Álgebra linear

Soa Pinheiro

Maria Raquel Pinto

Rosália Rodrigues Rita Simões Apontamentos de Álgebra Linear Departamento de Matemáti a Universidade de Aveiro Janeiro de 2012

1 Matrizes. Noçõesgerais 2

1.1 Denição.Algumasmatrizesespe iais . . . 3

1.2 Operações ommatrizesesuaspropriedades. . . 5

1.2.1 Adiçãodematrizes . . . 5

1.2.2 Multipli açãoporumes alar . . . 7

1.2.3 Multipli açãodematrizes . . . 9

1.2.4 Transpostadeumamatriz . . . 12

2 Sistemasde equações lineares 16 2.1 Sistemasematrizes. . . 17

2.2 MétododeeliminaçãodeGauss . . . 21

2.3 Dis ussãodesistemas . . . 28

2.4 Sistemashomogéneos. . . 31

3 Matrizesinvertíveis. Determinantes 35 3.1 Matrizesinvertíveis. . . 36

3.1.1 Propriedadesdainversa . . . 37

3.1.2 Algoritmodeinversão . . . 39

3.2 Determinantes.Con eitosgerais. . . 42

3.2.1 Propriedadesdodeterminante. . . 46

3.2.2 TeoremadeLapla e . . . 49

3.3 Condiçõesdeinvertibilidade . . . 52

3.4 Cál ulodainversaapartirdamatrizadjunta . . . 55

3.5 SistemasdeCramer . . . 57

4 Espaços ve toriaissobre um orpo 60 4.1 Denição epropriedades . . . 61

4.2 Subespaçosve toriais. . . 66

4.3 Combinaçãolineardeve tores . . . 69

4.4 Independên iaedependên ialinear. . . 71

4.5 Subespaçogeradoporve tores . . . 78

4.6 Sistemadegeradores . . . 80

4.7 Baseedimensão . . . 81

4.9 Interse ção,reuniãoesoma desubespaços . . . 92

4.10 Teoremadasdimensões . . . 97

4.11 Subespaço omplementar . . . 103

5 Apli açõeslineares 106 5.1 Denição epropriedades . . . 107

5.1.1 Classi açãodeapli açõeslineares . . . 111

5.1.2 Propriedadesdasapli açõeslineares . . . 112

5.2 Imagemeimagemre ípro a . . . 116

5.3 Nú leo eimagem . . . 118

5.4 Isomorsmos . . . 126

5.5 Matrizdeumaapli açãolinear . . . 128

5.5.1 Isomorsmoentre

L(E, E

′

₎

e

M

p×n

(K)

. . . 134

5.5.2 Matrizesinvertíveiseisomorsmos . . . 134

5.6 Matrizdemudançadebase . . . 135

5.7 Relaçãoentrematrizesdeumamesmaapli açãolinear . . . 137

6 Valores eve torespróprios 142 6.1 Valoreseve torespróprios. . . 143

6.2 Endomorsmosdiagonalizáveis . . . 151

7 Produto interno 163 7.1 Denição eexemplos . . . 164

7.2 Normadeumve tor . . . 166

7.3 Ânguloentreve tores . . . 169

7.4 Ve toresortogonais. . . 173

7.5 Sistemaortogonalesistemaortonormado . . . 174

7.6 Baseortogonalebaseortonormada . . . 175

7.6.1 MétododeortonormalizaçãodeGram-S hmidt . . . 176

7.7 Matrizdamétri a . . . 179

7.8 Complementoortogonaleproje çõesortogonais. . . 182

7.9 Subespaçoortogonaldeumsubespaçove torial . . . 184

1.1 Denição. Algumas matrizes espe iais

Suponha-seque seestáatrabalharem estruturasalgébri as onhe idas, omo

porexemplo,

C

,

R

ou

Q

omasoperaçõesusuaisdeadiçãoedemultipli ação. Considere

K

umdesses onjuntos.Aoselementosde

K

hamam-sees alares. Denição 1.1. Umamatriz dotipo(oude tamanho)

p

× q

sobre

K

éuma tabelade duplaentrada om

p

linhase

q

olunas ujasentradasperten ema

K

. Emtermosdenotaçãorepresentam-sematrizesporletrasmaiús ulaseusa-se

atabeladenúmerosdentrodeparêntesesre tos omoindi adoaseguir:

A =











a

11

a

12

· · ·

a

1q

a

21

a

22

· · ·

a

2q

. . . . . . . . . . . .

a

p1

a

p2

· · · a

pq











.

Os es alares

a

ij

, om

i

∈ {1, . . . , p}

e

j

∈ {1, . . . , q}

dizem-se entradas (ou elementos)de

A

.Emtermosgerais,tambémsees reve

A =



a

ij



,

om

i

∈ {1, . . . , p}

e

j

∈ {1, . . . , q}.

Otermogenéri o

a

ij

representaaentradadamatriz

A

queseen ontranalinha

i

ena oluna

j

eéusualreferir omosendoaentrada(ouoelemento)

(i, j)

. Exemplo1.2. Amatriz

A =





1 4

2 9

6 5





éuma matrizdotipo

3

× 2

poisé omposta por

3

linhas e

2

olunas.Aentrada

a

31

(ouentrada

(3, 1)

)é

6

.

Seja

A

umamatriz dotipo

p

× q

.Quando

p = q

diz-seque

A

éumamatriz quadrada de ordem

p

. Quando setem uma matriz omuma só oluna (linha) hama-sematriz oluna (matrizlinha).

Exemplo 1.3. Considere asmatrizes

A =



2 3

3 1



,

B =



2

3



e

C =



2 3



.

A matriz

A

équadrada de ordem

2

,

B

é umamatriz oluna e

C

é umamatriz linha.

Seja

A =



a

ij



, om

i, j

∈ {1, . . . , p}

,umamatrizquadrada.Asentradas

a

ij

om

i = j

, istoé,asentradasdaforma

a

ii

,formamadiagonal prin ipal de

A

. Oselementos

a

ij

e

a

ji

, om

i

6= j

,estão dispostossimetri amente emrelaçãoà diagonalprin ipal,eporissodizem-seopostos.

Exemplo 1.4. Considere amatriz

A =





0

2

3

1

0

4

2

5

0





Oselementosda diagonal prin ipal são

2

,

1

e

0

eestãoassinalados por . As entradasmar adaspor são um exemplode elementosopostos.

Denição 1.5. Chama-sematrizdiagonalaumamatrizquadradaemqueos

elementos quenãosãoda diagonal prin ipal são iguaisazero, ouseja,

a

ij

= 0

para

i

6= j

. Exemplo1.6. Amatriz

A =



2 0

0 1



é umamatrizdiagonal.

Denição 1.7. Chama-se matriz es alara uma matrizdiagonal em queos

elementos dadiagonal prin ipal são todos iguaisentresi.

Exemplo1.8. Asmatrizes

A =



2 0

0 2



e

B =





−3

0

−3

0

0

0

0

0

−3





são matrizeses alares.

Um asoespe ialdeumamatrizes alaréamatrizemquetodososelementos

da diagonal prin ipal são iguais a

1

. Essamatriz hama-se matriz identidade. Assim,amatrizidentidadedeordem

n

,representa-sepor

I

n

, eéamatriz

I

n

=











1 0

· · · 0

0 1

· · · 0

. . . . . . . . . . . .

0 0

_{· · · 1}











.

Seasuaordemfordepreendidado ontexto,representa-sesimplesmentepor

I

.Observe-seque

I

n

=



δ

ij



,sendo

δ

ij

osímbolodeKrone ker,ouseja,

δ

ij

=



1

se

i = j

0

se

i

6= j

.

A matriz nula do tipo

p

× q

é uma matriz em quetodas assuas entradas sãoiguaisazeroerepresenta-sepor

0

p×q

.Porvezesrepresenta-seapenaspor

0

Denição 1.9. Uma matriz quadrada diz-se matriz triangular superior se

a

ij

= 0

quando

i > j

, isto é, os elementos abaixo da diagonal prin ipal são nulos.Analogamente, umamatrizquadradadiz-sematriztriangular inferior

se

a

ij

= 0

quando

i < j

, isto é, os elementos a ima da diagonal prin ipal são nulos. Exemplo 1.10. Sejam

A =





3

4

1

2

0

2

0

0

0

1





e

B =





−2 0

7

0

0

0

−4

3

2

−1



 .

A matriz

A

étriangular superiore

B

éuma matriztriangular inferior. Denição 1.11. Duas matrizes

A =



a

ij



e

B =



b

ij



do tipo

p

× q

dizem-se iguais se

a

ij

= b

ij

,paratodo

i

∈ {1, . . . , p}

e

j

∈ {1, . . . , q}

.

1.2 Operações om matrizes e suas propriedades

1.2.1 Adição de matrizes

Seja

M

p×q

(

K)

o onjuntodasmatrizesdotipo

p

× q

omelementos em

K

. A adiçãodematrizeséuma apli açãodenida noproduto artesiano

M

p×q

(

K) × M

p×q

(K)

1

que, a ada par de matrizes

(A, B)

, faz orresponder uma e uma só matriz de

M

p×q

(K)

geralmentedenotada por

A + B.

Também sediz que estaé uma operação interna em

M

p×q

(K)

. Em termos de representação das entradas da matrizqueresultadaadiçãodeduasmatrizesquaisquerapresenta-seaseguinte

denição.

Denição 1.12. Sejam

A, B

∈ M

p×q

(K)

tais que

A =



a

ij



,

B =



b

ij



. A

matriz soma

A + B

éamatrizde

M

p×q

(K)

denidapor:

A + B =



c

ij



,

om

c

ij

= a

ij

+b

ij

,paratodo

i

∈ {1, . . . , p}

e

j

∈ {1, . . . , q}

.Porvezeses reve-se simplesmente

A + B =



a

ij

+ b

ij



. Exemplo 1.13. Sejam

A =



1

−2 3

4

5

0



e

B =



6

−1 2

7

8

9



.

Tem-se que

A + B =



1 + 6

−2 + (−1) 3 + 2

4 + 7

5 + 8

0 + 9



=



7

−3 5

11

13 9



.

1

M

p×q

(K) × M

p×q

(K) = {(A, B) : A, B ∈ M

p×q

(K)}

Propriedades da adiçãode matrizes

Apresentam-seagoraalgumaspropriedadesdaadiçãodematrizes.Ir-se-áprovar

algumas destas propriedadese asrestantes demonstrações são deixadas omo

exer í io.

Sejam

A, B, C

∈ M

p×q

(K)

matrizesquaisquer.

•

Comutatividade:

A + B = B + A

. Demonstração. Sejam

A =



a

ij



e

B =



b

ij



, om

i

∈ {1, . . . , p}

e

j

∈ {1, . . . , q}

.Tem-se:

A + B =



a

ij

+ b

ij



pordenição deadiçãodematrizes

=



b

ij

+ a

ij



pela omutatividadeem

K

= B + A

•

Asso iatividade:

(A + B) + C = A + (B + C)

. Demonstração. Sejam

A =



a

ij



,

B =



b

ij



e

C =



c

ij



, om

i

∈ {1, . . . , p}

e

j

∈ {1, . . . , q}

.Tem-se:

(A + B) + C =



a

ij

+ b

ij



+



c

ij



pordeniçãodeadiçãodematrizes

=



(a

ij

+ b

ij

) + c

ij



pordeniçãodeadiçãodematrizes

=



a

ij

+ (b

ij

+ c

ij

)



pela asso iatividadeem

K

=



a

ij



+



b

ij

+ c

ij



pordeniçãodeadiçãodematrizes

=



a

ij



+



b

ij



+



c

ij



pordeniçãodeadiçãodematrizes

= A + (B + C).

•

Existên iade elementoneutro:

0

p×q

+ A = A

.

•

Existên ia de elemento simétri o:

A + (

−A) = 0

p×q

, onde, sendo

A =



a

ij



então

−A =



−a

ij



.

Asdemonstraçõesdaexistên iadoelemento neutroesimétri o am omo

exer í io.

Uma vez que são válidas estas quatro propriedades, diz-se que

M

p×q

(

K)

munidodaadiçãodematrizeséumgrupoabeliano (ou omutativo).

Observação1.14. Dadas duas matrizes

A, B

∈ M

p×q

(K)

,denota-se amatriz

Exer í io 1.15. Considereasmatrizes

A =





−4

5

₋₅

9 10

0

9

1

1





e

B =





−4 −1 −3

9

1

5

2

0

₋₁



 .

Cal ule

A

− B

.

1.2.2 Multipli ação por um es alar

Pode também denir-se uma operação externa entre o onjunto das matrizes

e o onjunto

K

. A multipli ação por um es alar é uma apli ação denida no produto artesiano

K × M

p×q

(K)

quea adapar

(α, A)

faz orresponderumae uma sómatrizde

M

p×q

(K)

geralmentedenotadapor

αA

.

Denição 1.16. Seja

A

∈ M

p×q

(K)

talque

A =



a

ij



eseja

α

∈ K

umes alar. A matriz

αA

é amatrizdo tipo

p

× q

que se obtémde

A

multipli ando todas asentradas de

A

pelo es alar

α

,ouseja:

αA =



c

ij



,

om

c

ij

= αa

ij

,paratodo

i

∈ {1, . . . , p}

e

j

∈ {1, . . . , q}

. Exemplo1.17. Seja

A =



2 1

3 1



,então

2A =



4 2

6 2



.

Exer í io 1.18. Cal ule

2A

− 3B

,sabendo que

A =



4

5

−1 0



e

B =



−1 2

3 1



.

Propriedades da multipli açãoporum es alar

Sejam

α, β

es alaresquaisquerde

K

e sejam

A, B

∈ M

p×q

(K)

matrizes quais-quer.

•

Distributividade da multipli ação por um es alar em relação à adição de matrizes:

α(A + B) = αA + αB

.

Demonstração. Represente-se

A =



a

ij



e

B =



b

ij



, om

i

∈ {1, . . . , p}

e

j

_{∈ {1, . . . , q}}

.Tem-seque:

α(A + B) = α



a

ij

+ b

ij



pordeniçãodeadiçãodematrizes

=



α(a

ij

+ b

ij

)



pordeniçãodemultipli açãoporumes alar

=



αa

ij

+ αb

ij



peladistributividade damultipli açãoem

relaçãoàadiçãoem

K

=



αa

ij



+



αb

ij



pordeniçãodeadiçãodematrizes

= α



a

ij



+ α



b

ij



pordeniçãodemultipli açãoporumes alar

= αA + αB.

•

Distributividade da multipli açãopor uma matriz emrelação à adição de es alares:

(α + β)A = αA + βA

.

Demonstração. Represente-se

A =



a

ij



, om

i

∈ {1, . . . , p}

e

j

∈ {1, . . . , q}

. Tem-seque:

(α + β)A = (α + β)



a

ij



=



(α + β)a

ij



pordenição demultipli açãoporumes alar

=



αa

ij

+ βa

ij



peladistributividade damultipli açãoem relaçãoàadiçãoem

K

=



αa

ij



+



βa

ij



peladenição deadiçãodematrizes

= α



a

ij



+ β



a

ij



pordenição demultipli açãoporumes alar

= αA + βA

•

Asso iatividademista:

α(βA) = (αβ)A

.

•

Existên ia de Elemento Neutro:

1

K

A = A

, onde 1

K

éo elemento neutrodamultipli açãoem

K

(note-sequeem

R

,

Q

ou

C

,1

K

é

1

). AsdemonstraçõesdasPropriedades3e4 am omoexer í io.

Exer í io 1.19. Considereasmatrizes

A

e

B

dotipo

1

× 3

tais que:

2A =



2 3

4



e

B =



2

−3 −1



.

Cal ule, apli andoas propriedades,

5(A + B) + 2



1

2

A + B



.

multipli-Teorema 1.20. Sejam

A

∈ M

p×q

(

K)

e

α

∈ K

.Então

αA = 0

p×q

seesóse

α = 0

K

ou

A = 0

p×q

,

onde

0

K

éo elementoneutroda adição usualem

K

(ou seja,em

R

,

Q

ou

C

é

0

). Demonstração. Seja

A =



a

ij



, om

i

∈ {1, . . . , p}

e

j

∈ {1, . . . , q}

. Então

αA = 0

p×q

éequivalente a



αa

ij



= 0

p×q

pordeniçãode

multipli açãoes alar

⇔αa

ij

= 0,

∀i ∈ {1, . . . , p}, j ∈ {1, . . . , q}

pordeniçãode igualdadedematrizes

⇔α = 0

K

∨ a

ij

= 0,

∀i ∈ {1, . . . , p}, j ∈ {1, . . . , q}

pelaleidoanulamento doprodutoem

K

⇔α = 0

K

∨ A =



a

ij



= 0

p×q

1.2.3 Multipli ação de matrizes

Dadasduasmatrizes

A

e

B

,amultipli ação

A

× B

sóépossívelseonúmerode olunasdaprimeiramatriz oin ide omonúmerodelinhasdasegundamatriz.

Amatrizesquesatisfazemestarelação hamam-sematrizesen adeadas.Assim,

dadas duas matrizes

A

e

B

, se queremos efe tuar amultipli ação

A

× B

e se

A

éuma matriz do tipo

p

× q

então

B

tem deser umamatriz do tipo

q

× m

. Nesse asoamatrizresultante,queserepresentapor

AB

,éumamatrizdotipo

p

_{× m}

.Esquemati amente

A

|{z}

p×q

× B

_|{z}

q×m

= AB

_|{z}

p×m

.

Sejam

A

umamatriz dotipo

p

× q

e

B

uma matriz dotipo

q

× m

.Note-se que

AB

estádenido.Relativamentea

BA

,trêshipótesespoderãoo orrer:

• BA

poderánãoestardenido;issoa onte ese

m

6= p

;

• BA

estádenido(istoé,

p = m

)e

BA

seráumamatrizdotipo

q

× q

e

AB

seráumamatrizdotipo

m

× m

;eneste asopodemsurgirduassituações:  se

q

6= m

,

AB

e

BA

são de tipos diferentes e, onsequentemente,

AB

6= BA

;

Exemplo1.21. Sejam

A

umamatrizdotipo

2

×3

,

B

umamatrizdotipo

3

×4

,

C

umamatrizdotipo

3

× 2

e

D

e

E

matrizesdo tipo

2

× 2

.Então:

• AB

é dotipo

2

× 4

e

BA

nãoestádenida;

• AC

édo tipo

2

× 2

e

CA

é dotipo

3

× 3

;

• DE

édo tipo

2

× 2

e

ED

édo tipo

2

× 2

.

Veja-se então omo se multipli am matrizes. Considere-se primeiro o aso

parti ulardoprodutodeumamatriz linhaporumamatriz oluna.

Denição 1.22. Sejam

A =



a

1

a

2

· · · a

p



e

B =











b

1

b

2

. . .

b

p











. Então o produto da matriz linha

A

pela matriz oluna

B

é:

AB =



a

1

b

1

+ a

2

b

2

+

· · · + a

p

b

p



.

Observe-sequese

A

éumamatriz dotipo

1

× p

e

B

éuma matriz dotipo

p

_{× 1}

,então

AB

éumamatrizdotipo

1

× 1

.

Exemplo 1.23. Sejam

A =



1 0

₋₂



e

B =





5

3

4





.Então

AB =



1

× 5 + 0 × 3 + (−2) × 4



=



−3



.

Agoradene-seoprodutoentreduas matrizesen adeadas quaisquertendo

porbase adeniçãodo asoparti ularanterior.

Denição 1.24. Sejam

A

e

B

matrizesdotipo

p

× q

e

q

× m

,respe tivamente. Oprodutode

A

por

B

,queserepresentapor

AB

,éamatrizdotipo

p

×m

que se obtém onsiderandoparaelemento

(i, j)

amultipli açãodalinha

i

damatriz

A

pela oluna

j

damatriz

B

.

Formalmente tem-se que, para

A =



a

ik



e

B =



b

kj



, om

i

∈ {1, . . . , p}

,

k

_{∈ {1, . . . , q}}

e

j

∈ {1, . . . , m}

,oproduto de

A

por

B

éamatriz

AB

dotipo

p

_{× m}

denida por:

AB =



c

ij



,

om

i

∈ {1, . . . , p}

e

j

∈ {1, . . . , m}

onde

c

ij

= a

i1

b

1j

+ a

i2

b

2j

+

· · · + a

iq

b

qj

=

q

X

k=1

a

ik

b

kj

.

Esquemati amente













a

i1

a

i2

· · · a

iq













|

{z

}

A











b

1j

b

2j

. . .

b

qj











|

{z

}

B

=

















. . . . . .

· · · c

ij

















|

{z

}

AB

Exemplo 1.25. Sejam

A =





2

0

−1

3

1

4





e

B =



5

0

−1 2



.Então

AB =





0

_{× 5 + (−1) × (−1) 0 × 0 + (−1) × 2}

2

× 5 + 3 × (−1)

2

× 0 + 3 × 2

1

_{× 5 + 4 × (−1)}

1

_{× 0 + 4 × 2}



 =





7

1

₋₂

6

1

8



 .

Exer í io 1.26. Cal ule,se possível, oproduto

AB

,sabendo que

A =



5 7

−1

0 2

4



e

B =





_{−1 2}

3 0

1 4



 .

Observe-sequedadaumamatriz

A

dotipo

p

×q

, om

p

6= q

,nãoestádenido o produto

A

2

_{= AA}

. Fa ilmente se on lui quesó se pode denir potên ia de

uma matriz paramatrizesquadradas.De umaformageral,se

A

éuma matriz quadrada deordem

n

,

A

k

, om

k

≥ 1

,representa amatriz quadradadeordem

n

denida por:

A

k

= AA

_{| {z }}

· · · A

k

fa tores

.

Por onvenção,

A

0

_{= I}

n

.

Observe-sequepodeter-se

A

2

_{= 0}

p×p

e,noentanto,

A

6= 0

p×p

.

Exemplo 1.27. Dada amatriz

A =



0

1

0

0



,tem-seque

A

2

=



0

0

0

0



= 0

2×2

.

Podeentão on luir-sequenão éválidaaleidoanulamentodoprodutono

onjunto

M

n×n

(K)

. Exer í io 1.28. Sejam

A =



1 0

1 0



e

B =



0

0

1

1



.Cal ule

AB

.

Propriedades da multipli açãode matrizes

Sejam

α

umes alare

A, B, C

matrizesquaisquer omtamanhosadequados.

•

Existên iade elementoneutro: Se

A

fordotipo

p

×q

,então

I

p

A = A

e

AI

q

= A

;

•

Asso iatividade:

A(BC) = (AB)C

;

•

Asso iatividademista:

α(AB) = (αA)B = A(αB)

;

•

Distributividade da multipli ação em relação à adição:

A(B +

C) = AB + AC

e

(A + B)C = AC + BC

.

As demonstraçõesdaspropriedadesenun iadas am omoexer í io.

Observação1.29. Re orde-sequeamultipli açãodematrizesnãoé omutativa

e, onsequentemente, multipli ar àdireita ou àesquerda poruma matriz (não

nula) nãoéamesma oisa!

Exemplo 1.30. Considereasmatrizes

A =



1

2

3

4



e

B =



0

1

1

0



.

Então

AB =



2

1

4

3



e

BA =



3

4

1

2



.

1.2.4 Transposta de uma matriz

Denição 1.31. Seja

A =



a

ij



uma matriz do tipo

p

× q

.Chama-se trans-postada matriz

A

,erepresenta-se por

A

T

,àmatrizdo tipo

q

× p

tal que

A

T

₌



_a

′

ji



.

om

a

′

ji

= a

ij

,paratodo

j

∈ {1, . . . , q}

e

i

∈ {1, . . . , p}

. Assim,se

A =











a

11

a

12

· · ·

a

1q

a

21

a

22

· · ·

a

2q

. . . . . . . . . . . .

a

p1

a

p2

· · · a

pq











,

então

A

T

₌











a

11

a

21

· · · a

p1

a

12

a

22

· · · a

p2

. . . . . . . . . . . .

a

1q

a

2q

· · · a

pq











.

Ouseja,aslinhas damatriz

A

T

Exemplo 1.32. Seja

A =



2

3 4

5

6 7



.A transposta de

A

é aseguintematriz:

A

T

₌





2

3

5

6

4

7



 .

Propriedades da transposta de uma matriz

Seja

α

umes alaresejam

A, B

matrizesquaisquer omostamanhosadequados.

•

Transposta da transposta:

A

T

T

_{= A}

. Demonstração. Seja

A =



a

ij



, om

i

∈ {1, . . . , p}

e

j

∈ {1, . . . , q}

. Por denição,

A

T

₌



_a

′

ji



, om

a

′

ji

= a

ij

, para todo

j

∈ {1, . . . , q}

e

i

∈ {1, . . . , p}

.Assim,

A

T

T

=



a

′

ji



T

=



a

′′

ij



onde

a

′′

ij

= a

′

ji

= a

ij

, para todo

i

∈ {1, . . . , p}

e

j

∈ {1, . . . , q}

. Logo

A

T

T

_{= A}

.

•

Transposta do produto de uma matrizpor umes alar:

(αA)

T

₌

αA

T

. Demonstração. Seja

A =



a

ij



, om

i

∈ {1, . . . , p}

e

j

∈ {1, . . . , q}

. Ora, sendo

A

T

₌



_a

′

ji



, om

a

′

ji

= a

ij

,paratodo

j

∈ {1, . . . , q}

e

i

∈ {1, . . . , p}

, então

(αA)

T

₌



_αa

ij



T

=



αa

′

ji



= α



a

′

ji



= αA

T

_.

•

Transposta da soma de duas matrizes:

(A + B)

T

_{= A}

T

_{+ B}

T

. Demonstração. Sejam

A =



a

ij



e

B =



b

ij



, om

i

∈ {1, . . . , p}

e

j

∈ {1, . . . , q}

. Por denição deadição de matrizes,

A + B =



c

ij



, om

c

ij

= a

ij

+ b

ij

,para todo

i

∈ {1, . . . , p}

e

j

∈ {1, . . . , q}

.Assim,

(A + B)

T

₌



_c

′

ji



om

c

′

ji

= c

ij

,paratodo

j

∈ {1, . . . , q}

e

i

∈ {1, . . . , p}

. Por outro lado, omo

A

T

₌



_a

′

ji



, om

a

′

ji

= a

ij

, e

B

T

₌



_b

′

ji



, om

b

′

ji

= b

ij

,vemque

A

T

_{+ B}

T

₌



_a

′

ji



+



b

′

ji



=



a

′

ji

+ b

′

ji



=



d

ji



,onde a entrada

(j, i)

é

d

ji

= a

′

ji

+ b

′

ji

= a

ij

+ b

ij

= c

ij

= c

′

ji

.

E,portanto,

A

T

_{+ B}

T

_{= (A + B)}

T

.

•

Transposta do produto de duas matrizes:

(AB)

T

_{= B}

T

_A

T

. Demonstração. Sejam

A =



a

ik



e

B =



b

kj



, om

i

∈ {1, . . . , p}

,

k

_{∈ {1, . . . , q}}

e

j

∈ {1, . . . , m}

.Tem-seque

AB =



c

ij



,

onde

c

ij

=

q

X

l=1

a

il

b

lj

para ada

i

∈ {1, . . . , p}

e

j

∈ {1, . . . , m}

.Assim

(AB)

T

₌



_c

′

ji



,

onde

c

′

ji

= c

ij

.

Poroutrolado,

A

T

₌



_a

′

ki



, om

a

′

ki

= a

ik

, e

B

T

₌



_b

′

jk



, om

b

′

jk

= b

kj

, paratodo

i

∈ {1, . . . , p}

,

k

∈ {1, . . . , q}

e

j

∈ {1, . . . , m}

.Assim,

B

T

A

T

=



d

ji



,

ondeaentrada

(j, i)

é

d

ji

=

q

X

l=1

b

′

jl

a

′

li

=

q

X

l=1

b

lj

a

il

=

q

X

l=1

a

il

b

lj

= c

ij

= c

′

ji

.

Logo

(AB)

T

_{= B}

T

_A

T

.

Denição 1.33. Uma matriz

A

diz-se simétri ase

A = A

T

_.

Observe-se que esta denição obriga a que a matriz

A

seja uma matriz quadrada.Alémdisso,umamatrizquadrada

A

deordem

p

ésimétri aseexistir simetriarelativamenteàdiagonalprin ipal,isto é,seédaforma

A =



a

ij



,

om

a

ij

= a

ji

,

∀i, j ∈ {1, . . . , p}.

Exemplo 1.34. A matriz



1 2

2 3



ésimétri a.

Denição 1.35. Uma matriz

A

diz-se anti-simétri ase

A

T

₌

_−A

.

Assim,adeniçãoobrigaaque

A

,paraseranti-simétri a,sejaquadradaeos elementosdasuadiagonalprin ipalsejamtodosnulos.Alémdisso,emposições

opostasemrelaçãoàdiagonalprin ipal,estãoelementossimétri osentresi.

Exemplo1.36. A matriz





₋₃

0

3

0

4

1

−4 −1 0





éanti-simétri a.

Exer í ios 1.37. 1. Seja

A

umamatrizquadrada. Prove que: a)

A + A

T

b)

A

− A

T

éanti-simétri a.

2. Mostre que qualquer matrizquadrada sepode de ompor nasoma de uma

matrizsimétri a omumamatrizanti-simétri a.

3. Em ada aso,provequeaarmaçãoéverdadeiraouapresenteum

ontra--exemplo mostrando que é falsa. Sejam

A

,

B

e

C

matrizes de tamanhos adequados.

a) Se

A + B = A + C

então

B

e

C

são domesmo tipo. b) Se

A + B = 0,

então

B = 0

.

) Se aentrada

(2, 3)

da matriz

A

é

7

,então aentrada

(3, 2)

de

A

T

é

−7

.

d) Se

A =

−A

,então

A = 0

.

e) Paratodaamatriz

A

,asmatrizes

A

e

A

T

têmamesmadiagonal.

f) Aigualdade

(A+B)

2

_{= A}

2

_+2AB+B

2

ésempreválidaparaquaisquer

matrizes.

g) Se

A

2

_{= A}

então

A = 0

ou

A = I

.

4. Sejam

A

∈ M

p×q

(K)

e

B, C

∈ M

q×m

(K)

matrizes quaisquer. Apli ando aspropriedadesdasoperaçõesentrematrizes, mostre,de duasformas

dis-tintas,que

2.1 Sistemas e matrizes

Nestase çãoapresentam-sealgumas deniçõesenomen laturabási as

asso ia-dasaossistemasdeequaçõeslineareseasuarelação omasmatrizes.

Denição 2.1. Umaequação da forma

a

1

x

1

+ a

2

x

2

+

· · · + a

n

x

n

= b,

(2.1) onde

a

i

∈ K

,para ada

i

∈ {1, . . . , n}

e

b

∈ K

,é hamadaumaequaçãolinear nasin ógnitas(ouindeterminadas)

x

1

, . . . , x

n

.A ada

a

i

hama-se oe iente da equação eao

b

hama-setermo independentedaequação.

Exemplo 2.2. A equação

−x

1

+ 4x

2

− 7x

3

= 11

é uma equação linear nas in ógnitas

x

1

,

x

2

e

x

3

de oe ientes

−1

,

4

e

−7

e termoindependente

11

. A equação

4x

1

− 5x

2

= x

1

x

3

nãoé umaequação linear.

Re ordandooprodutodeumamatrizlinha porumamatriz oluna,note-se

queaequação(2.1)podeserrepresentadamatri ialmentepor



a

1

a

2

· · · a

n













x

1

x

2

. . .

x

n











=



b



.

(2.2)

Denição 2.3. Diz-se que o

n

−

uplo

(s

1

, s

2

, . . . , s

n

)

,oude forma equivalente,



s

1

s

2

· · · s

n



T

,ésolução da equação (2.1)(ou de (2.2))se

a

1

s

1

+ a

2

s

2

+

· · · + a

n

s

n

= b

ou



a

1

a

2

· · · a

n













s

1

s

2

. . .

s

n











=



b



Ao onjuntodetodasassoluçõesde (2.1) hama-se onjuntosoluçãode (2.1). Exemplo2.4. Considereaequação

3x

1

−x

2

+4x

3

= 5

.Estapoderepresentar-se matri ialmente omo



3

−1 4







x

x

1

2

x

3



 =



5



.

Como

3x

1

− x

2

+ 4x

3

= 5

⇔ x

2

= 3x

1

+ 4x

3

− 5

,o onjuntosoluçãodaequação dada é

S =

_{(x

1

, 3x

1

+ 4x

3

− 5, x

3

) : x

1

, x

3

∈ R}.

Auma ole çãodeumnúmeronitodeequaçõeslineares hama-sesistema

deequaçõeslineares.Emseguidaapresenta-seadeniçãoformal:

Denição 2.5. À onjunção de

m

equações lineares em

n

in ógnitas, om

m, n

_{∈ N}

, hama-se sistema de equações lineares e pode ser representado por



















a

11

x

1

+

· · · +

a

1n

x

n

= b

1

a

21

x

1

+

· · · +

a

2n

x

n

= b

2

. . .

a

m1

x

1

+

· · · + a

mn

x

n

= b

m

(2.3)

onde

a

ij

∈ K

, om

i

∈ {1, . . . , m}

e

j

∈ {1, . . . , n}

,são hamados oe ientes do sistema, os

b

i

∈ K

, om

i

∈ {1, . . . , m}

,são ostermos independentes do sistema e

x

1

, . . . , x

n

são asin ógnitasdosistema.

Se

b

i

= 0

,paratodo

i

∈ {1, . . . , m}

,entãodiz-sequeosistemaéhomogéneo; aso ontrário,istoé,se

b

i

6= 0

,paraalgum

i

∈ {1, . . . , m}

entãoosistemadiz-se ompleto.

Exemplo2.6. Considere osseguintessistemaslineares

(S

1

)







2 x

1

+ 3 x

2

+ 4 x

3

= 1

−1 x

1

+ 5 x

2

+ 0 x

3

= 2

e

(S

2

)







1 x

1

− 2 x

2

= 0

−1 x

1

+ 3 x

2

= 0

.

O sistema

(S

1

)

é um sistema ompleto om

2

equações e

3

in ógnitase

(S

2

)

é um sistema homogéneo om

2

equações e

2

in ógnitas. Em ambosos sistemas ostermos independentes estãomar adospor eos oe ientespor .

Atendendo à denição de solução de uma equação linear pode denir-se

soluçãodeumsistemadeequaçõeslineares.

Denição 2.7. O

n

−

uplo

(s

1

, s

2

, . . . , s

n

)

é solução do sistema de equações lineares naforma (2.3)sefor soluçãodetodas asequaçõesque onstituemesse sistema.Ao onjuntodetodasassoluçõesde (2.3) hama-se onjuntosolução desse sistema.

Exemplo 2.8. Considere o sistema linear

(S

1

)

do exemplo anterior, o terno

−2, 0,

5

4

éumasoluçãodesse sistema; de fa to,



2

_{× (−2) + 3 × 0 + 4 ×}

5

4

= 1

−1 × (−2) + 5 × 0 + 0 ×

5

4

= 2

.

Paraadeterminaçãodo onjunto soluçãode umsistema,podemapli ar-se

diversosmétodosquepermitemobterumsistemaequivalente maissimples.

Umdosmétodosparadeterminaro onjuntosoluçãodeumsistema onsiste

em apli ardeterminadas operaçõessobreasequaçõesdosistema.Essas

opera-çõessão hamadasoperações elementares sobreequações. Represente-sepor

e

i

, om

i

∈ {1, . . . , m}

, a

i

-ésimaequaçãode um sistema deequaçõeslineares na forma(2.3).Asoperaçõeselementaressobreequaçõessão:

I. tro arduasequações

(representa-sepor

e

i

↔ e

j

);

II. multipli arumaequaçãoporumes alarnãonulo

(representa-sepor

e

′

i

:= αe

i

, om

α

6= 0

);

III. adi ionaraumaequaçãooutramultipli adaporumes alar

(representa-sepor

e

′

i

:= e

i

+ βe

j

, om

β

∈ K

e

i

6= j

).

Exer í io2.10. Mostrequeseseefe tuaroperaçõeselementaressobreequações

nasequações

e

1

, . . . , e

n

deumsistemadeequaçõeslinearesobtém-seumsistema equivalente.

Veja-seumexemplo:

Exemplo 2.11. Dado o sistema



x + y = 1

x

− y = 2

, efe tuando operações elemen-taresa imades ritas, obtém-se:



x + y = 1

x

− y = 2

|{z}

⇔

e

′

2

:=e

2

+e

1



x + y = 1

2x = 3

|{z}

⇔

e

′

2

:=

1

2

e

2



x + y = 1

x =

3

₂

⇔

|{z}

e

′

1

:=e

1

−e

2



y = 1

₋

3

2

=

−

1

2

x =

3

2

O onjuntosoluçãoé



₃

2

,

−

1

2

.

Atendendoaonúmerode soluçõesqueumsistemadeequaçõeslineares

ad-mite, estepodeser lassi adodaseguinteforma:

•

impossível:quandonãotemsolução;

•

possível:quandoadmiteumaoumaissoluções;neste asopodedizer-se queé:

- possívele determinado:quandotemapenasuma úni asolução;

- possíveleindeterminado:quandotemumainnidadedesoluções;

neste asoatribui-seaindaumgraudeindeterminaçãoaosistemaque

Vejam-sealgunsexemplos.

Exemplos2.12. 1. Osistema do Exemplo2.11 épossível edeterminado. 2. Osistema



x

1

− x

2

+ x

3

= 1

−x

1

+ 2x

2

− x

3

= 2

|{z}

⇔

e

′

2

:=e

2

+e

1



x

1

− x

2

+ x

3

= 1

x

2

= 3

⇔

|{z}

e

′

1

:=e

1

+e

2



x

1

+ x

3

= 4

x

2

= 3

temoseguinte onjuntosolução

{(4 − x

3

, 3, x

3

) : x

3

∈ R}

.Logotrata-sede um sistema possível e indeterminado, om grau de indeterminação igual

a

1

(neste aso, aúni avariável livre é

x

3

). 3. Osistema



x

1

− 2x

2

=

−1

−x

1

+ 2x

2

= 3

|{z}

⇔

e

′

2

:=e

2

+e

1



x

1

− 2x

2

=

−1

0 = 2

éimpossível. Oseu onjuntosoluçãoéo onjuntovazio

∅

.

Ainformação deumsistema deequaçõeslineares pode serresumida numa

úni amatriz.Re ordandooprodutoentrematrizes,note-sequeépossível

repre-sentarosistemadeequaçõeslinearesdaforma(2.3)naseguinteformamatri ial:

AX = B

_⇔











a

11

a

12

· · ·

a

1n

a

21

a

22

· · ·

a

2n

. . . . . . . . . . . .

a

m1

a

m2

· · · a

mn











|

{z

}

A











x

1

x

2

. . .

x

n











| {z }

X

=











b

1

b

2

. . .

b

m











| {z }

B

onde à matriz

A

∈ M

m×n

(

K)

hama-se matriz dos oe ientes (ou matriz simples), à matriz

X

∈ M

n×1

(

K)

hama-se matriz das in ógnitas e à matriz

B

_{∈ M}

m×1

(

K)

hama-se matrizdostermos independentes.

Pode ainda es rever-se uma úni a matriz om os oe ientes e os termos

independentes dosistema:



A

B



=











a

11

a

12

· · ·

a

1n

b

1

a

21

a

22

· · ·

a

2n

b

2

. . . . . . . . . . . . . . .

a

m1

a

m2

· · · a

mn

b

m











.

Exemplo 2.13. Considereosistema de equaçõeslineares







x

1

+ 2x

2

− x

3

= 0

2x

2

− 8x

3

= 7

−4x

1

+ 5x

2

+ 9x

3

=

−9

A suaforma matri ial é

AX = B

, om

A =





1

0

2

2

−1

₋₈

−4 5

9



 , X =





x

x

1

2

x

3





e

B =





0

7

−9





e asuamatrizampliada é



A B



=





1 2

0 2

−1

₋₈

0

7

−4 5

9

₋₉



 .

2.2 Método de eliminação de Gauss

Re orde-sequenosexemplosanterioresusaram-sedeterminadasoperações

ele-mentaressobre equações.Efe tuar operaçõeselementaressobreasequaçõesde

um sistema éequivalente a efe tuar operaçõeselementares sobre as linhas da

matrizampliadaasso iadaaosistema.Represente-sepor

L

i

, om

i

∈ {1, . . . , m}

, a

i

-ésimalinha damatriz ampliada.Veja-se umexemplo de omo resolverum sistema usandoarespe tivamatrizampliada.

Exemplo2.14.

Sistema Matriz ampliada







−2x

1

− x

2

=

−4

x

1

+ x

2

− 3x

3

= 3

4x

1

+ 2x

2

+ 3x

3

= 7





−2 −1

1

1

₋₃

0

−4

3

4

2

3

7





1 o passo:

e

1

↔ e

2

L

1

↔ L

2







x

1

+ x

2

− 3x

3

= 3

−2x

1

− x

2

=

−4

4x

1

+ 2x

2

+ 3x

3

= 7





_{−2 −1}

1

1

−3

0

₋₄

3

4

2

3

7





2 o passo:

e

′

2

:= e

2

+ 2e

1

L

′

2

:= L

2

+ 2L

1

e

′

3

:= e

3

− 4e

1

L

′

3

:= L

3

− 4L

1







x

1

+ x

2

− 3x

3

= 3

x

2

− 6x

3

= 2

−2x

2

+ 15x

3

=

−5





1

0

1

1

−3

₋₆

3

2

0

₋₂

15

₋₅





3 o passo:

e

′

3

:= e

3

+ 2e

2

L

′

3

:= L

3

+ 2L

2







x

1

+ x

2

− 3x

3

= 3

x

2

− 6x

3

= 2

3x

3

=

−1





1

0

1

1

−3

₋₆

3

2

0

0

3

₋₁





4 o passo:

e

′

3

:=

1

3

e

3

L

′

3

:=

1

3

L

3







x

1

+ x

2

− 3x

3

= 3

x

2

− 6x

3

= 2

x

3

=

−

₃

1





1

0

1

1

−3

−6

3

2

0

0

1

−

1

3





Assim,obtém-seumsistemaequivalenteaoini ial,queseresolvefa ilmentepor

substituição,







x

1

+ x

2

− 3x

3

= 3

x

2

− 6x

3

= 2

x

3

=

−

1

₃

⇔







x

1

= 3

− 0 + 3 −

1

₃

= 2

x

2

= 2 + 6

−

1

₃

= 0

x

3

=

−

1

₃

E o onjuntosoluçãodo sistemaé



2, 0,

₋

1

3

.

Émaisfá iltrabalhar omamatrizampliada.Pode-seentãoresolverum

sis-tema

AX = B

onsiderandoasuamatrizampliada



A B



eexe utandonela de forma riteriosaoperaçõessobre aslinhas. Este tipodeoperações

hamam-se operações elementares sobre as linhas e são orrespondentes às operações

elementaressobre equações:

I. tro arlinhas

(representa-sepor

L

i

↔ L

j

, om

i

6= j

); II. multipli arumalinhaporumes alarnãonulo

(representa-sepor

L

′

i

:= αL

i

, om

α

6= 0

);

III. adi ionaraumalinha ummúltiplo deumaoutralinha

(representa-sepor

L

′

Exemplo2.15. Resolva-seosistema



3x

_{− y = 1}

x + y = 5

,usandoaté ni ades rita anteriormente.



3

_{−1 1}

1

1

5



−−−−−→

L

1

↔ L

2



1

1 5

3

_{−1 1}



−−−−−−−−−→

L

′

2

:= L

2

− 3L

1



1

1

5

0

_{−4 −14}



−−−−−−−→

L

′

2

:= −

1

4

L

2



1 1

5

0 1

7

₂



Logo



3x

_{− y = 1}

x + yy = 5 ⇔



x + y = 5

y =

7

2

⇔



x = 5

₋

7

2

=

10−7

4

=

3

2

y =

7

2

e oseu onjuntosoluçãoé



₃

2

,

7

2

.

Oque sefezfoium asoparti ulardométodo de eliminação de Gauss

para a resolução de sistemas de equações lineares. Antes de formalizar este

métodoapresentam-sealgumasdeniçõesne essárias.

Denição 2.16. Diz-se que uma matrizestá na forma es alonada por

li-nhasse satiszerasseguintes ondições:

•

sehá linhasnulas elassituam-se abaixodas linhas nãonulas;

•

oprimeiro elementonão nulo de ada linha ( omex epção da primeira) situa-seàdireita do primeiroelementonãonulo dalinhaanterior.

Aos primeiros elementos não nulos de adalinha daforma es alonada por

linhas hamam-sepivots.

Observe-seque,atendendoàdenição,oselementosquesesituamnamesma

oluna eabaixodeumpivotnaformaes alonadaporlinhassãotodosnulos.

Exemplo 2.17. Considereasmatrizes

A =





1

0

2

3

−1

1

4

2

0

0

_{−1 −1}





B =





1 0

0 1

4

0

₋₁

0

0 0

0

0





C =





0 0

1 0

−3

0

₋₁

0

0 0

0

1





As matrizes

A

e

B

estão naforma es alonada;mas amatriz

C

nãoestá.

Denição 2.18. Diz-sequeumamatrizestánaforma es alonada reduzida

se estiverna formaes alonada por linhas,isto é, satiszeras ondições

anteri-oresda denição2.16 e,alémdisso, adapivotéiguala1eéoúni oelemento nãonulo dasua oluna.

Observação2.19. Repare-se queaformaes alonada reduzidaéaforma

Exemplo 2.20. Sejam

A =





1

0

0 0

1 0

1

0

0

0 1

3





B =





1

0

4 0

0 1

0 3

0 1

0

0 0

1 4





As matrizes

A

e

B

estão naforma es alonada reduzida.

Teorema2.21.Todaamatrizpodeser olo adanaformaes alonadamediante

uma sequên ianita de operaçõeselementares sobreaslinhas.

Para onseguir transformaruma matriz numa matriz na formaes alonada

porlinhas exe uta-seométododeeliminaçãodeGauss.

Denição 2.22. Ométodo deeliminação deGauss onsistenosseguintes

passos.

Passo 1:Seamatriztivertodososelementosnulos,pára. Amatrizjáestána

forma es alonada porlinhas.

Passo 2: Caso ontrário, en ontre-se a primeira oluna, da esquerda para a

direita, quetenha umelementonãonulo,

u

.Mova-sealinhaqueo ontémpara otopodamatriz. Opivotda primeiralinha é

u

.

Passo 3: Anule-se ada elementoabaixodo pivotadi ionando àslinhas

orre-spondentes múltiplosadequadosda primeiralinha.

(Até aqui ompleta-se o pro esso no que diz respeito à primeira linha. No

que sesegue, usam-seas restanteslinhas, ignorando aprimeiralinha.)

Passo 4: Repita-se os passos 1 a3 na matrizformada pelas restantes linhas,

até esgotar aslinhas todas da matriz.

Paraobter aforma es alonadareduzida deuma matriz apli a-se ométodo

de eliminação de Gauss-Jordan.

Denição 2.23. Ométodo de eliminação de Gauss-Jordan é omposto

porduas fases.

1 a

fase: Apli ar ométodo de eliminação de Gauss até produzir aforma

es a-lonada por linhas.

2 a

fase: Transformartodos ospivotsem

1

,multipli ando adalinha nãonula pelo inverso do respe tivo pivot. Apli ar o método de eliminação de Gauss de

baixopara imaporformaaanulartodososelementosdamatrizsituadosa ima

e namesma oluna dos pivots.Paraisso,bastará omeçar naúltima linhanão

nulae,debaixopara ima,adi ionara adalinhamúltiplosadequadosdaslinhas

inferiores.

Exemplo2.24. Suponha-sequeamatrizampliadadeumsistematemaforma:









0 2

3

−4 1

0 0

2

3

4

2 2

−5

2

4

2 0

₋₆

9

7









O Passo 1, do método de eliminação de Gauss, é ignorado uma vez que as

entradas da matriz não são todas nulas. No Passo 2 tem-se que en ontrar a

primeira oluna (daesquerdaparaadireita) omoprimeiroelementonãonulo.

Neste aso é a primeira oluna e o pivotpode ser a entrada

(3, 1)

.Mova-se a ter eiralinha(alinha queo ontém) paraotopo.

−−−−−→

L

1

↔ L

3









2

2

₋₅

2 4

0

0

2

3 4

0

2

3

−4 1

2

0

−6

9 7









Agorabastaoperar omaslinhasparaobterzerosabaixodopivot(Passo3):

−−−−−−−−→

L

′

4

:= L

4

− L

1









2

2

₋₅

2 4

0

0

2

3 4

0

2

3

_{−4 1}

0

_{−2 −1}

7 3









OPasso 4manda onsiderar asubmatrizobtida eliminando aprimeira linhae

apli ar osPassos1a3atéesgotar aslinhas todas:

−−−−−→

L

2

↔ L

3









2

2

₋₅

2 4

0

2

3

_{−4 1}

0

0

2

3 4

0

_{−2 −1}

7 3









−−−−−−−−→

L

′

4

:= L

4

+ L

2









2

2

₋₅

2 4

0

2

3

_{−4 1}

0

0

2

3 4

0

0

2

3 4









−−−−−−−−→

L

4

:= L

4

− L

3









2 2

₋₅

2 4

0 2

3

_{−4 1}

0 0

2

3 4

0 0

0

0 0









O método da eliminação de Gauss termina aqui e, omo tal, poder-se-ia já

determinar a solução do sistema obtido, que é equivalente ao sistema ini ial,

resolvendo-oporsubstituição.







2x + 2y

_{− 5z + 2t = 4}

2y + 3z

− 4t = 1

2z + 3t = 4

Noentanto, pode ontinuar-se aapli aro método de eliminação de

Gauss-Jordan àmatriz ampliada es alonada por linhas obtida esó depois determinar

asolução. Asegundafase dessemétodo manda multipli ar adalinhanãonula

pelo inversodo pivot orrespondenteeoperar om aslinhasda matrizde modo

Obtém-seassim









2 2

₋₅

2

4

0 2

3

_{−4 1}

0 0

2

3

4

0 0

0

0

0









−−−−−−−−→

L

′

1

:=

1

2

L

1

L

′

2

:=

1

2

L

2

L

′

3

:=

1

2

L

3









1 1

₋

5

2

1

2

0 1

3

2

−2

1

2

0 0

1

3

2

2

0 0

0

0

0









−−−−−−−−−−−→

L

′

1

:= L

1

+

5

2

L

3

L

′

2

:= L

2

−

3

2

L

3









1 1

0

19

₄

7

0 1

0

−

17

4

−

5

2

0 0

1

3

₂

2

0 0

0

0

0









−−−−−−−−→

L

′

1

:= L

1

− L

2









1

0

0

9

19

₂

0

1

0

−

17

4

−

5

2

0

0

1

3

₂

2

0

0

0

0

0









A matriz ampliada obtida já está na forma es alonada reduzida. Agora basta

passarnovamenteparasistemaeresolverdebaixopara ima,porsubstituição:







x + 9t =

19

2

y

₋

17

4

t =

−

5

2

z +

3

2

t = 2

⇔







x =

19

2

− 9t

y =

₋

5

2

+

17

4

t

z = 2

₋

3

2

t

,

t

_{∈ R.}

O onjunto solução é



19

2

− 9t, −

5

2

+

17

4

t, 2

−

3

2

t, t

: t

_{∈ R}

. Observe-se que existe uma variável livre, a variável

t

, pelo que o sistema é possível e inde-terminado, omgraude indeterminação igualaum.

Exer í io Resolvido2.25. Seja

(S)

oseguintesistema de equações lineares

S :







−x + 4z = 0

y =

₋₁

−x + y + 4z = −1

.

Determine, asoexista, oseu onjuntosolução.

Resolução: Asuamatriz ampliada é:

M =





−1 0 4

0 1

0

−1

0

−1 1 4 −1





Passo 1:Anularoselementosda1 a

olunaqueseen ontramabaixodopivotda

1 a

linha. Paraisso efe tua-seaoperação

L

′

3

:= L

3

− L

1

,obtendo-se

M

1

=





−1 0 4

0 1

0

−1

0

0 1

0

₋₁



