Novas sequências ortogonais derivadas das sequências perfeitas

Propriedade IX: “Códigos Ortogonais Derivados de sequências perfeitas”

N conjuntos de (N+1) códigos ortogonais, derivados das sequências perfeitas da tabela 3.4.1, são construídos quando um novo elemento (chip) com o valor “1” é acrescentado (na mesma posição ou índice) com todas as sequências do conjunto

[

1

]

,

[

0

]

,...,

[

1

]

{

N IDFT m c_s N IDFT m c_s N IDFT m_N c_s

}

φ = × − × × − onde

0≤ ≤s N −1 e N é o comprimento das sequências. Com a inserção de o chip “1“ estes (N+1) diferentes códigos ortogonais passam a ter um comprimento igual a (N+1).

A demonstração passa por verificar que o valor exato da correlação cruzada (em fase) de cada conjunto de (N+1) sequências (uma qualquer coluna da matriz 2-D da tabela 3.4.1) é igual a -1. Este resultado pode ser obtido usando (3.4.1) e uma propriedade útil de m-sequences [Sarwate, 1980]: a soma dos chips de uma qualquer m- -sequence bipolar é igual a -1. Quando n=0, (3.4.1) é reescrito da seguinte forma:

( )

1

( )

0

( )

0 0 1 N N k yz N t N T v W v N

θ

−

χ

χ

= =

_∑

=

_∑

= − , (3.4.7) com W_N =exp

(

−j2

π

N

)

e j= −1.

Agora, é necessário reutilizar o método que transforma um código de Gold em um código ortogonal. Ou seja, basta acrescentar um chip de valor “1” a todas as sequências de conjunto

φ

da propriedade IX, para obter códigos ortogonais de comprimento igual a (N+1). É expectável que as propriedades de correlação desses novos códigos ortogonais não sejam afetados seriamente pela inserção de um só chip, quando N >> 1.

afetadas se m c_{r s} (entrada IDFT da tabela 3.4.1) for substituída por m c b_{r s} , em que a sequência de b pode ser uma qualquer sequência bipolar {1, 1} de mesmo comprimento N. Por exemplo: m c_{r s pode ser misturado com b quando se quer introduzir algum tipo}

de segurança nas sequências geradas.

Na tabela 3.4.1 foi apresentado um método para obter muitos conjuntos de ótimas sequências perfeitas DFT, de comprimento de N, com um baixo valor de PAPR (Peak- -to-average Power Ratio) e um MaxCC igual ou próximo do limite inferior N . Os valores MaxCC foram deduzidos anteriormente. Os valores dos PAPR foram avaliados analiticamente para alguns comprimentos. Por exemplo, um sinal OFDM (que também utiliza uma IDFT) com N = 32 subportadoras, e uma constelação de símbolos de 64- -QAM (Quadrature Amplitude Modulation), tem um PAPR aproximadamente igual a 15,5 quando a CCDF (Complementary – Cumulative – Distribution – Function) é aproximadamente igual a 1/1000. Com N = 256 subportadoras, o sinal OFDM tem um PAPR aproximadamente igual a 10,8 para o mesmo CCDF [Myung, 2006]. O valor mínimo PAPR = 1 ocorre com sequências uni modulares ou com códigos bipolares. Na secção 3.2 foram apresentadas sequências perfeitas uni modulares. Essas novas sequências perfeitas ( N×IDFT c

[ ]

s , com 1≤ ≤ −s N 1) estão incluídas na tabela 3.4.1 e deverão potenciar um PAPR reduzido. Por exemplo, quando N = 31, o intervalo do PAPR é [1,03; 7,77] (para N(N+1) = 992 sequências da tabela 3.4.1) e o valor médio do PAPR é 4,16. Com N igual a 127 ou 511, é possível encontrar mais de mil sequências perfeitas (na tabela 3.4.1) com um PAPR inferior a 5,6. Quando N = 31, o MaxCC≈2, 2× N para todas as 992 sequências da tabela 3.4.1. Portanto, muitas das sequências perfeitas da tabela 3.4.1 poderão ser úteis em sistemas de comunicação baseado em OFDM ou CDMA.

Na propriedade IX, considera-se o caso particular s=0 (ou seja, c0 =1) e o conjunto φ é reescrito como sendo ϕ={ N×IDFT m

[ ]

−₁ , N×IDFT m

[ ]

₀ ,..., N×IDFT m

[

N−₁

]

}.

Desta forma, N+1 códigos ortogonais, derivados das sequências perfeitas, são construídos quando um chip de valor “1” é acrescentado (na mesma posição ou no

mesmo índice) em todas as sequências do conjunto ϕ, sendo N o comprimento das sequências. Com a inserção de o chip “1“ estes (N+1) diferentes códigos ortogonais passam a ter um comprimento igual a (N+1).

Na figura 3.5.1 [Pereira, 2011], é proposto um gerador de códigos OPPAC (Orthogonal Perfect Periodic Autocorrelation) baseado no conjunto anterior

[ ]

1 ,

[ ]

0 ,...,

[

1

]

{ N IDFT m N IDFT m N IDFT mN }

ϕ= × − × × − de sequências perfeitas. Os

códigos M-ary OPPAC, da figura 3.5.1, são códigos OPPAC implementados com um número finito e discreto de níveis de amplitudes.

Qualquer código uni modular pode ser transformado por uma IDFT em um código PPAC complexo (designação alternativa de uma sequência perfeita obtida por recurso a uma transformação do tipo DFT ou IDFT). No entanto, é possível gerar códigos PPAC com um valor MaxCC baixo quando a entrada da IDFT é uma sequência bipolar de máximo comprimento. Por esta razão, o bloco "Gerador de 'm-sequences' bipolares" da figura 3.5.1 é utilizado para criar essas sequências bipolares (m-sequences). A "Entrada" da figura 3.5.1 corresponde à informação transmitida pelo utilizador que deverá ser igual a uma sequência constante 1 ou -1. O produto destas duas sequências será amplificado por um fator N , antes de ser convertido num valor digital (por um conversor analógico/digital - A/D). Um bloco IFFT (Inverse Fast Fourier Transform) efetuará a operação IDFT que permitirá gerar uma sequência perfeita. O bloco "prefix “1“" será usado para transformar os códigos PPAC em códigos ortogonais. O bloco "P/S" é o conversor paralelo-serial. As partes reais e imaginárias dos códigos M-ary OPPAC complexos serão obtidas nas saídas dos dois conversores digitais/analógicos

(D/A). Os bits de resolução dos conversores (A/D e D/A) deverão ser selecionados de acordo com o valor de M dos códigos M-ary OPPAC. Quanto maior for a resolução, ou o valor M, mais próximo estará um código M-ary OPPAC de um código OPPAC. Uma outra vantagem é o facto do gerador de códigos M-ary OPPAC, da figura 3.5.1, poder ser convertido num gerador de códigos M-ary PPAC (pseudo ortogonal) através da remoção do bloco "prefix “1“".

Os PAPR dos códigos PPAC e OPPAC foram avaliados. Constatou-se que, quando N = 31, a média de PAPR do conjunto

[ ]

1 ,

[ ]

0 ,...,

[

1

]

{ N IDFT m N IDFT m N IDFT mN }

ϕ= × − × × − é aproximadamente 2,15.

Com os códigos PPAC de ϕ, quando N = 127 ou N = 511, foi possível descobrir alguns PAPR inferiores a 2,7. Com N = 31+1 chips, os códigos OPPAC apresentam um valor nulo de correlação cruzada periódica em fase e o valor MaxCC aproximadamente igual a 3, 2× N , estando os PAPR próximos do valor 2,1.

Mais uma vez, podemos dizer que muitos códigos OPPAC ou sequências perfeitas

DFT (ou PPAC), definidas por

[ ]

1 ,

[ ]

0 ,...,

[

1

]

{ N IDFT m N IDFT m N IDFT mN }

ϕ= × − × × − , poderão ser úteis em

sistemas de comunicação baseados em OFDM, CDMA ou OCDMA.

No documento Sequências perfeitas para sistemas de comunicação com acesso múltiplo por divisão de código (páginas 140-143)