodo

u, v∈ E

, se

ϕ(u) = ϕ(v)

então

u = v

. Ora

ϕ(u) = ϕ(v)_{⇒ ϕ(u) − ϕ(v) = 0}E′

por

E

′

serumespaçove torial

⇒ ϕ(u − v) = 0E′

pois

ϕ

éapli açãolinear

⇒ u − v ∈ Nuc ϕ

pordenição de

Nuc ϕ

⇒ u − v = 0E

porhipótese,

Nuc ϕ ={0E}

⇒ u = v

por

E

serumespaçove torial

.

Portanto

ϕ

éinje tiva.

Teorema 5.35. (Teorema da dimensão) Sejam

E

′

espaços ve toriais

sobre

K

tais que

E

tem dimensãonita.Seja ainda

ϕ

uma apli ação linear de

E

′

.Então:

dim E = dim(Nuc ϕ) + dim(Im ϕ)

ou, abreviadamente,

dim E = nϕ+ cϕ.

Demonstração. Se

E =

{0E}

então

Nuc ϕ =

{0E}

Im ϕ =

{0E′}

. Logo

dim E = dim(Nuc ϕ) + dim(Im ϕ)

. Suponha-se que

E

6= {0E}

e seja

B =

(e1, e2, . . . , en)

umabasede

E

.Se

Nuc ϕ ={0E}

então,pelaproposição5.34,

ϕ

é ummonomorsmo.Pelaalínea(ii)doteorema5.11e omoosve tores

e1, . . . , en

sãolinearmenteindependentes,então

ϕ(e1), . . . , ϕ(en)

sãolinearmenteindepen- dentes.Pela proposição5.28tem-se

Im ϕ =_hϕ(e1), ϕ(e2), . . . , ϕ(en)i.

Logo

B

′

_{= (ϕ(e}

1), ϕ(e2), . . . , ϕ(en))

é uma base ordenada de

Im ϕ

. Donde,

dim(Im ϕ) = n

.Como

dim(Nuc ϕ) = 0

dim E = n

, tem-se

Suponha-se agoraque

Nuc ϕ

6= {0E}

. Seja

BNuc ϕ

= (u1, . . . , up)

uma base de

Nuc ϕ

, onde

p≤ dim E

. Pelo orolário4.70 é possível juntar ve toresde

E

à base de

Nuc ϕ

porformaaobterumabase de

E

.Seja

B∞= (u1, . . . , up, e′p+1, . . . , e′p+k)

uma base de

E

, onde

k = n− p

.Agora,prova-seque

(ϕ(e

′

p+1), . . . , ϕ(e′p+k))

é uma basede

Im ϕ

.Pelaproposição 5.28tem-se

Im ϕ =hϕ(u1), . . . , ϕ(up), ϕ(e′p+1), . . . , ϕ(e′p+k)i

=_h0E′, . . . , 0_E′, ϕ(e′_p+1), . . . , ϕ(e′_p+k)i

=_hϕ(e′p+1), . . . , ϕ(e′p+k)i

Resta provar que os ve tores

(ϕ(e

′

p+1), . . . , ϕ(e′p+k))

são linearmente independentes.Sejam

αp+1, . . . , αp+k∈ K

taisque

αp+1ϕ(e′p+1) +· · · + αp+kϕ(e′p+k) = 0E′.

Então

ϕ(αp+1e′p+1+· · · + αp+ke′p+k) = 0E′,

ouseja,

αp+1e

′

p+1+· · · + αp+ke′p+k∈ Nuc ϕ

.Logo,existem

β1, . . . , βp

∈ K

tais que

αp+1e′p+1+· · · + αp+kep+k′

= β1u1+· · · + βpup,

donde,

αp+1e′p+1+· · · + αp+kep+k′

− β1u1− · · · − βpup= 0E

éuma ombinaçãolinearnuladosve tores

u1, . . . , up, e

′

p+1, . . . , e′p+k

.Mas omo estes ve tores formam uma base de

E

, são linearmente independentes, logo a úni a ombinação linear nula destes ve tores é a trivial. Consequentemente,

αp+1

=

· · · = αk

=

K

e os ve tores

ϕ(e

′

p+1), . . . , ϕ(e′p+k

são linearmente independentes.Provou-seassimque

(ϕ(e

′

p+1), . . . , ϕ(e′p+k))

éuma basede

Im ϕ

dim(Im ϕ) = k

.Portanto,

dim E = p + k = nϕ+ cϕ

Exemplo 5.36. Considere a apli ação linear

ϕ :

R

3 −→ R3

denida por

ϕ(x, y, z) = (x + 2y, y_{− z, y)}

,paratodo

(x, y, z)∈ R

3

.Então

Nuc ϕ =

_{{(x, y, z) ∈ R}3: ϕ(x, y, z) = (0, 0, 0)_}

=

_{{(x, y, z) ∈ R}3_{: (x + 2y, y}

− z, y) = (0, 0, 0)}

=

{(x, y, z) ∈ R3_{: x + 2y = 0}

∧ y − z = 0 ∧ y = 0}

=

_{{(0, 0, 0)}.}

Logo

ϕ

éummonomorsmo. Alémdisso, pelo Teoremadasdimensões,

cϕ= 3

. Logo, omo

Im ϕ

é um subespaço ve torial de

R

3 Im ϕ =R

3

, ouseja,

ϕ

é um epimorsmo. Donde

ϕ

éum isomorsmo.

Exer í io 5.37. Seja

ϕ

umaapli ação linearde

R

3 R

2

denidapor

ϕ(1, 0, 0) = (1, 0),

ϕ(0, 1, 0) = (1, 1)

ϕ(0, 0, 1) = (0, 1).

Classique

ϕ

,quantoàinje tividade eàsobreje tividade.

Observação 5.38. Sejam

E

′

espaços ve toriais sobre

K

tais que

E

tem dimensão nita.Seja ainda

ϕ

umaapli açãolinearde

E

′

.Então:

(i)

ϕ

éum monomorsmo see sóse

nϕ= 0

;de fa to,pela proposição anterior,

ϕ

é monomorsmo

⇔ Nuc ϕ = {0E} ⇔ dim(Nuc ϕ) = 0 ⇔ nϕ= 0.

(ii)

ϕ

é um epimorsmo se e só se

Im ϕ = E

′

se e só se

cϕ

= dim(E

′₎

; de fa to,

ϕ

éepimorsmo

⇔ Im ϕ = E

′

⇔ dim(Im ϕ) = dim(E′)_{⇔ c}ϕ= dim(E′).

(iii)

ϕ

éum isomorsmoseesóse

nϕ= 0

cϕ= dim(E

′_{) = dim E}

Proposição 5.39. Sejam

E

′

espaços ve toriais sobre

K

om a mesma dimensão (nita) e seja

ϕ

uma apli ação linear de

E

′

. Então

ϕ

é um monomorsmo see sóse

ϕ

é umepimorsmo.

Demonstração. Seja

p = dim E = dim(E

′₎

. Pelo Teoremadasdimensões,

p = nϕ+ cϕ.

Logo,

ϕ

éummonomorsmosesóse

nϕ= 0

sesóse

p = cϕ

sesóse

dim(E

′_{) = c}

ϕ

sesóse

ϕ

éumepimorsmo.

Resulta desta proposição quepara que uma apli açãolinear entre espaços

ve toriais om a mesma dimensão seja bije tiva basta que seja inje tiva ou

sobreje tiva.

Exemplo 5.40. Considere a apli ação linear

ϕ :

R

3 _{−→ R}3

denida por

ϕ(a, b, c) = (2a, b + c, b− c)

, para todo

(a, b, c)

∈ R

3

. Averigúe-se se

ϕ

é bije tiva.

Como

dim E = dim

R

3_{= dim(E}′₎

,bastamostrarque

ϕ

ésobreje tivapois aproposiçãoanteriorgarantequese

ϕ

ésobreje tivaentão tambéméinje tiva. Ora

ϕ(R3_{) =}

{ϕ(a, b, c) : (a, b, c) ∈ R3

}

=_{{(2a, b + c, b − c) : a, b, c ∈ R}}

=_{{(2a, 0, 0) + (0, b, b) + (0, c, −c) : a, b, c ∈ R}}

={a(2, 0, 0) + b(0, 1, 1) + c(0, 1, −1) : a, b, c ∈ R}

=_{h(2, 0, 0), (0, 1, 1), (0, 1, −1)i = R}3.

(justique!)

Con lui-se assim que

ϕ

é sobreje tiva, logo é inje tiva e, onsequentemente, é bije tiva.

Teorema5.41. Sejam

E

′

espaçosve toriaissobre

K

.Seja

ϕ

umaapli ação linear de

E

′

eseja

F

um subespaço ve torial de

E

.Então: (1) se

F =hv1, . . . , vki

,então

ϕ(F ) =hϕ(v1), . . . , ϕ(vk)i

; (2) Se

F

é nitamentegerado,então

ϕ(F )

tambémoée

dim(ϕ(F ))_{≤ dim F.}

Demonstração. Prove-se(1).Paramostraraigualdadeentre osdois onjuntos

temdesemostrarasduasin lusões:

(i)

ϕ(F )⊆ hϕ(v1), . . . , ϕ(vk)i

(ii)

hϕ(v1), . . . , ϕ(vk)i ⊆ ϕ(F )

Prove-se (i). Seja

v

∈ ϕ(F )

. Então existe

u∈ F

tal que

v = ϕ(u)

. Poroutro lado, omo

F =hv1, . . . , vki

,existemes alares

α1, . . . , αk

∈ K

tais que

u = α1v1+· · · + αkvk

e,portanto,

v = ϕ(u) = ϕ(α1v1+· · · + αkvk)

= α1ϕ(v1) +· · · + αkϕ(vk)

oqueequivaleadizerque

v∈ hϕ(v1), . . . , ϕ(vk)i

Prove-se(ii).Seja

v∈ hϕ(v1), . . . , ϕ(vk)i

.Entãoexistem

β1, . . . , βk∈ K

tais que

v = β1ϕ(v1) +· · · + βkϕ(vk).

Como

ϕ(vi)∈ ϕ(F )

, pois

vi

∈ F

,para todo

i∈ {1, . . . , k}

, e

ϕ(F )

ésubespaço ve torialde

E

′

,então

v∈ ϕ(F )

Prove-se(2).Se

F

énitamentegeradoentão

F =hv1, . . . , vki

,paraalguns ve tores

v1, . . . , vk

∈ F

, e, pela alínea anterior,

ϕ(F ) =

hϕ(v1), . . . , ϕ(vk)i

, ou seja,

ϕ(F )

énitamentegerado.

Agora, se

F =

{0E}

então

ϕ(F ) =

{ϕ(0E)} = {0E′

. Logo

dim(ϕ(F ))

≤

dim F

. Se

F6= {0E}

seja

(v1, . . . , vk)

umabasede

E

, omo

ϕ(F ) =hϕ(v1), . . . , ϕ(vk)i,

então

dim(ϕ(F ))≤ k = dim E

Observação5.42. Sejam

E

′

espaçosve toriais sobre

K

.Se

ϕ

éumaapli- ação linear inje tiva e

F

é um subespaço ve torial de

E

, nitamente gerado, então

dim(ϕ(F )) = dim(F )

No documento Álgebra linear (páginas 121-129)

E

E

′

K

ϕ

E

E

′

ϕ

Nuc ϕ

Ker ϕ

E

Nuc ϕ ={u ∈ E : ϕ(u) = 0E′} = ϕ−1({0E′}) .

ϕ

Im ϕ

E

′

Im ϕ ={ϕ(u) : u ∈ E} = ϕ(E).

E

E

′

K

ϕ

E

E

′

Nuc ϕ

E

Im ϕ

E

′

ϕ(0E) = 0E′

0E

∈ Nuc ϕ

u, v

∈ Nuc ϕ

α, β

∈ K

ϕ(u) = 0E′

ϕ(v) = 0E′

ϕ

ϕ(αu + βv) = αϕ(u) + βϕ(v) = α0E′+ β0E′

= 0E′.

αu + βv∈ Nuc ϕ

ϕ

−1(

{0E′}) = Nuc ϕ

{0E′}

E

′

ϕ :R

3

−→ R2

(x, y, z)∈ R3

ϕ(x, y, z) = (x + 2z, y− z)

ϕ

Nuc ϕ ={(x, y, z) ∈ R3: ϕ(x, y, z) = (0, 0)}

={(x, y, z) ∈ R3: (x + 2z, y− z) = (0, 0)}.

(x + 2z, y− z) = (0, 0) ⇔



x + 2z = 0

y− z = 0

⇔



x =−2z

y = z

Nuc ϕ ={(−2z, z, z) : z ∈ R}

ϕ

Im ϕ ={ϕ(x, y, z) : (x, y, z) ∈ R3

}

={(x + 2z, y − z) : x, y, z ∈ R}

={(x, 0) + (0, y) + (2z, −z) : x, y, z ∈ R}

={x(1, 0) + y(0, 1) + z(2, −1) : x, y, z ∈ R}

=h(1, 0), (0, 1), (2, −1)i = R2

φ : P2[x]−→ P3[x]

φ(ax2+ bx + c) = (c + b)x3+ ax2,

ax

2+ bx + c∈ P

2[x]

Nuc ϕ ={u ∈ E : ϕ(u) = 0E′} = ϕ−1({0_E′}) .

Im ϕ =_{{ϕ(u) : u ∈ E} = ϕ(E).}

ϕ(αu + βv) = αϕ(u) + βϕ(v) = α0E′+ β0_E′

= 0_E′.

−1₍

(x, y, z)_{∈ R}3

Nuc ϕ =_{{(x, y, z) ∈ R}3: ϕ(x, y, z) = (0, 0)_}

=_{{(x, y, z) ∈ R}3: (x + 2z, y_{− z) = (0, 0)}.}

(x + 2z, y_{− z) = (0, 0) ⇔}

y_{− z = 0}

x =_−2z

Im ϕ =_{{ϕ(x, y, z) : (x, y, z) ∈ R}3

=_{{(x + 2z, y − z) : x, y, z ∈ R}}

=_{{(x, 0) + (0, y) + (2z, −z) : x, y, z ∈ R}}

=_{h(1, 0), (0, 1), (2, −1)i = R}2

2_{+ bx + c}_{∈ P}

ϕ−1₍

=_{{u ∈ E : ϕ(u) = ϕ(v)}}

=_{{u ∈ E : u − v ∈ Nuc ϕ}}

=_{{u ∈ E : u − v = w, w ∈ Nuc ϕ}}

−1₍

Nuc ϕ =_{{(x, y, z) ∈ R}3: ϕ(x, y, z) = (0, 0),_}

y =_−x

=_{{(x, 1 − x, 2) : x ∈ R}.}

2_{+ bx + c) = b + (c + a)x + ax}3

2_{+ bx + c}