Como forma de superar a inconsistência apresentada na Seção 3.2.1, é sugerido usar o centro de gravidade (center of gravity – CoG) como alternativa ao valor esperado possibilístico para aproximar um número fuzzy por um único número representativo no FPOM (Borges, Dias, Dória Neto & Meier, 2018). Esta seção descreve o CoG-FPOM e apresenta uma prova de sua consistência teórica.
O centro de gravidade é o método de defuzzificação mais popular, sendo amplamente utilizado em aplicações reais (Bai & Wang, 2006). Este método é semelhante à fórmula para calcular o centro de gravidade em física e dá nome à proposta desse trabalho: CoG-FPOM. De acordo com essa técnica, o valor mais representativo do número fuzzy é a média ponderada da sua função de pertinência, como apresentado na Equação (9).
𝐶𝑜𝐺(𝐴) =∫ 𝑥𝜇𝐴(𝑥)𝑑𝑥
∞ −∞
∫ 𝜇−∞∞ 𝐴(𝑥)𝑑𝑥
(9)
Utilizando a notação apresentada no Capítulo 3, pode-se definir o centro de gravidade de 𝐴+ como: 𝐶𝑜𝐺(𝐴+) =∫ 𝑥𝜇𝐴(𝑥)𝑑𝑥 ∞ 0 ∫ 𝜇0∞ 𝐴(𝑥)𝑑𝑥 (10)
Vale observar que se o conjunto fuzzy 𝐴+ for vazio, as integrais serão nulas e, desta forma, 𝐶𝑜𝐺(𝐴+) será não definido. Esse seria um problema de OR trivial, ou seja, para o qual
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os valores das variáveis futuras e, portanto, não há interesse prático ou teórico em tais problemas.
Como será demonstrado, o centro de gravidade permite a obtenção de resultados que estão em consonância com a teoria de opções reais (OR), permitindo que o FPOM forneça resultados consistentes em todos os problemas de avaliação de OR, ao contrário da formulação original. Assim, este estudo propõe calcular o valor de um projeto com OR usando o CoG- FPOM da seguinte forma:
𝑅𝑂𝑉𝐶𝑜𝐺−𝐹𝑃𝑂𝑀(𝐴) = 𝐶𝑜𝐺(𝐴+) × ∫ 𝜇𝐴(𝑥)𝑑𝑥
∞ 0
∫−∞∞ 𝜇𝐴(𝑥)𝑑𝑥 (11)
Em seguida, são apresentadas a proposição e a prova de que o uso do CoG-FPOM garante que o mesmo problema identificado no FPOM original não acontece.
Teorema 1: Seja 𝐴 um número fuzzy com função de pertinência 𝜇𝐴. Seja um problema de OR não trivial, ou seja, o suporte de 𝐴 contém valores positivos de 𝑥. Suponha que o valor do ativo sem OR seja definido como o CoG de todo o número fuzzy, mostrado na Equação (9), e seu valor com OR seja calculado usando o CoG-FPOM, como mostrado na Equação (11). Então, o valor de 𝑅𝑂𝑉𝐶𝑜𝐺−𝐹𝑃𝑂𝑀 é consistente no sentido de que é sempre maior ou igual ao valor do
ativo sem opções:
𝑅𝑂𝑉𝐶𝑜𝐺−𝐹𝑃𝑂𝑀(𝐴) ≥ 𝐶𝑜𝐺(𝐴) (12)
Prova: Considerando, inicialmente, uma versão simplificada de 𝑅𝑂𝑉𝐶𝑜𝐺−𝐹𝑃𝑂𝑀(𝐴):
𝑅𝑂𝑉𝐶𝑜𝐺−𝐹𝑃𝑂𝑀(𝐴) = 𝐶𝑜𝐺(𝐴+)× ∫ 𝜇𝐴(𝑥)𝑑𝑥 ∞ 0 ∫−∞∞ 𝜇𝐴(𝑥)𝑑𝑥 = ∫0∞𝑥𝜇𝐴(𝑥)𝑑𝑥 ∫0∞𝜇𝐴(𝑥)𝑑𝑥 × ∫0∞𝜇𝐴(𝑥)𝑑𝑥 ∫−∞∞ 𝜇𝐴(𝑥)𝑑𝑥 =∫ 𝑥𝜇𝐴(𝑥)𝑑𝑥 ∞ 0 ∫ 𝜇−∞∞ 𝐴(𝑥)𝑑𝑥
4 Modelagem Proposta 𝑅𝑂𝑉𝐶𝑜𝐺−𝐹𝑃𝑂𝑀(𝐴) ≥ 𝐶𝑜𝐺(𝐴) ⟺ ∫ 𝑥𝜇𝐴(𝑥)𝑑𝑥 ∞ 0 ∫−∞∞ 𝜇𝐴(𝑥)𝑑𝑥 ≥ ∫−∞∞ 𝑥𝜇𝐴(𝑥)𝑑𝑥 ∫−∞∞ 𝜇𝐴(𝑥)𝑑𝑥 ⟺ ⟺ ∫ 𝑥𝜇∞ 𝐴(𝑥)𝑑𝑥 0 ≥ ∫ 𝑥𝜇∞ 𝐴(𝑥)𝑑𝑥 −∞
Usando uma propriedade das integrais, temos:
∫ 𝑥𝜇∞ 𝐴(𝑥)𝑑𝑥 −∞ = ∫ 𝑥𝜇0 𝐴(𝑥)𝑑𝑥 −∞ + ∫ 𝑥𝜇∞ 𝐴(𝑥)𝑑𝑥 0
Por outro lado, é possível formular que:
∫ 𝑥𝜇0 𝐴(𝑥)𝑑𝑥 −∞
≤ 0
Já que 𝜇𝐴(𝑥) ≥ 0, ∀𝑥, e 𝑥 ≤ 0 nesse intervalo. Portanto, é sempre verdade que:
∫ 𝑥𝜇𝐴(𝑥)𝑑𝑥 ∞ 0 ≥ ∫ 𝑥𝜇𝐴(𝑥)𝑑𝑥 ∞ −∞
Que é a conclusão desejada que prova a inequação (12) e o Teorema 1. ∎
O cálculo de 𝐶𝑜𝐺(𝐴+) – o centro de gravidade do lado positivo da distribuição de payoff
fuzzy (vide Figura 3.1) – depende de onde o resultado com valor zero está localizado dentro do
número fuzzy. Para ter soluções analíticas – que podem ser prontamente incorporadas em um software de planilha eletrônica – a Equação (9) foi resolvida para as quatro possíveis posições em que o zero pode estar em relação a um número fuzzy triangular 𝐴 = (𝑎, 𝛼, 𝛽). Vale ressaltar que o CoG-FPOM pode ser facilmente derivado para lidar com quatro cenários e números fuzzy trapezoidais.
Caso 1: 𝟎 ≤ 𝒂 − 𝜶
Nesta situação, representada pela Figura 4.1 e pela Equação (13), todo o número fuzzy está acima de zero e o CoG é calculado para o triângulo inteiro. O resultado para este caso
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também é usado para calcular o valor do projeto sem opção. Vale ressaltar que esse resultado é igual à média probabilística.
Figura 4.1. Distribuição de payoff fuzzy como OR com 0 < 𝑎 − 𝛼
𝐶𝑜𝐺(𝐴+) = 𝐶𝑜𝐺(𝐴) = ∫𝑎−𝛼𝑎 𝑥 (1 −𝑎 − 𝑥𝛼 ) 𝑑𝑥+ ∫𝑎𝑎+𝛽𝑥 (1 −𝑥 − 𝑎𝛽 ) 𝑑𝑥 ∫𝑎−𝛼𝑎 (1 −𝑎 − 𝑥𝛼 ) 𝑑𝑥+ ∫𝑎𝑎+𝛽(1 −𝑥 − 𝑎𝛽 ) 𝑑𝑥 = 3𝑎 − 𝛼 + 𝛽 3 (13) Caso 2: 𝐚 − 𝛂 < 𝟎 ≤ 𝐚
Esta situação é mostrada na Figura 4.2 e descrita pela Equação (14). O lado positivo do número fuzzy pode ser visto como composto de um trapézio e um triângulo retângulo.
Figura 4.2. Distribuição de payoff fuzzy como OR com 𝑎 − 𝛼 < 0 < 𝑎
𝐶𝑜𝐺(𝐴+) = ∫ 𝑥 (1 −0𝑎 𝑎 − 𝑥𝛼 ) 𝑑𝑥+ ∫𝑎𝑎+𝛽𝑥 (1 −𝑥 − 𝑎𝛽 ) 𝑑𝑥 ∫ (1 −0𝑎 𝑎 − 𝑥𝛼 ) 𝑑𝑥+ ∫𝑎𝑎+𝛽(1 −𝑥 − 𝑎𝛽 ) 𝑑𝑥 = 𝛼(𝑎 + 𝛽)3− 𝑎3(𝛼 + 𝛽) 3[𝛼(𝑎 + 𝛽)2− 𝑎2(𝛼 + 𝛽)] (14) Caso 3: 𝐚 < 𝟎 ≤ 𝐚 + 𝛃
Esta situação é mostrada na Figura 4.3 e descrita pela Equação (15). O lado positivo do número fuzzy é formado apenas por um triângulo.
4 Modelagem Proposta
Figura 4.3. Distribuição de payoff fuzzy como OR com a < 0 < a + β
𝐶𝑜𝐺(𝐴+) =∫ 𝑥 (1 − 𝑥 − 𝑎 𝛽 ) 𝑑𝑥 𝑎+𝛽 0 ∫0𝑎+𝛽(1 −𝑥 − 𝑎𝛽 ) 𝑑𝑥 = 𝑎 + 𝛽 3 (15) Caso 4: 𝐚 + 𝛃 < 𝟎
Nesta situação, mostrada na Figura 4.4, todo o número fuzzy está abaixo de zero. Como o resultado da Equação (9) seria nulo, pode-se concluir que: 𝐶𝑜𝐺(𝐴+) = 0.
Figura 4.4. Distribuição de payoff fuzzy como OR com a + β < 0
Voltando ao exemplo mostrado na Figura 3.2, que se encaixa no caso 2, o valor do projeto com OR pode ser calculado com CoG-FPOM usando as Equações (14) e (11) como:
𝐶𝑜𝐺(𝐴+) = 𝛼(𝑎 + 𝛽) 3− 𝑎3(𝛼 + 𝛽) 3[𝛼(𝑎 + 𝛽)2− 𝑎2(𝛼 + 𝛽)]= 900(450 + 2250)3− 4503(900 + 2250) 3[900(450 + 2250)2− 4502(900 + 2250)]= 980,8 ⇒ 𝑅𝑂𝑉𝐶𝑜𝐺−𝐹𝑃𝑂𝑀(A) = 980,8 × 1462,5 1575 = 910,7
Por outro lado, o valor do projeto sem OR pode ser calculado diretamente pela Equação (13) como segue:
4 Modelagem Proposta
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𝐶𝑜𝐺(𝐴) =3𝑎 − 𝛼 + 𝛽
3 =
3(450) − 900 + 2250
3 = 900
Ou seja, utilizando o CoG-FPOM no lugar do FPOM original, o valor do projeto com OR é maior que o valor do projeto sem OR. A diferença entre os valores calculados – que é o valor da opção em si – é agora positiva, o que está de acordo com a teoria de OR. Esse valor positivo confirma que ter flexibilidade em um projeto e considerá-la na sua valoração é uma vantagem. Em outras palavras, o CoG-FPOM supera o problema identificado no FPOM original, permitindo que ele seja teoricamente consistente em todas as situações.
Outra diferença proposta no CoG-FPOM está relacionada ao valor de payoff limite. O FPOM original foi proposto para o caso em que as únicas opções são investir em um projeto de desenvolvimento ou não. Portanto, o payoff alternativo tem um valor de zero, refletindo o direito de não prosseguir com o projeto se um resultado negativo for esperado (ver Figura 3.1). Em outros casos reais, no entanto, as alternativas podem ser ligeiramente diferentes e não necessariamente há uma opção com payoff nulo.
Um bom exemplo é a decisão de abandono de um campo petrolífero, para a qual este trabalho propõe um modelo de suporte. Em tal caso, a empresa deve decidir entre continuar ou interromper a produção de petróleo – nenhuma das opções precisa ter (quase nunca têm) resultado igual a zero. Desta forma, o CoG-FPOM flexibiliza o FPOM original no sentido de que ele deve refletir o direito de não considerar os resultados abaixo de um determinado limite – e não apenas abaixo de zero. Esse limite 𝑇 é definido como o mínimo payoff garantido e, além de zero, pode assumir um valor negativo ou positivo a depender do problema.
Para o exemplo do campo petrolífero, a empresa pode exercer a opção de abandonar, incorrendo em um custo para descomissionamento e recuperação ambiental (𝑐𝑎𝑏), e tendo uma receita do valor residual do ativo (𝑣𝑟𝑒𝑠). Nesse caso, o limite a ser considerado nos cálculos
seria 𝑇 = 𝑣𝑟𝑒𝑠− 𝑐𝑎𝑏.
Para se adequar a essa necessidade, o CoG-FPOM faz uma translação nas projeções, de modo que 𝑇 possa ser interpretado como zero. Para manter a coerência, é necessário também subtrair 𝑇 das estimativas que caracterizam o VPL fuzzy do projeto (etapa 1 da Figura 4.5). Depois de executar os cálculos do CoG-FPOM (etapa 2 da Figura 4.5), é essencial adicionar 𝑇 ao valor do projeto obtido com a opção real, de modo que o resultado seja significativo (etapa 3 da Figura 4.5).
4 Modelagem Proposta
A Figura 4.5 ilustra o procedimento passo a passo para um caso com três estimativas de VPL (pessimista, base e otimista), um número fuzzy triangular, um valor negativo de 𝑇 e um caso base com valor negativo, sem perda de generalidade.
Figura 4.5. Procedimento para usar o FPOM com alternativas não nulas – como nesse exemplo 𝑇 é um número negativo, −𝑇 aumenta os valores dos cenários em |𝑇|